初中数学苏科版七年级下册12.2 证明课时练习

这是一份初中数学苏科版七年级下册12.2 证明课时练习，文件包含专题78有关三角形的角的计算与证明重难点培优-2020-2021学年七年级数学下册尖子生同步培优题典原卷版苏科版docx、专题78有关三角形的角的计算与证明重难点培优-2020-2021学年七年级数学下册尖子生同步培优题典解析版苏科版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共33页， 欢迎下载使用。
1．（2020春•仪征市期末）已知△ABC，P是平面内任意一点（A、B、C、P中任意三点都不在同一直线上）．连接PB、PC，设∠PBA＝s°，∠PCA＝t°，∠BPC＝x°，∠BAC＝y°．
（1）如图，当点P在△ABC内时，
①若y＝70，s＝10，t＝20，则x＝ 100 ；
②探究s、t、x、y之间的数量关系，并证明你得到的结论．
（2）当点P在△ABC外时，直接写出s、t、x、y之间所有可能的数量关系，并画出相应的图形．
【分析】（1）①利用三角形的内角和定理即可解决问题；
②结论：x＝y+s+t．利用三角形内角和定理即可证明；
（2）分6种情形分别求解即可解决问题；
【解析】（1）①∵∠BAC＝70°，
∴∠ABC+∠ACB＝110°，
∵∠PBA＝10°，∠PCA＝20°，
∴∠PBC+∠PCB＝80°，
∴∠BPC＝100°，
∴x＝100，
故答案为100．
②结论：x＝y+s+t．
理由：∵∠A+∠ABC+∠ACB＝∠A+∠PBA+∠PCA+∠PBC+∠PCB＝180°，∠PBC+∠PCB+∠BPC＝180°，
∴∠A+∠PBA+∠PCA＝∠BPC，
∴x＝y+s+t．
（2）s、t、x、y之间所有可能的数量关系：
如图1：s+x＝t+y；
如图2：s+y＝t+x；
如图3：y＝x+s+t；
如图4：x+y+s+t＝360°；
如图5：t＝s+x+y；
如图6：s＝t+x+y；
．
2．（2020春•扬中市期中）如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．
（1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度数；
（2）如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，试探索∠Q、∠A之间的数量关系．
（3）如图③，延长线段BP、QC交于点E，△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求∠A的度数．
【分析】（1）运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出∠1+∠2，进而求出∠BPC即可解决问题；
（2）根据三角形的外角性质分别表示出∠MBC与∠BCN，再根据角平分线的性质可求得∠CBQ+∠BCQ，最后根据三角形内角和定理即可求解；
（3）在△BQE中，由于∠Q＝90°−12∠A，求出∠E=12∠A，∠EBQ＝90°，所以如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况进行讨论：①∠EBQ＝2∠E＝90°；②∠EBQ＝2∠Q＝90°；③∠Q＝2∠E；④∠E＝2∠Q；分别列出方程，求解即可．
【解析】（1）解：∵∠A＝80°．
∴∠ABC+∠ACB＝100°，
∵点P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，
∴∠P＝180°−12（∠ABC+∠ACB）＝180°−12×100°＝130°，
（2）∵外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，
∴∠QBC+∠QCB=12（∠MBC+∠NCB）
=12（360°﹣∠ABC﹣∠ACB）
=12（180°+∠A）
＝90°+12∠A
∴∠Q＝180°﹣（90°+12∠A）＝90°−12∠A；
（3）延长BC至F，
∵CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线，
∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线，
∴∠ACF＝2∠ECF，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠EBC，
∵∠ECF＝∠EBC+∠E，
∴2∠ECF＝2∠EBC+2∠E，
即∠ACF＝∠ABC+2∠E，
又∵∠ACF＝∠ABC+∠A，
∴∠A＝2∠E，即∠E=12∠A；
∵∠EBQ＝∠EBC+∠CBQ
=12∠ABC+12∠MBC
=12（∠ABC+∠A+∠ACB）＝90°．
如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况：
①∠EBQ＝2∠E＝90°，则∠E＝45°，∠A＝2∠E＝90°；
②∠EBQ＝2∠Q＝90°，则∠Q＝45°，∠E＝45°，∠A＝2∠E＝90°；
③∠Q＝2∠E，则90°−12∠A＝∠A，解得∠A＝60°；
④∠E＝2∠Q，则12∠A＝2（90°−12∠A），解得∠A＝120°．
综上所述，∠A的度数是90°或60°或120°．
3．（2019春•常熟市月考）好学的小红在学完三角形的角平分线后，遇到下列4个问题，请你帮她解决．如图，在△ABC中，∠BAC＝48°，点I是两角∠ABC、∠ACB的平分线的交点．
（1）填空：∠BIC＝ 114 °．
（2）若点D是两条外角平分线的交点，填空：∠BDC＝ 66 °．
（3）若点E是内角∠ABC、外角∠ACG的平分线的交点，试探索：∠BEC与∠BAC的数量关系，并说明理由．
（4）在问题（3）的条件下，当∠ACB等于 84 度时，CE∥AB？
【分析】（1）想办法求出∠IBC+∠ICB即可解决问题．
（2）根据四边形内角和等于360°解决问题即可．
（3）设∠ACE＝∠ECG＝x，∠ABI＝∠IBC＝y，利用三角形的外角的性质构建方程组即可解决问题．
（4）利用平行线的性质即可解决问题．
【解析】（1）∵∠A＝48°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣48°＝132°，
∵点I是两角∠ABC、∠ACB的平分线的交点，
∴∠IBC+∠ICB=12（∠ABC+∠ACB）＝66°，
∴∠BIC＝180°﹣66°＝114°．
故答案为114．
（2）由题意：∠IBD＝∠ICD＝90°，
∴∠BDC+∠BIC＝180°，
∴∠BDC＝66°．
故答案为66．
（3）设∠ACE＝∠ECG＝x，∠ABI＝∠IBC＝y，
∴2x＝2y+∠A①，
x＝y+∠E②，
①÷2﹣②可得∠E=12∠A．
（4）∵CE∥AB，
∴∠ECA＝∠A＝48°，
∴∠ECG＝∠ECA＝∠ABC＝48°，
∴∠ACB＝180°﹣48°﹣48°＝84°
故答案为84．
4．（2019春•宝应县期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝34°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E．
（1）求∠CBE的度数；
（2）过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．
【分析】（1）根据三角形的外角的性质求出∠CBD，根据角平分线的定义计算，得到答案；
（2）根据平行线的性质解答即可．
【解析】（1）∵∠ACB＝90°，∠A＝34°，
∴∠CBD＝124°，
∵BE是∠CBD的平分线，
∴∠CBE=12∠CBD＝62°；
（2）∵∠ECB＝90°，∠CBE＝62°，
∴∠CEB＝28°，
∵DF∥BE，
∴∠F＝∠CEB＝28°．
5．（2019春•常熟市期中）在△ABC中，点D为边BC上一点，请回答下列问题：
（1）如图1，若∠DAC＝∠B，△ABC的角平分线CE交AD于点F，试说明∠AEF＝∠AFE；
（2）在（1）的条件下，如图2，△ABC的外角∠ACQ的角平分线CP交BA的延长线于点P，∠P与∠CFD有怎样的数量关系？为什么？
（3）如图3，点P在BA的延长线上，PD交AC于点F，且∠CFD＝∠B，PE平分∠BPD，过点C作CE⊥PE，垂足为E，交PD于点G，试说明CE平分∠ACB．
【分析】（1）如图1中，根据三角形的外角的性质即可证明．
（2）如图2中，首先证明∠PCE＝90°，再根据直角三角形两锐角互余即可解决问题．
（3）如图3中，延长PE交BC于H，设PA交AC于K．只要证明∠EKC＝∠EHC，即可解决问题．
【解析】（1）证明：
如图1中，∵∠AEF＝∠B+∠ECB，∠AFE＝∠FAC+∠ACE，
又∵∠B＝∠FAC，∠ECB＝∠ACE，
∴∠AEF＝∠AFE．
（2）∠P+∠CFD＝90°，理由如下：
如图2中，
∵∠ACE=12∠ACB，∠ACP=12∠ACQ，
∴∠ECP＝∠ACE+∠ACP=12（∠ACB+∠ACQ）＝90°，
∴∠P+∠AEC＝90°，
∵∠AEF＝∠AFE＝∠CFD，
∴∠P+∠CFD＝90°．
（3）证明：
如图3中，延长PE交BC于H，设PA交AC于K．
∵∠EKC＝∠KPF+∠PFA，∠EHC＝∠B+∠BPK，
又∵∠B＝∠CFD＝∠PFA，∠KPF＝∠BPH，
∴∠EKC＝∠EHC，
∵CE⊥KH，
∴∠CEK＝∠CEH＝90°，
∴∠EKC+∠ECK＝90°，∠EHC+∠ECH＝90°，
∴∠ECK＝∠ECH，
∴CE平分∠ACB．
6．（2019春•德惠市期末）如图，△ABC中，∠ABC＝∠C＝70°，BD平分∠ABC，求∠ADB的度数．
【分析】依据∠ABC＝∠C＝70°，BD平分∠ABC，即可得出∠DBC＝35°，再根据三角形外角性质，即可得到∠ADB的度数．
【解析】∵∠ABC＝∠C＝70°，BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝35°，
∴∠ADB＝∠C+∠DBC＝70°+35°＝105°．
7．（2019春•东台市月考）如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E，∠A＝50°，∠BDC＝70°，求∠BED的度数．
【分析】根据三角形外角的性质可求出∠ABD的度数，结合角平分线的定义可求出∠ABC的度数，再“两直线平行，同旁内角互补”可求出∠BED的度数．
【解析】∵∠BDC＝∠A+∠ABD，
∴∠ABD＝∠BDC﹣∠A＝70°﹣50°＝20°．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠ABD＝40°．
∵DE∥BC，
∴∠ABC+∠BED＝180°，
∴∠BED＝180°﹣∠ABC＝140°．
8．（2019春•大名县期末）如图，在△ABC中，点E在AC上，∠AEB＝∠ABC．
（1）图1中，作∠BAC的角平分线AD，分别交CB、BE于D、F两点，求证：∠EFD＝∠ADC；
（2）图2中，作△ABC的外角∠BAG的角平分线AD，分别交CB、BE的延长线于D、F两点，试探究（1）中结论是否仍成立？为什么？
【分析】（1）首先根据角平分线的性质可得∠BAD＝∠DAC，再根据内角与外角的性质可得∠EFD＝∠DAC+∠AEB，∠ADC＝∠ABC+∠BAD，进而得到∠EFD＝∠ADC；
（2）首先根据角平分线的性质可得∠BAD＝∠DAG，再根据等量代换可得∠FAE＝∠BAD，然后再根据内角与外角的性质可得∠EFD＝∠AEB﹣∠FAE，∠ADC＝∠ABC﹣∠BAD，进而得∠EFD＝∠ADC．
【解析】（1）∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠DAC，
∵∠EFD＝∠DAC+∠AEB，∠ADC＝∠ABC+∠BAD，
又∵∠AEB＝∠ABC，
∴∠EFD＝∠ADC；
（2）探究（1）中结论仍成立；
理由：∵AD平分∠BAG，
∴∠BAD＝∠GAD，
∵∠FAE＝∠GAD，
∴∠FAE＝∠BAD，
∵∠EFD＝∠AEB﹣∠FAE，∠ADC＝∠ABC﹣∠BAD，
又∵∠AEB＝∠ABC，
∴∠EFD＝∠ADC．
9．（2019春•雁江区期末）在△ABC中，∠ADB＝100°，∠C＝80°，∠BAD=12∠DAC，BE平分∠ABC，求∠BED的度数．
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠DAC，再求出∠BAD，然后根据三角形的内角和定理求出∠ABC，再根据角平分线的定义求出∠ABE，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
【解析】∵∠ADB＝100°，∠C＝80°，
∴∠DAC＝∠ADB﹣∠C＝100°﹣80°＝20°，
∵∠BAD=12∠DAC，
∴∠BAD=12×20°＝10°，
在△ABD中，∠ABC＝180°﹣∠ADB﹣∠BAD＝180°﹣100°﹣10°＝70°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=12∠ABC=12×70°＝35°，
∴∠BED＝∠BAD+∠ABE＝10°+35°＝45°．
10．（2018秋•安仁县期末）如图，D是△ABC的BC边上的一点，AD＝BD，∠ADC＝80°．
（1）求∠B的度数；
（2）若∠BAC＝70°，判断△ABC的形状，并说明理由．
【分析】（1）由AD＝BD，根据等边对等角的性质，可得∠B＝∠BAD，又由三角形外角的性质，即可求得∠B的度数；
（2）由∠BAC＝70°，易求得∠C＝∠BAC＝70°，根据等角对等边的性质，可证得△ABC是等腰三角形．
【解析】（1）∵在△ABD中，AD＝BD，
∴∠B＝∠BAD，
∵∠ADC＝∠B+∠BAD，∠ADC＝80°，
∴∠B=12∠ADC＝40°；
（2）△ABC是等腰三角形．
理由：∵∠B＝40°，∠BAC＝70°，
∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝70°，
∴∠C＝∠BAC，
∴BA＝BC，
∴△ABC是等腰三角形．
11．（2019春•南昌期末）如图：已知△ABC与△DEF是一副三角板的拼图，A，E，C，D在同一条线上．
（1）求证EF∥BC；
（2）求∠1与∠2的度数．
【分析】（1）由垂直于同一条直线的两直线平行，可证EF∥BC．
（2）由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可求∠1与∠2的度数．
【解析】（1）∵EF⊥AD，BC⊥AD，
∴BC∥EF（同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行）．
（2）∵∠APE＝180°﹣∠AEP﹣∠A＝180°﹣90°﹣45°＝45°，
又∵∠APE＝∠OPF，
∴∠1＝∠F+∠OPF＝30°+45°＝75°，
∠2＝∠DCQ+∠D＝90°+60°＝150°．
12．（2020春•兴化市月考）如图，△ABC的角平分线BD、CE相交于点P．
（1）若∠ABC＝50°，∠ACB＝70°，则∠A＝ 60 °；
（2）若∠A＝80°，试求∠BPC的度数；
（3）试直接写出∠DPC与∠A之间的数量关系：∠DPC＝ 90°−12∠A ．
【分析】先根据角平分线的定义得到∠1=12∠ABC，∠2=12∠ACB，再根据三角形内角和定理得∠BPC＝180°﹣∠1﹣∠2＝180°−12（∠ABC+∠ACB），加上∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，易得∠BPC＝90°+12∠A，然后根据此结论解决各小题．
【解析】∵∠ABC，∠ACB的平分线相交于点P，
∴∠1=12∠ABC，∠2=12∠ACB，
∴∠BPC＝180°﹣∠1﹣∠2＝180°−12∠ABC−12∠ACB＝180°−12（∠ABC+∠ACB），
∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∴∠BPC＝180°−12（180°﹣∠A）＝90°+12∠A，
（1）∵∠ABC＝50°，∠ACB＝70°，
∴∠A＝180°﹣50°﹣70°＝60°．
故答案为60．
（2）∵∠A＝80°，
∴∠BPC＝90°+12×80°＝130°；
（3）∵∠BPC＝90°+12∠A，
∴∠DPC＝180°﹣（90°+12∠A）＝90°−12∠A．
故答案为：90°−12∠A．
13．（2020春•江都区月考）（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，则∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系为 ∠A+∠B＝∠C+∠D ；
（2）如图2，AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD．
①图中有 6 个“8字形”；
②若∠B＝36°，∠D＝14°，求∠P的度数；
（3）如图3，CP、AG分别平分∠BCE、∠FAD，AG反向延长线交CP于点P，求∠P、∠B、∠D之间的数量关系．
【分析】（1）利用三角形内角和定理可得结论．
（2）①根据“8字形”的定义判断即可．
②根据“8字形”的性质，构建关系式解决问题即可．
（3）根据“8字形”的性质，构建关系式解决问题即可．
【解析】（1）∵∠A+∠B+∠AOB＝180°，∠C+∠D+∠COD＝180°，
又∵∠AOB＝∠COD，
∴∠A+∠B＝∠C+∠D，
故答案为：∠A+∠B＝∠C+∠D．
（2）①图中，有6个“8字形”．
故答案为6．
②∵AP平分∠BAD，
∴∠1＝∠2，
∵PC平分∠BCD，
∴∠3＝∠4，
∵∠1+∠B＝∠3+∠P①，∠2+∠P＝∠4+∠D②，
①﹣②得，2∠P＝∠B+∠D＝50°，
∴∠P＝25°．
（3）结论：2∠P＝∠B+∠D．
理由：∵CP平分∠BCE，
∴∠3＝∠4，
∵AG平分∠DAF，
∴∠1＝∠2，
∵∠PAB＝∠1，
∴∠2＝∠PAB，
∵∠P+∠PAB＝∠B+∠4，
∴∠P+∠2＝∠B+∠4 ③，
∵∠P+∠PAD＝∠D+∠PCD，
∴∠P+（180°﹣∠2）＝∠D+（180°﹣∠3）④，
③+④得，2∠P＝∠B+∠D．
14．（2020春•高新区期中）Rt△ABC中，∠C＝90°，点D、E分别是△ABC边AC、BC上的点，点P是一动点．令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α．
（1）若点P在线段AB上，如图（1）所示，且∠α＝30°，则∠1+∠2＝ 120 °；
（2）若点P在AB上运动，如图（2）所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由．
（3）若点P运动到边AB的延长线上，如图（3）所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由．
（4）若点P运动到△ABC之外，如图（4）所示，则∠α、∠1、∠2的关系为： ∠2﹣∠1+∠α＝90° ．
【分析】（1）先用平角的得出，∠CDP＝180°﹣∠1，∠CEP＝180°﹣∠2，最后用四边形的内角和即可．
（2）同（1）方法即可．
（3）利用平角的定义和三角形的内角和即可得出结论．
（4）利用三角形的内角和和外角的性质即可得出结论．
【解析】（1）∵∠1+∠CDP＝180°，
∴∠CDP＝180°﹣∠1，
同理：∠CEP＝180°﹣∠2，
根据四边形的内角和定理得，∠CDP+∠DPE+∠CEP+∠C＝360°，
∵∠C＝90°，
∴180°﹣∠1+α+180°﹣∠2+90°＝360°，
∴∠1+∠2＝90°+α＝90°+30°＝120°，
故答案为：120．
（2）∵∠1+∠CDP＝180°，
∴∠CDP＝180°﹣∠1，
同理：∠CEP＝180°﹣∠2，
根据四边形的内角和定理得，∠CDP+∠DPE+∠CEP+∠C＝360°，
∵∠C＝90°，
∴180°﹣∠1+α+180°﹣∠2+90°＝360°，
∴∠1+∠2＝90°+α．
（3）如图3，∵∠1+∠CDF＝180°，
∴∠CDF＝180°﹣∠1，
∵∠CFD＝∠2+α，
根据三角形的内角和得，∠C+∠CDF+∠CFD＝180°，
∴90°+180°﹣∠1+∠2+α＝180°，
∴∠1﹣∠2﹣∠α＝90°．
（4）如图4，∵∠PGD＝∠EGC，
∴∠2＝∠C+∠EGC＝90°+∠PGD，
∴∠PGD＝∠2﹣90°，
∵∠PDG＝180°﹣∠1，
根据三角形的内角和得，∠DPG+∠PDG+∠PDG＝180°，
∴α+180°﹣∠1+∠2﹣90°＝180°，
∴∠2﹣∠1+∠α＝90°．
故答案为：∠2﹣∠1+∠α＝90°．
15．（2020春•徐州期末）△ABC中，∠C＝70°，点D、E分别是△ABC边AC、BC上的两个定点，点P是平面内一动点，令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α．
初探：
（1）如图1，若点P在线段AB上运动，
①当∠α＝60°时，则∠1+∠2＝ 130 °；
②∠α、∠1、∠2之间的关系为： ∠1+∠2＝70°+∠α ．
再探：
（2）若点P运动到边AB的延长线上，如图2，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？并说明理由．
拓展：
（3）请你试着给出一个点P的其他位置，在图3中补全图形，并写出此时∠α、∠1、∠2之间的关系： ∠1+∠2＝430°﹣∠α ．
【分析】（1）①如图1中，连接PC．证明∠1+∠2＝∠ACB+∠DPE即可．
②利用①中结论解决问题．
（2）利用三角形的外角的性质解决问题即可．
（3）利用三角形的外角的性质解决问题即可．
【解析】（1）①如图1中，连接PC．
∵∠1＝∠DCP+∠DPC，∠2＝∠ECP+∠CPE，
∴∠1+∠2＝∠DCP+∠DCP+∠ECP+∠EPC＝∠ACB+∠DPE＝∠ACB+∠α，
∵∠ACB＝70°，∠α＝60°，
∴∠1+∠2＝60°+70°＝130°．
②由①可知，∠1+∠2＝∠ACB+∠α＝70°+∠α，
故答案为130，70°+∠α．
（2）结论：∠1＝70°+∠2+∠α．
理由：如图2中，
∵∠1＝∠C+∠CFD，∠CFD＝∠2+∠α，
∴∠1＝70°+∠2+∠α．
（3）结论：∠1+∠2＝430°﹣∠α．
理由：如图3中，
∵∠1＝∠DCP+∠DPC，∠2＝∠ECP+∠CPE，
∴∠1+∠2＝∠DCP+∠DPC+∠ECP+∠EPC＝∠ACB+360°﹣∠DPE＝70°+360°﹣∠α，
∴∠1+∠2＝430°﹣∠α．
故答案为∠1+∠2＝430°﹣∠α．
16．（2020春•淮安区期中）在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“灵动三角形”．例如，三个内角分别为120°、40°、20°的三角形是“灵动三角形”；三个内角分别为80°、75°、25°的三角形也是“灵动三角形”等等．如图，∠MON＝60°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（规定0°＜∠OAC＜90°）．
（1）∠ABO的度数为 30 °，△AOB 是 ．（填“是”或“不是”）“灵动三角形”；
（2）若∠BAC＝70°，则△AOC 是 （填“是”或“不是”）“灵动三角形”；
（3）当△ABC为“灵动三角形”时，求∠OAC的度数．
【分析】（1）利用三角形内角和定理解决问题即可．
（2）求出∠OAC即可解决问题．
（3）分三种情形分别求出即可．
【解析】（1）∵AB⊥OM，
∴∠BAO＝90°，
∵∠AOB＝60°，
∴∠ABO＝90°﹣60°＝30°，
∵90°＝3×30°，
∴△AOB是“灵动三角形”．
故答案为：30，是．
（2）∵∠OAB＝90°，∠BAC＝70°，
∴∠OAC＝20°，
∵∠AOC＝60°＝3×20°，
∴△AOC是“灵动三角形”．
故答案为：是．
（3）①当∠CAB＝3∠ABC，时，∠CAB＝60°，∠OAC＝30°．
②当∠ABC＝3∠CAB时，∠CAB＝10°，∠OAC＝80°．
③∠ACB＝3∠CAB时，∠CAB＝37.5°，可得∠OAC＝52.5°，
综上所述，满足条件的值为30°或52.5°或80°．
17．（2020春•常州期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC与∠BAC的角平分线相交于点P，连接CP，过点P作DE⊥CP分别交AC、BC于点D、E，
（1）若∠BAC＝40°，求∠APB与∠ADP度数；
（2）探究：通过（1）的计算，小明猜测∠APB＝∠ADP，请你说明小明猜测的正确性（要求写出过程）．
【分析】（1）首先说明PC平分∠ACB，推出∠CDE＝45°，利用三角形内角和定理求解即可．
（2）证明∠APB＝135°，∠ADP＝135°即可．
【解析】（1）∵∠ABC与∠BAC的角平分线相交于点P，
∴PC平分∠ACB，
∴∠PCD＝∠PCE=12∠ACB=12×90°＝45°，
∵PC⊥DE，
∴∠CPD＝90°，
∴∠CDE＝45°，
∴∠ADP＝135°，
∵∠BAC＝40°，∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝90°﹣40°＝50°，
∵∠PBA=12∠ABC＝25°，∠PAB=12∠BAC＝20°，
∴∠APB＝180°﹣25°﹣20°＝135°．
（2）结论：∠APB＝∠ADP．
理由：∵PB，PA分别是∠ABC，∠BAC的角平分线，
∴∠PBA=12∠ABC，∠PAB=12∠BAC，
∴∠APB＝180°−12（∠ABC+∠BAC）＝180°−12（180°﹣90°）＝135°，
∵∠ADP＝135°，
∴∠APB＝∠ADP．
18．（2020春•宝应县期末）（1）如图1，AD平分∠BAC，AE⊥BC，∠B＝30°，∠C＝70°．
①∠BAC＝ 80 °，∠DAE＝ 20 °；
②如图2．若把“AE⊥BC”变成“点F在AD的延长线上，FE⊥BC”，其它条件不变，求∠DFE的度数；
（2）如图3，AD平分∠BAC，AE平分∠BEC，∠C﹣∠B＝40°，求∠DAE的度数．
【分析】（1）①利用三角形内角和定理求出∠BAC，再求出∠CAD，∠CAE即可解决问题．
②想办法求出∠ADC即可解决问题．
（2）利用三角形内角和定理以及角平分线的定义构建关系式解决问题即可．
【解析】（1）①∵∠B＝30°，∠C＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣（30°+70°）＝80°，
∵AD平分∠ABC，
∴∠CAD=12∠BAC＝40°，
∵AE⊥BC，
∴∠AEC＝90°，
∴∠CAE＝90°﹣70°＝20°，
∴∠DAE＝∠CAD﹣∠CAD＝20°．
故答案为80，20．
②∵∠ADC＝180°﹣∠CAD﹣∠C＝180°﹣40°﹣70°＝70°，
∴∠FDE＝∠ADC＝70°，
∵FE⊥BC，
∴∠FED＝90°，
∴∠DFE＝90°﹣∠FDE＝20°．
（3）∵AD平分∠ABC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵AE平分∠BEC，
∴∠AEB＝∠AEC，
∵∠C+∠CAE+∠AEC＝180°，∠B+∠BAE+∠AEB＝180°，
∴∠C+∠CAE＝∠B+∠BAE，
∵∠CAE＝∠CAD﹣∠DAE，∠BAE＝∠BAD+∠DAE，
∴∠C+∠CAD﹣∠DAE＝∠B+∠BAD+∠DAE，
∴2∠DAE＝∠C﹣∠B＝40°，
∴∠DAE＝20°．
19．（2020春•泰兴市校级期中）直线MN与直线PQ相交于O，∠POM＝60°，点A在射线OP上运动，点B在射线OM上运动．
（1）如图1，∠BAO＝70°，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，试求出∠AEB的度数．
（2）如图2，已知AB不平行CD，AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，又DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，点A、B在运动的过程中，∠CED的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值．
（3）在（2）的条件下，在△CDE中，如果有一个角是另一个角的2倍，请直接写出∠DCE的度数．
【分析】（1）利用三角形内角和定理以及角平分线的定义计算即可．
（2）延长AD、BC交于点F，先求得∠PAB+∠MBA＝240°，再根据AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，求得∠BAD+∠ABC＝120°，进而得出∠F＝60°，再根据三角形内角和定理得到∠FDC+∠FCD＝1120°，即∠CDA+∠DCB＝240°，最后根据DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，得到∠CDE+∠DCE＝120°，进而在△CDE中，根据三角形内角和定理求得∠E＝60°．
（3）由（2）可知，∠EDC+∠ECD＝120°，因为△ECD中有一个角是另一个角的2倍，推出∠ECD＝2∠EDC或∠EDC＝2∠ECD，由此即可解决问题．
【解析】（1）如图1中，∵BE平分∠ABO，AE平分∠BAO，
∴∠EBA+∠EAB=12（∠ABO+∠BAO）=12（180°﹣∠AOB）＝60°，
∴∠AEB＝180°﹣（∠EBA+∠EAB）＝120°．
（2）∠CED的大小不变．
如图2，延长AD、BC交于点F．
∵直线MN与直线PQ相交于O，
∴∠AOB＝60°，
∴∠OAB+∠OBA＝120°，
∴∠PAB+∠MBA＝240°，
∵AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，
∴∠BAD=12∠BAP，∠ABC=12∠ABM，
∴∠BAD+∠ABC=12（∠PAB+∠ABM）＝120°，
∴∠F＝60°，
∴∠FDC+∠FCD＝120°，
∴∠CDA+∠DCB＝240°，
∵DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，
∴∠CDE+∠DCE＝120°，
∴△CDE中，∠E＝180°﹣120°＝60°．
（3）由（2）可知，∠EDC+∠ECD＝120°，
∵△ECD中有一个角是另一个角的2倍，
∴∠ECD＝2∠EDC或∠EDC＝2∠ECD，
∴∠DCE＝40°或80°．
20．（2020春•江阴市期末）如图，△ABC中，D为BC上一点，∠C＝∠BAD，△ABC的角平分线BE交AD于点F．
（1）求证：∠AEF＝∠AFE；
（2）G为BC上一点，当FE平分∠AFG且∠C＝30°时，求∠CGF的度数．
【分析】（1）由角平分线定义得∠ABE＝∠CBE，再根据三角形的外角性质得∠AEF＝∠AFE；
（2）由角平分线定义得∠AFE＝∠GFE，进而得∠AEF＝∠GFE，由平行线的判定得FG∥AC，再根据平行线的性质求得结果．
【解析】（1）证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠ABF+∠BAD＝∠CBE+∠C，
∵∠AFE＝∠ABF+∠BAD，∠AEF＝∠CBE+∠C，
∴∠AEF＝∠AFE；
（2）∵FE平分∠AFG，
∴∠AFE＝∠GFE，
∵∠AEF＝∠AFE，
∴∠AEF＝∠GFE，
∴FG∥AC，
∵∠C＝30°，
∴∠CGF＝180°﹣∠C＝150°．