福建省厦门市湖滨中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题（本大题共10题，每题4分，共40分）
1. 若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是
A. x1D. x≥1
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件列出关于x 的不等式，求出x的取值范围即可．
【详解】解：由题意得，x－1≥0，
解得x≥1．
故选：D．
【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握要使二次根式有意义，其被开方数应为非负数．
2. 在△ABC中，∠A=90°，∠A、∠B、∠C的对边长分别为a、b、c，则下列结论错误的是（ ）
A. a2+b2=c2B. b2+c2=a2C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据在△ABC中，∠A=90°，∠A、∠B、∠C的对边长分别为a、b、c，可得b2+c2=a2然后即可对4个选项作出判定即可．
【详解】∵在△ABC中，∠A=90°，∠A、∠B、∠C的对边长分别为a、b、c，
∴a为斜边，
∴b2+c2=a2或a2-b2=c2或a2-c2=b2等式成立，
所以选项A错误，B、C、D正确．
故选A．
【点睛】此题主要考查对勾股定理的理解和掌握，看清楚∠A、∠B、∠C的对边长分别为a、b、c，找出斜边是解题关键．
3. 下列四个点中，在函数图像上的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了求一次函数的函数值．熟练掌握一次函数的函数值的求解是解题的关键．
分别将各选项的点坐标代入，然后判断作答即可．
【详解】解：A.当时，，∴在函数图像上，故此选项符合题意；
B.当时，，∴不在函数图像上，故此选项不符合题意；
C.当时，，∴不在函数图像上，故此选项不符合题意；
D.当时，，∴不在函数图像上，故此选项不符合题意；
故选：A．
4. 点在函数的图象上，则m、n的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键，一次函数的性质，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小，根据此性质进行求解即可得．
【详解】∵函数中，，
∴y随x的增大而减小，
又∵，
∴，
故选B．
5. 下列计算错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查二次根式的运算，熟知二次根式的运算法则是解题关键，根据二次根式的运算法则逐一进行计算即可．
【详解】解：A、，计算正确，故本选项不符合题意；
B、，二次根式不能相加，计算错误，故本选项符合题意，
C、，计算正确，故本选项不符合题意，
D、，计算正确，故本选项不符合题意，
故选B．
6. 如图，点E在正方形内，满足，，则阴影部分的面积是（ ）
A. 48B. 52C. D. 80
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理；由勾股定理求出正方形的边长，则正方形的面积减去三角形的面积即可阴影部分面积．
【详解】解：∵，，
∴，
∴
；
故选：C．
7. 如图，在中，，点M是斜边的中点，以为边作正方形，若，则（ ）

A. B. C. 12D. 16
【答案】B
【解析】
【分析】根据正方形的面积可求得的长，利用直角三角形斜边的中线求得斜边的长，利用勾股定理求得的长，根据三角形的面积公式即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵中，点M是斜边的中点，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，掌握“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”是解题的关键．
8. 甲、乙两位同学放学后走路回家，他们走过的路程s（千米）与所用的时间t（分钟）之间的函数关系如图所示．根据图中信息，下列说法错误的是（ ）
A. 前10分钟，甲比乙的速度慢B. 经过20分钟，甲、乙都走了1.6千米
C. 甲的平均速度为0.08千米/分钟D. 经过30分钟，甲比乙走过的路程少
【答案】D
【解析】
【分析】结合函数关系图逐项判断即可．
【详解】A项，前10分钟，甲走了0.8千米，乙走了1.2千米，则甲比乙的速度慢，故A项正确，故不符合题意；
B项，前20分钟，根据函数关系图可知，甲、乙都走了1.6千米，故B正确，故不符合题意；
C项，甲40分钟走了3.2千米，则其平均速度为：3.2÷40=0.08千米/分钟，故C项正确，故不符合题意；
D项，经过30分钟，甲走了2.4千米，乙走了2.0千米，则甲比乙多走了0.4千米，故D项错误，故符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数的图像及其在行程问题中的应用，理解函数关系图是解答本题的关键．
9. 如图，在矩形中，为对角线的中点，．动点在线段上，动点在线段上，点同时从点出发，分别向终点运动，且始终保持．点关于的对称点为；点关于的对称点为．在整个过程中，四边形形状的变化依次是（ ）
A. 菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形
B. 菱形→正方形→平行四边形→菱形→平行四边形
C. 平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形
D. 平行四边形→菱形→正方形→平行四边形→菱形
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，分别证明四边形是菱形，平行四边形，矩形，即可求解．
【详解】∵四边形是矩形，
∴，，
∴，，
∵、，
∴
∵对称，
∴，
∴
∵对称，
∴，
∴，
同理，
∴
∴
∴四边形是平行四边形，
如图所示，

当三点重合时，，
∴
即
∴四边形是菱形，
如图所示，当分别为的中点时，
设，则，，
在中，，
连接，，
∵，
∴是等边三角形，
∵为中点，
∴，，
∴，
根据对称性可得，
∴，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴四边形是矩形，

当分别与重合时，都是等边三角形，则四边形是菱形

∴在整个过程中，四边形形状的变化依次是菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形，
故选：A．
【点睛】本题考查了菱形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，矩形的性质与判定，勾股定理与勾股定理的逆定理，轴对称的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
10. 定义：对于给定的一次函数（、为常数，且，把形如的函数称为一次函数的“相依函数”，已知一次函数，若点在这个一次函数的“相依函数”图象上，则的值是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】找出一次函数的“相依函数”，再利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出m的值．
【详解】解：一次函数的“相依函数”为，
∵点P（−2，m）在一次函数的“相依函数”图象上，
∴m＝−1×（−2）−1＝1．
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据“相依函数”的定义，找出一次函数的“相依函数”是解题的关键．
二、填空题（本大题共6题，第11小题8分，其它各小题每题4分，共28分）
11. 计算：=________．
【答案】12
【解析】
【分析】根据二次根式的乘法及积的乘方等于乘方的积进行运算即可．
【详解】解：，
故答案为：12．
【点睛】题目考察二次根式的乘法法则及积的乘方法则，掌握运算法则及计算准确是解题关键．
12. 如图，在中，为的中点，过点且分别交于点．若，则的长为___________．

【答案】10
【解析】
【分析】由平行四边形的性质可得即，再结合可得可得，最进一步说明即可解答．
详解】解：∵中，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴,即．
故答案为：10．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，证明三角形全等是解答本题的关键．
13. 请写出一个y随x的增大而增大的函数的解析式__________．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题的题意是写出一个函数解析式，在此解析式中，当x增大时，y也随着增大，这样的解析式很多，在此根据题意我只写一个．
【详解】解：如，
无论x＞0或x≤0，y都随x的增大而增大．
故答案为：
【点睛】本题属于开放型试题，答案不唯一，我们可以写出很多满足条件的函数解析式，但题目要求写出一个足够，请同学们看清题意．
14. 我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺。引葭赴岸，适与岸齐。问水深、葭长各几何？这道题的意思是：有一个正方形的池塘，池塘的边长为一丈，有一棵芦苇生长在池塘的正中央，并且芦苇高出水面部分有一尺，如果把芦苇拉向岸边则恰好碰到岸沿，则芦苇的高度为_____________尺（丈和尺是长度单位，1丈尺，1尺=米）．
【答案】13
【解析】
【分析】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理解答．
【详解】解：1丈尺
设水深为x尺，则芦苇长为尺，
根据勾股定理得： ，
解得：，
芦苇的长度（尺），
故答案为：13．
15. 已知直线与直线相交于点A，若点A的横坐标为2，则关于x的不等式的解集是_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，根据两条直线交点求不等式的解集；变形即为，也即直线位于直线下方时，自变量的取值范围即为的解集，由函数图象结合两直线的交点横坐标即可得解．
【详解】解：变形即为，
即直线位于直线下方时，自变量的取值范围，
即为的解集；
画出函数大致图象如下：
由图象知，当时，直线位于直线下方时，
即的解集为，
故答案为：．
16. 如图，矩形纸片中，，点P是边上的动点，现将纸片折叠，使点A与点P重合，折痕与矩形边的交点分别为E，F，要使折痕始终与边有交点，则的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查图形的矩形与折叠，勾股定理；当F与D重合时，最小，由折叠性质及勾股定理求得最小值；当E与B重合时，最大，由折叠性质求得最大值，由此求得的取值范围；求出的最大值与最小值是解题的关键．
【详解】解：∵四边形为矩形，
∴，，；
当F与D重合时，最小，如图，
由折叠知，，
在中，由勾股定理得，
∴；
∴；
当E与B重合时，最大，如图，
由折叠性质得；
综上，的取值范围为： ．
故答案为：．
三、解答题（本题共9题，共86分）
17. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的加减及混合运算；
（1）先化简各二次根式，再合并同类二次根式即可；
（2）利用二次根式的除法及乘法进行计算，合并同类二次根式即可．
【小问1详解】
解：原式
；
【小问2详解】
解：原式
．
18. 如图，已知在中，E、F是对角线上的两点，且．求证：．

【答案】见解析
【解析】
【分析】由平行四边形的性质可得，，推出，，四边形是平行四边形，即可得出结论．
【详解】证明：连接交于点O，连接、，

∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，，，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定及性质，熟练掌握平行四边形的判定及性质是解决问题的关键．
19. 画出一次函数的图象．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查作一次函数的图象，理解一次函数图象的性质，根据两点确定一条直线作出函数图象是解题关键．
分别求得一次函数图象与两坐标轴的交点坐标，从而作出函数图象．
【详解】解：在一次函数中，
当时，；
当时，；
∴一次函数的图象与两坐标轴交于和两点，
如图：
20. 如图，已知在中，于D， ， ，，求的长．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．设，则，根据勾股定理求出的长，在中根据勾股定理求出的长．
【详解】解：∵于D， ， ，，
设，则，
∴在中，；
在中，，
∴，
解得，
∴在中，．
21. 如图，在中，，点D为边上任意一点（不与点A、B重合），过点D作，，分别交、于点E、F，连接．

（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，求点C到的距离．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）利用平行线的性质证明，再利用四边形内角和为，证明，即可由矩形判定定理得出结论；
（2）先由勾股定理求出，再根据三角形面积公式求解即可．
【小问1详解】
证明：∵，，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形．
【小问2详解】
解：∵，，
∴
设点C到距离为h，
∵
∴
∴
答：点C到的距离为．
【点睛】本题考查矩形的判定，平行线的性质，勾股定理．熟练掌握矩形的判定定理和利用面积法求线段长是解题的关键．
22. 某公司经营甲、乙两种特产，其中甲特产每吨成本价为10万元，销售价为10.5万元；乙特产每吨成本价为1万元，销售价为1.2万元．由于受有关条件限制，该公司每月这两种特产的销售量之和是100吨，且甲特产的销售量都不超过20吨．
（1）若该公司某月销售甲、乙两种特产的总成本为235万元，问这个月该公司分别销售甲、乙两种特产各多少吨？
（2）求该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润．
【答案】（1）甲特产15吨，乙特产85吨；（2）26万元．
【解析】
【分析】（1）设这个月该公司销售甲特产吨，则销售乙特产吨，根据题意列方程解答；
（2）设一个月销售甲特产吨，则销售乙特产吨，且，根据题意列函数关系式，再根据函数的性质解答.
【详解】解：（1）设这个月该公司销售甲特产吨，则销售乙特产吨，
依题意，得，
解得，则，
经检验符合题意，
所以，这个月该公司销售甲特产15吨，乙特产85吨；
（2）设一个月销售甲特产吨，则销售乙特产吨，且，
公司获得的总利润，
因为，所以随着的增大而增大，
又因为，
所以当时，公司获得的总利润的最大值为26万元，
故该公司一个月销售这两种特产能获得的最大总利润为26万元.
【点睛】此题考查一元一次方程的实际应用、一次函数的性质等基础知识，考查运算能力、应用意识，考查函数与方程思想，正确理解题意，根据问题列方程或是函数关系式解答问题.
23. 阅读与思考：下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务．
任务：
（1）填空：材料中的依据1是指：_____________．
依据2是指：_____________．
（2）请用刻度尺、三角板等工具，画一个四边形及它的瓦里尼翁平行四边形，使得四边形为矩形；（要求同时画出四边形的对角线）
（3）在图1中，分别连接得到图3，请猜想瓦里尼翁平行四边形的周长与对角线长度的关系，并证明你的结论．

【答案】（1）三角形中位线定理（或三角形中位线平行于第三边，且等于第三边的一半）；平行四边形的定义（或两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形）
（2）答案不唯一，见解析
（3）平行四边形的周长等于对角线与长度的和，见解析
【解析】
【分析】（1）根据三角形中位线定理和平行四边形的定义解答即可；
（2）作对角线互相垂直的四边形，再顺次连接这个四边形各边中点即可；
（3）根据三角形中位线定理得瓦里尼翁平行四边形一组对边和等于四边形的一条对角线，即可得妯结论．
【小问1详解】
解：三角形中位线定理（或三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半）
平行四边形的定义（或两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形）
【小问2详解】
解：答案不唯一，只要是对角线互相垂直的四边形，它的瓦里尼翁平行四边形即为矩形均可．例如：如图即为所求
【小问3详解】
瓦里尼翁平行四边形的周长等于四边形的两条对角线与长度的和，
证明如下：∵点分别是边的中点，
∴．
∴．
同理．
∴四边形的周长．
即瓦里尼翁平行四边形的周长等于对角线与长度的和．
【点睛】本题考查平行四边形的判定，矩形的判定，三角形中位线．熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．
24. 【问题背景】“刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置．
【实验操作】综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为30cm，开始放水后每隔观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据大致如表所示：
任务1：分别计算表中每隔水面高度观察值的变化量，你能得出什么结论．
【建立模型】小组讨论发现：“，”是初始状态下的准确数据，接着水面高度随着流水时间而变化．
任务2：请利用表格中的数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式；
【模型应用】综合实践小组利用建立模型，预测了后续的水面高度．
任务3：当流水时间为时，求水面高度h值．
【设计刻度】综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间．
任务4：请你简要写出时间刻度的设计方案．
【答案】任务1：水面高度观察值的变化量为，结论是水面高度观察值的变化量为定值，；任务2：；任务3：；任务4：在容器外壁每隔标记一次刻度，这样水面每降低一个刻度，就代表时间经过了
【解析】
【分析】任务1：根据表中的数据进行解答即可；
任务2：根据每隔水面高度观察值的变化量大约相等，得出水面高度h与流水时间t是一次函数关系，利用时，；时，，由待定系数法求解；
任务3：把代入函数解析式，求出h的值即可；
任务4：根据高度随时间变化规律，在容器外壁每隔标记一次刻度即可．
【详解】解：任务1：根据表格中的数据可知：每隔水面高度观察值的变化量为：
，，，，
结论：水面高度观察值的变化量为定值；
任务2：设水面高度h与流水时间t的函数解析式为，
∵时，，时，；
∴，
解得：，
∴水面高度h与流水时间t的函数解析式为；
任务3：把代入得：
，
答：当流水时间为时，求水面高度为；
任务4：在容器外壁每隔标记一次刻度，这样水面每降低一个刻度，就代表时间经过了．
25. 小茗同学在学习了正方形的知识后，进一步进行以下探究活动：在正方形的边上任意取一点G，以为边长向外作正方形．
（1）当在上时，连接相交于点P，小茗发现点P恰为的中点，如图①．
①针对小茗发现的结论，请给出证明；
②小茗继续连接，并延长与相交，发现交点恰好也是中点P，如图②．请证明小茗发现的结论，再进一步判断的形状，并说明理由；
（2）当不在上时，如图③，连接，点P是中点，连接，，的形状是否发生改变？请说明理由．
【答案】（1）①见解析；②证明见解析，等腰直角三角形，理由见解析
（2）未发生改变，见解析
【解析】
【分析】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，平行线的性质等，熟练掌握各性质和判定定理是解题的关键．
（1）①连接，，，根据正方形的性质求出，证明，推出，再利用余角的性质求出，推出即可；
②先证点P在垂直平分线上，再根据正方形的性质直接得到，推出，得到是等腰直角三角形；
（2）延长至点M，使，连接，证明，得到，再证明，得到，，证得，再由，根据等腰三角形的三线合一的性质求出，即可证得是等腰直角三角形．
【小问1详解】
①证明：连接，，，如图，

∵四边形，都是正方形，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即点P恰为的中点；
②如图②，
∵四边形都是正方形，
垂直平分，
，
点在垂直平分线上，
点P在垂直平分线上；
是等腰直角三角形，理由如下：
∵四边形，都是正方形，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形；
【小问2详解】
的形状不改变，
延长至点M，使，连接，

∵四边形、四边形都是正方形，
∴，，
∵点P为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
设交于点H，交于点N，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，即，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形．瓦里尼翁平行四边形
我们知道，如图1，在四边形中，点分别是边，的中点，顺次连接，得到的四边形是平行四边形．

我查阅了许多资料，得知这个平行四边形被称为瓦里尼翁平行四边形．瓦里尼翁是法国数学家、力学家．瓦里尼翁平行四边形与原四边形关系密切．

①当原四边形的对角线满足一定关系时，瓦里尼翁平行四边形可能是菱形、矩形或正方形．
②瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度也有一定关系．
③瓦里尼翁平行四边形的面积等于原四边形面积的一半．此结论可借助图1证明如下：
证明：如图2，连接，分别交于点，过点作于点，交于点．
∵分别为的中点，∴．（依据1）

∴．∵，∴．
∵四边形是瓦里尼翁平行四边形，∴，即．
∵，即，
∴四边形是平行四边形．（依据2）∴．
∵，∴．同理，…
流水时间
0
10
20
30
40
水面高度（观察值）
30
29
28
27
26