湖北省武汉市武昌区拼搏联盟2023-2024学年八年级下学期期中数学试卷

这是一份湖北省武汉市武昌区拼搏联盟2023-2024学年八年级下学期期中数学试卷，共30页。试卷主要包含了选择题，二生四，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）式子在实数范围内有意义，则a的取值范围是（ ）
A．a≥2B．a＜2C．a＞﹣2D．a≥﹣2
2．（3分）下列各式计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
4．（3分）以下由线段a、b、c组成的三角形中，不是直角三角形的是（ ）
A．a＝1，b＝2，B．a＝5，b＝12，c＝13
C．，b＝1，D．a＝3，，
5．（3分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB∥DC，AD＝BCB．AB∥DC，AD∥BC
C．AB＝DC，AD＝BCD．OA＝OC，OB＝OD
6．（3分）我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设芦苇的长度是x尺．根据题意，可列方程为（ ）
A．x2+102＝（x+1）2B．（x﹣1）2+52＝x2
C．x2+52＝（x+1）2D．（x﹣1）2+102＝x2
7．（3分）数学课上，大家一起探究三角形中位线定理的证明方法．
已知：D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，求证：DE∥BC，且．
嘉嘉和淇淇各自尝试作了一种辅助线，如图1，2．其中辅助线作法能够用来证明三角形中位线定理的是（ ）
A．嘉嘉的辅助线作法不可以，淇淇的可以
B．嘉嘉的辅助线作法可以，淇淇的不可以
C．嘉嘉和淇淇的辅助线作法都不可以
D．嘉嘉和淇淇的辅助线作法都可以
8．（3分）如图，在▱ABCD中，AB＝2，BC＝3．以点C为圆心，适当长为半径画弧，交BC于点P，交CD于点Q，再分别以点P，Q为圆心，大于PQ的长为半径画弧，两弧相交于点N，射线CN交BA的延长线于点E，则AE的长是（ ）
A．B．1C．D．
9．（3分）如图①叫做一个基本的“勾股树”，也叫做第一代勾股树．让图①中两个小正方形各自长出一个新的勾股树（如图②），叫做第二代勾股树．从第二代勾股树出发，又可以长出第三代勾股树（如图③）．这样一生二、二生四、四生八，继续生长下去，则第五代勾股树图形中正方形的个数为（ ）
A．31B．51C．53D．63
10．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P为AB边上一动点（不与点A，B重合），PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，若AC＝8，BD＝6，则EF的最小值为（ ）
A．3B．2C．D．
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）计算：＝ ．
12．（3分）如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，AB＝6，则CD的长度是 ．
13．（3分）请写出一个正整数m的值使得是整数，则m＝ ．
14．（3分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F分别是线段AO、BO的中点，若AC+BD＝24cm，△OAB的周长是18cm，则EF＝ cm．
15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为（10，0），（0，4），点D是OA的中点，点P在BC边上运动，点Q是坐标平面内的任意一点．若以O，D，P，Q为顶点的四边形是边长为5的菱形时，则点Q的坐标为 ．
16．（3分）如图，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上一点，且CD＝DE，连结BE，分别交AC，AD于点F、G，连结OG，则下列结论：①OG＝AB；②S四边形ODGF＞S△ABF；③由点A、B、D、E构成的四边形是菱形；④S△ACD＝4S△BOG；其中正确的结论是 ．（请填写正确的序号）
三、解答题（共8个小题，共72分）
17．（8分）计算：
（1）；
（2）．
18．（8分）已知a＝3+2，b＝3﹣2，分别求下列代数式的值：
（1）a2﹣b2；
（2）a2﹣3ab+b2．
19．（8分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E、F在BD上，AE∥CF，且AE＝CF．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
20．（8分）如图是由小正方形组成的6×6网格，每个边长为1的小正方形的顶点叫做格点，图中A，B，C，D都是格点，E是AB上一点，M是AB与网格线的交点，仅用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，画图过程用虚线，结果用实线表示．
（1）直接写出正方形的边长＝ ；
（2）在图1中，在线段CD上找点F使得CF＝AE；
（3）在图1中，在线段AD上找点Q使得AQ＝AE；
（4）在图2中，在BC边上画点H，连接DH，MH，使得∠ADH＝∠DHM．
21．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，过点A作AE∥BC，且AE＝BD，连接BE，交AD于点F，连接CE．
（1）求证：四边形ADCE为矩形；
（2）若CE＝6，求AF的长．
22．（10分）2023年7月五号台风“杜苏芮”登陆，使我国很多地区受到严重影响．据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径250km（即以台风中心为圆心，250km为半径的圆形区域都会受台风影响）．如图，线段BC是台风中心从C市移动到B市的大致路线，A是某个大型农场，且AB⊥AC．若A，C之间相距300km，A，B之间相距400km．
（1）判断农场A是否会受到台风的影响，请说明理由；
（2）若台风中心的移动速度为20km/h，则台风影响该农场持续时间有多长？
23．（10分）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边△APE，连接CE．
（1）如图1，当点E在边AD上时，填空：
①BP与CE的数量关系是 ，
②CE与AD的位置关系是 ；
（2）如图2，当点E在菱形ABCD外部时，（1）中的结论是否仍成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由．
（3）如图3，在点P的移动过程中，连接AC，DE，若，PD＝1，请直接写出四边形ACDE的面积．
24．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，矩形AOCD的顶点A（0，2），C（2，0）．
（1）求点D到直线AC的距离；
（2）如图2，∠AOC的角平分线交AD于点B，交CD的延长线于点E，F为BE的中点，连接CF，求∠ACF的大小；
（3）如图3，M，N分别是边CD和对角线AC上的动点，且AN＝CM，则OM+ON的最小值＝ ．（直接写出结果）
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）式子在实数范围内有意义，则a的取值范围是（ ）
A．a≥2B．a＜2C．a＞﹣2D．a≥﹣2
【解答】解：由题意可知：a+2≥0，
∴a≥﹣2，
故选：D．
2．（3分）下列各式计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：A． 与不能合并，所以A选项不符合题意；
B．5﹣2＝3，所以B选项符合题意；
C． ×＝＝2，所以C选项不符合题意；
D． ÷＝＝，所以D选项不符合题意．
故选：B．
3．（3分）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：A、是最简二次根式，故符合题意；
B、，不是最简二次根式，不符合题意；
C、＝，不是最简二次根式，不符合题意；
D、＝，不是最简二次根式，不符合题意；
故选：A．
4．（3分）以下由线段a、b、c组成的三角形中，不是直角三角形的是（ ）
A．a＝1，b＝2，B．a＝5，b＝12，c＝13
C．，b＝1，D．a＝3，，
【解答】解：A、，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形，此选项不符合题意；
B、52+122＝132，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形，此选项不符合题意；
C、，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形，此选项不符合题意；
D、，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形，此选项符合题意；
故选：D．
5．（3分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB∥DC，AD＝BCB．AB∥DC，AD∥BC
C．AB＝DC，AD＝BCD．OA＝OC，OB＝OD
【解答】解：A、“一组对边平行，另一组对边相等”是四边形也可能是等腰梯形，故本选项符合题意；
B、根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不符合题意；
C、根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不符合题意；
D、根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不符合题意；
故选：A．
6．（3分）我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设芦苇的长度是x尺．根据题意，可列方程为（ ）
A．x2+102＝（x+1）2B．（x﹣1）2+52＝x2
C．x2+52＝（x+1）2D．（x﹣1）2+102＝x2
【解答】解：设芦苇长x尺，由题意得：
（x﹣1）2+52＝x2，
故选：B．
7．（3分）数学课上，大家一起探究三角形中位线定理的证明方法．
已知：D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，求证：DE∥BC，且．
嘉嘉和淇淇各自尝试作了一种辅助线，如图1，2．其中辅助线作法能够用来证明三角形中位线定理的是（ ）
A．嘉嘉的辅助线作法不可以，淇淇的可以
B．嘉嘉的辅助线作法可以，淇淇的不可以
C．嘉嘉和淇淇的辅助线作法都不可以
D．嘉嘉和淇淇的辅助线作法都可以
【解答】解：嘉嘉的作法：∵AE＝EC，DE＝EF，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∴AD＝CF，AD∥CF，
∵AD＝BD，
∴BD＝CF，BD∥CF，
∴四边形DBCF是平行四边形，
∴DF∥BC，DF＝BC，
∴DE∥BC，DE＝DF＝BC；
淇淇的作法：∵AF∥BC，
∴∠EAF＝∠C，∠F＝∠CGF，
在△AEF和△CEG中，
，
∴△AEF≌△CEG（AAS），
∴AF＝CG，EF＝EG，
∵AF∥BG，AB∥FG，
∴四边形ABGF是平行四边形，
∴AB＝FG，
∵BD＝AB，GE＝FG，
∴BD＝EG，AF＝BG，
∵BD∥EG，
∴四边形DBGE是平行四边形，
∴DE∥BG，DE＝BG＝AF＝CG，
∴DE∥BC，DE＝BC，
∴嘉嘉和淇淇的辅助线作法都可以，
故选：D．
8．（3分）如图，在▱ABCD中，AB＝2，BC＝3．以点C为圆心，适当长为半径画弧，交BC于点P，交CD于点Q，再分别以点P，Q为圆心，大于PQ的长为半径画弧，两弧相交于点N，射线CN交BA的延长线于点E，则AE的长是（ ）
A．B．1C．D．
【解答】解：∵由题意可知CE是∠BCD的平分线，
∴∠BCE＝∠DCE．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠DCE＝∠E，∴∠BCE＝∠AEC，
∴BE＝BC＝3，
∵AB＝2，
∴AE＝BE﹣AB＝1，
故选：B．
9．（3分）如图①叫做一个基本的“勾股树”，也叫做第一代勾股树．让图①中两个小正方形各自长出一个新的勾股树（如图②），叫做第二代勾股树．从第二代勾股树出发，又可以长出第三代勾股树（如图③）．这样一生二、二生四、四生八，继续生长下去，则第五代勾股树图形中正方形的个数为（ ）
A．31B．51C．53D．63
【解答】解：∵第一代勾股树中正方形有1+2＝3（个），
第二代勾股树中正方形有1+2+22＝7（个），
第三代勾股树中正方形有1+2+22+23＝15（个），
∴第四代勾股树图形中正方形的个数有1+2+22+23+24＝31（个）；
∴第五代勾股树图形中正方形的个数有1+2+22+23+24+25＝63（个）；
故选：D．
10．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P为AB边上一动点（不与点A，B重合），PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，若AC＝8，BD＝6，则EF的最小值为（ ）
A．3B．2C．D．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝×8＝4，OB＝OD＝BD＝×6＝3，
在Rt△AOB中，AB＝＝＝5，
如图所示，连接OP，
∵PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，
∴四边形OEPF是矩形，
∴EF＝OP，
当OP⊥AB时，OP的值最小，即EF的值最小，
∵S△AOB＝OA•OB＝AB•OP，
∴OP＝＝＝，
∴EF的最小值为，
故选：C．
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）计算：＝ 8 ．
【解答】解：原式＝|﹣8|
＝8．
故答案为：8．
12．（3分）如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，AB＝6，则CD的长度是 3 ．
【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，
∴CD＝AB＝3，
故答案为：3．
13．（3分）请写出一个正整数m的值使得是整数，则m＝ 6（答案不唯一） ．
【解答】解：∵，
∴当m＝6时，，符合题意，
故答案为：6（答案不唯一）．
14．（3分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F分别是线段AO、BO的中点，若AC+BD＝24cm，△OAB的周长是18cm，则EF＝ 3 cm．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
又∵AC+BD＝24cm，
∴OA+OB＝12cm，
∵△OAB的周长＝OA+OB+AB＝18cm，
∴AB＝18﹣12＝6（cm），
∵点E，F分别是线段AO，BO的中点，
∴EF是△OAB的中位线，
∴EF＝AB＝3cm．
故答案为：3．
15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为（10，0），（0，4），点D是OA的中点，点P在BC边上运动，点Q是坐标平面内的任意一点．若以O，D，P，Q为顶点的四边形是边长为5的菱形时，则点Q的坐标为 （﹣3，4）或（8，4）或（3，4） ．
【解答】解：∵A（10，0），C（0，4），
∴OC＝AB＝4，BC＝OA＝10，
∵点D是OA的中点，
∴OD＝5，
①如图1所示，以OP为对角线，点P在点D的左侧时，PD＝OD＝5，
过点P作PE⊥x轴于点E，则PE＝OC＝4．
在Rt△PDE中，由勾股定理得：，
∴OE＝OD﹣DE＝5﹣3＝2，
∴点P的坐标为（2，4），
此时，点Q的坐标为（﹣3，4）；
②如图2所示，以OQ为对角线，点P在点D的左侧时，OP＝OD＝5．
过点P作PE⊥x轴于点E，则PE＝4．
在Rt△POE中，由勾股定理得：，
∴点P的坐标为（3，4），
此时，点Q的坐标为（8，4）；
③如图3所示，以OP为对角线，点P在点D的右侧时，PD＝OD＝5，
过点P作PE⊥x轴于点E，则PE＝4．
在Rt△PDE中，由勾股定理得：，
∴OE＝OD+DE＝5+3＝8，
∴点P的坐标为（8，4），
此时，点Q的坐标为（3，4）；
综上所述，点Q的坐标为（﹣3，4）或（8，4）或（3，4）；
故答案为：（﹣3，4）或（8，4）或（3，4）．
16．（3分）如图，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上一点，且CD＝DE，连结BE，分别交AC，AD于点F、G，连结OG，则下列结论：①OG＝AB；②S四边形ODGF＞S△ABF；③由点A、B、D、E构成的四边形是菱形；④S△ACD＝4S△BOG；其中正确的结论是 ①③④ ．（请填写正确的序号）
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，AB∥CD，OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，
∴∠BAG＝∠EDG，
∵CD＝DE，
∴AB＝DE，
在△ABG和△DEG中，
，
∴△ABG≌△DEG（AAS），
∴AG＝DG，
∴OG是△ABD的中位线，
∴OG＝AB，故①正确；
∵AB∥CE，AB＝DE，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∵∠BCD＝∠BAD＝60°，
∴△ABD、△BCD是等边三角形，
∴AB＝BD＝AD，∠ODC＝60°，
∴平行四边形ABDE是菱形，故③正确；
∵OA＝OC，AG＝DG，
∴OG是△ACD的中位线，
∴OG∥CD∥AB，OG＝CD，
∴S△ACD＝4S△AOG，
∵S△AOG＝S△BOG，
∴S△ACD＝4S△BOG，故④正确；
连接FD，如图：
∵△ABD是等边三角形，AO平分∠BAD，BG平分∠ABD，
∴F到△ABD三边的距离相等，
∴S△BDF＝S△ABF＝2S△BOF＝2S△DOF＝S四边形ODGF，
∴S四边形ODGF＝S△ABF，故②错误；
正确的是①③④，
故答案为：①③④．
三、解答题（共8个小题，共72分）
17．（8分）计算：
（1）；
（2）．
【解答】解：（1）
＝9﹣3﹣2
＝4．
（2）
＝2×
＝2×
＝8．
18．（8分）已知a＝3+2，b＝3﹣2，分别求下列代数式的值：
（1）a2﹣b2；
（2）a2﹣3ab+b2．
【解答】解：（1）∵a＝3+2，b＝3﹣2，
∴a+b＝（3+2）+（3﹣2）＝6，a﹣b＝（3+2）﹣（3﹣2）＝4，
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝6×4＝24；
（2）a2﹣3ab+b2
＝（a﹣b）2﹣ab
＝﹣）（3+2）（3﹣2）
﹣＝32﹣1
＝31．
19．（8分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E、F在BD上，AE∥CF，且AE＝CF．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
【解答】证明：∵AE∥CF，
∴∠AED＝∠CFB，
∵AD∥BC，
∴∠ADE＝∠CBF，
∴，
∴△AED≌△CFB（AAS），
∴AD＝BC，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
20．（8分）如图是由小正方形组成的6×6网格，每个边长为1的小正方形的顶点叫做格点，图中A，B，C，D都是格点，E是AB上一点，M是AB与网格线的交点，仅用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，画图过程用虚线，结果用实线表示．
（1）直接写出正方形的边长＝ ；
（2）在图1中，在线段CD上找点F使得CF＝AE；
（3）在图1中，在线段AD上找点Q使得AQ＝AE；
（4）在图2中，在BC边上画点H，连接DH，MH，使得∠ADH＝∠DHM．
【解答】（1）解：由网格可得：．
故答案为：；
（2）解：连接AC，BD交于点O，连接EO并延长交CD于点F，如图，
∵ABCD是正方形，
∴点O是正方形的中心，
∴OA＝OC，OE＝OF，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（SAS），
∵AE＝CF，
∴点F即为所求的点；
（3）解：连接ED交AC于点T，连接BT并延长交AD于点Q，如图，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC垂直平分BD，AB＝AD，
∴BT＝DT，∠ABD＝∠ADB，
∴∠TBD＝∠TDB，
∴∠EBT＝∠QDT，
在△ETB和△QTD中，
，
∴△ETB≌△QTD（ASA），
∴EB＝QD，∴AQ＝AE，
∴点Q即为所求；
（4）解：将△ADM逆时针旋转90°，得到△CDN，取格点G，连接DG并延长交BC于H，连接HM，如图，
由旋转性质可知：DN＝DM，
由网格可知，DH平分∠MDN，
∴∠MDH＝∠NDH＝45°，
在△MDH和△NDH中，
，
∴△MDH≌△NDH（SAS），
∴∠MHD＝∠NHD，
∵ABCD是正方形，
∴AD∥BC，
∴∠ADH＝∠NHD，
∴∠ADH＝∠DHM，
∴点H即为所求．
21．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，过点A作AE∥BC，且AE＝BD，连接BE，交AD于点F，连接CE．
（1）求证：四边形ADCE为矩形；
（2）若CE＝6，求AF的长．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，∠ADC＝90°，
∵AE＝BD，
∴AE＝CD，
∵AE∥BC，
∴四边形ADCE是平行四边形，
又∵∠ADC＝90°，
∴四边形ADCE为矩形；
（2）解：由（1）得：四边形ADCE为矩形，
∴AD＝CE＝6，
∵AE∥BC，
∴∠AEF＝∠DBF，
在△AEF和△DBF中，
，
∴△AEF≌△DBF（AAS），
∴AF＝DF＝AD＝3．
22．（10分）2023年7月五号台风“杜苏芮”登陆，使我国很多地区受到严重影响．据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径250km（即以台风中心为圆心，250km为半径的圆形区域都会受台风影响）．如图，线段BC是台风中心从C市移动到B市的大致路线，A是某个大型农场，且AB⊥AC．若A，C之间相距300km，A，B之间相距400km．
（1）判断农场A是否会受到台风的影响，请说明理由；
（2）若台风中心的移动速度为20km/h，则台风影响该农场持续时间有多长？
【解答】解：（1）农场A会受到台风的影响，理由如下：
过A作AH⊥BC于H，
∵AB⊥AC，
∴∠BAC＝90°，
∴BC＝＝＝500（km），
∵△ABC的面积＝BC•AH＝AB•AC，
∴500AH＝300×400，
∴AH＝240（km），
∵AH＜250km，
∴农场A会受到台风的影响；
（2）如图，台风从点M开始影响该农场，到点N以后结束影响，连接AN，AM，
∴AM＝AN＝250km，
∵AM＝AN，AH⊥BC，
∴MH＝NH，
由勾股定理得：MH＝NH＝＝70（km），
∴MN＝2×70＝140（km），
∵台风中心的移动速度为20km/h，
∴台风影响该农场持续时间是140÷20＝7（小时）．
23．（10分）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边△APE，连接CE．
（1）如图1，当点E在边AD上时，填空：
①BP与CE的数量关系是 BP＝CE ，
②CE与AD的位置关系是 CE⊥AD ；
（2）如图2，当点E在菱形ABCD外部时，（1）中的结论是否仍成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由．
（3）如图3，在点P的移动过程中，连接AC，DE，若，PD＝1，请直接写出四边形ACDE的面积．
【解答】解：（1）①如图1，连接AC，
在菱形ABCD中，AB＝CB，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC∥AD，
∴∠BAD+∠ABC＝180°，
∴∠BAD＝180°﹣∠ABC＝120°，
∵△PAE是等边三角形，且点E在边AD上，
∴AP＝AE，∠DAP＝60°，
∴∠BAP＝∠BAD﹣∠DAP＝60°＝∠BAC，
∴点P在AC上，
在△ABP和△ACE中，
，
∴△ABP≌△ACE（SAS），
∴BP＝CE，
故答案为：BP＝CE；
②由①知，点P在AC上，
∵BD，AC是菱形ABCD的对角线，
∴AC⊥BD，
∴∠APB＝90°，
由①知，△ABP≌△ACE，
∴∠AEC＝∠APB＝90°，
∴CE⊥AD，
故答案为：CE⊥AD；
（2）当点E在菱形ABCD外部时，（1）中的结论仍成立，理由如下：
①当点P在线段BD上时，如图2，连接AC交BD于O，设CE交AD于H．
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴△ABC，△ACD都是等边三角形，∠ABD＝∠CBD＝30°，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∵△APE是等边三角形，
∴AP＝AE，∠PAE＝60°，
∴∠BAP＝∠CAE，
在△BAP和△CAE中，
，
∴△BAP≌△CAE（SAS），
∴BP＝CE，∠PBA＝∠ACE＝30°，
∵∠CAH＝60°，
∴∠CAH+∠ACH＝90°，
∴∠AHC＝90°，
即CE⊥AD．
②当点P在BD的延长线上时，如图3，连接AC交BD于O，设CE交AD于H．
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴△ABC，△ACD都是等边三角形，∠ABD＝∠CBD＝30°，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∵△APE是等边三角形，
∴AP＝AE，∠PAE＝60°，
∴∠BAP＝∠CAE．
在△BAP和△CAE中，
，
∴△BAP≌△CAE（SAS），
∴BP＝CE，∠ABP＝∠ACE＝30°，
∵∠CAH＝60°，
∴∠CAH+∠ACH＝90°，
∴∠AHC＝90°，
即CE⊥AD．
（3）由（2）知，BD⊥AC，
∴∠AOB＝90°，
∵BD是菱形ABCD的对角线，
∴BD＝2OB，，
在Rt△AOB中，，
∴OA＝AB＝×2＝，OB＝＝＝3，
∴BD＝6，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB＝2，
①当点P在线段BD上时，如图4，
∵DP＝1，
∴BP＝BD﹣DP＝6﹣1＝5，
由（2）知，CE＝BP，
∴CE＝5，
∴S四边形ACDE＝S△ACE+S△DCE＝CE•AH+CE•DH＝CE•（AH+DH）＝CE•AD＝×5×2＝5；
②当点P在线段BD的延长线上时，如图5，
∵DP＝1，
∴BP＝BD+DP＝6+1＝7，
由（2）知，CE＝BP，
∴CE＝7，
∴S四边形ACDE＝S△ACE+S△DCE＝CE•AH+CE•DH＝CE•（AH+DH）＝CE•AD＝×7×2＝7，
即四边形ACDE的面积为5或7．
24．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，矩形AOCD的顶点A（0，2），C（2，0）．
（1）求点D到直线AC的距离；
（2）如图2，∠AOC的角平分线交AD于点B，交CD的延长线于点E，F为BE的中点，连接CF，求∠ACF的大小；
（3）如图3，M，N分别是边CD和对角线AC上的动点，且AN＝CM，则OM+ON的最小值＝ 2 ．（直接写出结果）
【解答】解：（1）如图1，作DG⊥AC于点G，
∵四边形AOCD是矩形，A（0，2），C（2，0），
∴∠ADC＝90°，AD＝OC＝2，CD＝OA＝2，
∴AC＝＝＝4，
∵S△ADC＝AC•DG＝AD•CD，
∴×4DG＝×2×2，
∴DG＝，
∴点D到直线AC的距离是．
（2）如图2，连接AF、DF，
∵∠AOC的角平分线交AD于点B，交CD的延长线于点E，∠AOC＝90°，
∴∠COE＝∠AOE＝∠AOC＝45°，
∵∠OCE＝90°，
∴∠E＝∠COE＝45°，
∴CE＝OC，
∴CE＝AD，
∵∠BDE＝180°﹣∠ADC＝90°，
∴∠DBE＝∠E＝45°，
∴DB＝DE，
∵F为BE的中点，
∴∠ADF＝∠EDF＝∠DBE＝45°，EF＝DF＝BE，DF⊥BE，
∴∠E＝∠ADF，
∴△CEF≌△ADF（SAS），
∴CF＝AF，∠CFE＝∠AFD，
∴∠AFC＝∠AFD﹣∠CFD＝∠CFE﹣∠CFD＝∠DFE＝90°，
∴∠ACF＝∠CAF＝45°．
（3）如图3，连接OD交AC于点Q，
∵OD＝AC＝4，
∴QD＝QC＝CD＝AQ＝OQ＝OA＝2，
∴△QCD和△QOA都是等边三角形，
过CD中点R作RP⊥CD，CP∥OD交RP于点P，连接OP、MP，
∵∠CRP＝90°，∠PCR＝∠CDQ＝60°，CR＝DR＝CD＝1，
∴∠RPC＝30°，
∴PC＝2CR＝2，
∴PR＝＝＝，
∴P（3，1），
∴OP＝＝2，
∵OM+PM≥OP，
∴当点M在OP上时，OM+PM＝2，此时OM+PM的值最小，
∵PC＝OA＝1，∠PCM＝∠OAN＝60°，CM＝AN，
∴△PCM≌△OAN（SAS），
∴PM＝ON，
∴OM+ON的最小值为2，
故答案为：2．
、
嘉嘉的辅助线作法：延长DE到点F，使EF＝DE，连接DC，AF，FC．

淇淇的辅助线作法：过点E作GE∥AB，过点A作AF∥BC，GE与AF交于点F．

嘉嘉的辅助线作法：延长DE到点F，使EF＝DE，连接DC，AF，FC．

淇淇的辅助线作法：过点E作GE∥AB，过点A作AF∥BC，GE与AF交于点F．