2023-2024学年江苏省淮安市马坝高级中学高一（下）第一次质检数学试卷（A卷）（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省淮安市马坝高级中学高一（下）第一次质检数学试卷（A卷）（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.2sin15°cs15°=( )
A. 12B. 22C. 32D. 6− 22
2.已知向量a=(x,2)，b=(3,−1).若a⊥b，则x=( )
A. 23B. 32C. −3D. −6
3.若tanα=1，则sin2α−cs2α=( )
A. −15B. 14C. 12D. 1
4.已知向量a=(2,3)，b=(−1,2)，若ma+4b与a−2b共线，则m的值为( )
A. 12B. 2C. −12D. −2
5.在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，若1−csC=2csAcsB，那么△ABC一定是( )
A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等边三角形
6.求值：1− 3tan10° 1−cs20∘=( )
A. 1B. 2C. 3D. 2 2
7.《蒙娜丽莎》是意大利文艺复兴时期画家列奥纳多⋅达芬奇创作的油画，现收藏于法国罗浮宫博物馆．该油画规格为：纵77cm，横53cm.油画挂在墙壁上的最低点处B离地面237cm(如图所示).有一身高为175cm的游客从正面观赏它(该游客头顶T到眼睛C的距离为15cm)，设该游客离墙距离为xcm，视角为θ.为使观赏视角θ最大，x应为( )
A. 77B. 80C. 100D. 77 2
8.设O为△ABC所在平面内一点，满足2OA−7OB−3OC=0，则△ABC的面积与△BOC的面积的比值为( )
A. 6B. 83C. 127D. 4
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(a2+c2−b2)tanB= 3ac，则B的值为( )
A. π6B. π3C. 5π6D. 2π3
10.已知θ是锐角，那么下列各值中，sinθ+csθ不能能取得的值是( )
A. 43B. 34C. 53D. 12
11.已知O为坐标原点，点P1(csα,sinα)，P2(csβ,−sinβ)，P3(cs(α+β),sin(α+β))，A(1,0)，则( )
A. |OP1|=|OP2|B. |AP1|=|AP2|
C. OA⋅OP3=OP1⋅OP2D. OA⋅OP1=OP2⋅OP3
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在△ABC中，(a+b+c)(a−b+c)=ac，则B= ______．
13.已知tanα，tanβ是方程x2+4x−3=0的两根，且α，β∈(0,π)，则tan(α+β)的值为______．
14.如图所示，∠BAC=2π3，圆M与AB，AC分别相切于点D，E，AD=1，点P是圆M及其内部任意一点，且AP=xAD+yAE(x,y∈R)，则x+y的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知|a|=2，|b|=3，|a−b|= 7.求：
(1)a⋅b；
(2)|a+b|．
16.(本小题15分)
已知函数f(x)=sin2x−cs2x+2 3sinxcsx+cs(2x+π3)．
(1)化简f(x)；
(2)若f(α)=17，2α是第一象限角，求sin2α．
17.(本小题15分)
已知向量m=(2,sinα)，n=(csα,−1)，其中α∈(0,π2)，且m⊥n．
(1)求sin2α和cs2α的值；
(2)若sin(α−β)= 1010，且β∈(0,π2)，求角β．
18.(本小题17分)
如图，圆心角为π3的扇形AOB的半径为2，点C是AB上一点，作这个扇形的内接矩形CDEF．
(1)求AB的长及扇形AOB的面积；
(2)求矩形CDEF的最大面积，及此时∠AOC的大小．
19.(本小题17分)
如图所示，在△ABC中，AQ=QC，AR=13AB，BQ与CR相交于点I，AI的延长线与边BC交于点P．
(1)用AB和AC分别表示BQ和CR；
(2)如果AI=AB+λBQ=AC+μCR，求实数λ和μ的值；
(3)确定点P在边BC上的位置．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：2sin15°cs15°=sin30°=12．
故选：A．
利用二倍角的正弦公式及特殊角的三角函数值即可求解．
本题主要考查了二倍角的正弦公式及特殊角的三角函数值在三角函数求值中的应用，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：向量a=(x,2)，b=(3,−1)；
若a⊥b，则a⋅b=0，
即3x+2×(−1)=0，
解得x=23．
故选：A．
根据平面向量的坐标运算，列方程求出x的值．
本题考查了平面向量的数量积运算问题，是基础题．
3.【答案】D
【解析】解：由于tanα=1，根据万能公式，sin2α=2sinαcsα=2tanα1+tan2α=22=1，cs2α=1−tan2α1+tan2α=0，
所以sin2α−cs2α=1．
故选：D．
直接利用万能公式的应用求出三角函数的值．
本题考查的知识要点：三角函数的值的求法，万能公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】【分析】
先由向量的坐标运算表示出ma+4b与a−2b，再根据向量共线定理的坐标表示可得答案．
本题主要考查向量的坐标运算和共线定理．属基础题．
【解答】
解：由题意可知ma+4b=m(2,3)+4(−1,2)=(2m−4,3m+8)，
a−2b=(2,3)−2(−1,2)=(4,−1)，
∵ma+4b与a−2b共线，
∴(2m−4)×(−1)=(3m+8)×4，
∴m=−2
故选：D．
5.【答案】A
【解析】解：由1−csC=2csAcsB，得1+cs(A+B)=2csAcsB，
∴1+csAcsB−sinAsinB=2csAcsB，
∴1=csAcsB+sinAsinB=cs(A−B)，即cs(A−B)=1，
∵−π