福建省宁化第一中学2023-2024学年高三下学期第一次质检模拟数学试题

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，若中有2个元素，则实数的取值范围是（）
A．B．C．D．
2．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，若，，则“”是“”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．已知等比数列{an}的前n项积为Tn，a1＝16，公比q＝，则Tn取最大值时n的值为（）
A．3B．6C．4或5D．6或7
4．从这5个数字中任取2个偶数和1个奇数，组成一个三位数，则不同的三位数的个数为（）
A．16B．24C．28D．36
5．人工智能领域让贝叶斯公式:PAB=PBAPAPB站在了世界中心位置,AI换脸是一项深度伪造技术,某视频网站利用该技术掺入了一些“AI”视频,“AI”视频占有率为0.001.某团队决定用AI对抗AI,研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假.该鉴伪技术的准确率是0.98,即在该视频是伪造的情况下,它有98%的可能鉴定为“AI”;它的误报率是0.04,即在该视频是真实的情况下,它有4%的可能鉴定为“AI”.已知某个视频被鉴定为“AI”,则该视频是“AI”合成的可能性为（）
A．0.1%B． 0.4%C．2.4%D．4%
6．已知双曲线的左焦点为，为C上一点，且P与F关于C的一条渐
近线对称，则C的离心率为（）
A．B．C．2D．
7．在锐角中，角的对边分别为的面积为，若，则的取值范围为（）
A．B．C．D．
8．已知不恒为0的函数的定义域为，则不正确的（）
A． B．是奇函数
C．是的极值点 D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．在复平面内，下列说法正确的是（）
A．若复数（为虚数单位），则
B．若复数满足，则
C．若，则或
D．若复数满足，则复数对应点的集合是以坐标原点为中心，焦点在轴上的椭圆
10．下列说法正确的是（）
A．若随机变量服从正态分布，且，则
B．若线性相关系数越接近1，则两个变量的线性相关性越强
C．对具有线性相关关系的变量，其经验回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是-4
D．有11个样本，它们依次成公差的等差数列，若第位数为，则它们的平均数为23
11．已知函数的部分图象如图1所示，分别为图象的最高点和最低点，过作轴的垂线，交轴于，点为该部分图象与轴的交点.将绘有该图象的纸片沿轴折成直二面角，如图2所示，此时，则下列四个结论正确的有（）
A．
B．
C．图2中，
D．图2中，是及其内部的点构成的集合.设集合，则表示的区域的面积大于
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．的展开式中的系数为．（用数字作答）
13．已知圆锥的顶点为P，底面圆心为M，底面直径．圆锥的内切球和外接球的球心重合于一点O，则该圆锥的全面积为．
14．已知，则使不等式能成立的正整数的最大值为．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（13分）
如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，点在侧棱上，.
（1）证明：是侧棱的中点；
（2）求二面角的正弦值.
16．（15分）
已知函数，.
（1）当时，求的单调区间；
（2）若方程有三个不同的实根，求的取值范围．
17．（15分）
红蜘蛛是柚子的主要害虫之一，能对柚子树造成严重伤害，每只红蜘蛛的平均产卵数y（个）和平均温度x（℃）有关，现收集了以往某地的7组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值.
（1）根据散点图判断，与（其中…为自然对数的底数）哪一个更适合作为平均产卵数y（个）关于平均温度x（℃）的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
（2）由（1）的判断结果及表中数据，求出y关于x的回归方程.（计算结果精确到0.1）
附：回归方程中，，
（3）根据以往每年平均气温以及对果园年产值的统计，得到以下数据：平均气温在22℃以下的年数占60%，对柚子产量影响不大，不需要采取防虫措施；平均气温在22℃至28℃的年数占30%，柚子产量会下降20%；平均气温在28℃以上的年数占10%，柚子产量会下降50%.为了更好的防治红蜘蛛虫害，农科所研发出各种防害措施供果农选择.
在每年价格不变，无虫害的情况下，某果园年产值为200万元，根据以上数据，以得到最高收益（收益＝产值－防害费用）为目标，请为果农从以下几个方案中推荐最佳防害方案，并说明理由.
方案1：选择防害措施A，可以防止各种气温的红蜘蛛虫害不减产，费用是18万；
方案2：选择防害措施B，可以防治22℃至28℃的蜘蛛虫害，但无法防治28℃以上的红蜘蛛虫害，费用是10万；
方案3：不采取防虫害措施.
18．（17分）
已知椭圆的上顶点为B，右焦点为F，点B、F都在直线上.
（1）求椭圆的标准方程及离心率；
（2）设直线与椭圆相切于第一象限内的点，不过原点且平行于的直线与椭圆交于不同的两点，，点关于原点的对称点为．记直线的斜率为，直线的斜率为，求的值．
19.（17分）
已知等比数列的公比为，其所有项构成集合，等差数列的公差为，其所有项构成集合.令，集合中的所有元素按从小到大排列构成首项为1的数列.
（1）若集合，写出一组符合题意的数列和；
（2）若，数列为无穷数列，，且数列的前5项成公比为的等比数列.当时，求的值；
（3）若数列是首项为1的无穷数列，求证：“存在无穷数列，使”的充要条件是“是正有理数”（有理数都能表示成，且与互质）的形式）.
参考数据（）
5215
17713
714
27
81.3
3.6