2023-2024学年广东省揭阳市惠来县八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省揭阳市惠来县八年级（下）期中数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列各式中，不是不等式的是( )
A. 2x≠1B. 6x2−3x+1C. −3<0D. 3x−2≥7
2.如图所示图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.不等式x>2x≥3的解集在数轴上表示为( )
A. B.
C. D.
4.如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，∠B=∠E=90°，AB//DE，若添加一个条件后Rt△ABC≌Rt△DEF，添加的条件可以是( )
A. ∠BAC=∠EDFB. ∠BCA=∠F
C. BC/​/EFD. AD=CF
5.若a>b，则下列各式中正确的是( )
A. ma>mbB. 3a>3bC. −a>−bD. c2a>c2b
6.已知点P(a−1,4)在第二象限，则a的取值范围正确的是( )
A. a>1B. a≥1C. a≤1D. a<1
7.如图，将△ABC绕点A顺时针旋转90°到△ADE，若∠DAE=50°，则∠CAD=( )
A. 30°
B. 40°
C. 50°
D. 90°
8.如图，AP平分∠BAC，PD⊥AC于点D，若PD=6，则P到AB的距离是( )
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
9.如图，在△ABC中，AB=BC，∠B=48°，AD⊥BC于点D，则∠CAD等于( )
A. 24°
B. 46°
C. 48°
D. 66°
10.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=67.5°，D为AB中点，且DE⊥AB交AC于点E，BC=2，则AC的长为( )
A. 2 2
B. 4
C. 2+2 2
D. 4 2
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.不等式组x>−2x>a的解集为x>a，请你写出一个符合条件的a的值：______．
12.如图，将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△ADE，使得点B的对应点D落在边AC的延长线上，若AB=12，AE=7，则线段CD的长为______．
13.如图，在6×6正方形网格中，点A、B、C都在网格线上，且都是小正方形边的中点.将△ABC的三边a、b、c按照从小到大排列为______(用“<”连接)．
14.如图所示，一次函数y=ax+b与x轴的交点为A(2,0)，交y轴于B(0,1)，那么不等式ax+b<0的解集为______．
15.若(m−5)2+ n−11=0，则以m，n为边长的等腰三角形的周长为______．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
解不等式：
(1)2x>x+3；
(2)x−23≥1−x2．
17.(本小题8分)
解不等式组2x+3>−3①2x−3≤x②，请按下列步骤完成解答．
(1)解不等式①，得______；
(2)解不等式②，得______；
(3)将不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
(4)原不等式组的解集为______．
18.(本小题6分)
如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A(1,1)，B(4,1)，C(5,3)．
(1)请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，点A、B、C分别对应A1、B1、C1；
(2)将△ABC以O为旋转中心，顺时针旋转90°，点A、B、C分别对应A2、B2、C2，请画出旋转后的图形△A2B2C2．
19.(本小题9分)
(1)尺规作图：已知一个等腰三角形底边及底边上的高，求作这个等腰三角形．
已知：如图，线段a，h；
求作：△ABC，使AB=AC，且BC=a，高AD=h．
(要求：保留作图的痕迹，写出结论，但不要求写出作法.)
(2)若等腰三角形底边长a=10，底边上的高的长h=12，请求出等腰三角形的腰长为多少．
20.(本小题9分)
习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气.”某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得茅盾文学奖的甲，乙两种书共100本，已知购买2本甲种书和1本乙种书共需100元；购买3本甲种书和2本乙种书共需165元．
(1)求甲，乙两种书的单价分别为多少元；
(2)若学校决定购买以上两种书的总费用不超过3200元，那么该校最多可以购买甲种书多少本？
21.(本小题9分)
已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E分别在边AC、AB上，且∠ABD=∠ACE，BD与CE相交于点O．
求证：(1)OB=OC；
(2)AE=AD．
22.(本小题12分)
如图，在△ABC中，l是AB的垂直平分线，与边AC交于点E，点D在l上，且DB=DC，连接AD．
(1)求证：∠CAD=∠ACD；
(2)延长AD，与BC交于点F，若AC=AB，
①求证：F是BC的中点；
②连接EF，若BD⊥CD，则EF与BC的数量关系是______．
23.(本小题12分)
阅读与理解：
图1是边长分别为a和b(a>b)的两个等边三角形纸片ABC和C′DE叠放在一起(C与C′重合)的图形．
操作与证明：
(1)操作：固定△ABC，将△C′DE绕点C按顺时针方向旋转30°，连接AD，BE，如图2；在图2中，线段BE与AD之间具有怎样的大小关系？证明你的结论；

(2)操作：若将图1中的△C′DE，绕点C按顺时针方向任意旋转一个角度α，连接AD，BE，如图3；在图3中，线段BE与AD之间具有怎样的大小关系？证明你的结论；
猜想与发现：
根据上面的操作过程，请你猜想当α为多少度时，线段AD的长度最大是多少？当α为多少度时，线段AD的长度最小是多少？
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A、2x≠1是不等式，故A不符合题意；
B、6x2−3x+1是代数式，不是不等式，故B符合题意；
C、−3<0是不等式，故C不符合题意；
D、3x−2≥7是不等式，故D不符合题意；
故选：B．
主要依据不等式的定义，用“>”、“≥”、“<”、“≤”、“≠”等不等号表示不相等关系的式子是不等式来判断．
本题考查不等式的识别，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．解答此类题关键是要识别常见不等号：><≤≥≠．
2.【答案】B
【解析】解：A.该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B.该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
C.该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D.该图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，故此选项不符合题意．
故选：B．
根据轴对称图形定义及“将图形绕着某一点旋转180°与原图形重合的图形叫做中心对称图形”，逐一进行判断即可．
本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，理解定义，会用定义进行判断是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：原不等式的解集为：x>3，
因此数轴上应为不包含2向右的部分与包含3向右的部分的公共部分．
故选：C．
首先解不等式组，然后根据大于解集向右，小于解集向左，含有等号的不等号是实心点，不含有等号的不等号是空心点即可得到答案．
本题考查在数轴上表示不等式的解集，了解不等号与解集的表示是解本题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：∵∠B=∠E=90°，AB//DE，
∴∠A=∠EDF，
∴当添加AD=CF时，
得到AD+CD=CF+CD，
即AC=DF，
根据“AAS”可判定Rt△ABC≌Rt△DEF．
故选：D．
利用“HL”判断直角三角形全等的方法解决问题．
本题考查了直角三角形全等的判定：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(简写成“HL”)．
5.【答案】B
【解析】解：∵a>b，
∴①m>0时，ma>mb；②m=0时，ma=mb；③m<0时，ma∴选项A不符合题意；
∵a>b，
∴3a>3b，
∴选项B符合题意；
∵a>b，
∴−a<−b，
∴选项C不符合题意；
∵a>b，
∴①c≠0时，c2a>c2b；②c=0时，c2a=c2b=0，
∴选项D不符合题意．
故选：B．
根据a>b，应用不等式的基本性质，逐项判断即可．
此题主要考查了不等式的基本性质：(1)不等式的两边同时加上(或减去)同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；(2)不等式的两边同时乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；(3)不等式的两边同时乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
6.【答案】D
【解析】解：∵平面直角坐标系中的点P(a−1,4)在第二象限，
∴a−1<0，
解得：a<1．
故选：D．
根据平面直角坐标系中第二象限内的点的横坐标小于0，纵坐标大于0，可得a−1<0求出a的取值范围即可．
本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键．
7.【答案】B
【解析】解：将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△ADE，
∴∠CAE=90°，
∵∠DAE=50°，
∴∠CAD=180°−∠CAE−∠DAE=90°−50°=40°，
故选：B．
由旋转的性质可得∠CAE=90°，结合∠DAE=50°，求得∠CAD．
本题考查了旋转的性质，灵活运用这些性质解决问题是解答本题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：∵AP是∠BAC的平分线，PD⊥BC于点D，
∴点P到边AB的距离等于PD=6．
故选：C．
从已知开始思考，根据角平分线的性质即可求解．
此题主要考查角平分线性质：角平分线上的任意一点到角的两边距离相等．题目比较简单，属于基础题．
9.【答案】A
【解析】解：∵AB=BC，∠B=48°，
∴∠BAC=∠ACB=180°−∠B2=66°．
∵AD⊥BC，
∴∠BAD=90°−∠B=90°−48°=42°．
∴∠CAD=∠BAC−∠BAD=66°−42°=24°．
故选：A．
先利用“等边对等角”与三角形内角和定理求得∠BAC的度数，再根据AD⊥BC求得∠BAD的度数，最后即可求得∠CAD的度数．
本题考查了等边对等角、垂线的定义、三角形内角和定理等，熟知相关定义与定理是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：如图，连接BE，
∵∠ACB=90°，∠ABC=67.5°，
∴∠A=180°−90°−67.5°=22.5°，
∵D为AB中点，且DE⊥AB交AC于点E，
∴DE垂直平分AB，
∴EB=EA，
∴∠A=∠ABE=22.5°，
∴∠BEC=∠A+∠ABE=45°，
∴∠CBE=180°−90°−45°=45°=∠BEC，
∴BC=CE=2，
∴BE= 2BC=2 2=EA，
∴AC=CE+EA=2+2 2，
故选：C．
连接BE，根据三角形内角和定理求出∠A=22.5°，根据线段垂直平分线的判定与性质求出EB=EA，根据等腰三角形的性质及三角形外角性质求出∠BEC=45°，根据三角形内角和定理求出∠CBE=45°=∠BEC，解直角三角形求出BC=CE=2，BE=2 2=EA，再根据线段的和差求解即可．
此题考查了线段垂直平分线的性质，熟记线段垂直平分线的性质是解题的关键．
11.【答案】3
【解析】解：∵关于x的不等式组x>−2x>a的解集是x>a，
∴a≥−2，
∴a的值可以是3；
故答案为：3(答案不唯一)．
根据不等式组的解及解集可得出m的范围，再范围内选取任一个符合条件的数即可．
本题考查了不等式组的解集，熟练掌握不等式组的解是解题的关键．
12.【答案】5
【解析】解：∵将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△ADE，
∴AB=AD，AC=AE，
∵AB=12，AE=7，
∴AD=12，AC=7，
∴CD=AD−AC=12−7=5．
故答案为：5．
根据旋转的性质可得AB=AD=8，AC=AE=5，则CD=AD−AC．
本题主要考查旋转的性质，解题关键在于熟练掌握旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前、后的图形全等．
13.【答案】c【解析】解：设小正方形的边长为1个单位长度，
将△ABC向右平移半个单位长度如图所示，
由勾股定理可知，b= 32+42=5，c=4，a= 42+12= 17，
∵4< 17<5，
∴c故答案为：c设小正方形的边长为1个单位长度，将△ABC向右平移半个单位长度如图所示，根据勾股定理求出a、b、c的长即可得出结论．
本题考查了勾股定理，熟记勾股定理是解题的关键．
14.【答案】x>2
【解析】解：如图，一次函数y=ax+b的图象经过点A(2,0)，
∴不等式ax+b<0的解集是x>2．
故答案为：x>2．
从图象上得到函数的增减性及与x轴的交点的横坐标，即能求得不等式ax+b>0的解集．
本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系．
从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于(或小于)0的自变量x的取值范围；
从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
15.【答案】27
【解析】解：∵(m−5)2+ n−11=0，
∴m−5=0，n−11=0，
∴m=5，n=11，
当m=5为腰长时，5+5<10，不能构成三角形，
当n=11为腰长时，5+11>11，可以构成三角形，此时周长为11+11+5=27，
故答案为：27．
根据偶次方和算术平方根的非负性，求出m、n的值，再根据三角形的三边关系确定腰长，即可得到答案．
本题考查了非负数的性质，等腰三角形的定义，三角形的三边关系，确定等腰三角形的腰长是解题关键．
16.【答案】解：(1)∵2x>x+3，
∴2x−x>3，
则x>3；
(2)∵x−23≥1−x2，
∴2(x−2)≥6−3x，
2x−4≥6−3x，
2x+3x≥6+4，
5x≥10，
则x≥2．
【解析】(1)根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得；
(2)根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得．
本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
17.【答案】x>−3 x≤3 −3【解析】解：(1)解不等式①，得x>−3；
(2)解不等式②，得x≤3；
(3)将不等式①和②的解集在数轴上表示出来如下：
(4)原不等式组的解集为−3故答案为：x>−3，x≤3，−3分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
18.【答案】解：(1)∵A(1,1)，B(4,1)，C(5,3)关于x轴对称的对称点坐标A1(1,−1)，B1(4,−1)，C1(5,−3)，画图如下：

(2)∵A(1,1)，B(4,1)，C(5,3)旋转后的坐标A2(1,−1)，B2(1,−4)，C2(3,−5)，(A1,A2重合)画图如下：

【解析】(1)根据A(1,1)，B(4,1)，C(5,3)确定关于x轴对称的对称点坐标A1(1,−1)，B1(4,−1)，C1(5,−3)，描点画图即可．
(2)根据A(1,1)，B(4,1)，C(5,3)确定旋转后的坐标A2(1,−1)，B2(1,−4)，C2(3,−5)，描点画图即可．
本题考查了旋转变换，轴对称变换，熟练掌握变换的特点是解题的关键．
19.【答案】解：(1)如图，△ABC即为所求；

(2)∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=DC=12 BC=5，
∴AB=AC= BD2+AD2= 52+122=13．
∴等腰三角形的腰长为13．
【解析】(1)作线段BC=a，作线段BC的垂直平分线DT，垂足为D，在射线DA上截取DA，使得DA=h，连接AB，AC即可．
(2)利用等腰三角形的性质以及勾股定理求解．
本题考查作图−复杂作图，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
20.【答案】解：(1)设甲种书的单价是x元，乙种书的单价是y元，
根据题意得：2x+y=1003x+2y=165，
解得：x=35y=30．
答：甲种书的单价是35元，乙种书的单价是30元；
(2)设该校购买甲种书m本，则购买乙种书(100−m)本，
根据题意得：35m+30(100−m)≤3200，
解得：m≤40，
∴m的最大值为40．
答：该校最多可以购买甲种书40本．
【解析】(1)设甲种书的单价是x元，乙种书的单价是y元，根据“购买2本甲种书和1本乙种书共需100元；购买3本甲种书和2本乙种书共需165元”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设该校购买甲种书m本，则购买乙种书(100−m)本，利用总价=单价×数量，结合总价不超过3200元，可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
21.【答案】证明：(1)∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB；
∵∠ABD=∠ACE，
∴∠OBC=∠OCB，
∴OB=OC．
(2)在△ABD与△ACE中，
∠A=∠AAB=AC∠ABD=∠ACE，
∴△ABD≌△ACE(ASA)，
∴AD=AE．
【解析】(1)由等腰三角形的性质证明∠OBC=∠OCB，由等角对等边，即可解决问题．
(2)由ASA公理证明△ABD≌△ACE，得到AD=AE．
该题主要考查了全等三角形的判定及其性质、等腰三角形的性质等几何知识点及其应用问题；牢固掌握全等三角形的判定等知识点是解题的关键．
22.【答案】EF=12BC
【解析】(1)证明：∵l是AB的垂直平分线，
∴DA=DB，
∵DB=DC，
∴DA=DC，
∴∠CAD=∠ACD；
(2)①证明：延长AD，与BC交于点F，
∵AC=AB，
∴∠ABC=∠ACB，
∵DB=DC，
∴∠DBC=∠DCB，
∴∠ACD=∠ABD，
在△ACD和△ABD中，
DC=DB∠ACD=∠ABDAC=AB，
∴△ACD≌△ABD(SAS)，
∴∠CAD=∠BAD，
∵AC=AB，
∴F是BC的中点；
②解：EF=12BC，理由如下：
如图，连接EF，
∵BD=CD，BD⊥CD，
∴△BDC是等腰直角三角形，
∵BD=CD，BF=CF，
∴DF⊥BC，
∴△DFC是等腰直角三角形，
∴∠CDF=∠DCB=45°，
∴∠CAD+∠ACD=∠CDF=45°，
∵∠CAD=∠ACD=∠BAD=∠DBA，
∴∠CAD+∠BAD=45°，
∴∠EAB=45°，
∵EA=EB，
∴∠EAB=∠EBA=45°，
∴∠AEB=90°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴∠CEB=90°，
∵F是BC的中点，
∴EF=12BC．
故答案为：EF=12BC．
(1)根据线段垂直平分线的性质即可解决问题；
(2)①证明△ACD≌△ABD(SAS)，得∠CAD=∠BAD，根据等腰三角形三线合一性质即可解决问题；
②证明△ABE是等腰直角三角形，然后利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解决问题．
本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，解决本题的关键是掌握垂直平分线的性质．
23.【答案】解：操作与证明：
(1)BE=AD．
∵△C′DE绕点C按顺时针方向旋转30°，
∴∠BCE=∠ACD=30度，
∵△ABC与△C′DE是等边三角形，
∴CA=CB，CE=CD，
∴△BCE≌△ACD，
∴BE=AD．
(2)BE=AD．
∵△C′DE绕点C按顺时针方向旋转的角度为α，
∴∠BCE=∠ACD=α，
∵△ABC与△C′DE是等边三角形，
∴CA=CB，CE=CD，
∴△BCE≌△ACD，
∴BE=AD．
猜想与发现：
当α为180°时，线段AD的长度最大，等于a+b；当α为0°(或360°)时，线段AD的长度最小，等于a−b．
【解析】此题主要考查学生对旋转的性质，等边三角形的性质及全等三角形的判定方法的综合运用能力．
(1)根据旋转的性质及等边三角形的性质，利用SAS判定△BCE≌△ACD，根据全等三角形的对应边相等，可得到BE=AD．
(2)围绕证明△BCE≌△ACD，根据SAS寻找全等的条件，方法不变．