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2024襄阳鄂北六校联考高一下学期4月期中考试数学含答案
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这是一份2024襄阳鄂北六校联考高一下学期4月期中考试数学含答案，共8页。试卷主要包含了若两个单位向量，的夹角为，则，化简得，下列说法正确的是，把函数等内容，欢迎下载使用。
数学试题
主命题学校：南漳一中
命题老师：邹国富喻致勋耿纯勇郭仕杰
试卷满分：150分考试用时：120分钟
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号﹑座位号填写在试卷和答题卡上，并认真核准准考证号条形码上的信息，将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知向量，，若，则（ ）
A．5B．2C．3D．4
2．已知点落在角的终边上，则（ ）
A．1B．C．D．
3．函数（，，）的部分图象如图示，则图象解析式为（ ）
A．B．C．D．
4．若两个单位向量，的夹角为，则（ ）
A．2B．C．1D．
5．化简得（ ）
A．B．C．D．
6．我国古代的数学著作《九章算术》中的一个问题，现有一个“圆材埋壁”模型，其截面如图所示．若圆柱材料的截面圆的半径长为3，圆心为O，墙壁截面ABCD为矩形，且劣弧的长等于半径OA长的2倍，则圆材埋在墙壁内部的阴影部分截面面积是（ ）
A．B．C．D．9
7．已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，且，当时，则（ ）
A．64B．32C．24D．8
8．如图，在钝角△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，，过点A作与垂直的单位向量j，将j与向量表达式两边进行数量积的运算，即，化简后得到的结论是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分．部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列说法正确的是（ ）
A．已知，为平面内两个不共线的向量，则可作为平面的一组基底
B．已知两个非零向量，，若，则与同向
C．在△ABC中，若，，则△ABC为等边三角形
D．若向量，满足，则存在唯一实数，使得
10．把函数（）的图象向左平移个单位长度，得到的函数图象恰好关于y轴对称，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小正周期为
B．在区间上单调递增
C．当时，的值域为
D．若在区间上至少存在六个零点，则实数a的取值范围为
11．在△ABC中，，，，点D在线段AB上，下列结论正确的是（ ）
A．若CD是中线，则B．若CD是高，则
C．若CD是角平分线，则D．若，则D是线段AB的三等分点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知向量，，则向量在向量上的投影向量为 （用坐标表示）．
13．已知，则 ．
14．定义：．已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若，且，则边c的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
已知，．
（1）求与的夹角的余弦值；
（2）若，求值．
16．（本小题满分15分）
已知，，且，，，，求：
（1）的值；
（2）的值．
17．（本小题满分15分）
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求角A的大小；
（2）若，D是线段AC上的一点，，，求边c．
18．（本小题满分17分）
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P．
（1）令，，用，表示；
（2）证明：；
（3）若，，，求MPN的余弦值．
19．（本小题满分17分）
已知O为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数．
（1）记向量的相伴函数为，若且，求的值；
（2）设（），试求函数的相伴特征向量，并求出与方向相反的单位向量﹔
（3）已知，，，为函数（）的相伴特征向量，，请问在的图象上是否存在一点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
2023—2024学年下学期高一期中考试
数学试题
参考答案及评分标准
12．
13．
14．
15．解：
（1），
∴，
（2）
∴
∴
16．解：
（1）∵，，
∴
，
∴
（2）由（1）可得
∴
又∵
∴
17．解：
（1）因为，
所以由正弦定理可得，
即，
所以，
因为，所以
（2）设（），
则，
所以，
解得，
所以，
由正弦定理，，
所以
18．解：
（1）连接MN，则MN平行于AB且MN为中位线，
所以
（2）△ABC中，由余弦定理得
△ABM中，由余弦定理得
（3）∵
，
19．解：
（1）由题意知，向量的相伴函数为
由题意，且，，，
故
（2）因为
故函数的相伴特征向量，
则与反向的单位向量为
（3）因为，
其相伴特征向量，
故，
所以，
则，
设点，
又，，
所以，，
若，
则，
即，，
因为，，
故，
又，
故当且仅当时，成立
故在的图象上存在一点，使得
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
B
C
D
B
C
A
B
A
ABC
BCD
AC
数学试题
主命题学校：南漳一中
命题老师：邹国富喻致勋耿纯勇郭仕杰
试卷满分：150分考试用时：120分钟
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号﹑座位号填写在试卷和答题卡上，并认真核准准考证号条形码上的信息，将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知向量，，若，则（ ）
A．5B．2C．3D．4
2．已知点落在角的终边上，则（ ）
A．1B．C．D．
3．函数（，，）的部分图象如图示，则图象解析式为（ ）
A．B．C．D．
4．若两个单位向量，的夹角为，则（ ）
A．2B．C．1D．
5．化简得（ ）
A．B．C．D．
6．我国古代的数学著作《九章算术》中的一个问题，现有一个“圆材埋壁”模型，其截面如图所示．若圆柱材料的截面圆的半径长为3，圆心为O，墙壁截面ABCD为矩形，且劣弧的长等于半径OA长的2倍，则圆材埋在墙壁内部的阴影部分截面面积是（ ）
A．B．C．D．9
7．已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，且，当时，则（ ）
A．64B．32C．24D．8
8．如图，在钝角△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，，过点A作与垂直的单位向量j，将j与向量表达式两边进行数量积的运算，即，化简后得到的结论是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分．部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列说法正确的是（ ）
A．已知，为平面内两个不共线的向量，则可作为平面的一组基底
B．已知两个非零向量，，若，则与同向
C．在△ABC中，若，，则△ABC为等边三角形
D．若向量，满足，则存在唯一实数，使得
10．把函数（）的图象向左平移个单位长度，得到的函数图象恰好关于y轴对称，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小正周期为
B．在区间上单调递增
C．当时，的值域为
D．若在区间上至少存在六个零点，则实数a的取值范围为
11．在△ABC中，，，，点D在线段AB上，下列结论正确的是（ ）
A．若CD是中线，则B．若CD是高，则
C．若CD是角平分线，则D．若，则D是线段AB的三等分点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知向量，，则向量在向量上的投影向量为 （用坐标表示）．
13．已知，则 ．
14．定义：．已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若，且，则边c的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
已知，．
（1）求与的夹角的余弦值；
（2）若，求值．
16．（本小题满分15分）
已知，，且，，，，求：
（1）的值；
（2）的值．
17．（本小题满分15分）
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求角A的大小；
（2）若，D是线段AC上的一点，，，求边c．
18．（本小题满分17分）
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P．
（1）令，，用，表示；
（2）证明：；
（3）若，，，求MPN的余弦值．
19．（本小题满分17分）
已知O为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数．
（1）记向量的相伴函数为，若且，求的值；
（2）设（），试求函数的相伴特征向量，并求出与方向相反的单位向量﹔
（3）已知，，，为函数（）的相伴特征向量，，请问在的图象上是否存在一点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
2023—2024学年下学期高一期中考试
数学试题
参考答案及评分标准
12．
13．
14．
15．解：
（1），
∴，
（2）
∴
∴
16．解：
（1）∵，，
∴
，
∴
（2）由（1）可得
∴
又∵
∴
17．解：
（1）因为，
所以由正弦定理可得，
即，
所以，
因为，所以
（2）设（），
则，
所以，
解得，
所以，
由正弦定理，，
所以
18．解：
（1）连接MN，则MN平行于AB且MN为中位线，
所以
（2）△ABC中，由余弦定理得
△ABM中，由余弦定理得
（3）∵
，
19．解：
（1）由题意知，向量的相伴函数为
由题意，且，，，
故
（2）因为
故函数的相伴特征向量，
则与反向的单位向量为
（3）因为，
其相伴特征向量，
故，
所以，
则，
设点，
又，，
所以，，
若，
则，
即，，
因为，，
故，
又，
故当且仅当时，成立
故在的图象上存在一点，使得
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
B
C
D
B
C
A
B
A
ABC
BCD
AC
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