2024年河南省南阳市淅川县九年级中考一模数学试题（原卷版+解析版）

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2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案写在答题卡上．答在试题卷上的答案无效．
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的．
1. 下列各数中，最大的数是（ ）
A. B. 2C. 0D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小，再进行比较，即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴最大的数是2；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了实数大小比较方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数0负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查二次根式的加减法，合并同类项，多项式乘多项式，积的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
利用二次根式的加法的法则，合并同类项的法则，多项式乘多项式的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可．
【详解】解：、与不属于同类二次根式，不能运算，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：．
3. 2024年元旦假期，哈尔滨旅游业火爆出圈！据哈尔滨文旅局测算，元旦假期三天哈尔滨旅游总收入约亿元，达到历史峰值.数据“亿”用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．
【详解】解：亿用科学记数法表示为．
故选：B．
4. 如图，该几何体的左视图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】画出从左面看到的图形即可．
【详解】解：该几何体的左视图是一个长方形，并且有一条隐藏的线用虚线表示，如图所示：
，
故选：D．
【点睛】本题考查三视图，具备空间想象能力是解题的关键，注意看不见的线要用虚线画出．
5. 某中学将国家非物质文化遗产——“抖空竹”引入特色大课间，某同学“抖空竹”的一个瞬间如图示．将图①抽象成图②的数学问题：在平面内，，的延长线交于点；若，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了平行线的性质，三角形的外角的性质，熟记“两直线平行，同位角相等”是解题的关键．根据平行线的性质得到，根据三角形外角性质求解即可．
【详解】解：，，
，
，，
，
故选：B
6. 定义新运算“”：对于任意实数a，b，都有．例：．则方程的根的情况为（ ）
A. 无实数根B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不相等的实数根D. 只有一个实数根
【答案】A
【解析】
【分析】根据新定义得到一元二次方程，整理得，根据一元二次方程根的判别式即可判断方程根的情况．
【详解】解：由新定义运算得方程为，
整理得，
∴，
∴一元二次方程没有实数根．
故选：A
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式：对一元二次方程而言，当时，方程有两个不相等的实数根，当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程无实数根．理解新定义，熟知一元二次方程根的判别式是解题关键．
7. 如图，A，B，C，D都是⊙O上的点，OA⊥BC，垂足为E，若∠OBC＝26°，则∠ADC的度数为（ ）
A. 26°B. 32°C. 52°D. 64°
【答案】B
【解析】
【分析】连接OC，根据圆周角定理求解注意判断即可．
【详解】解：连接OC，
∵OA⊥BC，OA为半径，
∴，∠OEB＝90°，
∴∠AOC＝∠AOB，
∵∠OBC＝26°，
∴∠AOB＝64°，
∴∠AOC＝64°，
∴∠ADC＝32°，
故选B．
【点睛】本题考查了圆周角定理，解决本题的关键是掌握圆周角定理．
8. 雨季即将来临，中原社区为了提前做好排涝工作，防患于未然，特招募抗涝志愿工作者小林和小红决定报名参加，根据规定，志愿者会被随机分配，参与到A（淤泥清理），B（垃圾搬运），C（街道冲洗），D（消毒灭杀）其中几种不同的工作中，则小林和小红恰好被分到同一组的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查列表法与树状图法，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图，求出相应的概率．根据题意可以画出相应的树状图，然后即可求得相应的概率．
【详解】解：树状图如下所示，
由上可得，一共有种等可能性，其中小林和小红恰好被分到同一组的可能性有种，
小林和小红恰好被分到同一组的概率为，
故选：．
9. 如图，若一次函数的图象经过二、三、四象限，则二次函数的图象可能是
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据一次函数的性质判断出a、b的正负情况，再根据二次函数的性质判断出开口方向与对称轴，然后选择即可．
【详解】解：的图象经过二、三、四象限，
，，
抛物线开口方向向下，
抛物线对称轴为直线，
对称轴在y轴的左边，
纵观各选项，只有C选项符合．
故选C．
【点睛】本题考查了二次函数的图象，一次函数的图象与系数的关系，主要利用了二次函数的开口方向与对称轴，确定出a、b的正负情况是解题的关键．
10. 如图1，在矩形中，点P从点A出发，沿折线向点C匀速运动，过点P作对角线的垂线，交矩形的边于点Q．设点P运动的路程为x，的长为y，其中y关于x的函数图象大致如图2所示，则m的值为（ ）

A. 4B. C. 8D.
【答案】B
【解析】
【分析】由点可得：当时，则，结合图象可得：，当时，重合，当时，重合，可得，如图，当时，重合，记的交点为，则，证明，此时，可得，，从而可得答案．
【详解】解：由点可得：当时，则，
结合图象可得：，
当时，重合，当时，重合，
∴，而，
∴，
如图，当时，重合，记的交点为，则，
∴，
∴，，

此时，
∴，，
∴，即，
故选B
【点睛】本题考查的是动态问题的函数图象，解直角三角形的应用，勾股定理的应用，矩形的性质，理解函数图象的含义是解本题的关键．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 写出一个比0大且比3小的无理数：____________．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】写出一个条件的无理数，即可．
【详解】解：一个比0大且比3小的无理数为．
故答案为：（答案不唯一）
【点睛】此题主要考查了实数大小比较的方法，熟练掌握实数大小比较的方法是解题的关键．
12. 不等式组的解集是______．
【答案】
【解析】
【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
【详解】解：
由不等式①得：，
由不等式②得：，
∴不等式组的解集为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集得出不等式组的解集是解此题的关键．
13. 学校要从王静，李玉两同学中选拔一人参加运动会志愿者工作，选拔项目为普通话，体育知识和旅游知识．并将成绩依次按4∶3∶3计分． 两人的各项选拔成绩如下表所示，则最终胜出的同学是____．
【答案】李玉
【解析】
【分析】根据加权平均数：若n个数x1，x2，x3，…，xn的权分别是w1，w2，w3，…，wn，则叫做这n个数的加权平均数进行计算即可．
【详解】解：王静得分：=80（分）
李玉得分：=81（分）
∵81分＞80分，
∴最终胜出的同学是李玉．
故答案为：李玉．
【点睛】此题考查了加权平均数，解题的关键是明确加权平均数的计算方法．
14. 如图，是⊙O的直径，是⊙O的切线，为切点，的延长线交直线于点，连接，．若，，则的长度是______．
【答案】
【解析】
【分析】此题重点考查切线的性质、等腰三角形的性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
连接，由切线的性质得，则，所以，则，可证明是等边三角形，则3，，再证明，所以，则，由，求得，于是得到问题的答案．
【详解】解：连接，
则，
∵与相切于点，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
15. 如图，已知矩形，，，点是线段上一点，且不与、重合，沿折叠使点落在矩形某边所在直线上，则的长是______．
【答案】或
【解析】
【分析】此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定、正方形的判定、勾股定理等知识，应注意分类讨论，以免丢解．设点、点的对应点分别为点、点，由矩形的性质得，，，由折叠得，，，，再分两种情况讨论，一是点在的延长线上，可证明四边形是正方形，则；二是点在的延长线上，可证明，则，所以，于是得到问题的答案．
【详解】解：设点、点的对应点分别为点、点，
四边形是矩形，，，
，，，
由折叠得，，，，
当点在的延长线上，如图，则，
四边形是矩形，
，
，
四边形是正方形，
，
；
当点在延长线上，如图，
，
，
由折叠得，
，
，
，
，
故答案为：或．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16. （1）计算：
（2）化简：
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】本题考查的是实数的混合运算，涉及到分式的混合运算及负整数指数幂的运算，熟知以上知识是解题的关键．
（1）分别根据绝对值性质，平方根，负整数指数幂的运算法则计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可；
（2）根据分式混合运算的法则进行计算即可．
【详解】解：（1）原式
；
（2）原式
．
17. 2022年，教育部制定了独立的《义务教育劳动课程标准》，其中规定：以劳动项目为载体，以孩子经历体验劳动过程为基本要求，培养学生的核心劳动素养，某校分别从该校七、八年级学生中各随机调查了名学生，统计他们上周的劳动时间，劳动时间记为分钟，将所得数据分为个组别（组：；组：；组：；组：；组：），将数据进行分析，得到如下统计：
①八年级组学生上周劳动时间从高到低排列，排在最后的个数据分别是：，，，，，，，，，．
②八年级100名学生上周劳动时间频数分布统计表：
③七、八年级各名学生上周带动时间的平均数、中位数、众数如表：
④七年级100名学生上周劳动时间分布扇形统计图如图．
请你根据以上信息，回答下列问题：
（1）______，______；
（2）根据以上数据分析，你认为七、八年级哪个年级学生上周劳动情况更好，请说明理由；（写出一条理由即可）
（3）已知七年级有800名学生，八年级有600名学生，请估计两个年级上周劳动时间在80分钟以上（含80分钟）的学生一共有多少人？
【答案】（1）10，80
（2）八年级的较好，理由：八年级学生参加劳动的时间的中位数、众数均比七年级的大
（3）718人
【解析】
【分析】本题考查扇形统计图，频数分布表、中位数、众数、平均数以及样本估计总体；
（1）在扇形统计图中，先求出“B组”所占的百分比，再求出“A组”所占的百分比，确定a的值，再根据中位数的定义求出b的值；
（2）从中位数、众数的大小比较得出答案；
（3）求出七年级、八年级上周劳动时间在80分钟以上（含80分钟）的学生数即可．
【小问1详解】
解：根据扇形统计图可知，“B组”所占百分比为，
所以“A组”所占的百分比为，
即；
八年级的中位数在B组，将100名学生的劳动时间从大到小排列，处在中间位置的两个数的平均数为，
即；
故答案为：10， 80；
【小问2详解】
八年级的较好，理由：八年级学生参加劳动的时间的中位数、众数均比七年级的大；
【小问3详解】
（人），
答：七、八年级上周劳动时间在80分钟以上（含80分钟）的学生大约有718人．
18. 如图，四边形是平行四边形．

（1）尺规作图；作对角线的垂直平分线（保留作图痕迹）；
（2）若直线分别交，于，两点，求证：四边形是菱形
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据垂直平分线的作图方法进行作图即可；
（2）设与交于点，证明，得到，得到四边形为平行四边形，根据，即可得证．
【小问1详解】
解：如图所示，即为所求；
【小问2详解】
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
如图：设与交于点，

∵是的垂直平分线，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为菱形．
【点睛】本题考查基本作图—作垂线，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定．熟练掌握菱形的判定定理，是解题的关键．
19. 小王同学学习了锐角三角函数后，通过观察广场的台阶与信号塔之间的相对位置，他认为利用台阶的可测数据与在点，处测出点的仰角度数，可以求出信号塔的高．如图，的长为，高为．他在点处测得点的仰角为，在点处测得点的仰角为，在同一平面内．你认为小王同学能求出信号塔的高吗？若能，请求出信号塔的高；若不能，请说明理由．（参考数据：，，，结果保留整数）
【答案】能求出信号塔的高，信号塔的高为；
【解析】
【分析】过作，垂足为，根据勾股定理及等腰直角三角形的性质，进而设根据锐角三角函数解答即可．
【详解】解：过作，垂足为，
∵，，
∴四边形矩形，
∴，．
∵的长为，高为，
∴．
∴在中，()．
∵，，
∴．
∴．
∴设．
∴，．
∴．
∵，，
∴．
∴．
∴．
即信号塔的高为．
∴能求出信号塔的高，信号塔的高为．
【点睛】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形性质，锐角三角函数，掌握锐角三角函数是解题的关键．
20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象分别交于两点，与轴交于点，与轴交于点，以点为圆心，的长为半径作，交轴于点，连接．
（1）求反比例函数的表达式．
（2）求扇形的半径及对应圆心角的度数．
（3）求图中阴影部分的面积之和．
【答案】（1）；
（2）扇形的半径为，圆心角的度数为；
（3）．
【解析】
【分析】本题主要考查了求一次函数、反比例函数的解析式、扇形的面积等知识点．
（1）利用待定系数法，将点代入反比例函数解析式即可求出反比例函数；
（2）根据，由等腰直角三角形可知，过点A作轴于点P，根据，即可求出半径；
（3）由即可求解．
【小问1详解】
解：反比例函数的图象经过点，
，解得，
反比例函数的表达式为．
【小问2详解】
对于，当时，；当时，，
，
．
如图，过点A作轴于点P．
点，
，，
，
在中，．
【小问3详解】
一次函数的图象与反比例函数的图象交于点B，
，解得，，
点B的坐标为，
．
，
，
．
21. 传统的篆刻艺术有着独特的形式美．为了使学生领略篆刻艺术深厚的文化底蕴，某中学美术老师计划从某网店为学生购买篆刻用具：刻刀和石料，据了解，若购买12把刻刀和24块石料需用360元；若购买10把刻刀和18块石料需用286元．
（1）求每把刻刀和每块石料各多少元？
（2）美术老师计划一次购买刻刀和石料的数量和为60，且刻刀购买数量不少于石料购买数量的一半，经过与网店沟通，该网店对刻刀和石料均可八折优惠，那么，如何设计购买方案才能使花费最少？最少花费多少钱？
【答案】（1）每把刻刀16元，每块石料7元
（2）应购买刻刀20把，购买石料40块才能使花费最少，最少花费为480元
【解析】
【分析】（1）设每把刻刀x元，每块石料y元，根据题意列出方程组即可解答；
（2）设购买a把刻刀，则购买石料 块，由题意刻刀购买数量不少于石料购买数量的一半可列出不等关系式，再根据函数的增减性确定最值问题即可．
【小问1详解】
解：设每把刻刀和每块石料分别是x元，y元，
根据题意，得，
∴解得：，
答：每把刻刀16元，每块石料是7元；
【小问2详解】
解：设购买刻刀a把，则购买石料块，根据题意，得，解得，
设本次购买花费w元，则，
∵，
∴w随a的增大而增大，
∴当时，w有最小值，，
此时，
答：应购买刻刀20把，购买石料40块才能使花费最少，最少花费为480元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组，一元一次不等式以及一次函数的性质，梳理题意确定不等关系式和函数关系式是解题的关键．
22. 如图，在某中学的一场篮球赛中，李明在距离篮圈中心（水平距离）处跳起投篮，球出手时离地面，当篮球运行的水平距离为时达到离地面的最大高度．已知篮球在空中的运行路线为一条抛物线，篮圈中心距地面．
（1）建立如图所示的平面直角坐标系，求篮球运动路线所在抛物线的函数解析式；
（2）场边看球的小丽认为，李明投出的此球不能命中篮圈中心．请通过计算说明小丽判断的正确性；
（3）在球出手后，未达到最高点时，被防守队员拦截下来称为盖帽．但球到达最高点后，处于下落过程时，防守队员再出手拦截，属于犯规．在（1）的条件下，防守方球员张亮前来盖帽，已知张亮的最大摸球高度为，则他应该在李明前面多少米范围内跳起拦截才能盖帽成功？
【答案】（1）
（2）小丽的判断是正确的，计算过程见解析
（3）张亮应在李明前面1米范围内处跳起拦截才能盖帽成功
【解析】
【分析】（1）由题意可知，抛物线的顶点坐标为，球出手时的坐标为，设抛物线的解析式为，由待定系数法求解即可；
（2）求得当时的函数值，与比较即可说明小丽判断的正确性；
（3）将代入函数的解析式求得x的值，进而得出答案．
【小问1详解】
抛物线顶点坐标为，
设抛物线的解析式为．
把代入，得．
；
【小问2详解】
把代入抛物线解析式
得．
，
此球不能投中，小丽的判断是正确的．
【小问3详解】
当时，，
解之，得或．
，．
答：张亮应在李明前面1米范围内处跳起拦截才能盖帽成功．
【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
23. 综合与实践
【问题背景】

如图（1），在矩形中，，，点E为边上一点，沿直线将矩形折叠，使点C落在边上的处．
【问题解决】
（1）填空：的长为______；
（2）如图（2），展开后，将沿线段向右平移，使点的对应点与点B重合，得到，与交于点F，求线段的长．
（3）【拓展探究】如图（3），在沿射线向右平移的过程中，设点的对应点为，则当在线段上截得的线段的长度为1时，直接写出平移的距离．
【答案】（1）3 （2）1
（3）或
【解析】
【分析】（1）由矩形的性质得，，，再由折叠的性质得，然后由勾股定理求解即可；
（2）由折叠的性质得，设，则，在中，由勾股定理求出，，连接，证，即可求解；
（3）分类讨论：当在内（的左侧）时，连接，根据相似三角形的判定和性质可得，根据平移的性质和等角对等边的性质可得，即可求得；当在射线上（的右侧）时，连接，根据相似三角形的判定和性质可得，，求解可得，即可求得．
【小问1详解】
∵四边形是矩形，
∴，，
由折叠的性质得：
∴
故答案为：3．
【小问2详解】
由（1）得：
∴
由折叠的性质得：
设，则，
在中，
解得
即，
连接，如图所示：

由平移的性质得：，，
∴
∴，
∴；
【小问3详解】
当在内（的左侧）时，连接，
如图所示：

由平移的性质得：，，
∴
∴
∵
∴
∴
当在射线上（的右侧）时，连接，如图

由平移的性质得：，，
∴，
∴，
即，
∵
求解得
∴，
故答案为：或．
【点睛】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、平移的性质、平行四边形的判定等知识；本题综合性强，熟练掌握矩形的性质、折叠的性质、平移的性质以及勾股定理是解题的关键，属于中考常考题型．

普通话
体育知识
旅游知识
王静
80
90
70
李玉
90
80
70
分组
频数
年级
平均数
中位数
众数
七年级
八年级