2024年广东省广州市增城区中考数学一模试卷 (1)

这是一份2024年广东省广州市增城区中考数学一模试卷 (1)，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）在实数﹣1，，，3.14中，无理数是（ ）
A．﹣1B．C．D．3.14
2．（3分）下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）已知水星的半径约为24400000米，用科学记数法表示为（ ）米．
A．0.244×108B．2.44×106C．2.44×107D．24.4×106
4．（3分）某校即将举行田径运动会，小明从“跳高”“跳远”“100米”“400米”四个项目中，随机选择一项参赛，则他选择“100米”项目的概率是（ ）
A．B．C．D．
5．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．x2•x4＝x6B．x3+x5＝x8C．（x2）3＝x5D．
6．（3分）在▱ABCD中，点E为AD的中点，连接BE，交AC于点F，则AF：CF＝（ ）
A．1：2B．1：3C．2：3D．2：5
7．（3分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2＝0有实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m≠0B．m≤C．m＜D．m＞
8．（3分）如图，在△ABC中，∠CAB＝70°．在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠BAB′＝（ ）
A．30°B．35°C．40°D．50°
9．（3分）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为E，连接BD并延长，与过点A的切线AM相交于点P，连接AC．若⊙O的半径为5，AC＝8，则AP的长是（ ）
A．B．13C．D．14
10．（3分）已知二次函数y＝a（x﹣1）2﹣a（a≠0），当﹣1≤x≤4时，y的最小值为﹣4，则a的值为（ ）
A．或4B．或﹣C．﹣或4D．﹣或4
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．）
11．（3分）分解因式：a2﹣2a＝ ．
12．（3分）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在直线y＝﹣3x+5上，且x1＞x2，则y1 y2．（填“＜”“＞”或“＝”）
13．（3分）某公司在2024年1月份的营业额为25万，3月份的营业额为36万，设该公司营业额的月平均增长率为x，则可列方程为 ．
14．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴是直线x＝﹣1，且与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），则该抛物线与x轴的另一个交点坐标是 ．
15．（3分）如图，数轴上点A、B表示的数分别为m、n，化简：|m﹣n|﹣＝ ．
16．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4cm，AD＝8cm，∠ABC＝60°，点P为线段AD的中点．动点E从点A开始沿边AD以1cm/s的速度运动至点P，动点F从点C开始沿边CB以2cm/s的速度运动至点B．点E、F同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．作点C关于直线EF的对称点C′，在点E从点A运动到点P的过程中，点C′的运动路径长为 cm．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（4分）解方程组：．
18．（4分）如图，已知∠B＝∠C，AD平分∠BAC．求证：△ABD≌△ACD．
19．（6分）春节放假期间，兴趣小组到某景点随机调查了10位游客一天使用共享电动车的次数，统计得到该10位游客一天使用共享电动车的次数如下：
（1）在这次调查中，该10位游客一天使用共享电动车次数的中位数为 ，众数为 ，平均数为 ；
（2）若春节放假期间，每天约有1200位游客到此景点，试估计这些游客在春节放假期间每天使用共享电动车的总次数．
20．（6分）已知T＝（a﹣b）2﹣a（a+b）﹣b2．
（1）化简T；
（2）若a，b是方程x2+x﹣6＝0的两个根，求T的值．
21．（8分）某学校开展“劳动创造美好生活”活动，某班负责校园绿化角的设计、种植与养护，同学们计划购买绿萝和吊兰两种绿植，已知吊兰的单价比绿萝的单价多5元，且用200元购买绿萝的盆数与用300元购买吊兰的盆数相同．
（1）求购买绿萝的单价是多少元？
（2）若购买绿萝的数量是吊兰数量的2倍，且资金不超过600元，求购买吊兰的数量最多是多少盆？
22．（10分）如图，四边形ABCD为正方形，点A在y轴上，点B在x轴上，且OA＝4，OB＝2，反比例函数y＝（k≠0）在第一象限的图象经过正方形的顶点C．
（1）求点C的坐标和反比例函数的解析式；
（2）若点N为直线OD上的一动点（不与点O重合），在y轴上是否存在点M，使以点A、M、C、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
23．（10分）如图，在△ABC中，∠C是钝角．
（1）尺规作图：在AB上取一点O，以O为圆心，作出⊙O，使其过A、C两点，交AB于点D，连接CD；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）所作的图中，若∠BCD＝∠A，tanA＝，BC＝9．
①求证：BC是⊙O的切线；
②求弦AC的长．
24．（12分）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+2mx﹣2m+1（m是常数），顶点为M．
（1）用含m的式子表示抛物线的对称轴；
（2）已知点A（﹣2m﹣2，2），当点A不在y轴上时，点A关于x轴的对称点为点B，分别过点A、B作y轴的垂线，垂足分别为D、C，连接AB，得到矩形ABCD．
①当m＞﹣1时，点M到边AB所在直线的距离等于点M到x轴的距离，求m的值；
②当m＜﹣1时，抛物线的一部分经过矩形ABCD的内部，这部分抛物线上的点的纵坐标y随着x的增大而减小，求m的取值范围．
25．（12分）如图，在等腰直角三角形ABC中，AC＝6，点D在边BC的延长线上，将线段CD绕点D逆时针旋转90°得到线段DE，连接BE，P为BE的中点．
（1）求BC的长；
（2）连接AP，PD，请猜想AP与PD的数量和位置关系，并证明你的结论；
（3）在（2）的条件下，若点M为AC中点，连接MP，PC，求MP+PC的最小值．
2024年广东省广州市增城区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（3分）在实数﹣1，，，3.14中，无理数是（ ）
A．﹣1B．C．D．3.14
【分析】无理数即无限不循环小数，据此进行判断即可．
【解答】解：实数﹣1，，，3.14中，无理数是，
故选：B．
【点评】本题考查无理数的识别，其定义是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
2．（3分）下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此判断即可．
【解答】解：A、B、C均能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
D中不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3．（3分）已知水星的半径约为24400000米，用科学记数法表示为（ ）米．
A．0.244×108B．2.44×106C．2.44×107D．24.4×106
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将24400000用科学记数法表示为：2.44×107．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（3分）某校即将举行田径运动会，小明从“跳高”“跳远”“100米”“400米”四个项目中，随机选择一项参赛，则他选择“100米”项目的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据小明从“跳高”“跳远”“100米”“400米”四个项目中，随机选择一项参赛，可以得到他选择“100米”项目的概率．
【解答】解：由题意可得，
他选择“100米”项目的概率，
故选：B．
【点评】本题考查概率公式，解答本题的关键是明确题意，求出相应的概率．
5．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．x2•x4＝x6B．x3+x5＝x8C．（x2）3＝x5D．
【分析】A．根据同底数幂相乘法则进行计算，然后判断即可；
B．先判断x3，x5是否是同类项，能否合并，然后判断即可；
C．根据幂的乘方法则进行计算，然后判断即可；
D．根据合并同类二次根式法则进行计算，然后判断即可．
【解答】解：A．∵x2•x4＝x6，∴此选项计算正确，故此选项不符合题意；
B．∵x3，x5不是同类项，不能合并，∴此选项计算错误，故此选项不符合题意；
C．∵（x2）3＝x6，∴此选项计算错误，故此选项不符合题意；
D．∵，∴此选项计算错误，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题主要考查了整式的有关运算，解题关键是熟练掌握幂的乘方法则、同底数幂相乘法则和同类项的定义．
6．（3分）在▱ABCD中，点E为AD的中点，连接BE，交AC于点F，则AF：CF＝（ ）
A．1：2B．1：3C．2：3D．2：5
【分析】根据四边形ABCD是平行四边形，求证△AEF∽△BCF，然后利用其对应边成比例即可求得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴△AEF∽△BCF，
∴＝，
∵点E为AD的中点，
∴＝＝，
故选：A．
【点评】此题主要考查学生对相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质等知识点，难度不大，属于基础题．
7．（3分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2＝0有实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m≠0B．m≤C．m＜D．m＞
【分析】由方程有实数根即Δ＝b2﹣4ac≥0，从而得出关于m的不等式，解之可得．
【解答】解：根据题意得，Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（2m﹣1）]2﹣4m2＝﹣4m+1≥0，
解得：m≤，
故选：B．
【点评】本题主要考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根与判别式间的关系是解题的关键．
8．（3分）如图，在△ABC中，∠CAB＝70°．在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠BAB′＝（ ）
A．30°B．35°C．40°D．50°
【分析】旋转中心为点A，B与B′，C与C′分别是对应点，根据旋转的性质可知，旋转角∠BAB′＝∠CAC′，AC＝AC′，再利用平行线的性质得∠C′CA＝∠CAB，把问题转化到等腰△ACC′中，根据内角和定理求∠CAC′．
【解答】解：∵CC′∥AB，∠CAB＝70°，
∴∠C′CA＝∠CAB＝70°，
又∵C、C′为对应点，点A为旋转中心，
∴AC＝AC′，即△ACC′为等腰三角形，
∴∠BAB′＝∠CAC′＝180°﹣2∠C′CA＝40°．
故选：C．
【点评】本题考查了旋转的基本性质，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线的夹角为旋转角．同时考查了平行线的性质．
9．（3分）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为E，连接BD并延长，与过点A的切线AM相交于点P，连接AC．若⊙O的半径为5，AC＝8，则AP的长是（ ）
A．B．13C．D．14
【分析】连接AD，根据勾股定理可求出BD，证明△BDA∽△BAP，再根据相似三角形的性质计算，即可求得线段PD的长．
【解答】解：如图，连接AD，
∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴CE＝DE，
∴AD＝AC＝8，
∵AB是⊙O的直径，⊙O的半径为5，
∴∠ADB＝90°，AB＝10，
∴BD＝＝＝6，
∵AM是圆O的切线，
∴∠ADB＝∠BAP＝90°，
∵∠B＝∠B，
∴△BDA∽△BAP，
∴，
即，
解得：PB＝，
∴AP＝＝．
故选：C．
【点评】本题考查了切线的性质、圆周角定理，垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定和性质，掌握切线的性质是解题的关键．
10．（3分）已知二次函数y＝a（x﹣1）2﹣a（a≠0），当﹣1≤x≤4时，y的最小值为﹣4，则a的值为（ ）
A．或4B．或﹣C．﹣或4D．﹣或4
【分析】分两种情况讨论：当a＞0时，﹣a＝﹣4，解得a＝4；当a＜0时，在﹣1≤x≤4，9a﹣a＝﹣4，解得a＝﹣．
【解答】解：y＝a（x﹣1）2﹣a的对称轴为直线x＝1，
顶点坐标为（1，﹣a），
当a＞0时，在﹣1≤x≤4，函数有最小值﹣a，
∵y的最小值为﹣4，
∴﹣a＝﹣4，
∴a＝4；
当a＜0时，在﹣1≤x≤4，当x＝4时，函数有最小值，
∴9a﹣a＝﹣4，
解得a＝﹣；
综上所述：a的值为4或﹣，
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，根据二次函数的性质，在指定的范围内准确求出函数的最小值是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．）
11．（3分）分解因式：a2﹣2a＝ a（a﹣2） ．
【分析】观察原式，找到公因式a，提出即可得出答案．
【解答】解：a2﹣2a＝a（a﹣2）．
故答案为：a（a﹣2）．
【点评】此题主要考查了提公因式法分解因式的方法，此题属于基础性质的题．因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．一般来说，如果可以提取公因式的要先提取公因式，再看剩下的因式是否还能分解．
12．（3分）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在直线y＝﹣3x+5上，且x1＞x2，则y1 ＜ y2．（填“＜”“＞”或“＝”）
【分析】先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性，再根据x1＜x2即可得出结论．
【解答】解：∵直线y＝﹣3x+5中，k＝﹣3＜0，
∴y随x的增大而减小，
∵x1＞x2，
∴y1＜y2．
故答案为：＜．
【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
13．（3分）某公司在2024年1月份的营业额为25万，3月份的营业额为36万，设该公司营业额的月平均增长率为x，则可列方程为 25（1+x）2＝36 ．
【分析】根据该公司营业额的月平均增长率为x结合1月、3月营业额即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：由题意得，
25（1+x）2＝36．
故答案为：25（1+x）2＝36．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据数量关系列出关于x的一元二次方程是解题的关键．
14．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴是直线x＝﹣1，且与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），则该抛物线与x轴的另一个交点坐标是 （1，0） ．
【分析】根据与x轴的两个交点关于对称轴对称即可做出判断．
【解答】解：∵抛物线的对称轴x＝﹣1，与x轴交于（﹣3，0），
∴另一个交点坐标（1，0），
故答案为：（1，0）．
【点评】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会利用数形结合的思想思考问题，属于中考常考题型．
15．（3分）如图，数轴上点A、B表示的数分别为m、n，化简：|m﹣n|﹣＝ n ．
【分析】先观察数轴，判断m，n的大小，然后根据绝对值的性质和二次根式的性质进行化简即可．
【解答】解：由数轴可知：m＜0，n＞1，
∴m﹣n＜0，
∴
＝n﹣m﹣（﹣m）
＝n﹣m+m
＝n，
故答案为：n．
【点评】本题主要考查了二次根式的化简求值，解题关键是熟练掌握绝对值的性质和二次根式的性质．
16．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4cm，AD＝8cm，∠ABC＝60°，点P为线段AD的中点．动点E从点A开始沿边AD以1cm/s的速度运动至点P，动点F从点C开始沿边CB以2cm/s的速度运动至点B．点E、F同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．作点C关于直线EF的对称点C′，在点E从点A运动到点P的过程中，点C′的运动路径长为 cm．
【分析】连接AC，BP，延长BA，CP交于点T，设AC，EF交于点O，利用平行四边形的性质，直角三角形的边角关系定理求得AC，利用相似三角形的判定与性质求得OC，由于当点E点运动到点P时，点F运动到点B，此时EF与BP重合，则C与点T重合，所以C的运动轨迹为，利用弧长公式解答即可得出结论．
【解答】解：连接AC，BP，延长BA，CP交于点T，设AC，EF交于点O，如图，
∵在平行四边形ABCD中，AB＝4cm，AD＝8cm，∠ABC＝60°，点P为线段AD的中点．
∴AB＝AP＝4，DP＝DC＝4，∠D＝∠ABC＝60°，
∴PC＝PA＝PD＝4，
∴∠ACD＝90°，
∵AB∥CD，
∴AC⊥AB，
∴AC＝BC•sin60°＝8×＝4．
∵∠PCD＝60°，
∴∠PCB＝60°＝∠ABC，
∴△TBC是等边三角形，
∵动点E从点A开始沿边AD以1cm/s的速度运动至点P，动点F从点C开始沿边CB以2cm/s的速度运动至点B，
∴．
∵AE∥CF，
∴△AEO﹣△CFO，
∴，
∴，
∵AB＝AP，∠BAD＝120°，
∴∠ABP＝30，°，
∴∠TBP＝∠CBP＝30°，
∴BP⊥TC，BP过点O，
∴点O是△TBC的外心，
∴∠TOC＝2∠TBC＝120°，
∵点C关于直线EF的对称点C，
∴，
∴当点E运动到点P时，点F运动到点B，此时EF与BP重合，则C′与点T重合，
∴C′的运动轨迹为，
∴点C′的运动路径长为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，轴对称的性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，30°角的直角三角形的性质，勾股定理，圆的有关性质，圆的弧长公式，熟练掌握轴对称的性质和圆的有关性质是解题的关键．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（4分）解方程组：．
【分析】①+②得出3x＝9，求出x，把x＝3代入①求出y即可．
【解答】解：，
①+②得：3x＝9，
解得：x＝3，
把x＝3代入①得：3+y＝5，
解得：y＝2，
所以原方程组的解为：．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，掌握把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键．
18．（4分）如图，已知∠B＝∠C，AD平分∠BAC．求证：△ABD≌△ACD．
【分析】根据AAS证明三角形全等即可．
【解答】证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（AAS）．
【点评】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法．
19．（6分）春节放假期间，兴趣小组到某景点随机调查了10位游客一天使用共享电动车的次数，统计得到该10位游客一天使用共享电动车的次数如下：
（1）在这次调查中，该10位游客一天使用共享电动车次数的中位数为 2 ，众数为 2 ，平均数为 2.5 ；
（2）若春节放假期间，每天约有1200位游客到此景点，试估计这些游客在春节放假期间每天使用共享电动车的总次数．
【分析】（1）根据中位数、众数和平均数的定义求解即可；
（2）总人数乘以样本的平均数即可得出答案．
【解答】解：（1）这10位游客1天内使用“哈啰”共享电动车的次数的中位数是＝2（次），众数是2次，平均数是×（0×2+2×4+3×1+4×2+6×1）＝2.5（次），
故答案为：2，2，2.5；
（2）根据题意得：
1200×2.5＝3000（次），
答：估计这些游客在春节放假期间每天使用共享电动车的总次数为3000次．
【点评】本题主要考查了中位数、众数、平均数以及用样本估计总体，掌握中位数、众数、平均数以及用样本估计总体的定义是解题的关键．
20．（6分）已知T＝（a﹣b）2﹣a（a+b）﹣b2．
（1）化简T；
（2）若a，b是方程x2+x﹣6＝0的两个根，求T的值．
【分析】（1）将完全平方展开、单项式乘多项式展开，再合并同类项即可；
（2）根据根与系数的关系得到ab＝﹣6代入化简后T的代数式计算即可．
【解答】解：（1）T＝（a﹣b）2﹣a（a+b）﹣b2
＝a2﹣2ab+b2﹣a2﹣ab﹣b2
＝﹣3ab；
（2）∵a，b是方程x2+x﹣6＝0的两个根，
∴ab＝﹣6，
∴T＝﹣3ab＝﹣3×（﹣6）＝18．
【点评】本题考查了完全平方公式和单项式乘多项式，熟练掌握根与系数的关系是关键．
21．（8分）某学校开展“劳动创造美好生活”活动，某班负责校园绿化角的设计、种植与养护，同学们计划购买绿萝和吊兰两种绿植，已知吊兰的单价比绿萝的单价多5元，且用200元购买绿萝的盆数与用300元购买吊兰的盆数相同．
（1）求购买绿萝的单价是多少元？
（2）若购买绿萝的数量是吊兰数量的2倍，且资金不超过600元，求购买吊兰的数量最多是多少盆？
【分析】（1）设购买绿萝的单价为x元，则购买吊兰的单价为（x+5）元，由题意：用200元购买绿萝的盆数与用300元购买吊兰的盆数相同．列出分式方程，解方程即可；
（2）设购买吊兰的数量为m盆，则购买绿萝的数量为2m盆，由题意：资金不超过600元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【解答】解：（1）设购买绿萝的单价为x元，则购买吊兰的单价为（x+5）元，
由题意得：，
解得：x＝10，
经检验，x＝10是原方程的解，且符合题意，
答：购买绿萝的单价为10元；
（2）设购买吊兰的数量为m盆，则购买绿萝的数量为2m盆，
由题意得：15m+10×2m≤600，
解得：m≤，
∵m为正整数，
∴m的最大值为17，
答：购买吊兰的数量最多是17盆．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
22．（10分）如图，四边形ABCD为正方形，点A在y轴上，点B在x轴上，且OA＝4，OB＝2，反比例函数y＝（k≠0）在第一象限的图象经过正方形的顶点C．
（1）求点C的坐标和反比例函数的解析式；
（2）若点N为直线OD上的一动点（不与点O重合），在y轴上是否存在点M，使以点A、M、C、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用三角形全等求出点C坐标，由点C坐标求出反比例函数解析式即可；
（2）根据点AC为定点，分两种情况讨论：①当AC为平行四边形的对角线时存在一个M点；②当AC为平行四边形的边时存在一个M点，求出点M坐标即可．
【解答】解：（1）如图1，作CE⊥x轴，垂足为E，
∵ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°，
在△AOB和△BEC中，
，
∴△AOB≌△BEC（AAS），
∴AO＝BE＝4，OB＝CE＝2，
∴OE＝OB+BE＝2+4＝6，
∴C（6，2），
∵C（6，2）在反比例函数图象上，
∴k＝6×2＝12，
∴反比例函数解析式为：y＝．
（2）在y轴上存在点M，使以点A、M、C、N为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
根据（1）中求C点坐标，同理可得点D坐标（4，6），设直线OD解析式为y＝kx，代入点D坐标得：6＝4k，解得k＝，
∴直线OD解析式为：y＝，
当AC为平行四边形的对角线时，在y＝x中，令x＝6，得y＝9，
∴N（6，9），
∴NC＝9﹣2＝7，
∵AMCN是平行四边形，
∴AM＝7，
∵OA＝4，
∴OM＝3，
∴M（0，﹣3）；
当AC为平行四边形的边时，
点A向上移动7个单位得到平行四边形MACN，
此时点M的坐标为（0，11）．
当点M、N在x轴下方时，M（0，﹣11）．
综上所述，符合条件的点M有2个，坐标为（0，﹣3）或（0，11）或（0，﹣11）．
【点评】本题考查了反比例函数综合应用，熟练掌握平行四边形的存在性是解答本题的关键．
23．（10分）如图，在△ABC中，∠C是钝角．
（1）尺规作图：在AB上取一点O，以O为圆心，作出⊙O，使其过A、C两点，交AB于点D，连接CD；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）所作的图中，若∠BCD＝∠A，tanA＝，BC＝9．
①求证：BC是⊙O的切线；
②求弦AC的长．
【分析】（1）作线段AC的垂直平分线交AB于点O，以O为圆心，OA为半径作⊙O交AB于点D；
（2）①连接OC，证明OC⊥CB即可；
②证明△CBD∽△ABC，推出，因为tan∠A＝＝，BC＝9，所以AB＝27，因为BC2＝BD•BA，所以BD＝3，推出AD＝AB﹣BD＝24，设CD＝k，AC＝3k，则有k2+9k2＝242，求出k，即可解决问题．
【解答】（1）解：如图，⊙O，点D即为所求；
（2）①证明：连接OC，
∵AD是直径，
∴∠ACD＝90°，
∴∠A+∠ADC＝90°，
∵OC＝OD，
∴∠ODC＝∠OCD，
∴∠A+∠OCD＝90°，
∵∠DCB＝∠A，
∴∠DCB+∠OCD＝90°，
∴∠OCB＝90°，
∴OC⊥BC，
∵OC是半径，
∴BC是⊙O的切线；
②解：∵∠B＝∠B，∠DCB＝∠A，
∴△CBD∽△ABC，
∴，
∵tan∠A＝＝，BC＝9，
∴AB＝27，
∵BC2＝BD•BA，
∴BD＝3，
∴AD＝AB﹣BD＝24，
设CD＝k，AC＝3k，则有k2+9k2＝242，
∴k＝（负根已经舍去），
∴AC＝．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，切线的判定，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
24．（12分）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+2mx﹣2m+1（m是常数），顶点为M．
（1）用含m的式子表示抛物线的对称轴；
（2）已知点A（﹣2m﹣2，2），当点A不在y轴上时，点A关于x轴的对称点为点B，分别过点A、B作y轴的垂线，垂足分别为D、C，连接AB，得到矩形ABCD．
①当m＞﹣1时，点M到边AB所在直线的距离等于点M到x轴的距离，求m的值；
②当m＜﹣1时，抛物线的一部分经过矩形ABCD的内部，这部分抛物线上的点的纵坐标y随着x的增大而减小，求m的取值范围．
【分析】（1）根据对称轴为直线x＝﹣求解即可；
（2）①分两种情况，顶点M在必上方或下方时，根据题意，列出关于m的方程，求解即可；
②分为两种情况，当点A，B分别在对称轴的左右两侧时，根据题意，列出不等式，求解即可．
【解答】解：（1）∵y＝x2+2mx﹣2m+1，
∴抛物线对称轴直线为x＝﹣＝﹣m；
（2）①∵y＝x2+2mx﹣2m+1＝（x+m）2﹣m2﹣2m+1，
∴顶点M（﹣m，﹣m2﹣2m+1），
∴M到x轴的距离为|﹣m2﹣2m+1|，
点M到边AB所在直线的距离d＝|﹣m﹣（﹣2m﹣2）|＝|m+2|，
∵m＞﹣1，
∴m+2＞0，即d＝m+2，
当﹣m2﹣2m+1＞0时，﹣m2﹣2m+1＝m+2，
解得：m＝或m＝（不合题意，舍去）；
当﹣m2﹣2m+1＜0时：m2+2m﹣1＝m+2，
解得m＝或m＝（不合题意，舍去）；
综上，m＝或m＝；
②由题意可得：B（﹣2m﹣2，﹣2），
当x＝﹣2m﹣2时，y＝（﹣2m﹣2）2+2m（﹣2m﹣2）﹣2m+1＝2m+5，
当点A，B分别在对称轴左侧时，如图1：
此时需要满足的条件为：
，
解得﹣2≤m＜﹣；
当点A，B分别在对称轴左侧时，如图2：
此时需要满足的条件为：
，
解得m≤﹣，
综上所述，m的取值范围为m≤﹣或﹣2≤m＜﹣．
【点评】此题属于二次函数综合题，主要考查了二次函的图象与性质，二次函数与矩形的综合应用，难度比较大，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，利用数形结合的思想求解问题．
25．（12分）如图，在等腰直角三角形ABC中，AC＝6，点D在边BC的延长线上，将线段CD绕点D逆时针旋转90°得到线段DE，连接BE，P为BE的中点．
（1）求BC的长；
（2）连接AP，PD，请猜想AP与PD的数量和位置关系，并证明你的结论；
（3）在（2）的条件下，若点M为AC中点，连接MP，PC，求MP+PC的最小值．
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质即可求解；
（2）连接CE，AP，PD，由旋转可得△CDE是等腰直角三角形，则∠DCE＝45°，得出A，C，E三点共线，根据直角三角形斜边上的中线得PA＝BE，PD＝BE，可得出PA＝PD，由A，B，E，D四点共圆，
可得∠APD＝2∠ABC＝90°，则AP⊥PD；
（3）过点A作AT⊥BC于点T，由A，T，P，D四点共圆，可得∠DTP＝∠DAP＝45°，则点P在射线TP上运动，作点M关于TP的对称点M′，连接CM′，当P点在CM′上时，PM+PC＝PM′+PC＝M'C，此时MP+PC取得最小值，在Rt△M′MC中，利用勾股定理即可求解．
【解答】解：（1）在等腰直角三角形ABC中，AC＝6，
∴；
（2）猜想：AP＝PD，AP⊥PD，
证明：连接CE，AP，PD，
∵将线段CD绕点D逆时针旋转90°得到线段DE，
∴CD＝DE，∠CDE＝90°，
∴△CDE是等腰直角三角形，
∴∠DCE＝45°，
又∠ACB＝45°，
∴A，C，E三点共线，
∵P为BE的中点，∠BAE＝BDE＝90°，
∴PA＝BE，PD＝BE，
∴PA＝PD，
∵∠BAE＝BDE＝90°，
∴A，B，E，D四点共圆，
∵，
∴∠APD＝2∠ABC＝90°，
∴AP⊥PD；
（3）过点A作AT⊥BC于点T，
∴∠ATD＝∠APD＝90°，
∴A，T，P，D四点共圆，
∴，
∴∠DTP＝∠DAP＝45°，
∴点P在射线TP上运动，
∵∠DTP＝∠ACB＝45°，
∴TP∥AC，
作点M关于TP的对称点M′，连接CM′，
当P点在CM′上时，PM+PC＝PM′+PC＝M'C，此时MP+PC取得最小值，
∵△ATC是等腰直角三角形，M是AC的中点，AC＝6，
∴TM⊥AC，，，
∴MM′＝6，
在Rt△M′MC中，M′C＝＝＝3，
即MP+PC的最小值为．
【点评】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，圆的有关性质，平行线的判定与性质，轴对称的性质，勾股定理等知识．熟练掌握相关知识是解题的关键．
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