北京市房山区2023-2024学年高二下学期学业水平调研（一）数学试题（原卷版+解析版）

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第一部分（选择题共50分）
一、选择题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1 若1，，2成等差数列，则（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，结合等差数列的定义，列出方程，即可求解.
【详解】由1，，2成等差数列，可得，解得.
故选：C.
2. 已知等比数列的通项公式，则数列的公比为（ ）
A. 3B. 2C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据已知及等比数列的定义可得结果.
【详解】因为为等比数列且通项公式为，
所以公比，
故选：A.
3. 下列结论中正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】B
【解析】
【分析】借助复合函数的求导法则计算即可得.
【详解】对A、B：若，则，故B正确，A错误；
对C、D：若，则，故C、D错误.
故选：B.
4. 设某质点的位移与时间的关系是，则质点在第时的瞬时速度等于（ ）
A. 5m/sB. 6m/sC. 7m/sD. 8m/s
【答案】A
【解析】
【分析】求出函数的导数，计算时，的值即可．
【详解】，，
则时，，
所以质点在第3s时的瞬时速度等于5m/s.
故选：A.
5. 函数的图象如图所示，设，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据导数的几何意义结合函数图象即可得解.
【详解】由函数图象可知函数为增函数，且增加的速度越来越慢，
所以，
即.
故选：D.
6. 已知等比数列的前项和为，若，，则公比（ ）
A. B. 1C. 或1D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】设等比数列的公比为，利用基本量代换列方程组即可求出.
【详解】设等比数列的公比为，根据题意可得，
，解得或.
故选：C.
7. 已知函数的定义域为，的导函数的图象大致如图所示，则下列结论中错误的是（ ）
A. 在上单调递增
B. 是的极小值点
C. 是极大值点
D. 曲线在处的切线斜率为2
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，利用函数的图象，结合函数和的关系，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，根据函数的图象得，当时，，
所以函数在上单调递增，所以A正确；
对于B中，根据函数的图象知，在的左右两侧附近，可得，
所以单调递增，则不是函数的极值点，所以B错误；
对于C中，根据函数的图象知，当时，，单调递增，；
当时，，单调递减，
所以是函数的一个极大值点，所以C正确；
对于D中，根据函数的图象知，，
即曲线在 处的切线斜率为，所以D正确.
故选：B.
8. 世界上最古老的数学著作《莱因德纸草书》中有一道这样的题目：把60磅面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的两份之和的是较小的三份之和，则最小的1份为（ ）
A. 磅B. 磅C. 磅D. 磅
【答案】D
【解析】
【分析】结合题意，利用等差数列的性质计算即可得.
【详解】设五个人从小到大所得面包为、、、、，设其公差为，
则由题意可得，即，
整理可得，又，即，
即有，即，即最小的1份为磅.
故选：D.
9. 已知数列的通项公式，且最小项为，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设函数，利用导数判断单调性，从而得到数列的单调性，求出最小项得解.
【详解】设函数，则，
所以当时，，当时，，
即函数在上单调递减，在上单调递增.
因为，，所以，，
又，，，
，解得.
故选：B.
10. 已知函数，则下列结论中错误的是（ ）
A. 当时，函数无零点
B. 当时，不等式的解集为
C. 若函数恰有两个零点，则实数的取值范围为
D. 存在实数，使得函数在上单调递增
【答案】C
【解析】
【分析】时，利用导数求出函数得单调区间和极值，进而可判断A；时，借助导数工具判断，结合三次函数的零点情况，分段求解不等式，即可判断B；结合B选项，分别求出函数的零点，在分类讨论即可判断C；举出例子，结合A选项即可判断D.
【详解】对于A，当时，
，
当时，，，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以函数在上没有零点，
当时，，，
所以函数在上单调递增，
所以当时，，
所以函数在上没有零点，
综上所述，当时，函数没有个零点，故A正确；
对于B，时，，则，
令，即，解得，
令，，
即在上单调递减，于是，
即，即无解，
综上可知，的解集为，故B正确；
对于C，，
由B选项分析可知，函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，取得等号，
故时，无解，
，解得或，
在时有个根，即这个根需排除在外，
则，于是，
当时，有唯一解，于是在时有个根，
即这个根需恰好被包含在内，故，即，
综上所述，，故C错误；
对于D，由A选项得函数在上单调递减，在上单调递增，
函数在上单调递增，在上单调递减，
当时，在上单调递增，在上单调递增，
又，即，
所以当时，函数在上单调递增，故D正确.
故选：C.
【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；
（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.
第二部分（非选择题 共100分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 若，则______．
【答案】3
【解析】
【分析】根据导数的定义和导数的求导法则计算即可．
【详解】，又，故.
故答案为：3.
12. 设为数列前项和，且，则_________；数列的通项公式_________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据求解即可.
【详解】由，
当时，，
当时，，
当时，上式成立，
所以，.
故答案为：；.
13. 已知函数，则的极小值等于__________；若在区间上存在最小值，则的取值范围是________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】求得可得，得出函数的单调性，求得函数的极小值，结合题意，列出不等式组，求得实数的取值范围，得到答案.
【详解】由函数，可得，
令，可得或 ；令，可得，
所以在单调递增，在单调递减，
当时，函数取得极小值，极小值为，
令，即，即或，
要使得在区间上存在最小值，则满足，解得，
所以实数的取值范围是.
故答案为：；.
14. 无穷数列的前n项和记为．若是递增数列，而是递减数列，则数列的通项公式可以为____．
【答案】
（答案不唯一）.
【解析】
【分析】根据是递减数列，可以考虑该数列各项均为负数，再根据是递增数列，可以联想到在上是递增的函数，进而构造出数列.
【详解】因为是递减数列，可以考虑，而是递增数列，可以构造.
故答案为：（答案不唯一）.
15. 已知数列的前项和为（），数列的前项积为，且满足（），给出下列四个结论：①；②；③；④是等差数列.其中所有正确结论的序号是__________.
【答案】①③④
【解析】
【分析】根据关系式，当时，即可求得的值，可判断①；由，可得，当时，，两式相比可得是等差数列，求得可判断③；由利用项与和的关系求得通项可判断②；由，可求得可判断④.
【详解】因，所以当时，，即，解得或0，
又，则，所以，故①正确；
由，则，所以，当时，，
所以，即，整理得，
所以数列是以为首项，1为公差等差数列，
所以，则，所以，故③正确；
当时，，又不符合上式，
所以，，故②错误；
又，所以，，所以为等差数列；故④正确.
所以正确的序号有①③④.
故答案为：①③④.
三、解答题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）求函数在区间上的最值.
【答案】（1）递增区间为，递减区间为
（2）最大值为，最小值为
【解析】
【分析】（1）求得，分别求得和的解集，即可求解；
（2）由（1）求得函数的极大值与极小值，以及的值，进而求得函数的最值.
【小问1详解】
解：由函数，可得，
令，解得或；令，解得，
所以函数递增区间为，递减区间为.
【小问2详解】
解：由函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，当时，函数取得极大值，极大值为，
当时，函数取得极小值，极小值为，
又由，所以函数的最大值为，最小值为.
17. 已知数列是等比数列，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若为等差数列，且满足，，求数列的前项和.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意求出公比，即可得解；
（2）根据题意求出首项与公差，再根据等差数列前项和公式即可得解.
【小问1详解】
设公比为，
由，，
得，所以，
所以；
【小问2详解】
由（1）得，
设公差为，则，解得，
所以，
所以.
18. 已知数列中，且.
（1）求数列的第2，3，4项；
（2）根据（1）的计算结果，猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明.
【答案】（1），，
（2）猜想，证明见解析
【解析】
【分析】（1）由题意逐个计算即可得；
（2）由（1）的计算结果可猜想出数列的通项公式，利用数学归纳法证明即可得.
【小问1详解】
由且，则，
，；
【小问2详解】
由（1）的计算结果可猜想，证明如下：
当时，，等式成立；
假设当时等式成立，即有，
则当时，有，
即当时，等式成立；
故猜想成立.
19. 已知等差数列的前项和为，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，且.再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得数列唯一确定，并解答以下问题：
（ⅰ）求的通项公式；
（ⅱ）若，求的最小值.
条件①：；条件②：；条件③：.注：如果选择条件①、条件②和条件③分别解答，按第一个解答计分.
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）设等差数列的首项为，公差为，根据题意，列出方程组，求得的值，进而求得数列的通项公式；
（2）根据题意，分别选择①②③，求得数列的通项公式，利用等差、等比数列的求和公式，结合，列出不等式，即可求解.
【小问1详解】
解：设等差数列的首项为，公差为，
因为，，可得，解得，
所以数列的通项公式为.
【小问2详解】
解：（ⅰ）若选择条件①，由，可得，
又因为，可得数列是首项为，公差为的等差数列，
所以数列的通项公式为
（ⅰi）由，可得，
又由，可得，
因为，可得，即，
又因为，可得，所以的最小值.
（ⅰ）若选择条件②：由，可得，
因为，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以.
（ⅰi）由，可得，
又由，可得，
因为，可得，即，
经验证，当时，可得；当时，可得，
所以使得成立时，的最小值.
（ⅰ）若选择条件③：由，当时，可得，
两式相减，可得，即，
因为，所以.
（ⅰi）由，可得，
又由，可得，
因为，可得，即，
解得或（舍去），
又因为，所以，即使得成立时，的最小值.
20. 某公园为了美化游园环境，计划修建一个如图所示的总面积为的矩形花园.图中阴影部分是宽度为1m的小路，中间，，三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季（其中，区域的形状、大小完全相同）.设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为.
（1）用含有的代数式表示；
（2）当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设矩形花园的长为，结合，进而求得关于的关系式；
（2）由（1）知，得到，结合基本不等式，即可求解.
【小问1详解】
解：设矩形花园的长为，
因为矩形花园的总面积为，所以，可得，
又因为阴影部分是宽度为1m的小路，可得，可得，
即关于的关系式为.
【小问2详解】
解：由（1）知，，
则
，当且仅当时，即时，等号成立，
所以当时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为.
21. 已知函数.
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）求函数的极值点；
（3）写出的一个值，使方程有两个不等的实数根.并证明你的结论.
【答案】（1）
（2）极小值点，无极大值点
（3），证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用求导及导数的意义，即可求出切线方程；
（2）由于原函数含有参数，所以要对参数进行分类讨论，从而利用导数思想来判断函数单调性，再判断极值点情况；
（3）由（2）得函数最小值值，然后取一个使最小值小于零的值，然后利用零点存在定理证明即可.
【小问1详解】
由得：，
当，得：，
所以曲线在处的切线方程为：，
即：；
【小问2详解】
当时，由于函数的定义域为，所以，
此时函数在上递增，所以函数无极值点；
当时，令，
，解得，
则当时，，此时函数在上递减，
当时，，此时函数在上递增，
所以函数存在一个极小值点，无极大值点；
【小问3详解】
由（2）得，
当时，，
故取时，方程有两个不等的实数根，
证明：设，
由（2）在在上递减，在上递增，
且，，
由零点存在定理得在和上各有一个零点，
所以当时，方程有两个不等的实数根.