甘肃省武威市天祝县2023-2024学年九年级下学期期中数学试卷

这是一份甘肃省武威市天祝县2023-2024学年九年级下学期期中数学试卷，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.实数的相反数是( )
A. B. C. D. 5
2.全国脱贫攻坚总结表彰大会于2021年2月25日上午在北京人民大会堂隆重举行.我国脱贫攻坚战取得了全面胜利，现行标准下9899万农村贫困人口全部脱贫.数据“9899万”用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
3.已知点在第二象限，则a的取值范围是( )
A. B. C. D.
4.下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
5.如图是由大小相同的正方体搭成的几何体，将小正方体①去掉后，下列说法正确的是( )
A. 主视图不变
B. 俯视图不变
C. 左视图不变
D. 三种视图都不变
6.如图，，点O在直线上，且，若，则的度数为( )
A. B. C. D.
7.如图，四边形ABCD是的内接四边形，它的一个外角，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
8.如图，中，，，P为AB边上的一动点，以PA，PC为边作平行四边形PAQC，则线段AQ长度的最小值为( )
A. 6
B. 8
C.
D.
9.某品牌服装店在元旦举行促销活动，一次同时售出两件裤子，每件售价都是150元，若按成本计算，其中一件盈利，另一件亏损，则这家商店在这次销售过程中( )
A. 亏损为20元B. 盈利为20元C. 亏损为18元D. 不亏不盈
10.如图，在矩形ABCD中，，，一个三角形的直角顶点E是边AB上的一动点，一直角边过点D，另一直角边与BC交于F，若，，则y关于x的函数关系的图象大致为( )
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.因式分解：______.
12.函数中自变量x的取值范围是______.
13.关于x的一元二次方程的根的情况是______.
14.如图，围棋棋盘放在某平面直角坐标系内，已知黑棋甲的坐标为，黑棋乙的坐标为，则白棋甲的坐标是______.
15.一个不透明的布袋里装有2个白球，1个黑球和若干个红球，它们除颜色外其余都相同，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于，由此可估计袋中约有红球______个.
16.如图，从一块直径为1m的圆形铁皮上剪出一个圆周角为的扇形ABC，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面圆的半径为______
17.如图，在矩形ABCD中，，，点P为边AB上任意一点，过点P作，，垂足分别为E、F，则______.
18.小明应用计算机设计了一个计算程序，输入和输出的数据如表：
当输入数据是9时，输出的数据是______.
三、解答题：本题共10小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题4分
计算：
20.本小题4分
先化简，再求值：，其中
21.本小题6分
如图，已知
请用不带刻度的直尺和圆规在AC边上作一点D，使；保留作图痕迹，不写作法
在的条件下，若，，求证：
22.本小题6分
如图，某小区一高层住宅楼AB高60米，附近街心花园内有一座古塔CD，小明在楼底B处测得塔顶仰角为，到楼顶A处测得塔顶仰角为，求住宅楼与古塔之间的距离BD的长参考数据：，，，，，
23.本小题6分
如图，有四张背面相同的卡片A、B、C、D，卡片的正面分别印有正三角形、平行四边形、圆、正五边形这些卡片除图案不同外，其余均相同把这四张卡片背面向上洗匀后，进行下列操作：
若任意抽取其中一张卡片，抽到的卡片既是中心对称图形又是轴对称图形的概率是______；
若任意抽出一张不放回，然后再从余下的抽出一张．请用树状图或列表表示摸出的两张卡片所有可能的结果，求抽出的两张卡片的图形是中心对称图形的概率．
24.本小题7分
某校体育组以“我最喜爱的体育项目”为主题对全校学生进行随机抽样调查，调查的运动项目有：篮球、羽毛球，乒乓球、跳绳及其他项目每位同学仅选一项根据调查数据绘制了两幅不完整的统计图.
根据统计图提供的信息，解答下列问题：
本次共调查了______名学生；
请根据以上信息直接补全条形统计图；
扇形统计图中的m的值是______，乒乓球所对应的扇形的圆心角的度数是______；
若该校有1200名学生，根据抽样调查的结果.请估计该校有多少名学生最喜爱乒乓球项目.
25.本小题7分
如图，直线的图象与双曲线的图象交于，两点.
求反比例函数和一次函数的解析式；
根据图象直接写出一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围；
求的面积.
26.本小题8分
如图，AD是的直径，AB为的弦，，OP与AB的延长线交于点P，过B点的直线交OP于点C，且
求证：BC为的切线；
若，，则线段BP的长为______.
27.本小题8分
如图，过正方形ABCD的顶点A作，将绕点A旋转，AP交射线CB交于点E，AQ交射线CD交于点F，连接EF，M为EF的中点，连接
求证：；
若，，直接写出BM的长.
28.本小题10分
如图，对称轴为直线的二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，B点的坐标为
求此二次函数的解析式；
在直线上找一点P，使的周长最小，并求出点P的坐标；
若在第二象限内且横坐标为t的点Q在此二次函数的图象上，则当t为何值时，四边形AQCB的面积最大？最大面积是多少？
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：实数的相反数是：
故选：
直接利用相反数的定义得出答案．
此题主要考查了相反数，正确掌握相反数的定义是解题关键．
2.【答案】B
【解析】解：9899万万，
故选：
科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3.【答案】A
【解析】解：点在第二象限，
，
解得，
故选：
先根据第二象限内点的坐标符号特点列出关于a的不等式组，再求解即可．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：A、，故原式计算不正确；
B、，故原式计算不正确；
C、，此两项不是同类项，不能合并，故不正确；
D、，正确．
故选：
A、根据同底数幂的法则计算即可；B、根据积的乘方与幂的乘方运算法则计算即可；C、根据合并同类项法则判断；D、利用平方差公式计算即可．
此题考查的是整式的运算，掌握其运算公式及法则是解决此题关键．
5.【答案】C
【解析】解：将小正方体①去掉后，主视图的底层由原来的三个小正方形变为两个小正方形，故主视图发生变化；
将小正方体①去掉后，俯视图的上层由原来的两个小正方形变为一个小正方形，故俯视图发生变化；
将小正方体①去掉后，左视图不变，底层是两个小正方形，上层的右边是一个小正方形．
故选：
利用组合体的形状，结合三视图可得出左视图没有发生变化．
此题主要考查了简单组合体的三视图，根据题意正确掌握三视图的观察角度是解题关键．
6.【答案】C
【解析】解：，
，
，
，
，
故选：
根据对顶角的性质得出，再根据三角形内角和定理求出，然后根据平行线的性质即可得出的度数．
本题考查了平行线的性质以及三角形内角和定理，牢记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：是圆内接四边形ABCD的一个外角，，
，
由圆周角定理得，，
故选：
根据圆内接四边形的性质求出，再根据圆周角定理计算，得到答案．
本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：四边形PAQC是平行四边形，
，
要求AQ的最小值，只要求PC的最小值即可，
，，
当时，CP取得最小值，此时，
故选：
根据平行四边形的性质，垂线段最短，可以得到当时，CP取得最小值，此时CP的值就是AQ的最小值，从而可以解答本题．
本题考查平行四边形的性质、等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
9.【答案】A
【解析】解：设盈利的那件上衣的成本价为x元，亏损的那件上衣的成本为y元，
依题意，得：，，
解得：，，
则元
故这家商店在这次销售过程中亏损为20元．
故选：
设盈利的那件上衣的成本价为x元，亏损的那件上衣的成本为y元，根据利润=售价-成本价，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值，再将其代入中，即可求出结论．
本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查的是函数的关系式，矩形的性质，动点函数的图象，勾股定理的有关知识，由于直角边DE始终经过点D，为直角三角形，运用勾股定理列出y与x之间的函数关系式即可．
根据为直角三角形，运用勾股定理列出y与x之间的函数关系式即可判断．
【解答】
解：如图，连接DF，
设，，
则，
，
；
为直角三角形，
，
即，
解得，
根据函数关系式可看出A中的函数图象与之对应．
故选：
11.【答案】
【解析】解：原式，
故答案为：
先提公因式，再利用平方差公式进行因式分解．
本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握平方差公式的结构特征是正确因式分解的前提．
12.【答案】
【解析】解：由题意得，，
解得，，
故答案为：
根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是函数的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数、分式分母不为0是解题的关键．
13.【答案】有两个不相等的实数根
【解析】解：
，
，即，
方程总有两个不相等的实数根．
故答案为：有两个不相等的实数根．
先计算判别式，再进行配方得到，然后根据非负数的性质得到，再利用判别式的意义即可得到方程总有两个不相等的实数根．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：①当时，方程有两个不相等的实数根；②当时，方程有两个相等的实数根；③当时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了坐标确定位置：平面内的点与有序实数对一一对应；记住平面内特殊位置的点的坐标特征.
先利用两个黑棋的坐标画出直角坐标系，然后可写出白棋甲的坐标.
【解答】
解：如图，根据题意画出直角坐标系，
则白棋甲的坐标是
故答案为
15.【答案】3
【解析】解：通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于，
可估计摸到红球的概率约为，
设袋中红球的个数为x，
根据题意，得：，
解得，
经检验：是分式方程的解，
所以可估计袋中约有红球3个，
故答案为：
先根据摸到红球的频率稳定于可估计摸到红球的概率约为，再设袋中红球的个数为x，根据概率公式列出关于x的方程，解之得出答案．
此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
16.【答案】
【解析】解：连接BC，如图，
，
为的直径，即，
，
设该圆锥的底面圆的半径为r，
根据题意得，解得，
即该圆锥的底面圆的半径为
故答案为
连接BC，如图，根据圆周角定理得BC为的直径，即，所以，设该圆锥的底面圆的半径为r，根据弧长公式得到，然后解方程即可．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
17.【答案】
【解析】解：连接OP，如图：
四边形ABCD是矩形，
，，，，
，，
，，，
，
；
故答案为：
连接由勾股定理得出，可求得，由矩形的性质得出，，，由求得答案．
此题考查了矩形的性质、勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
18.【答案】
【解析】解：由表格中的数据可得，
当输入x时，输出的结果为，
当时，输出的结果为，
故答案为：
根据表格中的数据，可以发现输入数据与输出数据的特点，从而可以写出当输入数据是9时，输出的数据．
本题考查数字的变化类、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，写出相应的输出数据．
19.【答案】解：原式

【解析】直接利用零指数幂的性质、绝对值的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案．
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
20.【答案】解：
，
当时，原式
【解析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将a的值代入化简后的式子即可解答本题．
本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
21.【答案】解：如图，点D即为所求作．
垂直平分线段BC，
，
，，
，
，

【解析】作线段BC的垂直平分线EF交AC于D，连接BD，点D即为所求作．
两条勾股定理的逆定理判断即可．
本题考查作图-复杂作图，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
22.【答案】解：过点A作于点
由题意可知：，，米，
设大楼与塔之间的距离BD的长为x米，
则
在中，，
，
在中，，
，
即米．
答：楼与塔之间的距离BD的长为150米．
【解析】过点A作于点E，由题意可知：，，米，设大楼与塔之间的距离BD的长为x米，则，分别在中和中，用x表示出CD和，利用得到有关x的方程求得x的值即可．
本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解答此题的关键是作出辅助线，构造出直角三角形，利用直角三角形的性质进行解答．
23.【答案】
【解析】解：正三角形、平行四边形、圆、正五边形中只有圆既是中心对称图形又是轴对称图形，
抽到的卡片既是中心对称图形又是轴对称图形的概率是；
根据题意画出树状图如下：
一共有12种情况，抽出的两张卡片的图形是中心对称图形的是B、C共有2种情况，
所以，抽出的两张卡片的图形是中心对称图形
既是中心对称图形又是轴对称图形只有圆一个图形，然后根据概率的意义解答即可；
画出树状图，然后根据概率公式列式计算即可得解．
本题考查了列表法和树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
24.【答案】120 30 72
【解析】解：本次调查的学生总人数为名，
故答案为：120；
“其他”人数为人，
“乒乓球”人数为人，
补全图形如下：
篮球对应的百分比，即，
乒乓球所对应的扇形的圆心角的度数是，
故答案为：30、72；
估计该校最喜爱乒乓球项目的学生人数为名
由跳绳人数及其所占百分比可得总人数；
总人数乘以“其他”对应的百分比即可求出其人数，再根据各项目人数之和等于总人数求出乒乓球人数，从而补全图形；
用篮球人数除以总人数可得m的值，再用乘以乒乓球人数所占比例即可；
总人数乘以样本中最喜爱乒乓球人数所占比例即可．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
25.【答案】解：在反比例函数的图象上，
，
反比例函数解析式为，
在反比例函数上，
，
的坐标，
把，代入，得，
一次函数的解析式为；
由图像上交点坐标知：当或时，一次函数的值小于反比例函数的值；
由可知直线和y轴交点为，

【解析】根据，可得m的值，进而得到n的值，再根据待定系数法，即可得出一次函数解析式；
根据图象即可求得；
求得直线与y轴的交点C，然后根据求得即可．
本题主要考查了一次函数与反比例函数交点问题，解题时注意：一次函数与反比例函数交点坐标同时满足一次函数与反比例函数解析式，数形结合是解题的关键．
26.【答案】
【解析】 证明：连接OB，如图，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的切线；
解：，
，
，
，
，
，
，
∽，
，即，
解得：，
故答案为：
连接OB，如图，根据圆周角定理得到，再根据等腰三角形的性质和已知条件证出，即可得出结论；
证明∽，然后利用相似比求BP的长．
本题考查了切线的判定和性质、圆周角定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握圆周角定理和切线的判定是解题的关键．
27.【答案】证明：四边形ABCD是正方形，
，，，
又，
，
，，
，
≌，
；
解：分两种情况：①当AQ交线段CD于点F时，过F作交BC于G，如图1所示：
则，
为EF中点，
，
，
≌，
，
，
四边形ABCD是正方形，
，
，
，
，，
，
，
；
②当AQ交线段CD的延长线于点F时，如图2，
同得：≌，
，
四边形ABCD是正方形，
，
，
，
，，
，
，
，；
综上所述，BM的长为或
【解析】证≌，即可得出结论；
分两种情况：①当AQ交线段CD于点F时，②当AQ交线段CD的延长线于点F时，由全等三角形的性质结合的结论求解即可．
本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质，正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理、平行线分线段成比例定理、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识是解题的关键．
28.【答案】解：抛物线的对称轴是直线且过点，
，解得，
此二次函数的解析式为
如图1，连接AC交直线于点P，连接PB，
点A与点B关于直线对称，
，
此时最小，的周长也最小．
设直线AC的解析式为，
，
，解得，
，
当时，，
如图2，过点Q作轴于点F，交AC于点E，
则，，
，
，
当时，有最大值，最大值为

【解析】先求点C的坐标，再将点B、点C的坐标代入二次函数的解析式，求出待定系数b、c的值；
根据轴对称的性质，先画出点P的位置，再通过求直线AC的关系式求点P的坐标；
四边形AQCB的面积由和两部分组成，其中的面积为定值，可知需要把的面积用含t的代数式表示出来，再根据二次函数的性质求四边形AQCB面积的最大值．
此题考查二次函数的图象和性质，根据轴对称找到特殊点及作与坐标轴垂直的直线以表示四边形的面积等方法的灵活运用是解题的关键．输入
1
2
3
4
5
…
输出
…