福建省厦门市思明区大同中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试卷

这是一份福建省厦门市思明区大同中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试卷，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列关于防范“新冠肺炎”的标志中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.关于x的一元二次方程的根是( )
A. B. ，
C. D.
3.在一个不透明的袋子中装有3个除颜色外完全相同的小球，其中黑球1个，红球2个，从中随机摸出一个小球，则摸出的小球是黑色的概率是( )
A. B. C. D.
4.将抛物线向上平移2个单位，则得到的抛物线表达式为( )
A. B. C. D.
5.下列函数中，y随x的增大而增大的是( )
A. B. C. D.
6.为响应“坚持绿色低碳，建设一个清洁美丽的世界”的号召，某市今年第一季度进行宣传准备工作，从第二季度开始到今年年底全市全面实现垃圾分类．已知该市一共有285个社区，第二季度已有60个社区实现垃圾分类，第三、四季度实现垃圾分类的社区个数较前一季度平均增长率均为x，则下面所列方程正确的是( )
A. B.
C. D.
7.已知二次函数，若点和在此函数图象上，则与的大小关系是( )
A. B. C. D. 无法确定
8.《九章算术》是我国古代的数学名著，其中“勾股”章有一题，大意是说：已知矩形门的高比宽多6尺，门的对角线长10尺，那么门的高和宽各是多少？如果设门的宽为x尺，根据题意，可列方程( )
A. B.
C. D.
9.判断关于x的方程是常数，的根的情况( )
A. 存在一个k，使得方程只有一个实数根B. 无实数根
C. 一定有两个不相等的实数根D. 一定有两个相等的实数根
10.已知抛物线，抛物线与x轴交于，两点，则m，n，，的大小关系是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.若点与关于原点对称，则______.
12.如图，为等边三角形，D为内一点，经过旋转后到达的位置，则本次旋转的旋转角是______度．
13.抛物线的顶点的坐标是______.
14.某农科所为了了解新玉米种子的出芽情况，在推广前做了五次出芽实验，在相同的培育环境中分别实验，实验具体情况记录如下：
随着实验种子数量的增加，可以估计种子出芽的概率是______.
15.已知是平面直角坐标系中的点，则点P的纵坐标y随横坐标x变化的函数解析式是______.
16.抛物线交x轴于点和点A在点B左侧，抛物线的顶点为D，下列四个结论：①抛物线过点；②；③；④当时，是等腰直角三角形；⑤若抛物线上有两点和，若，且，则其中结论正确的序号是______.
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
17.解方程
四、解答题：本题共8小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.本小题8分
如图，在直角坐标系中，点，，
画出关于原点O对称的
求的面积.
19.本小题8分
已知二次函数
求它的图象的顶点坐标和对称轴；
画出它的图象.并结合图象，当时，则y的取值范围是______.
20.本小题8分
一个不透明的口袋中有四个分别标号为1，2，3，4的完全相同的小球，从中随机摸取两个小球.
请列举出所有可能结果；
求取出的两个小球标号和等于5的概率.
21.本小题8分
某水果公司以2元/千克的成本购进10000千克柑橘，销售人员在销售过程中随机抽取柑橘进行“柑橘损坏率”统计，并绘制成如图所示的统计图，根据统计图提供的信息解决下面问题：
柑橘损坏的概率估计值为______，柑橘完好的概率估计值为______；
估计这批柑橘完好的质量为______千克；
如果公司希望销售这些柑橘能够获得25000元的利润，那么在出售已去掉损坏的柑橘时，每千克柑橘大约定价为多少元比较合适？
22.本小题10分
某商店购进一批单价为16元的日用品，销售一段时间后，为了获得更多利润，商店决定提高销售价格．经试验发现，若按每件20元的价格销售时，每月能卖360件；若按每件25元的价格销售时，每月能卖210件．假定每月销售件数件是价格元/件的一次函数．
试求y与x之间的关系式；
在商品不积压，且不考虑其它因素的条件下，问销售价格定为多少时，才能使每月获得最大利润？每月的最大利润是多少总利润=总收入-总成本？
23.本小题10分
已知：抛物线经过点和
求抛物线的表达式；
设B点关于对称轴的对称点为E，抛物线：与线段EB恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围.
24.
25.本小题14分
抛物线：的顶点A在某一条抛物线上，将抛物线向右平移个单位后，所得抛物线顶点B仍在抛物线上．
求点A的坐标用含a的代数式表示；
求a与b的关系式；
抛物线的顶点为F，其对称轴与x轴的交点为D，点E是抛物线上不同于顶点的任意一点，直线ED交抛物线于另一点M，直线EF交直线l：于点N，求证：直线MN与x轴互相垂直．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2.【答案】B
【解析】解：，
，，
故选：
利用直接开平方法求解即可．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：在一个不透明的袋子中装有3个除颜色外完全相同的小球，其中黑球1个，红球2个，
从中随机摸出一个小球，则摸出的小球是黑色的概率是
故选：
随机事件A的概率事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数，计算即可．
本题考查了用列举法求概率，解题的关键是熟练掌握概率公式，一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为且
4.【答案】D
【解析】[分析]
根据“左加右减，上加下减”的规律解答．
主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．
[详解]
解：将抛物线向上平移2个单位得到的抛物线是
故选
5.【答案】B
【解析】解：A、函数中，，在y随x增大而减小，故本选项不符合题意；
B、函数中，，随x增大而增大，故本选项符合题意；
C、函数中，，对称轴是y轴，当时，y随x增大而增大，故本选项不符合题意；
D、函数中，，对称轴是y轴，当时，y随x增大而增大，故本选项不符合题意；
故选：
根据一次函数、二次函数的性质对各选项进行逐一分析即可．
本题考查一次函数、二次函数的性质，解题关键是掌握函数与方程的关系，函数图象与系数的关系．
6.【答案】D
【解析】解：由题知第三、四季度实现垃圾分类的社区个数较前一季度平均增长率均为x，则第三季度有个社区实现垃圾分类，第四季度有个社区实现垃圾分类，
依题意得：
故选：
由题知第三、四季度实现垃圾分类的社区个数较前一季度平均增长率均为x，则第三季度有个社区实现垃圾分类，第四季度有个社区实现垃圾分类，根据年底全市共285个社区实现垃圾分类，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：点、是二次函数图象上的两点，
，
故选：
利用二次函数图象上点的坐标特征可求出，的值，比较后即可得出结论．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数图象上点的坐标特征求出，的值是解题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：设门的宽为x尺，则门的高为尺，
依题意得：
故选：
设门的宽为x尺，则门的高为尺，利用勾股定理，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及勾股定理的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：，
当时，原方程为，
解得：；
当时，，
原方程有两个不相等的实数根，
故选：
当时，可求出方程的根；时，利用，即可判断原方程有实数根．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
10.【答案】A
【解析】解：设，则、是函数和x轴的交点的横坐标，
而，
即函数向上平移1个单位得到函数y，
则两个函数的图象如下图所示省略了y轴，
从图象看，，
故选
设，而，即函数向上平移1个单位得到函数y，通过画出函数大致图象即可求解．
本题考查函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质．
11.【答案】4
【解析】解：点与关于原点对称，
故答案为：
根据关于原点对称的两点的横、纵坐标都是互为相反数解答．
本题考查了关于原点对称的点的坐标，熟记关于原点对称点两点的横、纵坐标都是互为相反数是解题的关键．
12.【答案】60
【解析】解：是等边三角形，
，
将经过一次逆时针旋转后到的位置，
，
，
，
；
故旋转角度60度，
故答案为：
由旋转的性质可得，即可求，即可求解．
本题考查了旋转的性质：变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变，两组对应点连线的交点是旋转中心．
13.【答案】
【解析】解：是抛物线解析式的顶点式，
根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为
根据顶点式的坐标特点直接写出顶点坐标．
考查顶点式中，顶点坐标是
14.【答案】
【解析】解：，，，，，
可以估计种子出芽的概率是，
故答案为：
根据大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，据此解答可得．
本题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是了解大量重复试验中频率能估计概率，难度不大．
15.【答案】
【解析】解：设，，
，
故答案为：
设，，整理后可得点P所在图象的函数解析式．
本题考查了函数图象上点的坐标特征，图象上的点的坐标满足函数的解析式．
16.【答案】①⑤
【解析】解：①把代入得，，
抛物线过点，
故①正确；
②点和关于抛物线对称轴对称，
，
故②错误；
③m的值为函数与y轴交点的纵坐标，根据题目条件，无法确定交点位置，不能确定m的值，
故③错误；
④当时，抛物线与x轴的两个交点坐标分别为、，
对称轴为，
不是等腰直角三角形，
故④错误；
⑤，
，
在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，
当时
故⑤正确．
故答案为：①⑤．
①把代入解析式，求得函数值即可判断；
②当时，根据抛物线与x轴的两个交点坐标和对称轴即可判断；
③根据m的值为函数与y轴交点的纵坐标进行判断；
④根据根与系数的关系即可判断；
⑤判断出函数对称轴和开口方向，根据二次函数性质即可判断．
本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与x轴的交点、等腰直角三角形，解决本题的关键是综合利用以上知识．
17.【答案】解：，
，
则或，
解得：，；
，
，
则或，
解得：，
【解析】利用因式分解法求解可得；
利用因式分解法求解可得．
本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
18.【答案】解：如图，为所作；
的面积为
【解析】根据关于原点对称的点的坐标特征写出、、的坐标，然后描点即可；
用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算的面积．
本题考查了作图-旋转变换：记住关于原点对称的点的坐标特征是解决问题的关键．
19.【答案】解：
二次函数的图象的顶点坐标为，对称轴为：直线；
二次函数图象如下图：

【解析】解：见答案；
二次函数图象如下图：
当时，则y的取值范围是，
故答案为：
解析式化成顶点式，即可得到结论；
画函数图象，应该明确抛物线的顶点坐标，对称轴，与x轴轴的交点，再根据图象求当时，y的取值范围．
本题主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键．
20.【答案】解：从标号分别为1、2、3、4的完全相同的4个小球中随机摸取两个，所有可能出现的结果如下：
共有12种可能出现的结果，其中取出的两个小球标号和等于5的有4种，
所以取出的两个小球标号和等于5的概率为
【解析】用列表法表示从标号分别为1、2、3、4的完全相同的4个小球中随机摸取两个，所有可能出现的结果即可；
根据概率的定义进行计算即可．
本题考查列表法或树状图法求简单随机事件的概率，列举出所有可能出现的结果是正确解答的关键．
21.【答案】
【解析】解：根据所给的图可得：
柑橘损坏的概率估计值为：，
柑橘完好的概率估计值为；
根据可得：
这批柑橘完好的质量为：千克，
设每千克柑橘大约定价为x元比较合适，根据题意得：
，
解得：，
答：每千克柑橘大约定价为5元比较合适．
故答案为：，，
根据图形即可得出柑橘损坏的概率，再用整体1减去柑橘损坏的概率即可得出柑橘完好的概率；
根据所得出柑橘完好的概率乘以这批柑橘的总质量即可；
先设出每千克柑橘大约定价为x元比较合适，根据题意列出方程即可求出答案．
此题考查了利用频率估计概率，解题的关键是在图中得到必要的信息，求出柑橘损坏的概率；用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．
22.【答案】解：依题意设，则有
解得
每月获得利润
在范围内，当时，P有最大值，最大值为
答：当价格为24元时，才能使每月获得最大利润，最大利润为1920元．
【解析】本题主要考查了根据实际问题列函数关系式的能力．读懂题意准确地列出式子是解题的关键，要熟练地运用待定系数法求函数关系式，并会利用二次函数的最值问题求实际问题的最大利润．
先根据题意设，分别把对应的，；，代入利用待定系数法求解即可；
根据“总利润=总收入-总成本”列出关于每月获得利润P与x之间的函数关系式，整理得出二次函数，求其最大值即可．
23.【答案】解：把和分别代入，
得：，解得：，
抛物线的表达式为：
顶点坐标为
对称轴为直线，
，
点关于对称轴的对称点E点坐标为，
当过E点时，代入，则，
当过B点时，代入，则，
所以a的取值范围为
【解析】根据待定系数法求得即可；
由于轴，把B、E两点坐标代入可计算出对应的a的值，然后根据抛物线：与线段BE恰有一个公共点可确定a的范围．
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了二次函数的性质．
24.【答案】

【解析】
25.【答案】解：，
顶点A的坐标为；
顶点在抛物线上，
令，则抛物线的解析式为：：，
将抛物线向右平移个单位，
所得抛物线顶点B的坐标为，
点B仍在抛物线上，
整理得，
即，
又，
；
证明：抛物线：①的顶点式为，
顶点为，对称轴为，
抛物线的对称轴与x轴的交点D的坐标为，
又点E是抛物线上不同于顶点F的任意一点，
设点E的坐标为，其中，
把，代入，得：
，
解得：，
直线ED解析式为②，
联立①②，整理得，
解得或，
点E与点M不重合，
点M的横坐标为，
，，
直线EF解析式为，
直线EF与直线的交点为N，
点N横坐标为，
点M的横坐标与点N横坐标相同，
直线MN与x轴互相垂直．
【解析】配方即可得顶点坐标；
由得抛物线的解析式为：，再由点B仍在抛物线上得整理得，求出a与b的关系即可；
先求出，设，求出直线DE的解析式，再将抛物线与直线DE联立，求出点M的横坐标为，再由直线EF与直线的交点为N，求出点N横坐标为，即可证明直线MN与x轴互相垂直．
本题主要考查了二次函数的性质、平移规律、二次函数上点的坐标特点、求抛物线与直线的交点，解决本题的关键是明白：直线MN与x轴互相垂直，只要点M的横坐标与点N横坐标相同即可．种子数量
100
300
500
1000
3000
出芽数量
99
282
480
980
2910