数学人教版8 数学广角——数与形教学设计

这是一份数学人教版8 数学广角——数与形教学设计，共10页。教案主要包含了以形助数，自主表征，沟通对比，建立联系，数形互译，融会贯通，回顾拓展，感悟外化等内容，欢迎下载使用。
课前慎思
数与形是数学研究的两个重要方面。华罗庚先生曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微”的表达，形象地描述了数与形之间的关系。数形结合往往可以将复杂的问题变简单，将抽象的问题变形象，达到优化解题途径的目的。学习中，学生需要亲历数形转化的过程，在数形联系的探究中发展思维，提升应用意识。
小学数学教材中，体现数形结合的内容有很多。人教版教材六年级上册《数与形》是其中非常有代表性的内容之一。在这节课的教学中，教师要引导学生亲身经历沟通数与形的过程，让他们主动探寻二者之间的联系，从而体会如何“以形助数”“以数解形”，感受数与形之间的广泛联系。
教前分析
（一）教材教学内容分析
《数与形》一课由两个例题组成，例1将“1+3+5+……+（2n-1)=n2”与方格图联系起来，让学生通过观察图，发现其结果可以直接用n2.例2借助正方形的分割，让学生同样借助观察发现结果。
如果按照教材呈现的方式，直接让学生观察，理解这两题中数与形的关系，只要学生能够体会到形的表征能让这两道题变得异常清晰、简单，那就已经达到基本的教学要求。但若深入分析教材，会发现这两幅图均具有一定的“个性”，并非解决问题的“通法”，学生能够在学习的过程体会到数形结合的神奇，也容易陷入到只有这两题或特殊的题目才适合采用数形结合的方法解决的误区。
如果不仅仅是将体会“数形结合”的方法当作教学目标，就要让学生在学习过程中放慢脚步，拓展学习的内容，如带领学生思考：1.从1开始连续奇数之和可以借助图形找到答案、从2开始的连续偶数、从1开始的连续自然数之和也能借助图形找到答案吗？这样的思考，能够帮助学生更加深入地分析数与形之间的关系，体会数形结合带来的便利。
（二）学生情况分析
前测是分析学情的重要方式 。采用不给任何提示，直接让学生求例1和例2两道题结果的方式对某班学生进行了第一次前测。前测结果表明：被测班级的45名学生，采用“算”的方法求算式的结果，很少有学生会想到借助“形”。计算例1和例2，正确率分别是95%。
接着，增加了“用图形表征算式”的要求，以另一个平行班的45名学生为对象进行了第二次前测。从计算结果上看，该题正确得出两道题结果的人数均略高于第一个班级。其中，例1的图形表征，有9%左右的学生采用横向摆放的“一字形”，80%左右的学生采用纵向摆放的“三角形”，11%左右的学生想到摆“正方形”。学生独立用图形表征对于例2时略感困难，但经过教师提醒，能用正方形、线段、圆形等图形正确表征的学生达到了78%。
以上测试表明学生有较强的计算能力基础，但主动联系数与形的意识不强。因此，教学中需要让学生花更多的学习时间经历主动探究过程，在自主解决问题中获得对数形结合思想方法的感悟。
（三）确定教学目标
针对以上分析，这节课的主要任务不是仅仅是让学生借助观察“发现、应用规律”，而是让学生在探究过程中，感受如何用数形结合的方式帮助自己解决问题，积累数形结合的经验，因此，本节课的学习目标确定为以下三点：
1. 通过数与形的对照，初步感受形能直观表示数的规律，数能精确反映形的本质。
2. 经历探索数形之间联系的过程，打通数与形之间的屏障，感悟数形结合的思想方法。
3. 体会运用数形结合的方法解决较复杂问题的优越性，增强学生分析、观察、解决问题的能力。
教学重难点
初步感受形能直观表示数的规律，数能精确反映形的本质。
经历探索数形之间联系的过程，打通数与形之间的屏障，感悟数形结合的思想方法。
教学过程
一、以形助数，自主表征
课始，教师出示学习任务：请用正方形学具卡片表示。
同桌合作用卡片摆“1+3+5+7+9”的图形时，教师现场拍摄学生有代表性的“三角形”（如图1）、“凑十”（如图2）、“正方形”（如图3）、三种摆法，并逐幅展示、分析。
师：这三种方法你看得懂吗？
学生均轻轻点头。
师：它们有什么共同的地方？
生：它们都可以直观表示数列，也都很能方便地呈现答案。
师：看来同一个数列可以用多种不同的形来表示。如果请你继续用图形表示出“1+3+5+7+9+11”，或者更多奇数的和，你会用哪种方法？
生：三种方法应该都可以。
本学习任务对学生来说不难，但教师给了学生独立表征的时间与空间，让学生可以有不同的表征方法。这是学生后续沟通、比较的基础。
二、沟通对比，建立联系
1.多种表征，理解图式
师：大家都有自己的猜想，很好！那就根据自己的想法摆一摆吧。
学生在操作中，有小组用“三角形”摆法继续摆，还在不断讨论着；有小组先用“凑十”的摆法，后来又调整成“正方形”或“三角形”摆法……
汇报时，教师问大家选择哪种图形继续研究，全班同学选择的图形由原来的三种变为两种。
生1：我们原来用“凑十”法摆，随着奇数越来越多，图形变得没有规律，像11要拆成10和1，这个1要和原来的5摆一起，感觉越摆越乱。
生2：我们组原来用“三角形”法，奇数变大，只要在三角形的底部再加一层，就可以直观表示数列了，但数越大，计算到底有几层就越麻烦。
生3：我们对他们组（生2）有补充，因为是根据等差数列，所以层数=（11-1）÷2+1=6。
生4：我们听了他们的发言，我们有个发现。由于第一个数是1，所以求这数列层数还有更简便的方法，即层数=（1+11）÷2=6。
学生对求这两种方法讨论后发现：两种方法都可以，第二种比第一种简便。
生5：我们觉得“正方形”摆法更好。用这种摆法，多一个奇数就在外面增加一层“L”，让原来的正方形变成更大的正方形了。这样不仅可以直接看出数列，还可以很快算出答案，“1+3+5+7+9+11”就是边长为6的正方形（图4）
图4
2. 一式多图，沟通联系
教师追问：大家认为“正方形”与“三角形”两种图形都可以直观表示“1+3+5+7+9+11”以及更多的连续奇数相加的和，其中它们有什么奥秘吗？这两种图形有什么关系吗？
生1：我们组研究用“正方形”表示，发现每加一个奇数就是在原来的正方形外面多个“L”形。因为有重叠部分，所以这个“L”形表示的正方形数量就比两条边上的正方形数量少1，像“1+3+5+7+9+11+13”就是“（13+1）÷2=7”，答案“7”就是表示这个数列可以拼成边数为7的正方形（图5）。
图5
生1团队的发现引发很多学生的共鸣，听完大家频频点头。
师追问：为什么要先“+1”再“÷2”呢？
生2：“13+1”是变成新的正方形时，两条边上增加的正方形总长个数，“14÷2”是新的正方形的边长个数。
生3：我来补充。这种方法还可以求更多奇数的和，如从1加到19，就是边长为10的正方形。
教师根据学生回答形成板书：19→（19+1）÷2=10
生4：我们组研究用“三角形”表示，“三角形”图也能帮助我们很方便地找到答案。找答案时形主要是找到层数。层数=（头+尾）÷2。
生5：我有个重要发现，“三角形”和“正方形”两种图形帮助求和，方法其实是一样的（如图5），“三角形”的层数就是正方形的边数。比如“1+3+5+7+9+11+13”用“三角形”表征时，层数=（1+13)÷2=7；用“正方形”表征时，边数=（1+13)÷2=7。
3.变式拓展，表征优化
类比是一种推理思维，以“1开始连续若干个奇数的和”为基点，学生会主动提出：“正方形”和“三角形”两种图形能表示“从2开始连续偶数相加的和”和“从1开始连续自然数相加的和”吗？面对学生强烈的探知欲，教师不再提供实物辅助操作，而引导学生在头脑中想象，再逐个讨论解决。
学生发现“三角形”摆法能表征“从2开始连续偶数相加的和”，而按“正方形”摆法形成的图形是“长方形”，如下图7“2+4+6+8+10+12+14”形成“三角形”（图6）和“长方形”（图7）摆法之间同样存在联系。
图6
图7
三、数形互译，融会贯通
1.一式多图，化繁为简
教师出示+++++，请学生快速求结果，并写出思考过程。在汇报的时候，教师惊喜地发现，学生“通分”方法算出答案的学生只有5人，其余学生均用正方形、线段、圆形等图形表示算式的意义，并计算出结果。交流时，学生达成共识。用什么图形不重要，只要确定是一个图形作为单位1，并将它二等分六次，去掉最后一小部分后，都可以表征这数列，而且容易“看”出结果。
2.以数解形，数形互补
师：以正方形为例（图8），它可以帮助我们看出“+++++”，的结果。在这幅图中，你还能看出其他算式的结果吗？
图8
生：可以求空白部分是多少，也就是求1-(++++)的结果。
师：同一个“形”中藏着其他的数的运算规律，真奇妙！如果在这个图形的基础上，再不断把空白部分均分，还能解决什么问题？你能写出一个算式并很快算出结果吗？
生：可以分别求涂色部分和空白部分是多少。
3.多图比较，寻找共性
教师示本节课出现的正方形、三角形、长方形（图9）
图9
提问：看着这些图，你有什么想说的吗？引导学生在观察比较中进一步体会，借助图形能直观地表示出不同数列的意义，能直观地得出计算结果。
四、回顾拓展，感悟外化
沟通、联系是重要能力。教师呈让学生边回忆边思考“数与形有怎样的关系呢”
因为经历了有前面深刻探寻联系的过程，学生的回答关键词紧紧围绕“密不可分”“相互依赖”“互帮互助”展开。当追问“数与形，哪个优势大？”时，学生一致认为“不分上下、各有各的优势”“数可以帮助形变得精确”“形可以帮助数变直观”。至此，学生能真正感悟到了华罗庚先生说的后半句“数形结合百般好，隔离分家万事休”。
同样的学习素材，若实施的教学目标、呈现的教学过程不同，也会给予学生不同的体验、不同的收获。