2024年江西省萍乡市中考一模数学试题（含解析）

这是一份2024年江西省萍乡市中考一模数学试题（含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项）
1．下列各数中，绝对值最大的是（ ）
A．2B．C．D．
2．下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．如图，这是由两个完全相同的小正方体与一个长方体搭成的几何体，则它的俯视图为（ ）

A． B． C． D．
4．某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（ ）
A．袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出一个球是黄球B．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”
C．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是2D．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”
5．二次函数（）的图象如图所示，反比例函数与正比例函数在同一坐标系内的大致图象是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB=，E为OC上一点，OE=1，连接BE，过点A作AF⊥BE于点F，与BD交于点G，则BF的长是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，请把答案填在答题卡上）
7．因式分解： ．
8．我国古代（易经）一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，爱思考的小贤利用这个方法，在练习本上从上往下依次每行画上△，满八进一，用来记录一周背诵单词的个数，图1表示他第一周背的单词数为，图2表示他第二周背的单词数，则他第二周背了 个单词．

9．如图，在中，，，，点、分别在、上，沿将翻折使顶点的对应点落在上，若，则等于 ．
10．若，是方程的两个根，则的值为 ．
11．某村电路发生断电，该地供电局组织电工进行抢修．供电局距离该村15千米，抢修车装载着所需材料先从供电局出发，15分钟后，电工乘吉普车从同一地点出发，结果他们同时到达．已知吉普车速度是抢修车速度的1.5倍，则抢修车的速度是 千米小时．
12．平面内有四个点A、O、B、C，其中∠AOB=1200，∠ACB=600，AO=BO=2，则满足题意的OC长度为整数的值可以是 ．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（1）计算：．
（2）如图，在中，，D，E分别是，的中点，连接，求证：．
14．解不等式组，并将它的解集在下面的数轴上表示出来．
15．如图，已知，，均在上，请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）．

(1)在图①中，若，作一个的角；
(2)在图②中，若，分别是边的中点，作的内心．
16．小明乘车从家到学校需要在公园站台转车，从家到该站台可乘三路车（小明乘三路车的可能性相同），到了该站台后可以转乘D路或E路车直接到学校（小明乘两路车的可能性相同）
(1)小明从家到学校乘坐A路车的概率是________．
(2)用列表或画树状图的方法，求小明先乘坐A路车，再转乘D路车到学校的概率．
17．“光明商店”为了抓住某次活动的商机，决定购买一些纪念品进行销售，若购进A种纪念品5件，B种纪念品4件，需要620元；购进A种纪念品7件，B种纪念品8件，需要1180元．
(1)求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？
(2)若每件A种纪念品的售价为56元，每件B种纪念品的售价为160元．考虑到市场需求，商店决定购进这两种纪念品共300件，要求购进B种纪念品的数量不少于30件，设购进B种纪念品m件，总利润为W元，请写出总利润W（元）与m（件）的函数关系式，并根据函数关系式说明利润最高时的进货方案．
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．某数学兴趣小组就周六早晨6点至7点在市民公园参加锻炼的各年龄段人群做了抽样调查，并将调查结果绘制成如下不完整的统计图表．
根据以上信息回答下列问题：
(1)扇形统计图中圆心角的度数为________，并补全条形统计图；
(2)通过问卷了解到周六早晨6点至7点到公园参加锻炼的5个少年人的年龄依次是14，16，15，16，17，求这5个数据的中位数及众数；
(3)该公园周六早晨6点至7点约有1000人进园锻炼，估计该公园周六约有多少青年人进园锻炼，你想对现在的青年人说些什么？
19．如图，已知一次函数与反比例函数的图象交于点，点C在x轴上，为直角三角形，且．
(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
(2)求点C的坐标．
20．图1是放在散热支架上的笔记本电脑实物图，图2是它的侧面示意图，点B，C，D处可转动，支撑架．若电脑显示屏的边，且垂直于桌面，．

(1)求的度数．
(2)求笔记本电脑显示屏边的端点F到桌面的距高．（结果精确到1cm）（，）
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．如图，在中，，是的外接圆，的延长线与的延长线交于E．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长.
22．如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D．已知，，连接，．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)在抛物线的对称轴上找一点P，使得以为顶点的三角形与相似，求出点P的坐标；
(3)若点M是抛物线上的一个动点，且位于第一象限内，连接，．设的面积为S，试求S的最大值．
六、解答题（本大题共12分）
23．问题情境：如图1，在矩形中，，．E为边上一点，沿直线将矩形折叠，使点C落在边的点处．
猜想验证：
（1）填空：的长为________；
（2）如图2，将沿线段向右平移，使点与点B重合，得到，与交于点F，与交于点G．
①连接，．图中除矩形外，还有几个平行四边形？请一一列举出来，再选其中一个，进行证明；
②求的长；
拓展研究：
（3）如图3，将绕点B按逆时针方向旋转一定角度，分别交和于点M和点N．当时，分别求出的值和线段的长．
参考答案与解析
1．D
【分析】本题考查的是实数的大小比较，熟知绝对值的性质是解答此题的关键．根据绝对值的意义，计算出各选项的绝对值，然后再比较大小即可．
【解答】解：∵，，，，
∴的绝对值最大，
故选：D．
2．D
【分析】本题主要考查了二次根式乘法，同底数幂乘法，完全平方公式和合并同类项等计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
【解答】解：A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算正确，符合题意；
故选：D．
3．C
【分析】根据俯视图是从上面看到的图形判定即可．
【解答】解：从上面看得该几何体的俯视图是：

故选：C．
【点拨】此题主要考查了简单组合体的三视图，俯视图是从物体的上面看得到的视图，考查了学生细心观察能力，属于基础题．
4．C
【分析】分别计算出每个事件的概率，其值约为0.16的即符合题意．
【解答】A、袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出一个球是黄球的概率为，不符合题意；
B、掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”的概率为，不符合题意；
C、掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是2的概率为，符合题意；
D、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率为，不符合题意．
故选：C．
【点拨】本题主要考查了概率的计算和用频率估计概率，注意这种概率的得出是在大量实验的基础上得出的，不能单纯的依靠几次决定．
5．B
【分析】先根据二次函数的图象可得的符号，再根据反比例函数的图象、正比例函数的图象特点即可得．
【解答】抛物线的开口向上，与轴的交点位于轴的正半轴，
，
抛物线的对称轴位于轴的右侧，
，
，
，
由可知，反比例函数的图象位于第二、四象限，
由可知，正比例函数的图象经过原点，且经过第一、三象限，
故选：B．
【点拨】本题考查了二次函数、反比例函数和正比例函数的图象，熟练掌握各函数的图象特点是解题关键．
6．A
【分析】先证明△GAO≌△EBO，得OG=OE=1，∴BG=2；再证明△BFG∽△BOE，得，代入数据即可求BF=．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，AB=，
∴∠AOB=90°，AO=BO=CO=3．
∵AF⊥BE，
∴∠EBO=∠GAO．
在△GAO和△EBO中，
∵∠GAO=∠EBO，AO=BO，∠AOG=∠BOE，
∴△GAO≌△EBO，
∴OG=OE=1，
∴BG=2．
在Rt△BOE中，BE==，
∵∠BFG=∠BOE=90°，∠GBF=∠EBO，
∴△BFG∽△BOE，
∴，即，
解得，BF=．
故选：A．
【点拨】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，综合运用这些知识解决问题是解题的关键．
7．
【分析】直接提取公因式a，进而分解因式即可．
【解答】解：
=
=
故答案为：．
【点拨】此题主要考查了因式分解，掌握提公因式法和公式法是解题关键．
8．156
【分析】根据满八进一，逐一列式计算，判断即可．
【解答】解：由题意可得：
个，
∴他第二周背了156个单词，
故答案为：156．
【点拨】本题考查有理数的混合运算，类比十进制，得到八进一的数的表示方法，是解题的关键．
9．
【分析】连接，交于点，根据折叠的性质，得出，，再根据平行线的判定，得出，再根据平行线的性质，得出，再根据，得出，再根据全等三角形的性质，得出，再根据菱形的判定定理，得出四边形为菱形，再根据菱形的性质，得出，然后设，则，再根据直角三角形所对的直角边等于斜边的一半，得出，进而列出方程，并解出，再根据等边三角形的判定，得出为等边三角形，再根据等边三角形的性质，即可得出结果．
【解答】解：如图，连接，交于点，
根据题意，可得：，，
∵，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，，
∴四边形为菱形，
∴，
设，则，
∵，，
∴，
即，
解得：，
∴，
∵，，
∴，
∴为等边三角形，
∴．
故答案为：
【点拨】本题考查了折叠的性质、平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、直角三角形所对的直角边等于斜边的一半、等边三角形的判定与性质，解本题的关键在熟练掌握相关的性质、定理．
10．7
【分析】先利用根与系数的关系得，，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵，是方程的两个根，
∴，，
∴，
故答案为：7．
【点拨】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，．
11．20
【分析】本题是一道行程问题的运用题，考查了列分式方程解实际问题的运用，分式方程的解法的运用，解答时建立分式方程式关键，验根不能忘记．
设抢修车的速度为千米/时，则吉普车的速度为千米/时，根据题意建立方程求出其解就可以得出结论．
【解答】解：设抢修车的速度为千米/时，则吉普车的速度为千米/时，
由题意得：
解得：，
经检验，是原方程的根．
故答案为：20．
12．2，3，4
【解答】解：考虑到∠AOB=1200，∠ACB=600，AO=BO=2，分两种情况探究：
情况1，如图1，作△AOB，使∠AOB=1200， AO=BO=2，以点O 为圆心， 2为半径画圆，当点C在优弧AB上时，根据同弧所圆周角是圆心角一半，总有∠ACB=∠AOB=600，此时，OC= AO=BO=2．
情况2，如图2，作菱形AOMB，使∠AOB=1200， AO=BO=AM=BM=2，以点M为圆心， 2为半径画圆，当点C在优弧AB上时，根据圆内接四边形对角互补，总有∠ACB=1800－∠AOB=600．此时，OC的最大值是OC为⊙M的直径4时，
所以，2＜OC≤4，整数有3，4．
综上所述，满足题意的OC长度为整数的值可以是2，3，4．
故答案为：2，3，4．
13．（1）；（2）见解析
【分析】此题考查了实数的混合运算、三角形中位线定理、等角对等边等知识，熟练实数的运算法则和三角形中位线定理是解题的关键．
（1）利用算术平方根、负整数指数幂、实数的绝对值、特殊角的三角函数值进行计算后，再进行加减法计算即可；
（2）利用三角形中位线定理得到，由等角对等边得到，即可得到结论．
【解答】（1）解：
；
（2）证明：∵D，E分别是，的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
14．；图见解析
【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．
【解答】解：不等式①得：
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：
解集在数轴上表示如图所示：
15．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）连接并延长交于点，连接，则，进而即可得．
（2）延长分别交于D、E,则根据垂径定理得到，连接相交于P点, 根据圆周角定理得到，，则点P为的内角平分线的交点, 所以点P为的内心．
【解答】（1）解：在上找一点D，连接，如图，

则是直径，
∴，
∵，
∴，
∴即为所求；
（2）解：延长分别交于、，根据垂径定理得到，连接相交于点, 根据圆周角定理得到，，则点为的内角平分线的交点，所以点为的内心；

【点拨】本题考查了作图—复杂作图，涉及到圆周角的性质，垂径定理等，灵活运用所学知识是关键．
16．(1)
(2)
【分析】本题考查了概率公式以及列树状图求概率，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据概率公式进行列式，代数计算即可；
（2）先列树状图，得出6种等可能的结果，再代入概率公式进行计算即可，
【解答】（1）解：依题意，∵从家到该站台可乘三路车（小明乘三路车的可能性相同）
∴小明从家到学校乘坐A路车的概率是．
（2）解：依题意，画树状图如下：
由图可知，共有6种等可能的结果，其中小明先乘坐A路车，再转乘路车到学校的结果有1种，
小明先乘坐A路车，再转乘路车到学校的概率为．
17．(1)A种纪念品每件价格为20元，种纪念币每件价格为130元
(2)，种纪念品购买件，种纪念品购买件时利润高
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，
（1）设购进种纪念品每件价格为元，种纪念币每件价格为元，根据题意得出关于和的二元一次方程组，解方程组即可得出结论；
（2）根据题意列出关于的一元一次不等式组，解不等式组得出的取值范围，求出总利润关于购买种纪念品件的函数关系式，由函数的增减性确定总利润取最值时的值，从而得出结论．
找到相应的关系式是解决问题的关键．
【解答】（1）解：设购进种纪念品每件价格为元，种纪念币每件价格为元，
根据题意，得，
解得，
答：种纪念品每件价格为20元，种纪念币每件价格为130元；
（2）根据题意，得，
解得，
根据题意得：
，
，
随的增大而减小，
当时，有最大值：，（件，
故购进种纪念品270件，购进种纪念品30件时利润最高，利润最高为10620元．
18．(1)，图见解析
(2)16，16
(3)200名，加强锻炼，身体健康比什么都重要
【分析】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，用样本估计总体，求中位数和众数，频数分布表：
（1）根据用样本估计总体计算出总人数，即可计算出m，再根据圆心角的公式计算可得a的度数，即可补全条形统计图．
（2）根据中位数和众数的定义求解即可．
（3）根据青年人数占总人数的计算求解，再提出合理的建议即可．
【解答】（1）解：调查的总人数为：（人），
∴C类人数（人），
∴圆心角的度数为：，
补图如下：
（2）解：数据按从小到大排列为：14，15，16，16，17，
∴最中间一个数为16，则中位数为16，
∵16出现的次数最多，则众数为16．
（3）解：（名），
∴估计该公园周六约有200名青年人进园锻炼
我想对青年人说，加强锻炼，身体健康比什么都重要（答案不唯一）．
19．(1)，
(2)
【分析】（1）将点代入反比例函数即可求得k的值，将点代入反比例函数即可求得b的值，进而待定系数法求直线解析式即可求解；
（2）过点A作轴于点D，过点B作轴于点E，证明，进而求解即可．
【解答】（1）将代入反比例函数中，得，
解得，
故反比例函数的表达式为
将代入反比例函数中，
得，
解得，
故
将代入一次函数中得
，
解得
故一次函数解析式为
（2）如图，过点A作轴于点D，过点B作轴于点E，

则，
为等腰直角三角形，，
．
在和中，
【点拨】本题考查了一次函数与反比例函数综合，待定系数法求解析式，一次函数与坐标轴交点问题，数形结合是解题的关键．
20．(1)；
(2)端点F到桌面的距高为．
【分析】（1）作出如图的辅助线，利用平行线的性质求解即可；
（2）在、、中解直角三角形，求得、、的长，据此即可求解．
【解答】（1）解：在图2中，分别过点C、D、E作水平线，再分别过点C、D作竖直线，交点分别有J、G、K．

得，
，
，
∴；
（2）解：在中，，，
∴，
在中，，，
∴，
在中，，，
∴．
∴，
答：端点F到桌面的距高为．
【点拨】本题考查了平行线的性质、解直角三角形，解决本题的关键是掌握以上基本的性质并加以运用．
21．(1)见解析
(2)
【分析】（1）由已知得出，由垂径定理得出，由平行四边形的性质得出，因此，即可得出结论；
（2）连接，由垂径定理得出，由平行线得出，得出对应边成比例，证出，，得出，，由勾股定理求出，得出，设，则，的半径为，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【解答】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：连接，如图所示：
∵四边形是平行四边形，
∴，，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，的半径为，
由勾股定理得：，
即，
解得：，
即．
【点拨】本题主要考查了切线的判定，垂径定理，平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质，作出辅助线．
22．(1)
(2)或或或
(3)
【分析】本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、待定系数法、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考压轴题．
（1）根据待定系数法解答即可；
（2）根据为顶点的三角形与相似，，得出或，列出等式解出，解答即可；
（3）过点作交于点，交轴于点，设点的坐标为，根据位于第一象限，得出，解出直线的解析式，得出点的坐标为，再根据列出式子并配方即可
【解答】（1）∵抛物线经过和两点，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式：；
（2）解：，
∴的坐标是，，，
∵抛物线的对称轴是，，
∴点的横坐标是1，
∵为顶点的三角形与相似，，
∴或；
∴或，
∴或，
∴点的坐标为或或或；
（3）如图，过点作交于点，交轴于点，
设点的坐标为，
∵位于第一象限，
∴，
∵和，
∴直线的解析式为：，则点的坐标为，
故
，
∴S的最大值是．
23．（1）；（2）①3个，平行四边形，平行四边形，平行四边形，证明见解析；②；（3）
【分析】（1）由矩形的性质得，，，再由折叠的性质得，然后由勾股定理求解即可；
（2）①由矩形的性质和平移的性质易得有3个平行四边形，利用平移的性质即可证明四边形是平行四边形；②由折叠的性质得，设，则，在中，由勾股定理求出和，连接，易证，即可求解；
（3）根据条件易得，从而求得的值；由勾股定理求出，利用求出，由，易证，利用相似三角形的性质求解即可．
【解答】解：（1）四边形是矩形，
，，，
由折叠的性质得：，
，
故答案为：6；
（2）解：①如图，有3个平行四边形，平行四边形，平行四边形，平行四边形，
四边形是平行四边形，理由如下：
由平移的性质得：，，
四边形是平行四边形；(其它两个平行四边形同理可证)
②由（1）得：，
，
由折叠的性质得：，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
，，
由平移的性质得：，，，
，
，
；
（3），
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点拨】本题是四边形的综合题，考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、平移的性质、平行四边形的判定等知识，熟练掌握并灵活运用是解题的关键．
类别
年龄段
人数
占总人数百分比
少年人（A）

5
青年人（B）
10
中年人（C）

m
老年人（D）

20