江苏省无锡市锡南实验中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷（原卷版+解析版）

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注意事项：
1.本试卷分试题卷和答题卷两部分，19小题，共150分，考试时间120分钟.
2.请将答案填涂或书写在答题卷相对应的答题区域内，答在其他区域无效.
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1 已知向量，，且，则（ ）
A. 9B. 3C. 6D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】根据平面向量共线的坐标表示计算可得.
【详解】因为，，且，
所以，解得.
故选：C
2. 在中，，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先求出，再利用正弦定理计算可得.
【详解】因为，，所以，
由正弦定理，即，解得.
故选：B
3. 如图，在三棱柱中，底面，，，那么三棱锥的体积是（ ）
A. B. C. 4D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】
锥体的体积公式，因此要找到三棱锥的高和底面，由题知为高，底面为直角三角形，代入公式计算即可.
【详解】底面
为三棱锥的高
为底面
故选：A.
4. 已知是一平面图形的直观图，斜边，则这个平面图形的面积是（ ）

A. B. 1C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由给定的直观图画出原平面图形，再求出面积作答.
【详解】根据斜二测画法的规则，所给的直观图对应的原平面图形，如图，

其中 ，，
所以这个平面图形的面积为.
故选：D
5. 在中，若，则此三角形（ ）
A. 无解B. 有两解C. 有一解D. 解的个数不确定
【答案】B
【解析】
【分析】利用正弦定理求出，再结合，即可得出结论.
【详解】因为，，
所以，
因为，所以，
所以满足的有两个，所以此三角形有两解.
故选：B.
6. 已知向量，，，则（ ）
A. A，B，D三点共线B. A，B，C三点共线
C. A，C，D三点共线D. B，C，D三点共线
【答案】A
【解析】
【分析】利用向量共线定理依次判断即可.
【详解】∵向量，，
∴=2，即点A，B，D三点共线.
故选：A.
7. 已知一个圆锥的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的表面积与侧面积的比值是（ ）
A. 4B. 3C. 2D.
【答案】D
【解析】
【分析】由圆锥的侧面展开图是半圆可以得到，代入圆锥的侧面积和表面积公式计算即可
【详解】
如图，设圆锥的半径为，母线长为，侧面积和表面积分别为、
因为其侧面展开图是个半圆，所以 即：

故选：D
8. 已知是边上的点，且为的外心，则的值为（ ）
A. B. 10C. D. 9
【答案】A
【解析】
【分析】依题意可得，取、中点分别为、，求出，，再根据数量积的运算律计算可得.
【详解】因为，所以，因此，
取、中点分别为、，则，，
因此，，
所以.
故选：A
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9. 已知，，是三条直线，是一个平面，下列命题不正确的是（ ）
A. 若，，则B. 若，，则
C. 若，，则D. 若，，则
【答案】BC
【解析】
【分析】
根据线面平行和垂直的关系，逐个分析判断即可得解.
【详解】对A，根据直线平行的传递性，故A正确；
对B，垂直于同一直线的两个直线可以相交、平行、异面，故B错误；
对C，平行同一平面的两条直线可以平行、相交、异面，故C错误；
对D，垂直于同一平面的两条直线平行，故D正确.
故选：BC
10. 在△中，角所对的边分别为，且，下列说法正确的是（ ）
A. △为钝角三角形B. 边的中线长为3
C. △周长为D. △的外接圆面积为
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用正弦定理、余弦定理以及同角三角函数的平方关系即可求解.
【详解】对于选项,∵, ∴，
可知，，（为比例系数），
∵，∴判断最长边所对应角是否为钝角即可，
由余弦定理得：，解得，
又∵ ，∴,∴△为钝角三角形，则选项正确；
对于选项,∵,∴，，，
由正弦定理得，即，解得，
∵角为锐角，∴,
设的中点为，在△中，
由余弦定理得：,
则,即边的中线长为，则选项错误；
对于选项,△周长为，则选项正确；
对于选项,由正弦定理得:，
则△外接圆的面积为,则选项正确，
故选：ACD.
11. 某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台，在轴截面ABCD中，，且，下列说法正确的有（ ）

A. B. 该圆台轴截面ABCD面积为
C. 该圆台的体积为D. 沿着该圆台表面，从点C到AD中点的最短距离为5cm
【答案】BCD
【解析】
【分析】求出圆台的高，由梯形特征可判断选项A；将圆台轴截面，可判断选项B；由台体的体积公式可判断选项C；将圆台补成圆锥，侧面展开，取AD的中点为E，连接CE，可判断选项D.
【详解】A：由已知及题图知：且，故，错误；
B：由A易知：圆台高为，所以圆台轴截面ABCD面积，正确；
C：圆台的体积，正确；
D：将圆台一半侧面展开，如下图中且为中点，
而圆台对应的圆锥体侧面展开为且，又，
所以在△中，即C到AD中点的最短距离为5cm，正确.

故选：BCD.
三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 向量在向量方向上的投影向量是______________.
【答案】
【解析】
【分析】根据投影向量的运算公式直接计算.
【详解】由题意得，，
所以在方向上的投影向量是.
故答案为：
13. 记的内角的对边分别为，若，则角______.
【答案】##
【解析】
【分析】根据正弦定理进行化简，继而求得，即可求解.
【详解】因，由正弦定理得
,
因为，则,
故，即，
又，所以,
故答案为：.
14. 已知四面体ABCD中，，，，则四面体ABCD的外接球的表面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】将四面体ABCD置于长宽高分别为a，b，c的长方体中，根据勾股定理列出方程组，求出外接球半径，进而求出外接球表面积.
【详解】设四面体ABCD的外接球的半径为R，将四面体ABCD置于长宽高分别为a，b，c的长方体中，
故，
故，
故四面体ABCD的外接球的表面积为．
故答案为：
四、解答题：（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 已知向量，若，
（1）求与的夹角θ；
（2）求；
（3）当λ为何值时，向量与向量互相垂直？
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据向量的模及数量积求出夹角的余弦值即可；
（2）根据结合数量积的运算律计算即可；
（3）由题意，得，再结合数量积的运算律计算即可.
【小问1详解】
解：因为，，
所以，
又因，所以；
【小问2详解】
解：；
【小问3详解】
解：当向量与向量互相垂直时，
，
即，
即，解得.
16. 如图，在菱形中，.
（1）若，求的值；
（2）若，，求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意可知，即可求解；
（2），从而即可求解.
【小问1详解】
因为在菱形中，.
故，
故，所以.
【小问2详解】
显然，
所以
①，
因为菱形，且，，
故，.
所以.
故①式.
故.
17. 如图，在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为，，，已知，，°
（1）求的值；
（2）求sinC的值；
（3）若D为边BC上一点，且cs∠ADC=，求BD的长.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由余弦定理即可求解.
（2）由正弦定理即可求解.
（3）作辅助线根据解直角三角形知识分别求出DO和BO即可.
【小问1详解】
由余弦定理得：＝7
∴
【小问2详解】
由正弦定理：得.
【小问3详解】
如图所示：
过A作AO⊥BC于O，在Rt△ABO中，AB＝，∠B＝300，
∴，，在Rt中，=.
∴
∴
∴
18. 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC＝CC1，AC⊥BC, 点D是AB的中点.
（Ⅰ）求证：CD⊥平面A1ABB1；
（Ⅱ）求证：AC1∥平面CDB1；
（Ⅲ）线段AB上是否存在点M，使得A1M⊥平面CDB1？
【答案】（1）见解析；（2）见解析.(3)见解析
【解析】
【详解】试题分析：（Ⅰ）由已知先证明CD⊥AB，又在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥CD，且AB∩AA1=A，即可证明CD⊥平面A1ABB1；
（Ⅱ）连结BC1，设BC1与B1C的交点为E，连接DE，证得DE∥AC1；由线面平行的判定定理即可证明AC1∥平面CDB1；
（Ⅲ）存在点M为B，由（Ⅰ）知CD⊥平面A1ABB1，又A1B⊂A1ABB1，可得CD⊥A1B，由已知可得A1A：AB=BD：BB1=1:，即证明A1B⊥B1D，又CD∩B1D=D，从而证明A1B⊥平面CDB1．
试题解析：
证明：（Ⅰ）∵ABC－A1B1C1是直三棱柱，∴平面ABC⊥平面A1ABB1, ∵AC＝BC，点D是AB的中点，∴CD⊥AB, 面ABC面A1ABB1 ＝AB ∴CD⊥平面A1ABB1
（Ⅱ）连结BC1，设BC1与B1C的交点为E，连结DE．∵D是AB的中点，E是BC1的中点，∴DE∥AC1
∵DE平面CDB1 , AC1平面CDB1, ∴AC1∥平面CDB1.
（Ⅲ）存在点M为B. 由（Ⅰ）知 CD⊥平面A1ABB，又 A1B平面A1ABB，∴CD⊥A1B
∵AC＝BC＝CC1，AC⊥BC，点D是AB的中点．
∴A1A : AB＝BD : BB1＝1:, ∴A1B⊥B1D, 又CDB1D＝D, ∴A1B⊥平面CDB1.
19. 若a，b，c为锐角△ABC三个内角A，B，C的对边，且．
（1）求角A；
（2）若，求△ABC面积的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
分析】（1）根据三角形内角和与正弦定理、余弦定理化简即可；
（2）由正弦定理可得，再表达出面积与函数关系式，再结合的范围求解面积范围即可
【小问1详解】
在△ABC中，可得
所以
因为
即
由正弦定理，可得
又由余弦定理，可得，
因为所以
【小问2详解】
由（1）知可得，又由正弦定理，
可得
则
，
因为△ABC为锐角三角形，可得且
解得
所以所以
所以
即△ABC的面积的取值范围是