陕西省西安未央区经开第一学校2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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（考试时间：100分钟 分值：120分）
一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分．每小题只有一个选项是符合题意的）
1. 下列计算中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了同底数幂的乘法，负整数指数幂，单项式除以单项式，合并同类项．根据同底数幂的乘法，负整数指数幂，单项式除以单项式，合并同类项法则分别计算判断即可．
【详解】解：A、，故此选项不符合题意；
B、，故此选项不符合题意；
C、，故此选项符合题意；
D、，故此选项不符合题意；
故选：C．
2. 下列不能用平方差公式计算的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查平方差公式：，解题的关键是掌握平方差公式的结构特征：左边是两个二项式相乘，且两个二项式中有一项相同，另一项互为相反数；右边是两项的平方差（相同项的平方减去相反项的平方）；公式中的和可以是单项式，也可以是多项式．据此依次对各选项逐一分析即可作出判断．
【详解】解：A．，能用平方差公式计算，故此选项不符合题意；
B．，不能用平方差公式计算，故此选项符合题意；
C．，能用平方差公式计算，故此选项不符合题意；
D．，能用平方差公式计算，故此选项不符合题意．
故选：B．
3. 俗话说：“水滴石穿”，水滴不断地落在一块石头的同一个位置，经过几年后，石头上形成了一个深度为的小洞，数据用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
【详解】解：，
故选：A．
【点睛】本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
4. 如图，直线a∥b，直角三角板ABC的直角顶点C在直线b上，若∠1＝55°，则∠2＝( )
A. 55°B. 45°C. 35°D. 25°
【答案】C
【解析】
【分析】先由平行线的性质求出∠3，再由直角和角的和差关系求出∠2．
【详解】解：∵a∥b，
∴∠1=∠3．
∵∠1=55°，
∴∠3=55°．
∵∠2+∠3=∠ACB=90°，
∴∠2=90°-∠3
=35°．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，掌握“两直线平行，同位角相等”是解决本题的关键．
5. 如图在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形(a＞b)．把余下的部分剪拼成一个长方形，通过计算阴影部分的面积，验证了一个等式，则这个等式是( )
A. a2﹣2ab+b2＝(a﹣b)2B. a2﹣ab＝a(a﹣b)
C. a2﹣b2＝(a﹣b)2D. a2﹣b2＝(a+b)(a﹣b)
【答案】D
【解析】
【分析】这个图形变换可以用来证明平方差公式：已知在左图中，大正方形减小正方形剩下的部分面积为a2﹣b2；因为拼成的长方形的长为(a+b)，宽为(a﹣b)，根据“长方形的面积＝长×宽”代入为：(a+b)×(a﹣b)，因为面积相等，进而得出结论．
【详解】解：由图可知，大正方形减小正方形剩下的部分面积为：a2﹣b2；
拼成的长方形的面积为：(a+b)×(a﹣b)，
所以得出：a2﹣b2＝(a+b)(a﹣b)，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了平方差公式的几何背景，解题的关键是求出第一个图的阴影部分面积，进而根据长方形的面积计算公式求出拼成的长方形的面积，根据面积不变得出结论．
6. 如果一盒圆珠笔有12支，售价18元，用（元）表示圆珠笔的售价，表示圆珠笔的支数，那么与之间的解析式为（ ）.
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先求出每支平均售价，即可得出y与x之间的关系．
【详解】∵每盒圆珠笔有12支，售价18元，
∴每只平均售价为：=1.5（元），
∴y与x之间的关系是：，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了列函数关系式，求出圆珠笔的平均售价是解题关键．
7. 车库的电动门栏杆如图所示，BA垂直于地面AE于A，CD平行于地面AE，则∠ABC+∠BCD的大小是（ ）

A. 150B. 180C. 270D. 360
【答案】C
【解析】
【分析】过B作BF∥AE，则CD∥BF∥AE．根据平行线的性质即可求解．
【详解】解：过B作BF∥AE，则CD∥BF∥AE．
∴∠BCD+∠1=180°；
又∵AB⊥AE，
∴AB⊥BF．
∴∠ABF=90°．
∴∠ABC+∠BCD=90°+180°=270°
故选C．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补．正确作出辅助线是解题的关键．
8. 小明一家自驾车到离家的某景点旅游，出发前将油箱加满油．下表记录了行驶路程与油箱余油量之间的部分数据：
下列说法不正确的是（ ）
A. 该车的油箱容量为
B. 该车每行驶 耗油
C. 油箱余油量与行驶路程之间的关系式为
D. 当小明一家到达景点时，油箱中剩余油
【答案】C
【解析】
【分析】根据表格中信息逐一判断即可．
【详解】解：A、由表格知：行驶路程为0km时，油箱余油量为，故A正确，不符合题意；
B、0——100km时，耗油量为 ；100——200km时，耗油量为 ；故B正确，不符合题意；
C、有表格知：该车每行驶耗油，则
∴，故C错误，符合题意；
D、当 时，，故D正确，不符合题意，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了函数的表示方法，明确题意，弄懂表格中的信息是解题的关键．
9. （x－m）2＝x2＋nx＋36，则n的值为（ ）
A. 12B. －12C. －6D. ±12
【答案】D
【解析】
【详解】 （x－m）2＝x2＋nx＋36，


解得：
故选D
10. 如图，两个正方形的边长分别为，，且满足，，图中阴影部分的面积为（ ）

A. 100B. 32C. 144D. 36
【答案】B
【解析】
【分析】用含有、的代数式表示阴影部分的面积，再根据完全平方公式进行代数式的变形，进而求出答案．
【详解】解：∵两个正方形的边长分别为，，
∴
，
∵，，
∴原式．
故选：B．
【点睛】本题考查完全平方公式的应用，求代数式的值．正确的表示阴影部分的面积和适当的变形，是得到正确答案的关键．
二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分）
11. 比较大小：______．
【答案】##小于
【解析】
【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，根据幂的乘方的逆运算法则得到，，据此可得答案．
【详解】解；，，
∵，
∴，
故答案为：．
12. 如图，直线与直线EF相交于点O，平分，若，则的度数为______．

【答案】120°##120度
【解析】
【分析】首先垂直的定义可得，根据对顶角相等可得, 再根据角平分线的定义以及角的和差关系算出的度数.
【详解】∵,
∴∠,
∵,
∴,
∵平分,
，
∴ ，
故答案为:.
【点睛】此题主要考查了角平分线的定义，垂线和对顶角，关键是掌握对顶角相等，垂直定义，角平分线的性质.
13. 在三角形中，，垂足为D，则有，其理由是______．
【答案】同角的余角相等
【解析】
【分析】此题考查了直角三角形的性质．根据直角三角形的性质得出，，再根据同角的余角相等求解即可．
详解】解：，
，
，
，
（同角的余角相等），
故答案为：同角的余角相等．
14. 若的展开式中不含项、项（为常数），则__________________．
【答案】
【解析】
【分析】利用多项式乘多项式的法则对式子进行运算，再结合条件进行求解即可．
【详解】解：
∵展开式中不含项，项，
∴，，
解得：，，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查多项式乘多项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
15. 一个角的补角比它的余角的3倍少，这个角的度数是_______度．
【答案】35
【解析】
【分析】设这个角为x度．根据一个角的补角比它的余角的3倍少20°，构建方程即可解决问题．
【详解】解：设这个角为x度．
则180°-x=3（90°-x）-20°，
解得：x=35°．
答：这个角的度数是35°．
故答案为：35．
【点睛】本题考查余角、补角的定义，一元一次方程等知识，解题的关键是学会用方程分思想思考问题，属于中考常考题型．
16. 南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将右表称为“杨辉三角”．
当代数式的值为1时，则的值为______．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查了多项式乘法中的规律问题．当时，，再计算求值即可．
【详解】解：根据有关规律，可得，
，
当时，
，
的值为1，
，即，
或．
故答案为：或．
三、解答题（共8小题，计72分）
17. 计算下列各题：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1）9 （2）
（3）
（4）
【解析】
分析】（1）根据乘方运算法则、零指数幂运算法则以及负整数指数幂运算法则求解，再相加减即可；
（2）根据积的乘方法则、同底数幂乘法法则进行运算，再合并同类项即可；
（3）根据完全平方公式以及多项式乘以多项式法则求解，再合并同类项即可；
（4）根据平方差公式和完全平方公式求解即可．
【小问1详解】
解：原式；
【小问2详解】
解：原式；
【小问3详解】
解：原式；
【小问4详解】
解：原式．
【点睛】本题主要考查了实数运算和整式运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
18 利用整式乘法公式计算
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了平方差公式，完全平方公式．
（1）利用平方差公式进行计算，即可解答；
（2）利用完全平方公式进行计算，即可解答．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
19. 如图，已知三角形，点是边上一点，利用尺规在上求作一点，使（不写作法，保留作图痕迹）．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了尺规作图能力—过直线外一点作已知直线的平行线．过点作，与交于点，即可．
【详解】解：如图，点即为所求．
．
20. 先化简，再求值：
；其中，．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了整式的化简求值．先根据完全平方公式，多项式乘多项式法则进行计算，再合并同类项，算除法，最后代入求出答案即可．
【详解】解：
，
当，时，
原式
．
21. 如图，若，，求证：．（请补全下面的解答过程，括号内填写依据）
证明：∵，
① （ ② ）
（ ③ ）
④ （ ⑤ ）
（ ⑥ ）
【答案】；两直线平行，同位角相等；已知；；等量代换；同旁内角互补，两直线平行
【解析】
【分析】此题考查了平行线的判定与性质．根据平行线的判定与性质求解即可．
【详解】证明：∵，
（两直线平行，同位角相等），
（已知），
（等量代换），
∴（同旁内角互补，两直线平行），
故答案为：；两直线平行，同位角相等；已知；；等量代换；同旁内角互补，两直线平行．
22. 动点H以每秒的速度沿图1中的长方形按从的路径匀速运动，相应的三角形的面积与时间的关系图象如图2，已知，设点的运动时间为秒．
（1）______，______，______；
（2）当三角形的面积为时，求点的运动时间的值．
【答案】（1），14，10
（2）点的运动时间为或．
【解析】
【分析】本题考查了动点问题的函数图象，能结合图象得到有用条件，利用动点的运动求出相关线段是本题的解题关键．
（1）根据图2函数分别分析出当点运动到点、、处的路程，求出，再求出当点在上时的面积即可；
（2）当三角形的面积为时，点在或上，分别计算求出高，再依题意求出路程即可．
【小问1详解】
解：由图2得，当时，随的增大而增大，
当点运动到点时，，
，
当时，的值不变，
当点运动到点时，，此时三角形的面积为长方形面积的一半，
，即，
当点运动到点处时，，
，
故答案为：，14，10；
【小问2详解】
解：当点在上时，三角形的面积，
当时，，
，
，
当点在上时，三角形的面积，
当时，，
，，
，
综上，点的运动时间为或．
23. “数形结合”是一种非常重要的研究数学问题的思想方法．结合图形我们可以通过两种不同的方法计算面积，从而可以得到一个数学等式．
（1）如图1，用两种不同的方法计算阴影部分的面积，可以得到的数学等式是______．
（2）我们可以利用（1）中的关系进行求值，则．则，______；
（3）小玲想利用图2中张纸片，张纸片，张纸片拼出一个面积为的大长方形，则______；
（4）如图3，已知正方形的边长为，分别是上的点，且，，长方形的面积是24，分别以为边作正方形，求阴影部分的面积．
【答案】（1）
（2）1 （3）8
（4）阴影部分的面积为．
【解析】
【分析】（1）方法一是直接将两个正方形的面积相加，方法二是用大的正方形面积减去两个长方形的面积，即可得到等式；
（2）根据（1）中得到的关系式直接代入即可得到结果；
（3）根据得到的大长方形的面积展开，可以得到一个关系式，由关系式中可知道用的纸张分别是多少，计算其和即可；
（4）先根据阴影部分构造出来等式，然后根据两次完全平方公式得到结果．
【小问1详解】
解：方法一：阴影部分是两个正方形的面积和，即；
方法二：阴影部分也可以看作边长为的面积减去两个长为，宽为的长方形面积，即，
两种方法可得出：；
故答案为：；
【小问2详解】
解：由（1）可得，
∵，，
∴，
∴；
故答案为：1；
【小问3详解】
解：，
A纸片的面积为，B纸片面积为，C纸片面积为，
根据可知要拼出一个面积为的大长方形，需要3张A纸片，1张B纸片，4张C纸片，
则；
故答案为：8；
【小问4详解】
解：由图知，，
∴，
∵长方形的面积是24，
∴，
设，，
则，，
由，得，
∴，
∴，
即，
∴阴影部分的面积为．
【点睛】本题考查了完全平方公式在几何图形中的应用、多项式乘多项式、完全平方公式的变形适用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
24. 如图，已知，分别上，点在之间，连接．
（1）如图1，若，，则______；
（2）如图2，点是之间另外一点，且平分，平分：
①若，求的度数；
②如图3，在的下方有一点平分，平分，求的度数．
【答案】（1）
（2）①；②
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，掌握平行线的性质与判定是解题的关键．
（1）作，根据平行线的性质与判定，以及角平分线的定义，即可求解；
（2）①作，，根据平行线的性质与判定，以及角平分线的定义，可得，根据垂直的定义可得，进而即可求解；
②过点Q作，设，根据平行线的性质以及角平分线的定义，可得，由（1）可知，，即可求解．
【小问1详解】
解：作，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：；
【小问2详解】
解：①如图，分别过点G，P作，，
∵，
∴，
∴，
，
，
，
∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴；
②如图，分别过点G，P作，，过点Q作，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
∵平分，平分，
∴，
∴，
∵，平分，平分，
∴，
设，
∵，
∴，
∴，，
设，
∴，
∵，
∴，
∴．行驶路程
…
油箱余油量
…