2023-2024学年湖北省宜昌市部分省级示范高中高一（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年湖北省宜昌市部分省级示范高中高一（下）期中数学试卷（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知命题p：∀x∈R，x2−3x+a≠0，则( )
A. ￢p：∀x∈R，x2−3x+a=0B. ￢p：∃x∈R，x2−3x+a=0
C. ￢p：∃x∈R，x2−3x+a≠0D. a=2时，p为真命题
2.已知集合P={x∈N|x(x−3)≥0}，Q={2,4}，则(∁NP)∪Q=( )
A. {1}B. {2}C. {1,2}D. {1,2,4}
3.“a>b>0”是“1a<1b”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
4.下列函数中最小正周期为π，且在区间(0,π2)上单调递增的是( )
A. y=sinxB. y=|sinx|C. y=csxD. y=|csx|
5.已知a，b是两个不共线的平面向量，向量AB=λa+b，AC=a−μbλ,μ∈R，若AB//AC，则有
( )
A. λ+μ=2B. λ−μ=1C. λμ=−1D. λμ=1
6.如图，在圆C中，C是圆心，点A，B在圆上，AB⋅AC的值( )
A. 只与圆C的半径有关
B. 只与弦AB的长度有关
C. 既与圆C的半径有关，又与弦AB的长度有关
D. 是与圆C的半径和弦AB的长度均无关的定值
7.已知lg189=a，18b=5，则lg4581=( )
A. −aa+bB. 2−aabC. 2aa+bD. 2−aa+b
8.已知函数f(x)=2sin(ωx+π6)−1(ω>0)，若函数f(x)在x∈[1,7]上恰有3个零点，则实数ω的取值范围是( )
A. [π3,2π3)B. [2π3,2π)C. [8π21,3π7)D. [8π21,4π7)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知幂函数f(x)的图象经过点(2,12)，则( )
A. 函数f(x)为奇函数
B. 函数f(x)在定义域上为减函数
C. 函数f(x)的值域为R
D. 当x2>x1>0时，f(x1)+f(x2)2>f(x1+x22)
10.若x，y>0，且x+2y=1，则( )
A. xy≤18B. x+ 2y≤ 2
C. 1x+2y≥10D. x2+4y2≥12
11.如图，一个半径为3m的筒车，按逆时针方向匀速旋转1周.已知盛水筒P离水面的最大距离为5.2m，旋转一周需要60s.以P刚浮出水面时开始计算时间，P到水面的距离d(单位：m)(在水面下则d为负数)与时间t(单位：s)之间的关系为d=Asin(ωt+φ)+K(A>0,ω>0,−π2<φ<π2)，t∈[0,60]，下列说法正确的是( )
A. K=2.2
B. ω=π30
C. sinφ=2.23
D. P离水面的距离不小于3.7m的时长为20s
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在△ABC中，A=π6，AB= 3，AC=4，则BC边上的高的长度为______．
13.已知正三角形ABC的边长为2，点P在边BC上，则AP⋅BP的最大值为______．
14.某同学在查阅资料时，发现一个结论：已知O是△ABC内的一点，且存在x，y，z∈R，使得xOA+yOB+zOC=0，则S△AOB：S△AOC：S△COB=z：y：x.请以此结论回答：已知在△ABC中，∠A=π4，∠B=π3，O是△ABC的外心，且AO=λAB+μAC(λ,μ∈R)，则λ+μ= ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知f(α)=sin(−α−5π2)cs(3π2+α)tan2(π−α)cs(π2−α)sin(π+α)．
(1)化简f(α)；
(2)若f(α)=2，求sin2α−3sinαcsα的值．
16.(本小题15分)
已知向量a，b满足：|a|=4，|b|=3，(2a−3b)⋅(2a−b)=43．
(1)求a与b的夹角θ；
(2)求|a−2b|；
(3)若(a+b)⊥(a+λb)，求实数λ的值．
17.(本小题15分)
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若(2a+c)csB+bcsC=0．
(1)求角B的大小；
(2)设M是AC的中点，且BM= 142,a=2 2，求△ABC的面积．
18.(本小题17分)
已知函数f(x)=12cs4x+ 3sinxcsx−12sin4x+m的最大值为32，
(1)求常数m的值，并求函数f(x)取最大值时相应x的集合；
(2)求函数f(x)的单调递增区间．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=lg2(1x+ax+a−3)(a≥0)
(1)当a=0时，求f(x)有意义时x的取值范围；
(2)若f(x)在x>0时都有意义，求实数a的取值范围；
(3)若关于x的方程f(x)=lg2(2x+a−3)+1有且仅有一个解，求实数a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：命题p：∀x∈R，x2−3x+a≠0，
则 ￢p：∃x∈R，x2−3x+a=0，
当a=2时，x=1或2时，x2−3x+2=0，故p为假命题．
故选：B．
任意改存在，将结论取反，即可求解．
本题主要考查全称命题的否定，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：因为集合P={x∈N|x(x−3)≥0}，Q={2,4}，
所以∁NP={x∈N|x(x−3)<0}={1,2}，
所以(∁NP)∪Q={1,2,4}．
故选：D．
化简集合P，根据补集和并集的定义计算即可．
本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．
3.【答案】A
【解析】a>b>0时，有aab>bab，即1a<1b；
1a<1b时，可能bb>0，
所以“a>b>0”是“1a<1b”的充分不必要条件．
故选：A．
由充分条件必要条件的定义，结合不等式的性质判断结论．
本题考查了充分条件必要条件的定义和不等式的性质，是基础题．
4.【答案】B
【解析】解：y=sinx的周期T=2π，A错误；
根据正弦函数图象的变换可知，y=|sinx|的最小正周期为π，且在(0,π2)上单调递增，B正确；
y=csx的最小正周期为2π，C错误；
y=|csx|在(0,π2)上单调递减，D错误．
故选：B．
结合正弦函数及余弦函数的周期性及单调性及函数图象的变换检验各选项即可判断．
本题主要考查了三角函数的周期性及单调性的判断，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查平面向量共线定理，属于基础题．
利用向量共线的充要条件列出方程组，求出即可．
【解答】
解：∵AB//AC，
∴AB=kAC，
∵AB=λa+b，AC=a−μb(λ,μ∈R)，
∴λa+b=k(a−μb)，
∴λ=k1=−kμ,
∴λμ=−1
故选：C．
6.【答案】B
【解析】解：设AB与AC的夹角为A，
∴AB⋅AC=|AB||AC|csA═|AB||AC|⋅12|AB||AC|=12|AB|2，
∴AB⋅AC的值只与弦AB的长度有关，
故选：B．
由题意设AB与AC的夹角为A，表示出AB⋅AC═12|AB|2，得到结论．
本题主要考查了向量的运算，以及三角函数中，角与边的关系，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】解：由lg189=a，18b=5，
所以a=lg189，b=lg185，
所以lg4581=lg1881lg1845=2lg189lg189+lg185=2aa+b．
故选：C．
先由18b=5得到b=lg185，用换底公式把lg4581写出以18为底的对数，即可分解．
本题主要考查对数的运算性质，指数与对数的互化，考查运算求解能力，属于基础题．
8.【答案】D
【解析】解：由f(x)=0得sin(ωx+π6)=12，即ωx+π6=π6+2kπ(k∈Z)或ωx+π6=5π6+2kπ，
∴x=2kπω(k∈Z)或x=2kπω+2π3ω(k∈Z)，
要使函数f(x)在x∈[1,7]上恰有3个零点，则2kπω<12π3ω+2kπω≥12kπω+8π3ω≤74πω+2kπω>7①或2kπω≥12kπω+2πω≤72kπω+8π3ω>72kπω−4π2ω<1②，k∈Z，
解不等式组①得−16≤k<13，则k=0，8π21≤ω<4π7，
解不等式组②得16≤k<1，此时k无解，则ω∈⌀，
综上所述，实数ω的取值范围是[8π21,4π7)，
故选：D．
由题意得sin(ωx+π6)=12，求解可得x=2kπω(k∈Z)或x=2kπω+2π3ω(k∈Z)，列出关于ω的不等式组，求解即可得出答案．
本题考查函数的零点与方程的根的关系，考查转化思想和整体思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
9.【答案】AD
【解析】【分析】
本题考查幂函数的定义和性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
由幂函数f(x)=xa的图象经过点(2,12)，求出f(x)=1x，由此能求出结果．
【解答】
解：幂函数f(x)=xa的图象经过点(2,12)，
∴2a=12，解得a=−1，
∴f(x)=1x，
∴f(x)是奇函数，故A正确；
f(x)的减区间为(−∞,0)，(0,+∞)，且当x<0时，f(x)<0，x>0时，f(x)>0，故B错误；
f(x)的值域为(−∞,0)∪(0,+∞)，故C错误；
当x2>x1>0时，f(x1)+f(x2)2−f(x1+x22)=12x1+12x2−2x1+x2=x2x1+x2+x1x1+x2−4x1x22x1x2x1+x2=x1−x222x1x2x1+x2>0，
所以f(x1)+f(x2)2>f(x1+x22)，故D正确．
故选AD．
10.【答案】ABD
【解析】【分析】
根据题意，由基本不等式和不等式的性质依次分析选项，综合可得答案．
本题考查基本不等式的性质以及应用，涉及不等式的基本性质，属于基础题．
【解答】
解：根据题意，依次分析选项：
对于A，若x，y>0，且x+2y=1，则x=1−2y，则有xy=y(1−2y)=2y(1−2y)2⩽122y+(1−2y)22=18，当且仅当x=2y=12时等号成立，A正确；
对于B， x+ 2y2=1+2 2xy，由A可得xy⩽18，故1+2 2xy⩽2，所以 x+ 2y⩽ 2，故B正确；
对于C，1x+2y=(1x+2y)(x+2y)=5+2yx+2xy≥5+4 yx×xy=9，当且仅当x=y=13时等号成立，C错误；
对于D，x+2y=1，则有(x+2y)2=1，变形可得x2+4y2+4xy=1，又由x2+4y2≥4xy，则有x2+4y2≥12，D正确；
故选：ABD．
11.【答案】ABD
【解析】解：由题意，d的最大值为5.2，最小值为−0.8，
则A+K=5.2，−A+K=−0.8，
所以A=3，K=2.2，故A正确；
由旋转一周需要60s，得函数的周期T=2πω=60，所以ω=π30，故B正确；
故d=3sin(π30t+φ)+2.2(−π2<φ<π2)，
当t=0时，d=0，
则3sinφ+2.2=0，所以sinφ=−2.23，故C错误；
由sinφ=−2.23,−π2<φ<π2，得−π2<φ<0，
因为t∈[0,60]，所以π30t+φ∈[φ,2π+φ]，
由−π2<φ<0，得3π2<2π+φ<2π，
令d=3sin(π30t+φ)+2.2≥3.7，得sin(π30t+φ)≥12，
所以π6≤π30t+φ≤5π6，故5−30πφ≤t≤25−30πφ，
所以P离水面的距离不小于3.7m的时长为25−30πφ−(5−30πφ)=20s，故D正确．
故选：ABD．
由题意，d的最大值为5.2，最小值为−0.8，即可求出A，K，再根据函数的周期即可求出ω，根据t=0时，d=0，利用待定系数法即可求出sinφ，解正弦不等式即可判断D．
本题主要考查了三角函数的实际应用，属于中档题．
12.【答案】2 217
【解析】解：在△ABC中，A=π6，AB= 3，AC=4，所以S△ABC=12×4× 3×12= 3，
由余弦定理可得：BC= 3+16−2×4× 3× 32= 7，
设BC边上的高为h，
则S△ABC=12|BC|h=12× 7h= 3，解得h=2× 3 7=2 217．
故答案为：2 217．
利用余弦定理求出BC，通过三角形的面积转化求解BC边上的高即可．
本题考查三角形的解法，余弦定理以及三角形的面积的求法，考查转化思想以及计算能力，是基础题．
13.【答案】2
【解析】解：已知正三角形ABC的边长为2，点P在边BC上，
设BP=λBC，其中0≤λ≤1，
则AP⋅BP=(AB+BP)⋅BP
=(AB+λBC)⋅(λBC)
=λ2BC2+λAB⋅BC
=4λ2−2λ
=4(λ−14)2−14，
又0≤λ≤1，
则当λ=1时，AP⋅BP取最大值为2．
故答案为：2．
由平面向量数量积的运算，结合平面向量的线性运算求解．
本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量的线性运算，属基础题．
14.【答案】 33
【解析】解：∵AO=λAB+μAC，∴AO=λ(OB−OA)+μ(OC−OA)，
∴(1−λ−μ)OA+λOB+μOC=0，则S△AOB：S△AOC：S△COB=μ：λ：(1−λ−μ)，
∵∠A=π4，∠B=π3，∴∠C=5π12，
∴S△AOB=12r2⋅sin(2×5π12)=14r2，
S△AOC=12r2sin2π3= 34r2，
S△COB=12r2sinπ2=12r2，
∴μ：λ：(1−λ−μ)=14r2： 34r2：12r2=1： 3：2，
设μ=k，λ= 3k，1−λ−μ=2k，
则1−k− 3k=2k，∴k=3− 36，
∴λ+μ=3− 36+ 3(3− 3)6= 33．
故答案为： 33．
利用平面向量的线性运算，再结合S△AOB：S△AOC：S△COB=z：y：z，得到S△AOB：S△AOC：S△COB=μ：λ：(1−λ−μ)，再利用三角形的面积公式得到μ：λ：(1−λ−μ)=1： 3：2，设μ=k，λ= 3k，1−λ−μ=2k，求出k即可．
本题考查类比推理的运用，考查三角形面积的求法，属于中档题．
15.【答案】解：(1)f(α)=(−csα)sinαtan2αcs(π2−α)sin(π+α)=(−csα)sinαtan2αsinα(−sinα)=tanα．
(2)由f(α)=2，结合(1)得tanα=2，
所以sin2α−3sinαcsαsin2α+cs2α=tan2α−3tanαtan2α+1=4−64+1=−25．
【解析】(1)由题意，直接通过诱导公式化简即可．
(2)由题意，通过二次齐次式的化简即可得结果．
本题主要考查诱导公式、同角三角函数的基本关系，属于基础题．
16.【答案】解：(1)∵|a|=4，|b|=3，(2a−3b)⋅(2a−b)=43，
∴4a2−8a⋅b+3b2=43，即64−8a⋅b+27=43，得a⋅b=6．
∴csθ=a⋅b|a||b|=64×3=12，
又θ∈[0,π]，∴θ=π3；
(2)|a−2b|= (a−2b)2= a2−4a⋅b+4b2= 16−24+36=2 7；
(3)由(a+b)⊥(a+λb)，得(a+b)⋅(a+λb)=a2+(λ+1)a⋅b+λb2=0，
即16+6(λ+1)+9λ=0，即λ=−2215．
【解析】(1)把向量等式左边展开，结合已知即可求得a⋅b，再由数量积求夹角公式求解；
(2)利用|a−2b|= (a−2b)2，展开后代入数量积得答案；
(3)由向量垂直与数量积的关系列式求解．
本题考查平面向量数量积的性质及运算，考查运算求解能力，是中档题．
17.【答案】解：(1)因为(2a+c)csB+bcsC=0，
所以由正弦定理边角互化得2sinAcsB+sinCcsB+sinBcsC=0，
因为sinCcsB+sinBcsC=sin(C+B)=sinA，
所以2sinAcsB+sinA=0，
因为A∈(0,π)，sinA≠0，
所以csB=−12，
因为B∈(0,π)，
所以B=2π3．
(2)因为M是AC的中点，
所以BM=12(BC+BA)，
所以BM2=14(BC2+BA2+2BC⋅BA)=14(a2+c2+2a⋅ccsB)，
因为BM= 142,a=2 2，
所以72=14(8+c2−2 2c)，即c2−2 2c−6=0，解得c=3 2，c=− 2(舍)，
所以S△ABC=12acsinB= 34×2 2×3 2=3 3．
【解析】(1)根据正弦定理边化角，结合和正弦和角公式得csB=−12，进而求得答案；
(2)根据题意得BM=12(BC+BA)，进而得c2−2 2c−6=0，解方程得c=3 2，再求面积即可．
本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．
18.【答案】解：(1)f(x)=12cs4x+ 3sinxcsx−12sin4x+m，
=12(cs2x+sin2x)(cs2x−sin2x)+ 32sin2x+m=12(cs2x−sin2x)+ 32sin2x+m，
=12cs2x+ 32sin2x+m=sin(2x+π6)+m．
当sin(2x+π6)=1时，函数f(x)取到最大值32，
所以1+m=32，即m=12，
令2x+π6=2kπ+π2,k∈Z，得x=kπ+π6,k∈Z，
所以当函数f(x)取到最大值时x的集合为{x|x=kπ+π6,k∈Z}；
(2)由(1)得f(x)=sin(2x+π6)+12，
所以令2kπ−π2≤2x+π6≤2kπ+π2,k∈Z，
得kπ−π3≤x≤kπ+π6,k∈Z，
所以函数f(x)的单调递增区间为[kπ−π3,kπ+π6](k∈Z)．
【解析】本题主要考查了二倍角公式，辅助角公式在三角化简中的应用，还考查了正弦函数性质的应用，属于中档题．
(1)利用二倍角公式、辅助角公式化简可得f(x)=sin(2x+π6)+m，结合正弦函数的性质可得m的值，然后根据正弦函数的最值取得条件可得x的值；
(2)令2kπ−π2≤2x+π6≤2kπ+π2,k∈Z，进而解出x，即可求解．
19.【答案】解：(1)要使f(x)=lg2(1x+ax+a−3)(a≥0)有意义，则1x+ax+a−3>0，
∵a=0，即1x−3>0，解得0所以x的取值范围为{x|0(2)f(x)在x>0时都有意义，即1x+ax+a−3>0在x>0时恒成立，
即ax2+(a−3)x+1>0在x>0时恒成立，
即a>3x−1x2+x=3x−1x21+1x在x>0时恒成立，只需a>g(x)max即可，
令g(x)=3x−1x21+1x，x>0，
令t=1x>0，h(t)=3t−t21+t=−(t+1)−4t+1+5，
∵t>0，(t+1)+4t+1≥2 (t+1)⋅4t+1=4，
当且仅当t+1=4t+1，且t>0，即t=1时等号成立，
∴h(t)=−(t+1)−4t+1+5=−(t+1+4t+1)+5≤−4+5=1，
∴g(x)≤1，即g(x)最大值为1，
∴a>1，即实数a的取值范围是(1,+∞)．
(3)由已知，f(x)=lg2(2x+a−3)+1=lg2(4x+2a−6)有且仅有一个解，
即lg2(4x+2a−6)=lg2(1x+ax+a−3)有且仅有一个解，
即4x+2a−6=1x+ax+a−3有且仅有一个解，
显然x≠0，则(a−4)x2−(a−3)x+1=0有且仅有一个解，
当a=4时，方程化为−x+1=0，解得x=1满足；
当a≠4时，一元二次方程(a−4)x2−(a−3)x+1=0有且只有一个解，
则Δ=(a−3)2−4(a−4)=a2−10a+25=0，此时a=5，x=1只有一个解．
综上所述，a=4或a=5．
【解析】(1)真数部分大于0，求解不等式即可；
(2)由题意可转化为1x+ax+a−3>0在x>0时恒成立，分离a，可转化为求最值的问题；
(3)方程有且仅有一个解，可转化为(a−4)x2−(a−3)x+1=0有且仅有一个解，讨论a与0的关系即可解出．
本题主要考查函数的零点与方程根的关系，对数函数的性质，不等式的解法，考查分类讨论思想与运算求解能力，属于中档题．