2024安庆二中高一下学期期中数学试题含解析

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（满分：150分 考试时间：120分钟）
命题人：李文中 审题人：左小刚
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若复数为纯虚数，则实数的值为（ ）
A. 2B. 2或C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，利用纯虚数的定义列式计算作答.
【详解】因为复数为纯虚数，则有，解得，
所以实数的值为.
故选：C
2. 若向量，满足：，，且，则与的夹角是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题目条件直接利用平面向量数量积公式即可求解.
【详解】设向量与的夹角是，，因为， ，所以，又 所以.
故选：D．
3. 在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且，则的形状为（ ）
A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形
【答案】A
【解析】
【分析】已知条件用正弦定理边化角，由展开后化简得，可得出等腰三角形的结论.
【详解】，由正弦定理，得，
即
∴，可得，
又，∴，
则的形状为等腰三角形.
故选：A.
4. 中，三个内角A，B，C对边分别为a，b，c．已知，，，则B的大小为（ ）
A. B. C. 或D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】根据正弦定理即可求解.
【详解】由正弦定理可得,
由于,，所以或,
故选：D
5. 如图，已知正四棱锥的侧棱长为，侧面等腰三角形的顶角为，则从A点出发环绕侧面一周后回到A点的最短路程为（ ）

A. B. C. D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】把正四棱锥的侧面沿着SA剪开，得到它的侧面展开图，得到一个由四个全等的顶角为的等腰三角形组成的图象，所求的路径即为，求解即可.
【详解】把正四棱锥的侧面沿着SA剪开，得到它的侧面展开图(如图).
要使路程最短，必须沿着线段前行.
在中，，，则.
作于H，则，，.
故选：D.

6. 设点P为内一点，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设AB的中点是点D，由题得，所以点P是CD上靠近点D的五等分点，即得解.
【详解】设AB的中点是点D，
∵，
∴，
∴点P是CD上靠近点D的五等分点，
∴的面积为的面积的.
故选：A
【点睛】本题主要考查向量的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
7. 在封闭的等边圆锥（轴截面为等边三角形）内放入一个球，若球的最大半径为1，则该圆锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据截面图中圆内切于正三角形，即可求出圆锥的底面半径和高，进而可解决其体积.
【详解】
由题意，等边三角形的内切圆的圆心也是三角形的重心，
所以得高为，
设底面半径为r，由已知得，故体积为.
故选：A
8. 在棱长为6的正方体中，点，分别是棱，的中点，过，，三点作该正方体的截面，则截面的周长为
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意画出截面五边形，再由已知利用勾股定理求得边长得答案．
【详解】如图，
延长EF与A1B1的延长线相交于M，连接AM交BB1 于H，
延长FE与A1D1的延长线相交于N，连接AN交DD1 于G，
可得截面五边形AHFEG．
∵ABCD﹣A1B1C1D1是边长为6的正方体，且E，F分别是棱C1D1，B1C1的中点，
∴EF＝3，AG＝AH，EG＝FH．
∴截面的周长为．
故选D．
【点睛】本题考查了棱柱的结构特征及立体几何中的截面问题，补全截面图形是关键，考查了空间想象能力和思维能力，是中档题．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知复数，为的共轭复数，则下列结论正确的是（ ）
A. 的虚部为B.
C. 为纯虚数D. 在复平面上对应的点在第四象限．
【答案】BD
【解析】
【分析】先利用复数的除法得到，再利用复数的虚部概念判定选项A错误，利用模长公式判定选项B正确，利用复数的乘方运算得到，再利用复数的分类判定选项C错误，利用共轭复数的概念、复数的几何意义判定选项D正确.
【详解】因为，
则的虚部为，即选项A错误；
，即选项B正确；
因为，所以
，即为实数，
即选项C错误；
因为，所以，
则在复平面上对应的点 在第四象限，
即选项D正确.
故选：BD.
10. 圆柱的侧面展开图是长6cm，宽4cm的矩形，则这个圆柱的体积可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】由已知可求出圆柱的高和底面半径，从而可求出圆柱的体积
【详解】因为圆柱的侧面展开图是长6cm，宽4cm的矩形，
所以当圆柱的高为4cm，则底面周长为6cm，设底面半径为，则
，得，
所以此时圆柱的体积为，
当圆柱的高为6cm，则底面周长为4cm，设底面半径为，则
，得，
所以此时圆柱体积为，
综上，圆柱的体积可能为或，
故选：AC
11. 在中，角，，所对的边分别是，，，下列说法中正确的是（ ）
A. 在中，若，则是锐角三角形
B. 若，则为钝角三角形
C. 若为锐角三角形，则
D. 三角形的面积公式为
【答案】CD
【解析】
【分析】根据余弦定理可判断为锐角，但无法确定，即可求解选项A，根据向量的夹角即可求解B，根据三角函数的单调性即可求解C，根据正弦定理得，即可由面积公式求解D.
【详解】对于A，若，由余弦定理可得，
所以为锐角，但无法确定，故不一定为锐角三角形，故A错误．
对于B，若，则可得与夹角为钝角，所以为锐角，不一定为钝角三角形，故B错误．
对于C，为锐角三角形，则，故，
进而可得，，故，C正确，
对于D，由正弦定理可得，则，三角形的面积公式为
，故D正确；
故选：CD
12. 已知点为所在平面内一点，满足，（其中）.（ ）
A. 当时，直线过边的中点；
B. 若，且，则；
C. 若时，与的面积之比为；
D. 若，且，则满足.
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A，根据向量的线性运算结合向量数乘的含义可判断A;对于B，由条件可判断为等边三角形，利用数量积的定义即可求得的值；对于C，利用作图，结合向量加减法的几何意义，可判断与的面积之比；对于D,由得，，平方后结合数量积的运算可推得结果.
【详解】对于A，设AB的中点为D，则当时，有,
即得O,C,D三点共线，故直线过边的中点，故A正确；
对于B，由于且时，，
故O为的外心和重心，故为等边三角形，
则 ,由可得 ，
故，故B正确；
对于C，延长OA至,使 , 延长OB至,使,

连接,设其中点为E,连接OE并延长至 ，使 ,
连接 ,则四边形是平行四边形，
所以，而时，，
故,即 三点共线，且，
根据同底等高三角形面积相等，则,
即与的面积之比为,故C错误；
对于D，因为，且，
由得，，
所以,即，故D正确，
故选：ABD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知，是不共线的向量，且，，，若、、三点共线，则______.
【答案】
【解析】
【分析】根据向量共线即可求解.
【详解】由，可得,
由于,,三点共线，则,
故，解得，
故答案为：
14. 如图所示，一个水平放置的四边形的斜二测画法的直观图是边长为2的正方形，则原四边形的面积是______.
【答案】
【解析】
【分析】根据斜二测画法规则求出，判断四边形的形状，确定，由此求出面积.
【详解】在正方形中可得，
由斜二测画法可知，
且，
所以四边形为平行四边形，
所以原四边形的面积是，
故答案为：.
15. 如图，在中，，，若，，则______.（用，表示）
【答案】
【解析】
【分析】根据向量的线性运算即可求解.
【详解】由于，
由于，
故，，
又因为，故，
所以．
故答案为：．
16. 半径为的球的球面上有四点，已知为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，设的中心为，三棱锥外接球的球心为，进而得当体积最大时，点，，在同一直线上，且垂直于底面，再结合几何关系计算即可求解.
【详解】设的中心为，三棱锥外接球的球心为，
则当体积最大时，点，，在同一直线上，且垂直于底面，如图，
因为为等边三角形且其面积为，所以的边长满足，故，所以， ，故，
故三棱锥的高，所以
故答案为：
四、解答题：本题共6题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知复平面内表示复数（）的点为.
（1）若点在函数图像上，求实数的值；
（2）若为坐标原点，点，且与的夹角为钝角，求实数的取值范围.
【答案】（1）3 （2）
【解析】
【分析】（1）由复数的几何意义求出点，再代入直线方程解出即可；
（2）由向量的夹角为钝角时数量积小于零且除去共线反向的情况解出即可.
【小问1详解】
因点在函数图像上，
所以，解得.
【小问2详解】
，，
因为与的夹角为钝角，所以，
所以，
即，即，
当两向量共线且反向时，设，
即，解得，
所以实数的取值范围为.
18. 如图所示（单位：cm），四边形是直角梯形，求图中阴影部分绕旋转一周所成几何体的表面积和体积.
【答案】表面积为，体积为．
【解析】
【分析】由三视图作出原几何体，确定结构尺寸，然后计算表面积和体积．
【详解】由三视图知原几何体是一个圆台，挖去一个半球，如图，
圆台上下底面半径分别为2和5，高为4，因此母线长为5，
几何体表面积为，
体积为．
19. 在中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，且．
（1）求C；
（2）若，求A．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由余弦定理即可求解，
（2）利用正弦定理边角互化，结合两角和的正弦公式即可得，进而可求解.
【小问1详解】
∵，∴，∴，
由于C是三角形内角，∴．
小问2详解】
由正弦定理可得，
∴
∴，∴，
∴，∴．
∵，∴，
由于B是三角形内角 ，∴，则．
20. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且若. D为BC的中点，，记
（1）若，求AB的值;
（2）求a+2c的取值范围.
【答案】（1）1；（2）
【解析】
【分析】（1）由余弦定理可得，在中利用正弦定理即可求出；
（2）利用正弦定理可得，再化简利用三角函数的性质可求.
【详解】（1），即，
由余弦定理可得，所以，
又，则，
在中，由正弦定理可得，
所以；
（2）在中，由可得，
由正弦定理可得，
则，
，
由，可知，则，
所以.
21. 在中，角，，所对的边分别是，，，且.
（1）求角的大小；
（2）若是边上的一点，且，，求的面积取最大值时三角形外接圆的面积.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先由向量的数量积及余弦定理求得，再由正弦定理化简得，即可求出，进而求出；
（2）根据余弦定理可得和，即可由基本不等式求解，进而根据正弦定理求解半径，即可由面积公式求解.
【小问1详解】
，
，
，
由正弦定理得，化简得，
，
又，；
【小问2详解】
，则，
，
，整理得，
又，整理可得，
当且仅当时，即可时取等号，
故,
将代入可得，进而由得
所以此时外接圆半径为,
故面积为
22. 如图所示中，，是的重心，边上的高为，过的直线与，分别交于点，，已知，．

（1）求的值；
（2）若，，，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用重心的性质以及三点共线的充要条件即可求解；
（2）先解出与，再利用解三角形的知识求出和，将化简求解即可.
【小问1详解】
因为，，所以，，如图所示，

连接并延长交于点，因为是的重心，则为中点，
所以，
因为，，起点相同，终点共线，
所以，即.
【小问2详解】
设角所对的边分别为，又，，即，，
又，由余弦定理得，所以，
因为，又由（1）知，且，联立，消得到，
解得，，所以由，，得到，，
中，由余弦定理得，
所以在中，由余弦定理，
，又,,
所以．