广东省肇庆市第一中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题

这是一份广东省肇庆市第一中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1．设是虚数单位，则复数（ ）
A．3+3iB．-1+3iC．3+iD．-1+i
2．已知，，则（ ）
A．B．C．D．
3．某中学的高中部共有男生1200人，其中高一年级有男生300人，高二年级有男生400人．现按分层抽样抽出36名男生去参加体能测试，则高三年级被抽到的男生人数为（ ）
A．9B．12C．15D．18
4．已知函数（，，）的部分图象如图所示，则的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知向量，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．已知向量，，若，则（ ）
A．B．C．D．
7．已知的内角所对的边分别为，若，函数的最小值为，则的外接圆的周长为（ ）
A．B．C．D．
8．将函数的图象先向左平移个单位长度，再把所得函数图象的横、纵坐标都变为原来的倍，得到函数的图象，若函数在区间内没有零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题，米小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．已知复数z满足，则（ ）
A．z的虚部为-3B．z在复平面内对应的点位于第二象限
C．D．
10．某高中为了了解本校学生考入大学一年后的学习情况，对本校上一年考入大学的同学进行了调查，根据学生所属的专业类型，制成扇形图（如图），现从这些同学中抽出100人进行进一步调查，已知张三为理学专业，李四为工学专业，则下列说法正确的是（ ）
A．若按专业类型进行按比例分配的分层随机抽样，则张三被抽到的可能性比李四大
B．若按专业类型进行按比例分配的分层随机抽样，则理学专业和工学专业应抽取30人和20人
C．采用按比例分配的分层随机抽样比简单随机抽样更合理
D．该问题中的样本容量为100
11．如图，在中，，边上存在点满足，直线和直线交于点，若，则（ ）
A．B．
C．的最小值为12D．
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分。请将答案填在对应题号的答题卡上）
12．在中，若，，则 .
13．设为虚数单位，若复数的实部与虚部相等，其中是实数，则 .
14．圣·索菲亚教堂坐落于中国黑龙江省，是一座始建于1907年拜占庭风格的东正教教堂，距今已有114年的历史，为哈尔滨的标志性建筑．其中央主体建筑集球，圆柱，棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美．小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高为，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A，教堂顶C的仰角分别是和，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为，则小明估算索菲亚教堂的高度为 米．

解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（13分）已知是复数，均为实数（是虚数单位），且复数在复平面上对应的点在第一象限，
（1）求复数
（2） 求实数的取值范
16．（15分）已知，，，且.
(1)求实数的值；
(2)若，求实数的值；
(3)在的条件下，取不垂直于的情形，求向量在的投影向量（结果用坐标表示）
17．（15分）在中，角，，所对的边分别为，，，满足.
(1)求角；
(2)若为边上一点，且，求.
18．（17分）文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求频率分布直方图中的值；
(2)求样本成绩的第75百分位数；
(3)已知落在的平均成绩是54，方差是7，落在的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差.
19．（17分）已知函数．
(1)求函数的最大值及取最大值时x的取值集合；
(2)求函数的单调递增区间；
(3)已知函数在上存在零点，求实数a的取值范围．
答案
1．C
解：因为，故选 C.
2．B
解：，，
，
.
故选：B.
3．．C
解：高三年级被抽到的男生人数为.
故选：C.
4．C
解：依题意，由图象中最值可知，
周期满足，又，则，故，
所以，又点在的图象上，
所以，即，
所以，即，
而，所以，
所以.
故选：C.
5．D
解：与的夹角为锐角，且，
解得：且故选：D
6．．A
解：因为，，
所以，
，
又，
所以，
即，
整理得.故选：A
7．B
解：要使，取得最小值，
只需，即，又.
设的外接圆的半径为，
根据正弦定理，，解得.
所以的外接圆的周长为.故选:B.
8．C
解：将函数的图象向左平移个单位长度，得到，
再把所得函数图象的横、纵坐标都变为原来的倍，得到函数的图象，
即，因为函数在上没有零点，则，即，即，则，由，得，得，
若函数在上有零点，则，，
即，又，则.当时，解得.
当时，解得.当时，解得，与矛盾.
综上，若函数在上有零点，则或，
则若没有零点，则或.故选：C.
9．BC
解：由可得，故z的虚部为3，A错误；
z在复平面内对应的点为，位于第二象限，B正确；
，C正确；
，故D错误.故选：BC.
10．BCD
解：抽样方式不影响样本被抽到的概率，
张三与李四被抽到的可能性一样大，故A错误；
按专业类型进行按比例分配的分层随机抽样，
则理学专业应抽取的人数为，
工学专业应抽取的人数为，故B正确；
因为各专业差异比较大，所以采用按比例分配的分层随机抽样更合理，故C正确；
根据题意知，该问题中的样本容量为100，故D正确．故选：BCD．
11．ABD
解：选项A：由题意可得，说法正确；
选项B：因为，，
所以由可知，即，
又因为三点共线，所以，解得，说法正确；
选项C：，
当且仅当，即，时等号成立，所以的最小值为，说法错误；
选项D：因为，，
所以，
又因为，当且仅当时等号成立，
所以，说法正确；故选：ABD
12．
解：因为在中，，又，，
所以， ，
又，所以，
所以
.故答案为：.
13．
解：设，∵复数的实部与虚部相等，
∴，又，则，.
故答案为：
14．
解：由题意知，，，
所以，
在中，，
且
在中，由正弦定理得，，
所以，
在中，米，
所以小明估算索菲亚教堂的高度为米．故答案为：．
15．（1）z＝4－2i；（2）(2,6)．
解：（1）设z＝x＋yi(x、y∈R)，
∴z＋2i＝x＋(y＋2)i，由题意得y＝－2.
＝＝ (x－2i)(2＋i)
＝ (2x＋2)＋(x－4)i.
由题意得x＝4，∴z＝4－2i.
（2）∵(z＋ai)2＝(12＋4a－a2)＋8(a－2)i，
根据条件，已知解得2＜a＜6，
∴实数a的取值范围是(2,6)
16.(1)(2)(3)
解：（1），
，
又 ， ，则.
（2）由（1）得，
，
又，所以，则.
（3）当时，，
此时，则，不满足题意；
当时，，
此时，满足题意，
所以，此时，又，
所以，，
所以在上的投影向量为.
17．(1)；(2).
解：（1）因为，
由正弦定理得，化简得，
由余弦定理得，又，所以.
（2），.
在中，，，
由正弦定理可得，即，
又，得，
即，
化简得，显然，即.
18．(1)；(2)84；(3)，.
解：（1）由每组小矩形的面积之和为1得，
所以.
（2）成绩落在内的频率为，
落在内的频率为，
显然第75百分位数，由，解得，
所以第75百分位数为84.
（3）由频率分布直方图知，成绩在的市民人数为，
成绩在的市民人数为，所以
由样本方差计算总体方差公式，得总方差为.
19．(1)最大值，(2)(3)
解：（1）由已知，
令，得，即，
所以函数的最大值为，且取最大值时x的集合为
（2）令，解得，
即函数的单调递增区间为；
（3）当，，此时，即，
令，得在上存在零点，
令，即在上存在零点，
又当时，所以，解得.