四川省南充市嘉陵第一中学2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题（原卷版+解析版）

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满分：150分考试时间：120分钟
第一部分（选择题共58分）
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
1. 已知，，（为虚数单位），则（）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
2. 若，向量与向量的夹角为，则在上的投影向量为（）
A. B. C. D.
3. 如图，在中，D为BC的中点，点E在AD上，且，则等于（）
A. B.
C. D.
4. 如图，一个半径为米的筒车按逆时针方向每分钟转圈，筒车的轴心距离水面的高度为米．设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：）（在水面下则为负数），若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，则与时间（单位：）之间的关系可以表示为（）

A. B.
C. D.
5. 的内角的对边分别为，且，则的形状为（）
A. 等边三角形B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形D. 等边三角形或直角三角形
6. 若，则（）
A. B. C. D.
7. 已知函数的定义域为，在定义域内存在唯一，使得，则的取值范围为（）
A. B. C. D.
8. 在锐角中，角的对边分别为的面积为，若，则的取值范围为（）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下面四个命题中的真命题为（）
A. 复数z是实数的充要条件是B. 若复数z满足，则
C 复数满足D. 若复数满足，则
10. 已知函数部分图象如图所示，下列说法正确的是（）

A. 的图象关于点对称
B. 的图象关于直线对称
C. 将函数图象向右平移个单位得到函数的图象
D. 若方程在上有两个不相等的实数根，则m的取值范围是
11. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列判断正确的是（）
A. 若，则为钝角三角形
B. 若，则为等腰三角形
C. 若三条高分别为，，，则为钝角三角形
D. 若，则为直角三角形
第二部分（非选择题共92分）
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在复平面内，复数与对应的向量分别是与，其中O是原点，则两点间的距离为__________.
13. 已知，则的值是______．
14. 若，，平面内一点P，满足，最大值是________．
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知复数，i为虚数单位.
（1）求；
（2）若复数z是关于x的方程的一个根，求实数m，n的值.
16. 已知向量，．
（1）若，求值；
（2）若，与的夹角为锐角，求实数的取值范围．
17. 已知向量，函数．
（1）在中，分别为内角的对边，若，求A；
（2）在（1）条件下，，求的面积．
18. 已知函数.
（1）求函数的对称中心与对称轴；
（2）当时，求函数的单调递增区间；
（3）将函数的图象向左平移个单位后，所得图象对应的函数为.若关于的方程在区间上有两个不相等的实根，求实数的取值范围.
19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角所对的边分别为，且
（1）求；
（2）若，设点为的费马点，求；
（3）设点为的费马点，，求实数的最小值．