2024年广东省惠州市惠城区中考一模数学试题

这是一份2024年广东省惠州市惠城区中考一模数学试题，共12页。试卷主要包含了考生必须保持答题卡的整洁等内容，欢迎下载使用。

数学试卷
本试卷共6页，25小题，满分120分．考试用时120分钟．
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的准考证号，姓名、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号．将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”．
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．3的倒数为（ ）
A．3B．C．D．－3
2．下列图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．计算的结果是（ ）
A．B．C．D．
4．三角形在方格纸中的位置如题4图所示，则tanα的值是（ ）
A．B．C．D．
5．某商场为吸引顾客，设计了如图所示的自由转盘，当指针指向阴影部分时，该顾客可获得奖品一份，那么该顾客获奖的概率为（ ）
第5题图
A．B．C．D．
6．2023年12月11日，国家重大科技基础设施高能同步辐射光源（HEPS）加速器储存环最后一台磁铁安装就位，HEPS储存环是世界上第三大光源加速器，其发射度小于0.06纳米（nm）•弧度．已知．将0.06nm用科学记数法表示应为（ ）
A．B．C．D．
7．如图所示，已知，，，那么的度数为（ ）
第7题图
A．63°B．45°C．37°D．26°
8．若一个等腰三角形的两边长分别为4和7，则这个三角形的周长为（ ）
A．15B．12或21C．15或18D．21
9．某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产400台机器所需时间比原计划生产450台机器所需时间少1天，设现在平均每天生产x台机器，则下列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
10．如图所示，抛物线经过矩形ABCD的三个顶点A，B，D，则点C的坐标为（ ）
第10题图
A．B．C．D．
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分
11．因式分解：______．
12．计算：______．
13．已知点关于x轴的对称点为，则______．
14．若关于x的一元二次方程没有实数根，则m的取值范围是______．
15．如图所示，在中，，，，将线段CB绕点C顺时针旋转90°后得到CE，点B经过的路径为，将线段AB绕点A顺时针旋转60°后，点B恰好落在CE上的点F处，点B经过的路径为，则图中阴影部分的面积是______．（结果保留π）
第15题图
三、解答题（一）：本大题共5小题，每小题5分，共25分
16．解不等式组：
17．计算：．
18．如图所示，在菱形ABCD中，过点C分别作边AB，AD上的高CE，CF，求证：．
第18题图
19．某种植户到农贸市场购买甲、乙两种树苗．已知每棵乙种树苗的价格比甲种树苗的价格贵10元，用480元购买乙种树苗的棵数恰好与用360元购买甲种树苗的棵数相同，求甲、乙两种树苗每棵的价格．
20．如题20图，在中，．
（1）实践与操作：在边BC上求作一点P，使（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）应用与计算：连接AP，若，，试求线段PA的长．
第20题图
四、解答题（二）：本大题共3小题，第21，22题各8分，第23题10分，共26分．
21．综合与实践
主题：某数学实践小组以标准对数视力表为例，探索视力表中的数学知识
操作：步骤一：用硬纸板复制视力表中视力为0.1，0.2所对应的“E”，并依次编号为①，②，垂直放在水平桌面上，开口的底部与桌面的接触点为，；
步骤二：如1图所示，将②号“E”沿水平桌面向右移动，直至从观测点O看去，对应顶点，与点O在一条直线上为止．
结论：这时我们说，在处用①号“E”测得的视力与在处用②号“E”测得的视力相同．
探究：（1）①如1图，与之间存在什么关系?请说明理由；
②由标准视力表中的，，可计算出时，______mm；
运用：（2）如果将视力表中的两个“E”放在如2图所示的平面直角坐标系中，两个“E”字是位似图形，位似中心为点O，①号“E”与②号“E”的相似比为，点P与点Q为一组对应点．
若点Q的坐标为，则点P的坐标为______．
22．如图所示，内接于⊙O，AC（不是直径）与OB相交于点D，且，过点A作⊙O的切线，交OB的延长线于点E．
（1）求证：AB平分；
（2）若，，求AE的长．
第22题图
23．2024年3月5日，《政府工作报告》提出了开展“人工智能”行动，涵盖众多行业和领域，其中大型语言模型是最近的热门话题．某实践小组开展了对A，B两款AI聊天机器人的使用满意度调查，
并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，结果分为四个等级：不满意：，比较满意：，满意：，非常满意：）．下面给出了部分信息：抽取的对A款AI聊天机器人的评分数据中“满意”的数据：84，86，86，87，88，89；
抽取的对B款AI聊天机器人的评分数据：66，68，69，81，84，85，86，87，87，87，88，89，95，97，98，98，98，98，99，100．
第23题图
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中，______，______，______；
（2）根据以上数据，你认为哪款AI聊天机器人更受用户喜爱?请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）在此次调查中，有200人对A款AI聊天机器人进行评分，160人对B款AI聊天机器人进行
评分，估计此次调查中对AI聊天机器人“不满意”的共有多少人．
五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分．
24．如图所示，抛物线的图象与x轴交于点与点B，与y轴交于点，点D为抛物线的顶点，直线l为对称轴．
（1）求抛物线和直线BC的表达式，并求出点D的坐标；
（2）如图所示，若点M是直线BC上方抛物线上一动点，连接OM，交BC于点H，过点M作x轴的平行线，交直线BC于点G，设点M的横坐标为m．
①求用含m的代数式表示线段MG的长；
②求的最大值．
25．综合探究
【初步探究】如图1，在正方形ABCD中，点E是BC边上一点（不与B，C重合），于点G，交对角线AC于点H，交CD于点F．为了探究HC与BE之间的数量关系，在如图2中，作，EM交AB的延长线于点M．
（1）如图2，①求证：；②当，时，求证：；
【类比迁移】（2）如图3，在矩形ABCD中，，，，于点G，交AC于点H，交CD于点F．求的值；
【拓展应用】（3）如图4，在等边三角形ABC中，，E是DC的中点，，交AE于点G，交AC于点F．请直接写出的值．
2024年惠城区第一次初中学业水平模拟考试
数学试卷参考答案及评标准
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11． 12． 13．－1 14． 15．
三、解答题（一）：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
16．解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴不等式组的解集为．
17．解：原式
．
18．证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴，，
∵CE，CF别为边AB，AD上的高，
∴，
在和中，，
∴，
∴．
19．解：设每棵甲种树苗的价格为x元，则每棵乙种树苗的价格为元，
依题意，得，解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴．
答：每棵甲种树苗的价格为30元，每棵乙种树苗的价格为40元．
20．解：（1）如答20图，点P即为所求作．
答20图
（2）设，则，
∵，∴，
∴，解得，
∴线段PA的长为5．
四、解答题（二）：本大题共3小题，第21、22题各8分，第23题10分，共26分．
21．解：（1）①相等，理由如下：
∵由题意，得，
∴，
∴，即，∴．
②43.2
（2）
22．（1）证明：如答22图，连接OA，则，
答22图
∴，
∵AE与⊙O相切于点A，
∴，∴．
∵，∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴AB平分．
（2）解：∵，∴，
∵，，∴，
∴，解得，
∴，
∴，
∴，
∴AE的长为10．
23．解：（1）15 88.5 98
（2）A款AI聊天机器人更受用户喜爱，理由如下：因为对两款机器人的评的平均数相同，但A款评的中位数比B款的高，所以A款AI聊天机器人更受用户喜爱．（答案不唯一，合理即可）
（3）（人），
答：估计此次调查中对AI聊天机器人“不满意”的共有44人．
五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分．
24．解：（1）∵抛物线经过点，，
∴，解得．
∴抛物线的表达式为，
即，
∴顶点D的坐标为，对称轴为直线．
∵A，B两点关于直线对称，
∴点B的坐标为．
设直线BC的表达式为，且，
∴，解得，
∴直线BC的表达式为．
（2）①设，
把代入，
得，
∴点G的坐标为，
∴．
②∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
当时，有最大值，
的最大值为．
25．（1）①证明：在正方形ABCD中，
，，，
又∵，∴．
∵，∴．
∵，∴，
∴．
②证明：在中，，，
∴，∴，∴，
∴．
∵，∴，
即，∴，
∴．
（2）解：由题意可得．
在中，，
∴．
如答25－1图，作，EN交AB的延长线于点N，则，
答25－1图
∴，
∴．
同（1）①可证，∴，
∵，∴，∴．
（3）．
【解析】在等边三角形ABC中，，，
又∵，∴．
如答25－2图，作，EH交AD的延长线于点H，
设，则，，
∴，∴，
由，同理可证，
答25－3图
∴，∴，∴．
设备
平均数
中位数
众数
“非常满意”所点百分比
A
88
b
96
45%
B
88
87.5
c
40%
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
C
D
A
D
B
D
C
B
C