+福建省厦门市思明区莲花中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试卷

这是一份+福建省厦门市思明区莲花中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试卷，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）在实数，，0，﹣1中，最小的数是（ ）
A．﹣1B．0C．D．
2．（4分）如图，在▱ABCD中，若∠A＝110°，则∠C的度数为（ ）
A．35°B．55°C．70°D．110°
3．（4分）在菱形ABCD中，与AC互相垂直的线段是（ ）
A．BCB．BAC．BDD．CD
4．（4分）若有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞﹣1B．x≥0C．x≥﹣1D．任意实数
5．（4分）如图，在长方形ABCD中，AB＝5，AD＝3，点C的坐标为（﹣1，﹣1），DC平行于y轴，则点A的坐标是（ ）
A．（﹣5，3）B．（﹣1，4）C．（﹣4，4）D．（﹣4，﹣1）
6．（4分）如图，平面直角坐标系中，一次函数y1＝k1x+b1（k1≠0）与y2＝k2x+b2（k2≠0）的图象分别为直线l1和直线l2，下列结论错误的是（ ）
A．k1•k2＞0B．k1+k2＞0C．b1﹣b2＞0D．b1•b2＜0
7．（4分）阅读以下作图步骤：
①在OA和OB上分别截取OC，OD，使OC＝OD；
②分别以C，D为圆心，以大于CD的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点M；
③作射线OM，连接CM，DM，如图所示．
根据以上作图，一定可以推得的结论是（ ）
A．∠1＝∠2且CM＝DMB．∠1＝∠3且CM＝DM
C．∠1＝∠2且OD＝DMD．∠2＝∠3且OD＝DM
8．（4分）已知一次函数y＝kx+4（k≠0）的图象经过点A，且y随x的增大而增大，则点A的坐标可以是（ ）
A．（1，2）B．（2，4）C．（3，5）D．（4，0）
9．（4分）如图，点A，B，C在同一条直线上，点B在点A，C之间，点D，E在直线AC同侧，AB＜BC，∠A＝∠C＝90°，△EAB≌△BCD，连接DE．设AB＝a，BC＝b，DE＝c，给出下面三个结论：
①a+b＜c；
②a+b＞；
③（a+b）＞c．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
10．（4分）如果正整数a、b、c满足等式a2+b2＝c2，那么正整数a、b、c叫做勾股数，某同学将自己探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知x+y的值为（ ）
A．47B．62C．79D．98
二、填空题（每题4分，共24分）
11．（4分）化简：
（1）＝ ；
（2）＝ ．
12．（4分）将直线y＝3x沿y轴向下平移1个单位长度后得到的直线解析式为 ．
13．（4分）如图，在菱形ABCD中，AB＝10，∠B＝60°，则AC的长为 ．
14．（4分）如图，长为8cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3cm到D，则橡皮筋被拉长了 cm．
15．（4分）如图直线y＝kx+b（k，b为常数且k＜0），经过点A（2，1），则关于x的不等式解集为 ．
16．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，将矩形ABCD绕点C旋转，点A、B、D的对应点分别为A′、B′、D′，当A′落在边CD的延长线上时，边A′D′与边AD的延长线交于点F，联结CF，那么线段CF的长度为 ．
三、解答题（9题，共86分）
17．（8分）计算：
（1）×；
（2）．
18．（8分）先化简，再求值：（1+）÷，其中a＝+1．
19．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在BC、AD上，且DF＝BE．
求证：AE＝CF．
20．（8分）已知一次函数图象过点（1，4）和（0，2），求这个一次函数的解析式，并在直角坐标系中画出该函数图象．
21．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作出边BC的垂直平分线EF，交AB于点E，交BC于点F．（要求：不写作法，保留作图痕迹，标出字母）
（2）连接CE，求CE的长度．
22．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．线段EF是由线段AB平移得到的，点F在边BC上，△EFD是以EF为斜边的等腰直角三角形，且点D恰好在AC的延长线上．
（1）求证：∠ADE＝∠DFC；
（2）求证：CD＝BF．
23．（10分）学校准备购进一批节能灯，已知1只A型节能灯和3只B型节能灯共需26元；3只A型节能灯和2只B型节能灯共需29元．
（1）求一只A型节能灯和一只B型节能灯的售价各是多少元？
（2）学校准备购进这两种型号的节能灯共50只，并且A型节能灯的数量不多于B型节能灯数量的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
24．（14分）如图，在平行四边形ABCD中，点E是BC边上的动点，现将△ABE沿AE折叠，点B′是点B的对应点．
（1）如图1，当点B′恰好落在AD边上时，求证：四边形ABEB′是平行四边形；
（2）如图2，若∠B＝60°，AB＝6，BC＝9，点B′落在DE上时，求B′D的长；
（3）如图3．若∠B＝60°，∠BAC＝90°，AB＝6，连接B′D，取B′D的中点F，连接CF，求CF的取值范围．
25．（12分）把一次函数y＝kx+b（k，b为常数，k≠0）在x轴下方的图象沿x轴向上翻折，与原来在x轴上方的图象组合，得到一个新的图象，我们称之为一次函数的“V形”图象，例如：如图1就是函数y＝x的“V形”图象．
（1）请在图2中画出一次函数y＝x+1的“V形”图象，并直接写出该图象与x轴交点A的坐标是 ；
（2）在（1）的条件下，若直线与一次函数y＝x+1的“V形”图象相交于B，C两点，求△ABC的面积；
（3）一次函数y＝kx﹣5k+4（k为常数）的“V形”图象经过（﹣1，y1），（3，y2）两点，且y1＞y2，求k的取值范围．
参考答案与试题解析
一、选择题（每题4分，共40分，每一题有且只有一个选项正确）
1．（4分）在实数，，0，﹣1中，最小的数是（ ）
A．﹣1B．0C．D．
【解答】解：∵﹣1＜0＜＜，
∴最小的是﹣1，
故选：A．
2．（4分）如图，在▱ABCD中，若∠A＝110°，则∠C的度数为（ ）
A．35°B．55°C．70°D．110°
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠C＝∠A＝110°，
故选：D．
3．（4分）在菱形ABCD中，与AC互相垂直的线段是（ ）
A．BCB．BAC．BDD．CD
【解答】解：如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
故选：C．
4．（4分）若有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞﹣1B．x≥0C．x≥﹣1D．任意实数
【解答】解：由题意得：x+1≥0，
解得：x≥﹣1，
故选：C．
5．（4分）如图，在长方形ABCD中，AB＝5，AD＝3，点C的坐标为（﹣1，﹣1），DC平行于y轴，则点A的坐标是（ ）
A．（﹣5，3）B．（﹣1，4）C．（﹣4，4）D．（﹣4，﹣1）
【解答】解：∵四边形ABCD是长方形，AB＝5，AD＝3，点C的坐标为（﹣1，﹣1），DC平行于y轴，
∴点C向左平移3个单位，再向上平移5个单位，与点A重合，
∴点A的横坐标是：﹣1﹣3＝﹣4，点A的纵坐标是：﹣1+5＝4，
∴点A的坐标是：（﹣4，4），
故选C．
6．（4分）如图，平面直角坐标系中，一次函数y1＝k1x+b1（k1≠0）与y2＝k2x+b2（k2≠0）的图象分别为直线l1和直线l2，下列结论错误的是（ ）
A．k1•k2＞0B．k1+k2＞0C．b1﹣b2＞0D．b1•b2＜0
【解答】解：∵一次函数y＝k1x+b1的图象过一、二、四象限，
∴k1＜0，b1＞0，
∵一次函数y＝k2x+b2的图象过二、三、四象限，
∴k2＜0，b2＜0，
∴A、k1•k2＞0，故A不符合题意；
B、k1+k2＜0，故B符合题意；
C、b1﹣b2＞0，故C不符合题意；
D、b1•b2＜0，故D不符合题意；
故选：B．
7．（4分）阅读以下作图步骤：
①在OA和OB上分别截取OC，OD，使OC＝OD；
②分别以C，D为圆心，以大于CD的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点M；
③作射线OM，连接CM，DM，如图所示．
根据以上作图，一定可以推得的结论是（ ）
A．∠1＝∠2且CM＝DMB．∠1＝∠3且CM＝DM
C．∠1＝∠2且OD＝DMD．∠2＝∠3且OD＝DM
【解答】解：A、以C，D为圆心画弧的半径相等，因此CM＝DM，又OC＝OD，OM＝OM，因此△OCM≌△ODM（SSS）得到∠1＝∠2，故A符合题意；
B、因为OC、CM的长在变化，所以OC和CM不一定相等，因此∠1不一定等于∠3，故B不符合题意；
C、因为OD、DM的长在变化，所以OD和DM不一定相等，故C不符合题意；
D、CM的位置在变化，所以CM和OB不一定平行，因此∠2不一定等于∠3，故D不符合题意．
故选：A．
8．（4分）已知一次函数y＝kx+4（k≠0）的图象经过点A，且y随x的增大而增大，则点A的坐标可以是（ ）
A．（1，2）B．（2，4）C．（3，5）D．（4，0）
【解答】解：根据题意，得k＞0，
将点（1，2）代入y＝kx+4，
得k+4＝2，
解得k＝﹣2，
故A选项不符合题意；
将（2，4）代入y＝kx+4，
得2k+4＝4，
解得k＝0，
故B选项不符合题意；
将点（3，5）代入y＝kx+4，
得3k+4＝5，
解得k＝，
故C选项符合题意；
将点（4，0）代入y＝kx+4，
得4k+4＝0，
解得k＝﹣1，
故D选项不符合题意．
故选：C．
9．（4分）如图，点A，B，C在同一条直线上，点B在点A，C之间，点D，E在直线AC同侧，AB＜BC，∠A＝∠C＝90°，△EAB≌△BCD，连接DE．设AB＝a，BC＝b，DE＝c，给出下面三个结论：
①a+b＜c；
②a+b＞；
③（a+b）＞c．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
【解答】解：①过点D作DF∥AC，交AE于点F；过点B作BG⊥FD，交FD于点G．
∵DF∥AC，AC⊥AE，
∴DF⊥AE．
又∵BG⊥FD，
∴BG∥AE，
∴四边形ABGF为矩形．
同理可得，四边形BCDG也为矩形．
∴FD＝FG+GD＝a+b．
∴在Rt△EFD中，斜边c＞直角边a+b．
故①正确．
②∵△EAB≌△BCD，
∴AE＝BC＝b，
∴在Rt△EAB中，BE＝＝．
∵AB+AE＞BE，
∴a+b＞．
故②正确．
③∵△EAB≌△BCD，
∴∠AEB＝∠CBD，
又∵∠AEB+∠ABE＝90°，
∴∠CBD+∠ABE＝90°，
∴∠EBD＝90°．
∵BE＝BD，
∴∠BED＝∠BDE＝45°，
∴BE＝＝c•sin45°＝c．
∴c＝．
∵＝2（a2+2ab+b2）＝2（a2+b2）+4ab＞2（a2+b2），
∴＞，
∴＞c．
故③正确．
故选：D．
10．（4分）如果正整数a、b、c满足等式a2+b2＝c2，那么正整数a、b、c叫做勾股数，某同学将自己探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知x+y的值为（ ）
A．47B．62C．79D．98
【解答】解：由题可得，3＝22﹣1，4＝2×2，5＝22+1，……
∴a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1，
∴当c＝n2+1＝65时，n＝8，
∴x＝63，y＝16，
∴x+y＝79，
故选：C．
二、填空题（每题4分，共24分）
11．（4分）化简：
（1）＝ 2 ；
（2）＝ ．
【解答】解：（1）；
故答案为：2．
（2）．
故答案为：．
12．（4分）将直线y＝3x沿y轴向下平移1个单位长度后得到的直线解析式为 y＝3x﹣1 ．
【解答】解：将直线y＝3x沿y轴向下平移1个单位长度后得到的直线解析式为y＝3x﹣1，
故答案为：y＝3x﹣1．
13．（4分）如图，在菱形ABCD中，AB＝10，∠B＝60°，则AC的长为 10 ．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
∵∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝10．
故答案为：10．
14．（4分）如图，长为8cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3cm到D，则橡皮筋被拉长了 2 cm．
【解答】解：Rt△ACD中，AC＝AB＝4cm，CD＝3cm；
根据勾股定理，得：AD＝＝5cm；
∴AD+BD﹣AB＝2AD﹣AB＝10﹣8＝2cm；
故橡皮筋被拉长了2cm．
15．（4分）如图直线y＝kx+b（k，b为常数且k＜0），经过点A（2，1），则关于x的不等式解集为 x＞2 ．
【解答】解：函数y＝x的图象过点（0，0）和（2，1），
则函数y＝x的图象如右图所示，
由图象可得，不等式解集为x＞2，
故答案为：x＞2．
16．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，将矩形ABCD绕点C旋转，点A、B、D的对应点分别为A′、B′、D′，当A′落在边CD的延长线上时，边A′D′与边AD的延长线交于点F，联结CF，那么线段CF的长度为 ．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝3，AD＝BC＝4，∠ADC＝90°，
∴∠A'DF＝∠CDF＝90°，
由旋转的性质得：CD＝CD'＝3，A'D'＝AD＝4，∠ADC＝∠A'D'C＝90°，
∴A'C＝＝5，
∴A'D＝A'C﹣CD＝5﹣3＝2，
在Rt△CDF和Rt△CD'F中，，
∴Rt△CDF≌Rt△CD'F（HL），
∴DF＝D'F，
设DF＝D'F＝x，则A'F＝4﹣x，
在Rt△A'DF中，由勾股定理得：22+x2＝（4﹣x）2，
解得：x＝，
∴DF＝，
∴CF＝＝＝；
故答案为：．
三、解答题（9题，共86分）
17．（8分）计算：
（1）×；
（2）．
【解答】解：（1）×
＝×
＝12；
（2）
＝2﹣9﹣1
＝﹣8．
18．（8分）先化简，再求值：（1+）÷，其中a＝+1．
【解答】解：原式＝÷
＝•
＝，
当a＝+1时，原式＝＝．
19．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在BC、AD上，且DF＝BE．
求证：AE＝CF．
【解答】证明：
在▱ABCD中，AD＝BC且AD∥BC，
∵BE＝FD，
∴AF＝CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AE＝CF．
20．（8分）已知一次函数图象过点（1，4）和（0，2），求这个一次函数的解析式，并在直角坐标系中画出该函数图象．
【解答】解：设一次函数解析式为y＝kx+b，
将（1，4）和（0，2）代入y＝kx+b得，
解得，
∴y＝2x+2，
如图，
21．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作出边BC的垂直平分线EF，交AB于点E，交BC于点F．（要求：不写作法，保留作图痕迹，标出字母）
（2）连接CE，求CE的长度．
【解答】解：（1）如图：EF即为所求；
（2）∵边BC的垂直平分线是EF，
∴CE＝BE，
∵∠BAC＝90°，
∴AC2+AE2＝CE2，即36+（8﹣CE）2＝CE2，
解得：CE＝6.25．
22．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．线段EF是由线段AB平移得到的，点F在边BC上，△EFD是以EF为斜边的等腰直角三角形，且点D恰好在AC的延长线上．
（1）求证：∠ADE＝∠DFC；
（2）求证：CD＝BF．
【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠CDF+∠DFC＝90°，
∵△EFD是以EF为斜边的等腰直角三角形，
∴∠EDF＝90°，DE＝FD，
∵∠EDF＝∠ADE+∠CDF＝90°，
∴∠ADE＝∠DFC；
（2）
连接AE，
∵线段EF是由线段AB平移得到的，
∴EF∥AB，EF＝AB，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∴AE∥BC，AE＝BF，
∴∠DAE＝∠BCA＝90°，
∴∠DAE＝∠FCD，
在△ADE和△CFD中，
，
∴△ADE≌△CFD（AAS），
∴AE＝CD，
∵AE＝BF，
∴CD＝BF．
23．（10分）学校准备购进一批节能灯，已知1只A型节能灯和3只B型节能灯共需26元；3只A型节能灯和2只B型节能灯共需29元．
（1）求一只A型节能灯和一只B型节能灯的售价各是多少元？
（2）学校准备购进这两种型号的节能灯共50只，并且A型节能灯的数量不多于B型节能灯数量的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
【解答】解：（1）设一只A型节能灯的售价是x元，一只B型节能灯的售价是y元，
根据题意，得：，
解得：，
答：一只A型节能灯的售价是5元，一只B型节能灯的售价是7元；
（2）设购进A型节能灯m只，总费用为W元，
根据题意，得：W＝5m+7（50﹣m）＝﹣2m+350，
∵﹣2＜0，
∴W随m的增大而减小，
又∵m≤3（50﹣m），解得：m≤37.5，
而m为正整数，
∴当m＝37时，W最小＝﹣2×37+350＝276，
此时50﹣37＝13，
答：当购买A型灯37只，B型灯13只时，最省钱．
24．（14分）如图，在平行四边形ABCD中，点E是BC边上的动点，现将△ABE沿AE折叠，点B′是点B的对应点．
（1）如图1，当点B′恰好落在AD边上时，求证：四边形ABEB′是平行四边形；
（2）如图2，若∠B＝60°，AB＝6，BC＝9，点B′落在DE上时，求B′D的长；
（3）如图3．若∠B＝60°，∠BAC＝90°，AB＝6，连接B′D，取B′D的中点F，连接CF，求CF的取值范围．
【解答】（1）证明：如图1，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥DC，∠B＝∠ADC，
∴AB′∥BE，
由折叠得∠B＝∠AB′E，
∴∠AB′E＝∠ADC，
∴B′E∥DC，
∴AB∥B′E，
∴四边形ABEB′是平行四边形．
（2）解：如图2，作DH⊥BC交BC的延长线于点H，则∠H＝90°，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠BEA，
∵点B′落在DE上，
∴∠DEA＝∠BEA，
∴∠DAE＝∠DEA，
∵DC∥AB，∠B＝60°，AB＝6，BC＝9，
∴∠DCH＝∠B＝60°，ED＝AD＝BC＝9，DC＝AB＝6，
∴∠CDH＝90°﹣∠DCH＝30°，
∴CH＝DC＝3，
∴DH2＝DC2﹣CH2＝62﹣32＝27，
∴EH＝＝＝3，
∵ED＝BC，B′E＝BE，
∴B′D＝ED﹣B′E＝BC﹣BE＝CE＝EH﹣CH＝3﹣3，
∴B′D的长是3﹣3．
（3）解：如图3，取AD的中点T，连接CT、FT，
∵∠B＝60°，∠BAC＝90°，AB＝6，
∴∠ACB＝90°﹣∠B＝30°，∠ADC＝∠B＝60°，CD＝AB＝6，
∴AD＝BC＝2AB＝12，
∴DT＝AT＝AD＝6＝CD，
∴△DCT是等边三角形，
∴CT＝DT＝6，
∵AB′＝AB＝6，点F是B′D的中点，点T是AD的中点，
∴TF＝AB′＝3，
∵CF≥CT﹣TF，且CT﹣TF＝6﹣3＝3，
∴CF≥3，
∴CF的最小值是3；
∵点E是BC边上的动点，
∴当点F在直线CT的上方，且点E与点C重合时CF的值最大，
如图4，点E与点C重合，则∠B′AC＝∠BAC＝90°，
∴∠B′AC+∠BAC＝180°，
∴B、A、B′三点在同一条直线上，
∴AB′∥CD，且AB′＝CD，
∴四边形ACDB′是平行四边形，
∵∠B′AC＝90°，
∴四边形ACDB′是矩形，
∴∠CDF＝90′，B′D＝AC＝＝＝6，
∴DF＝B′D＝3，
∴CF＝＝＝3，
∴CF的最大值为3，
∴CF的取值范围是3≤CF≤3．
25．（12分）把一次函数y＝kx+b（k，b为常数，k≠0）在x轴下方的图象沿x轴向上翻折，与原来在x轴上方的图象组合，得到一个新的图象，我们称之为一次函数的“V形”图象，例如：如图1就是函数y＝x的“V形”图象．
（1）请在图2中画出一次函数y＝x+1的“V形”图象，并直接写出该图象与x轴交点A的坐标是 （﹣1，0） ；
（2）在（1）的条件下，若直线与一次函数y＝x+1的“V形”图象相交于B，C两点，求△ABC的面积；
（3）一次函数y＝kx﹣5k+4（k为常数）的“V形”图象经过（﹣1，y1），（3，y2）两点，且y1＞y2，求k的取值范围．
【解答】解：（1）
如图是所求的图象．点A的坐标是（﹣1，0）；
故答案为：（﹣1，0）；
（2）由，
解得．
∴B（﹣3，2）．
∵，
解得．
∴C（0，1）．
由（1）得：A（﹣1，0）．
∴△ABC的面积＝；
解：（3）∵直线y＝kx﹣5k+4（k≠0，且为常数），
∴当x＝5时，y＝4．
∴经过定点（5，4）．
当y＝0时，．
∴该图象与x轴交点．
①当k＞0时，
∵y1＞y2，由图象可知，
解之得k＞1．
∴k＞1
②当k＜0时，由图象可知，始终有y1＞y2．
综上所述，k＞1或k＜0．