山东省青岛市城阳区2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试题+

这是一份山东省青岛市城阳区2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试题+，共24页。试卷主要包含了作图题用直尺等内容，欢迎下载使用。
1．下列四个图形中是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中AB＝AC，工人师傅在焊接立柱时，只用找到BC的中点D，这就可以说明竖梁AD垂直于横梁BC了，工人师傅这种操作方法的依据是（ ）
A．等边对等角
B．等角对等边
C．垂线段最短
D．等腰三角形“三线合一”
3．交通法规人人遵守，文明城市处处安全．在通过桥洞时，我们往往会看到如图所示的标态．则通过该桥洞的车高x（m）的范围在数轴上可表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．如图，△ABC的顶点坐标分别为A（1，4），B（﹣1，1），C（2，2），如果将△ABC先向左平移3个单位，再向上平移1个单位得到△A′B′C′，那么点B的对应点B′的坐（ ）
A．（﹣4，0）B．（2，0）C．（﹣4，2）D．（2，2）
5．若a＜b，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．a﹣6＞b﹣6B．3a＞3bC．﹣2a＜﹣2bD．a﹣b＜0
6．用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中（ ）
A．每一个内角都大于60°
B．每一个内角都小于60°
C．有一个内角大于60°
D．有一个内角小于60°
7．已知点A（a﹣2，2a+6）在第二象限，则a的取值范围是（ ）
A．a＜﹣3或a＞2B．﹣3＜a＜2C．a＜2D．a＞﹣3
8．如图，把△ABC绕C点顺时针旋转35°，得到△A′B′C，A′B′交AC于点D，若∠A′DC＝90°，则∠A的度数（ ）
A．35°B．75°C．55°D．65°
9．如果不等式（a+1）x＞a+1的解集为x＜1，则a必须满足（ ）
A．a＜0B．a≤1C．a＞﹣1D．a＜﹣1
10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB，AC于点E，F，分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径作弧，两弧在∠BAC的内部相交于点G，作射线AG，交BC于点D，则BD的长为（ ）
A．B．C．D．
二.填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．如图是环岛行驶的交通标志，表示在环形交叉路口中，车辆按逆时针方向绕行．将这个图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则旋转的角度至少为 ．
12．某校举行“学以致用，数你最行”数学知识抢答赛，共有20道题，规定答对一道题得10分，答错或放弃扣4分，在这次抢答赛中，八年级1班代表队被评为优秀（88分或88分以上），则这个队至少答对 道题．
13．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与BC的垂直平分线交于点P，连接CP．若∠A＝75°，∠ABC＝62°，则∠ACP的度数为 °．
14．若不等式组的解集是x＞3，则m的取值范围是 ．
15．如图，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，AM平分∠BAD交BC于点M，BE⊥AM于点E，EF⊥AD于点F，AB＝7，EF＝3，则△ABM的面积为 ．
16．如图，函数y＝kx+b（k，b为常数，k≠0）的图象经过点B（2，0），与函数y＝2x的图象交于点A，下列结论：①点A的横坐标为2；②关于x的不等式kx+b＜0的解集为x＞2；③关于x的方程kx+b＝2x的解为x＝2；④关于x的不等式组0＜kx+b＜2x的解集为1＜x＜2．其中正确的是 （只填写序号）．
三、作图题（本大题满分4分）用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
17．（4分）已知：如图，四边形ABCD；
求作：点P，使点P在四边形ABCD内部，PD＝PC，且点P到∠BAD两边的距离相等．
四.解答题（本大题共7小题，共68分）
18．（20分）计算：
（1）解不等式x﹣1≥2x；
（2）解不等式，并把解集表示在数轴上；
（3）求不等式3（x﹣3）﹣6＜2x﹣10的非负整数解；
（4）解不等式组：；
（5）解不等式组：．
19．（6分）如图，BD，CE是△ABC的高，且BD＝CE．
（1）求证：△ABC是等腰三角形；
（2）若∠A＝60°，AB＝2，求△ABC的高BD．
20．（6分）△ABC的各顶点坐标分别为A（1，4），B（3，4），C（3，1），将△ABC先向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到△A1B1C1．
（1）如果将△A1B1C1看成是由△ABC经过一次平移得到的，则平移的距离是 个单位长度；
（2）在y轴上有点D，则AD+CD的最小值为 个单位长度；
（3）作出△ABC绕点O顺时针旋转90°后的△A2B2C2．
21．（8分）如图，已知△ABC，以AC为边构造等边△ACD，连接BD，在BD上取一点O，使∠AOD＝60°，在OD上取一点E，使AO＝AE，连接OC．
（1）求证：△AOC≌△AED；
（2）OA，OB，OC三条线段长度之和与图中哪条线段的长度相等？请说明理由．
22．（9分）两个家庭暑假结伴自驾到某景区旅游，该景区售出的门票分为成人票和儿童票，小鹏家购买3张成人票和1张儿童票共需350元，小波家购买1张成人票和2张儿童票共需200元．
（1）求成人票和儿童票的单价；
（2）售票处规定：一次性购票数量达到30张，可购买团体票，即每张票均按成人票价的八折出售．若干个家庭组团到该景区旅游，导游收到通知该团成人和儿童共30人，估计儿童8至16人．导游选择哪种购票方式花费较少？
23．（9分）【问题情境】
如图①，△ABC的内角∠ABC，∠ACB的平分线BD，CD交于点D．
【建立模型】
（1）如图②，过点D作BC的平行线分别交AB，AC于点E，F．请你写出EF与BE，CF的数量关系并证明．
（2）如图③，在图①的基础上，过点A作直线l∥BC，延长BD和CD，分别交l于点E，F，若AB＝4，AC＝3，请你直接写出EF的长度（不需要证明）．
【类比探究】
如图④，△ABC的内角∠ABC的平分线BD，与它的外角∠ACG的平分线CD交于点D，过点D作BC的平行线分别交AB，AC于点E，F．请你写出EF与BE，CF的数量关系并证明．
24．（10分）如图，在长方形ABCD中，DC＝3cm，AD＝6cm，延长BC至点E，使CE＝4cm，连接DE．点P从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点C出发，沿CB方向匀速运动，速度为2cm/s；连接PQ，DQ．当点Q停止运动时，点P也停止运动．设运动时间为t（s）（0＜t≤3），解答下列问题：
（1）当t为何值时，使点Q在∠PDC的平分线上？
（2）当t为何值时，△DQE为等腰三角形？
（3）设四边形PQED的面积为y（cm2），求y与t之间的关系式及四边形PQED面积的最大值．
山东省青岛市城阳区2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试卷
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列四个图形中是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，由此即可得到答案．
【解答】解：选项A、B、C中的图形都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项D中的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：D．
【点评】本题考查中心对称图形，关键是掌握中心对称图形的定义．
2．如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中AB＝AC，工人师傅在焊接立柱时，只用找到BC的中点D，这就可以说明竖梁AD垂直于横梁BC了，工人师傅这种操作方法的依据是（ ）
A．等边对等角
B．等角对等边
C．垂线段最短
D．等腰三角形“三线合一”
【分析】根据等腰三角形的性质解答即可．
【解答】解：∵AB＝AC，BD＝CD，
∴AD⊥BC，
故工人师傅这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”，
故选：D．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，熟知等腰三角形“三线合一”性质是解答的关键．
3．交通法规人人遵守，文明城市处处安全．在通过桥洞时，我们往往会看到如图所示的标态．则通过该桥洞的车高x（m）的范围在数轴上可表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】利用已知图表直接得出该桥洞的车高x（m）的取值范围．
【解答】解：由题意可得：
通过该桥洞的车高x（m）的取值范围是：0＜x≤4.5．
在数轴上表示如图：．
故选：D．
【点评】此题主要考查了在数轴上表示不等式的解集．根据图表理解题意是解题的关键．
4．如图，△ABC的顶点坐标分别为A（1，4），B（﹣1，1），C（2，2），如果将△ABC先向左平移3个单位，再向上平移1个单位得到△A′B′C′，那么点B的对应点B′的坐（ ）
A．（﹣4，0）B．（2，0）C．（﹣4，2）D．（2，2）
【分析】根据左减右加，上加下减的规律解决问题即可．
【解答】解：∵将△ABC先向左平移3个单位，再向上平移1个单位得到△A′B′C′，
∴点B的对应点B'的坐标是（﹣1﹣3，1+1），即（﹣4，2）．
故选：C．
【点评】本题考查坐标与图形变化﹣平移，用到的知识点为：左右平移只改变点的横坐标，左减右加；上下平移只改变点的纵坐标，上加下减．
5．若a＜b，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．a﹣6＞b﹣6B．3a＞3bC．﹣2a＜﹣2bD．a﹣b＜0
【分析】根据不等式的性质分析判断．
【解答】解：A、已知a＜b，根据不等式的基本性质不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变，所以a﹣6＞b﹣6错误；
B、不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，所以3a＞3b错误；
C、不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，所以﹣2a＜﹣2b错误；
D、a﹣b＜0即a＜b两边同时减去b，不等号方向不变．不等式一定成立的是a﹣b＜0．
故选：D．
【点评】此题主要考查了不等式的性质：
（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；
（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；
（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
6．用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中（ ）
A．每一个内角都大于60°
B．每一个内角都小于60°
C．有一个内角大于60°
D．有一个内角小于60°
【分析】熟记反证法的步骤，然后进行判断即可．
【解答】解：用反证法证明“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，应先假设三角形中每一个内角都不小于或等于60°，即都大于60°．
故选：A．
【点评】此题主要考查了反证法，反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
7．已知点A（a﹣2，2a+6）在第二象限，则a的取值范围是（ ）
A．a＜﹣3或a＞2B．﹣3＜a＜2C．a＜2D．a＞﹣3
【分析】根据题意列出不等式组，解之即可得出答案．
【解答】解：由题意知，，
解得﹣3＜a＜2，
故选：B．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
8．如图，把△ABC绕C点顺时针旋转35°，得到△A′B′C，A′B′交AC于点D，若∠A′DC＝90°，则∠A的度数（ ）
A．35°B．75°C．55°D．65°
【分析】根据旋转的性质可得∠ACA′＝35，∠A＝∠A′，结合∠A′DC＝90°，可求得∠A′，即可获得答案．
【解答】解：根据题意，把△ABC绕C点顺时针旋转35°，得到△A′B′C，
由旋转的性质，可得∠ACA′＝35，∠A＝∠A′，
∵∠A′DC＝90°，
∴∠A′＝90°﹣∠ADA′＝55°，
∴∠A＝∠A′＝55°．
故选：C．
【点评】本题主要考查旋转的性质、直角三角形两锐角互余等知识，熟练掌握旋转的性质是解题关键．
9．如果不等式（a+1）x＞a+1的解集为x＜1，则a必须满足（ ）
A．a＜0B．a≤1C．a＞﹣1D．a＜﹣1
【分析】根据不等式的解集，得到不等号方向改变，即a+1小于0，即可求出a的范围．
【解答】解：∵不等式（a+1）x＞（a+1）的解为x＜1，
∴a+1＜0，
解得：a＜﹣1．
故选：D．
【点评】此题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键．
10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB，AC于点E，F，分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径作弧，两弧在∠BAC的内部相交于点G，作射线AG，交BC于点D，则BD的长为（ ）
A．B．C．D．
【分析】由角平分线的性质定理推出CD＝MD，由勾股定理求出AC的长，由△ABC的面积＝△ACD的面积+△ABD的面积，得到AC•BC＝AC•CD+AB•MD，因此4×3＝4CD+5CD，即可求出CD的长，得到DB的长．
【解答】解：作DM⊥AB于M，
由题意知AD平分∠BAC，
∵DC⊥AC，
∴CD＝DM，
∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，
∴AC＝＝4，
∵△ABC的面积＝△ACD的面积+△ABD的面积，
∴AC•BC＝AC•CD+AB•MD，
∴4×3＝4CD+5CD，
∴CD＝，
∴BD＝BC﹣CD＝3﹣＝．
故选：D．
【点评】本题考查勾股定理，角平分线的性质，作图—基本作图，三角形的面积，关键是由角平分线的性质得到CD＝MD，由三角形面积公式得到AC•BC＝AC•CD+AB•MD．
二.填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．如图是环岛行驶的交通标志，表示在环形交叉路口中，车辆按逆时针方向绕行．将这个图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则旋转的角度至少为 120° ．
【分析】根据图形的对称性，用360°除以3计算即可得解．
【解答】解：∵360°÷3＝120°，
∴旋转的角度是120°的整数倍，
∴旋转的角度至少是120°．
故答案为：120°．
【点评】本题考查了利用旋转设计图案，仔细观察图形求出旋转角是120°的整数倍是解题的关键．
12．某校举行“学以致用，数你最行”数学知识抢答赛，共有20道题，规定答对一道题得10分，答错或放弃扣4分，在这次抢答赛中，八年级1班代表队被评为优秀（88分或88分以上），则这个队至少答对 12 道题．
【分析】设这个队答对了x道题，则答错或放弃（20﹣x）道题，利用得分＝10×答对题目数﹣4×答错或放弃题目数，结合得分不低于88分，可列出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．
【解答】解：设这个队答对了x道题，则答错或放弃（20﹣x）道题，
根据题意得：10x﹣4（20﹣x）≥88，
解得：x≥12，
∴x的最小值为12，即这个队至少答对12道题．
故答案为：12．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
13．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与BC的垂直平分线交于点P，连接CP．若∠A＝75°，∠ABC＝62°，则∠ACP的度数为 12 °．
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到PB＝PC，得到∠PBC＝∠PCB，根据角平分线的定义、三角形内角和定理及角的和差求解即可．
【解答】解：∵BP是∠ABC的平分线，∠ABC＝62°，
∴∠ABP＝∠CBP＝∠ABC＝31°，
∵P是线段BC的垂直平分线上一点，
∴PB＝PC，
∴∠PBC＝∠PCB，
∴∠ABP＝∠CBP＝∠PCB＝31°，
∵∠A＝75°，∠ABC＝62°，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠ACB＝43°，
∴∠ACP＝∠ACB﹣∠PCB＝12°，
故答案为：12．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
14．若不等式组的解集是x＞3，则m的取值范围是 m≤3 ．
【分析】先解第一个不等式得到x＞3，由于不等式组的解集为x＞3，根据同大取大得到m≤3．
【解答】解：，
解①得x＞3，
∵不等式组的解集为x＞3，
∴m≤3．
故答案为m≤3．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组：分别求出不等式组各不等式的解集，然后根据“同大取大，同小取小，大于小的小于大的取中间，大于大的小于小的无解”确定不等式组的解集．
15．如图，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，AM平分∠BAD交BC于点M，BE⊥AM于点E，EF⊥AD于点F，AB＝7，EF＝3，则△ABM的面积为 21 ．
【分析】过E作EG⊥AB于G，则EG＝EF＝3，即可求出△ABE的面积，证明BE是△ABM的中线，由三角形中线的性质即可得出答案．
【解答】解：过E作EG⊥AB于G，如图：
∵AM平分∠BAD，
∴EG＝EF＝3，∠DAM＝∠BAM，
∴S△ABE＝×7×3＝，
∵AD∥BC，
∴∠DAM＝∠AMB，
∴∠BAM＝∠AMB，
∴AB＝BM，
∵BE⊥AM，
∴BE是△ABM边AM上的中线，
∴S△ABM＝2S△ABE＝2×＝21．
故答案为：21．
【点评】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形中线的性质等知识；熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
16．如图，函数y＝kx+b（k，b为常数，k≠0）的图象经过点B（2，0），与函数y＝2x的图象交于点A，下列结论：①点A的横坐标为2；②关于x的不等式kx+b＜0的解集为x＞2；③关于x的方程kx+b＝2x的解为x＝2；④关于x的不等式组0＜kx+b＜2x的解集为1＜x＜2．其中正确的是 ②④ （只填写序号）．
【分析】根据所给函数图象，利用数形结合的思想及一次函数与一元一次不等式的关系，对所给结论依次进行判断即可．
【解答】解：由所给函数图象可知，
A点的纵坐标为2，
则2x＝2，
解得x＝1，
所以点A的横坐标为1．
故①错误．
因为点B坐标为（2，0），
所以当x＞2时，函数y＝kx+b的图象在x轴下方，即kx+b＜0，
则不等式kx+b＜0的解集为x＞2．
故②正确．
因为函数y＝2x和函数y＝kx+b交点的横坐标为1，
所以方程kx+b＝2x的解为x＝1．
故③错误．
由函数图象可知，
当x＞1时，函数y＝kx+b的图象在函数y＝2x图象的下方，即kx+b＜2x，
当x＜2时，函数y＝kx+b的图象在x轴上方，即kx+b＞0，
所以关于x的不等式组0＜kx+b＜2x的解集为1＜x＜2．
故④正确．
故答案为：②④．
【点评】本题考查一次函数与一元一次不等式及一次函数与一元一次方程，数形结合思想的巧妙运用是解题的关键．
三、作图题（本大题满分4分）用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
17．（4分）已知：如图，四边形ABCD；
求作：点P，使点P在四边形ABCD内部，PD＝PC，且点P到∠BAD两边的距离相等．
【分析】作∠BAD的角平分线，作CD的垂直平分线，两条线交于点P即可．
【解答】解：如图，点P即为所求．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是掌握角平分线和线段垂直平分线的作法．
四.解答题（本大题共7小题，共68分）
18．（20分）计算：
（1）解不等式x﹣1≥2x；
（2）解不等式，并把解集表示在数轴上；
（3）求不等式3（x﹣3）﹣6＜2x﹣10的非负整数解；
（4）解不等式组：；
（5）解不等式组：．
【分析】（1）先移项，再合并同类项，把x的系数化为1即可；
（2）先去分母，再去括号，移项，合并同类项，把x的系数化为1，并把解集表示在数轴上即可；
（3）先求出不等式的解集，再求出其非负整数解即可；
（4）（5）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
【解答】解：（1）移项得，x﹣2x≥1，
合并同类项得，﹣x≥1，
x的系数化为1得，x≤﹣1；
（2）去分母得，4+3x≤2（1+2x），
去括号得，4+3x≤2+4x，
移项得，3x﹣4x≤2﹣4，
合并同类项得，﹣x≤﹣2，
x的系数化为1得，x≥2，
在数轴上表示为：
；
（3）去括号得，3x﹣9﹣6＜2x﹣10，
移项得，3x﹣2x＜﹣10+9+6，
合并同类项得，x＜5，
故其非负整数解为：0，1，2，3，4；
（4），
由①得，x≤1，
由②得，x＜3，
故不等式组的解集为：x≤1；
（5），
由①得，x＜，
由②得，x≥1．
故不等式组的解集为：1≤x＜．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，解一元一次不等式及在数轴上表示不等式的解集，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解题的关键．
19．（6分）如图，BD，CE是△ABC的高，且BD＝CE．
（1）求证：△ABC是等腰三角形；
（2）若∠A＝60°，AB＝2，求△ABC的高BD．
【分析】（1）由“HL”可证Rt△CDB≌Rt△BEC，可得∠ABC＝∠ACB，即可求解；
（2）由直角三角形的性质可求AD的长，由勾股定理可求解．
【解答】（1）证明：∵BD，CE是△ABC的高，
∴∠ADB＝∠AEC＝90°，
在Rt△CDB和Rt△BEC中，
，
∴Rt△CDB≌Rt△BEC（HL），
∴∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）解：∵∠A＝60°，∠BDA＝90°，
∴∠ABD＝30°，
∴AD＝AB＝1，
∴BD＝＝＝．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
20．（6分）△ABC的各顶点坐标分别为A（1，4），B（3，4），C（3，1），将△ABC先向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到△A1B1C1．
（1）如果将△A1B1C1看成是由△ABC经过一次平移得到的，则平移的距离是 2 个单位长度；
（2）在y轴上有点D，则AD+CD的最小值为 5 个单位长度；
（3）作出△ABC绕点O顺时针旋转90°后的△A2B2C2．
【分析】（1）利用网格根据勾股定理计算即可；
（2）取点A关于y轴的对称点A′，连接A′C交y轴于点D，可得AD+CD的最小值即为A′C的长度；
（3）根据旋转的性质即可作出△ABC绕点O顺时针旋转90°后的△A2B2C2．
【解答】解：（1）∵将△A1B1C1看成是由△ABC经过一次平移得到的，
∴平移的距离是＝2个单位长度；
故答案为：2；
（2）如图点D为所求，
∴AD+CD的最小值为＝5个单位长度；
故答案为：5；
（3）如图，△A2B2C2即为所求．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换，平移变换，轴对称﹣最短路线问题，解决本题的关键是掌握旋转和平移的性质．
21．（8分）如图，已知△ABC，以AC为边构造等边△ACD，连接BD，在BD上取一点O，使∠AOD＝60°，在OD上取一点E，使AO＝AE，连接OC．
（1）求证：△AOC≌△AED；
（2）OA，OB，OC三条线段长度之和与图中哪条线段的长度相等？请说明理由．
【分析】（1）根据SAS证明三角形全等即可；
（2）结论：BD＝OA+OB+OC，理由全等三角形的性质证明．
【解答】（1）证明：∵∠AOE＝60°，AO＝AE，
∴△AOE是等边三角形，
∴∠OAE＝60°，
∵△ACD是等边三角形，
∴AC＝AD，∠CAD＝60°＝∠OAE，
∴∠OAC＝∠EAD，
在△OAC和△EAD中，
，
∴△AOC≌△AED（SAS）；
（2）解：结论：BD＝OA+OB+OC．
理由：∵△AOE是等边三角形，
∴OA＝OE，
∵△AOC≌△AED，
∴OC＝DE，
∴BD＝OB+OE+ED＝OB+OA+OC．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
22．（9分）两个家庭暑假结伴自驾到某景区旅游，该景区售出的门票分为成人票和儿童票，小鹏家购买3张成人票和1张儿童票共需350元，小波家购买1张成人票和2张儿童票共需200元．
（1）求成人票和儿童票的单价；
（2）售票处规定：一次性购票数量达到30张，可购买团体票，即每张票均按成人票价的八折出售．若干个家庭组团到该景区旅游，导游收到通知该团成人和儿童共30人，估计儿童8至16人．导游选择哪种购票方式花费较少？
【分析】（1）设成人票的单价是x元，儿童票的单价是y元，根据“小鹏家购买3张成人票和1张儿童票共需350元，小波家购买1张成人票和2张儿童票共需200元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设该团儿童有m人，则该团成人有（30﹣m）人，购买团体票所需费用为2400元，不购买团体票所需费用为（﹣50m+3000）元，分2400＜﹣50m+3000，2400＝﹣50m+3000及2400＞﹣50m+3000三种情况，求出x的取值范围或x的值，再结合“估计儿童8至16人”，即可得出结论．
【解答】解：（1）设成人票的单价是x元，儿童票的单价是y元，
根据题意得：，
解得：．
答：成人票的单价是100元，儿童票的单价是50元；
（2）设该团儿童有m人，则该团成人有（30﹣m）人，购买团体票所需费用为100×0.8×30＝2400（元），不购买团体票所需费用为100（30﹣m）+50m＝（﹣50m+3000）元，
当2400＜﹣50m+3000时，m＜12，
∴当8≤m＜12时，购买团体票花费较少；
当2400＝﹣50m+3000时，m＝12，
∴当m＝12时，两种购票方式花费一样多；
当2400＞﹣50m+3000时，m＞12，
∴当12＜m≤16时，不购买团体票花费较少．
答：当8≤m＜12时，购买团体票花费较少；当m＝12时，两种购票方式花费一样多；当12＜m≤16时，不购买团体票花费较少．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式（或一元一次方程）．
23．（9分）【问题情境】
如图①，△ABC的内角∠ABC，∠ACB的平分线BD，CD交于点D．
【建立模型】
（1）如图②，过点D作BC的平行线分别交AB，AC于点E，F．请你写出EF与BE，CF的数量关系并证明．
（2）如图③，在图①的基础上，过点A作直线l∥BC，延长BD和CD，分别交l于点E，F，若AB＝4，AC＝3，请你直接写出EF的长度（不需要证明）．
【类比探究】
如图④，△ABC的内角∠ABC的平分线BD，与它的外角∠ACG的平分线CD交于点D，过点D作BC的平行线分别交AB，AC于点E，F．请你写出EF与BE，CF的数量关系并证明．
【分析】（1）先由角平分线定义得∠DBC＝∠DBE，∠DCB＝∠DCF，再由平行线的性质得∠BDE＝∠DBC，∠CDF＝∠DCB，则∠DBE＝∠BDE，∠CDF＝∠DCF，证出BE＝DE，CF＝DF，进而得出结论；
（2）同（1）证出AE＝AB，AF＝AC，进而得出结论；
（3）同（1）证出DE＝BE，DF＝CF，进而得出结论．
【解答】解：（1）EF＝BE+CF，理由如下：
如图②，
∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点D，
∴∠DBC＝∠DBE，∠DCB＝∠DCF，
∵EF∥BC，
∴∠BDE＝∠DBC，∠CDF＝∠DCB，
∴∠DBE＝∠BDE，∠CDF＝∠DCF，
∴BE＝DE，CF＝DF，
∴DE+DF＝BE+CF，
即EF＝BE+CF；
（2）EF＝7；理由如下：
如图③，
∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点D，
∴∠EBC＝∠ABE，∠FCB＝∠ACF，
∵EF∥BC，
∴∠AEB＝∠EBC，∠FCB＝∠AFC，
∴∠ABE＝∠AEB，∠ACF＝∠AFC，
∴AE＝AB，AF＝AC，
∵AB＝4，AC＝3，
∴EF＝AE+AF＝4+3＝7；
（3）EF＝BE﹣CF，理由如下：
如图④，
∵∠ABC的平分线BD与∠ACG的平分线CD交于点D，
∴∠DBC＝∠ABD，∠ACD＝∠DCG，
∵DE∥BC，
∴∠DBC＝∠BDE，∠CDF＝∠DCG，
∴∠ABD＝∠BDE，∠ACD＝∠CDF，
∴DE＝BE，DF＝CF，
∵EF＝DE﹣DF，
∴EF＝BE﹣CF．
【点评】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的判定、角平分线定义、平行线的性质等知识；本题综合性强，熟练掌握平行线的性质和角平分线定义，证明三角形为等腰三角形是解题的关键，属于中考常考题型．
24．（10分）如图，在长方形ABCD中，DC＝3cm，AD＝6cm，延长BC至点E，使CE＝4cm，连接DE．点P从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点C出发，沿CB方向匀速运动，速度为2cm/s；连接PQ，DQ．当点Q停止运动时，点P也停止运动．设运动时间为t（s）（0＜t≤3），解答下列问题：
（1）当t为何值时，使点Q在∠PDC的平分线上？
（2）当t为何值时，△DQE为等腰三角形？
（3）设四边形PQED的面积为y（cm2），求y与t之间的关系式及四边形PQED面积的最大值．
【分析】（1）由题意得：AP＝t cm，CQ＝2t cm，利用平行线的性质，角平分线的定义和等腰三角形的判定定理解答即可；
（2）利用分类讨论的思想方法解答，分三种情形，利用等腰三角形的性质列出关于t的方程，解方程即可求得结论；
（3）利用t的代数式表示出线段PD，EQ，利用图形的面积公式解答即可得出y与t之间的关系式，再利用一次函数的性质解答即可得出结论．
【解答】解：（1）由题意得：AP＝t cm，CQ＝2t cm．
∵点Q在∠PDC的平分线上，
∴∠ADQ＝∠CDQ，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，
∴∠ADQ＝∠CQD，
∴∠CQD＝∠CDQ，
∴CQ＝CD，
∴2t＝3，
∴t＝．
∴当t为s时，使点Q在∠PDC的平分线上．
（2）①当ED＝EQ时，如图，
∵DC＝3cm，CE＝4cm，DC⊥CE，
∴DE＝＝5（cm），
∴EQ＝ED＝5cm
∴CQ＝1cm．
∴2t＝1，
∴t＝．
②当ED＝DQ时，如图，
∵ED＝DQ，DC⊥CE，
∴CQ＝CE＝4 cm，
∴2t＝4，
∴t＝2．
③由于点Q在线段BC上，不存在QD＝QE的情形．
综上，当t为s或2s时，△DQE为等腰三角形．
（3）由题意得：AP＝t cm，CQ＝2t cm，
∴PD＝AD﹣AP＝（6﹣t）cm，QE＝CQ+CE＝（4+2t）cm，
∴y＝（PD+QE）•CD＝3（6﹣t+4+2t）＝t+15．
∵＞0，
∴y随t的增大而增大，
∵0＜t≤3，
∴当t＝3时，y的最大值＝3+15＝19.5（cm2）．
【点评】本题主要考查了矩形的性质，角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的性质，分类讨论的思想方法，梯形的面积，熟练掌握矩形的性质和应用分类讨论的思想方法解得是解题的关键．