北京师范大学附属实验中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷

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班级 姓名 学号 成绩
第Ⅰ卷（共100分）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1．与的等差中项是
(A) (B) (C) (D)
2．函数的单调递增区间是
(A) (B) (C) (D)
3．数列，，，，，……的一个通项公式为
(A) (B)
(C) (D)
4．等差数列的公差不为零，首项，是和的等比中项，则数列的前项之和是
(A) (B) (C) (D)
5．已知某生产厂家的年利润（单位：万元）与年产量（单位：万件）的函数关系式为，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为
(A) QUOTE 7 万件(B) 万件(C) 万件(D) 万件
6．设是无穷等差数列，且公差不为零，其前项的和为，则“”是“为递增数列”的
(A) 充分而不必要条件(B) 必要而不充分条件
(C) 充分必要条件(D) 既不充分也不必要条件
7．设函数在上单调递减，则实数的取值范围是
(A) (B) (C) (D)
8．已知，且，则
(A) (B)
(C) (D) 大小关系不确定
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
9．已知，若为奇函数，则 ．
10．已知为非零常数，函数则 ．
11．若数列满足：，则 ；前项的和 ．（用数字作答）
12．在等差数列中，，则此数列前项之和为 ．
13．斐波那契数列又称“黄金分割数列”，因数学家莱昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用．斐波那契数列可以用如下方法定义：
，．若此数列各项除以的余数依次构成一个新数列，则 ．
14．若曲线有两条过坐标原点的切线，则实数的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共3小题，共30分）
15．（本小题满分10分）
等比数列的前项和为，已知成等差数列．
(Ⅰ)求的公比；
(Ⅱ)若，求．
16．（本小题满分10分）
已知函数．
(Ⅰ)求函数在上的最大值；
(Ⅱ)求证：存在唯一的，使得．
17．（本小题满分10分）
已知函数．
(Ⅰ)若函数在区间上存在极值，求实数的取值范围；
(Ⅱ)如果当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
第Ⅱ卷（共50分）
四、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
18．曲线在点处的切线方程为___________．
19．已知函数，是的导函数，则 ．
20．设等差数列的前项和为，若，则满足的正整数的值为 ．
21．已知正项数列满足，则在下列四个结论中，
①；②是递增数列；
③；④．
其中所有正确结论的序号是 ．
五、解答题（本大题共3小题，共34分）
22．（本小题满分10分）
已知数列的前项和为,，从条件 = 1 \* GB3 ①、条件 = 2 \* GB3 ②和条件 = 3 \* GB3 ③中选择两个作为已知，并完成解答：
(Ⅰ)求数列的通项公式；
(Ⅱ)设等比数列满足，，求数列的前项和．
条件 = 1 \* GB3 ①： ； 条件 = 2 \* GB3 ②：； 条件 = 3 \* GB3 ③：．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
23．（本小题满分12分）
已知函数，.
(Ⅰ)已知函数在处取得极小值，求的值；
(Ⅱ)讨论函数的单调区间；
(Ⅲ)当时，存在，，求实数的取值范围.
24．（本小题满分12分）
对于给定的正整数和实数，若数列满足如下两个性质：
= 1 \* GB3 ①；
= 2 \* GB3 ②对任意的,．则称数列具有性质
(Ⅰ)若数列具有性质，求数列的前项和；
(Ⅱ)对于给定的正奇数，若数列同时具有性质和，求数列的通项公式；
(Ⅲ)若数列具有性质，求证：存在自然数，对任意的正整数，不等式均成立．
考
生
须
知
1．本试卷共4页，共五道大题，24道小题，答题卡共8页，满分150分，考试时间120分钟.
2．在试卷和答题卡上准确填写班级、姓名、学号.
3．试卷答案一律填写在答题卡上，在试卷上作答无效.
4．在答题卡上，选择题须用2B铅笔将选中项涂黑涂满，其他试题用黑色字迹签字笔作答.
命题人：李桂春 于大哲 高华文 审题人： 黎栋材