北京市昌平区第二中学2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题（共8道小题，每小题2分，共16分）
1. 肥皂属于碱性，碱性会破坏细菌的内部结构，对去除细菌有很强的效果，用肥皂洗手对预防传染疾病起到很重要的作用．肥皂泡的泡壁厚度大约是0.0000007m，将数字0.0000007用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．据此即可得到答案.
【详解】解：0.0000007=7×10−7.
故选C .
【点睛】本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1⩽|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
2. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据不等式画出数轴，实心圆点包括该点，空心圆点不包括该点，大于向右，小于向左即可得出答案．
【详解】解：根据不等式的解集表示及其左边部分，则可用数轴表示为：
，
故选：A．
【点睛】本题考查不等式组解集的表示方法，关键在于熟练掌握不等式解集在数轴上表示的基本步骤．
3. 若是关于，的二元一次方程的解，则的值为（ ）
A. 2B. 3C. 5D. 7
【答案】B
【解析】
【分析】将方程的解代入原方程即可求出未知数m，则问题的解．
【详解】∵是方程的解，
∴将代入中，有，
解得，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程的解的知识，解答时注意不要将x、y的值混淆造成错误．
4. 下列运算式中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据整式的运算法则即可判断．
【详解】解：A．，故选项错误，不符合题意；
B．，故选项正确，符合题意；
C．，故选项错误，不符合题意；
D．，故选项错误，不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查幂的运算，涉及同底数幂的乘除法，积的乘方与幂的乘方等知识，熟练掌握运算法则是解题的关键．
5. 若，则下列结论不正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据不等式的基本性质对各选项分析判断后利用排除法．
【详解】A、∵a＜b，∴，故本选项正确；
B、∵a＜b，∴a-3＜b-3，故本选项正确；
C、∵a＜b，∴-2a＞-2b，故本选项正确；
D、∵a＜b，∴，故本选项错误．
故选D．
【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．
（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．
（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．一定要注意不等号的方向的处理，也是容易出错的地方．
6. 长方形的面积是．若一边长是，则另一边长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据长方形的面积公式：面积长宽，根据题意列式求解即可得到答案．
【详解】解：长方形的面积是，一边长是，
另一边长是，
故选：B．
【点睛】本题考查多项式除以单项式，读懂题意，根据长方形面积公式列式求解是解决问题的关键．
7. 我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何”你能用二元一次方程组表示题中的数量关系吗？设笼中鸡有x只，兔有y只，则下面方程组正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据“鸡的数量兔的数量，鸡的脚的数量兔子的脚的数量”可列方程组．
【详解】解：设鸡有只，兔有只，
根据题意，可列方程组为，
故选：C．
【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系．
8. 在“互联网+”时代，利用二维码可以进行身份识别．某校建立了一个身份识别系统，如右图是某个学生的识别图案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0，将第一行数字从左到右依次记为a，b，c，d，那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为a×23+b×22+c×21+d×20．如图中第一行数字从左到右依次为1，0，0，1，序号为1×23+0×22+0×21+1×20=9（其中20=1），表示该生为9班学生，下面表示5班学生的识别图案是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题中的转换方法，利用有理数的乘方法则逐项计算即可．
【详解】解：A. 第一行数字从左到右依次为0，0，1，1，序号为0×23+0×22+1×21+1×20＝3，表示3班学生，不符合题意；
B. 第一行数字从左到右依次为0，1，0，1，序号为0×23+1×22+0×21+1×20＝5，表示5班学生，符合题意；
C. 第一行数字从左到右依次为0，1，1，0，序号为0×23+1×22+1×21+0×20＝6，表示6班学生，不符合题意；
D. 第一行数字从左到右依次为0，1，1，1，序号为0×23+1×22+1×21+1×20＝7，表示7班学生，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了有理数乘方的应用，正确理解题中的转换方法是解题的关键．
二、填空题（共16分，每题2分）
9. 计算：（1）=_______；（2）_______．
【答案】 ①. ②. 1
【解析】
【分析】（1）是由在，时转化而来的，也就是说当同底数幂相除时，若被除式的指数小于除式的指数，则转化成负指数幂的形式．
（2），即任何不等于0的数的0次幂都等于1．
【详解】（1）
（2）
故答案为：，．
【点睛】本题考查了负整数指数幂以及零指数幂的运算法则， 掌握运算法则是解题关键．
10. x的3倍与5的差小于6，用不等式表示为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据运算顺序列不等式即可．
【详解】解：x的3倍与5的差小于6，用不等式表示为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查列一元一次不等式，解题关键是抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式．
11. 写出一个解是的二元一次方程组：______．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据，列出方程组即可．
【详解】解：根据题意得：，
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．
12. 若 ，则k的值是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了完全平方公式．根据完全平方公式，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴．
故答案为：．
13. 已知，，则______．
【答案】6
【解析】
【分析】把原式化为，再代入计算即可．
【详解】解：∵，，
∴，
故答案为：6
【点睛】本题考查的是同底数幂的乘法的逆运算，熟记运算公式是解本题的关键．
14. 若，则________．
【答案】5
【解析】
【分析】本题考查非负数的性质、绝对值，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键．先根据非负数的性质以及绝对值的性质求出与的值，再代入进行计算即可．
【详解】解：由题可知，
，
解得，
则．
故答案为：5
15. 不等式组的解集是x>2，则m的取值范围是_____．
【答案】m≤1
【解析】
【分析】根据不等式的性质求出不等式的解集，根据不等式组的解集得到2≥m+1，求出即可．
【详解】，
由①得：x＞2，
由②得：x＞m+1，
∵不等式组的解集是 x＞2，
∴2≥m+1，
∴m≤1，
故答案为m≤1．
16. ，，三种原料每袋重量（单位：）依次是，，，每袋的价格（单位：万元）依次是，，．现生产某种产品需要，，这三种原料的袋数依次为（均为正整数），则生产这种产品时需要的这三类原料的总重量（单位：）=_________（用含的代数式表示）；为了提升产品的品质，要求，当的值依次是_________时，这种产品的成本最低．
【答案】 ①. ②. 1，5，1
【解析】
【分析】根据重量等于单袋重量乘以袋数，列式计算即可；运用不等式的基本性质计算即可．
【详解】∵A，B，C三种原料每袋的重量（单位：kg）依次是1，2，3，需要A，B，C这三种原料的袋数依次为（均为正整数），
∴，
故答案为：；
设总成本价为M元，根据题意，得，
∵均为正整数，，
∴，
当且仅当，时，成本最低，此时，
故，
故答案为：1，5，1．
【点睛】本题考查了不等式的应用，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
三、解答题（本题共12道小题，第17－22题，每小题5分，第23－26题，每小题6分，第27、28题，每小题7分，共68分）
17. 计算：2x2+（3y2﹣xy）﹣（x2﹣3xy）．
【答案】
【解析】
【详解】试题分析：先去掉括号，再合并同类项即可.
试题解析： 原式= =
18. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】根据幂的乘方法则和积的乘方法则以及合并同类项解答即可．
【详解】解：原式
【点睛】此题考查幂的乘方和积的乘方，关键是根据幂的乘方法则和积的乘方法则以及合并同类项解答．
19. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】直接利用多项式乘多项式化简，再合并同类项得出答案．
【详解】解：
【点睛】此题主要考查了多项式乘多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．
20. 解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来．
【答案】，数轴见解析．
【解析】
【分析】根据解一元一次不等式基本步骤去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得解集，再在数轴上表示即可．
【详解】解：去括号得，
移项，合并同类项得，
系数化为1得，；
数轴表示如下：
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
21. 解方程组：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查解二元一次方程组，掌握代入消元法是正确解答的关键．利用代入消元法将方程①代入方程②求出的值，再代入求出的值即可．
【详解】解：，
①代入②得，，
解得，
把代入①得，，
所以方程组的解为．
22. 解方程组：
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了解二元一次方程组的方法，注意代入消元法和加减消元法的应用是关键．应用加减消元法，求出方程组的解即可．
【详解】解：，
①②，可得，
解得，
把代入①，可得：，
解得，
原方程组的解是．
23. 解不等式组，并写出它的所有整数解．
【答案】，整数解为0，1，2，3．
【解析】
【分析】本题考查一元一次不等式组整数解，解一元一次不等式组等知识，解题的关键是掌握解不等式组的方法．求出各个不等式的解集，再寻找解集的公共部分即可．
【详解】解：，
由①得，，
，
由②得，，
，
，
，
不等式组的整数解为0，1，2，3．
24. 已知．求代数式的值．
【答案】
【解析】
【分析】将运用配方法变形为，再运用平方差公式，完全平方公式将展开，合并同类项，变形为，由此即可求解．
【详解】解：运用配方法变形，
∴，即，即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴的值为．
【点睛】本题主要考查平方差公式，完全平方公式在整式加减法中应用，掌握整式的加减法法则是解题的关键．
25. 在整式乘法的学习过程中，我们常常利用图形的面积对运算结果加以说明．例如由图①中图形的面积可以得到等式：
（1）利用图②中图形的面积关系，写出一个正确的等式： ；
（2）计算的值，并画出几何图形进行说明．
【答案】（1）；（2），图和说明见解析
【解析】
【分析】（1）利用等面积法，使用两种方法求出面积，一种是直接计算大图形的面积，二是根据图形求出四个小图形面积，二者相同即可；
（2）根据题意可作出如图所示矩形，同（1）类似，求各个小图形面积和即可．
【详解】（1）图②面积可表示为：
面积还可表示为：
∴可得：；
（2）如图所示：
根据图形求面积可得，大面积可表示为：，
四个小矩形面积和为：，
二者表示为同一图形面积，
∴，
说明：根据作出如图所示图形，根据图形分别计算四个矩形面积求和即可得．
【点睛】题目主要考查多项式与多项式相乘与几何图形结合进行验证多项式法则，理解并学会作出合适的图形是解题难点．
26. 关于x，y的二元一次方程组的解满足，求m的取值范围．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查解一元一次不等式，二元一次方程组的解，严格遵循解不等式的基本步骤是解答本题的关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．将两个方程相加得出，结合知，据此列出关于的不等式，解之可得．
【详解】解：两个方程相加可得，
，
，
则，
解得．
27. 为鼓励同学们参加主题为“阅读润泽心灵，文字见证成长”的读书月活动，学校计划购进一批科技类和文学类图书作为活动奖品．已知同类图书中每本书价格相同，购买2本科技类图书和3本文学类图书需131元，购买4本科技类图书和5本文学类图书需237元．
（1）科技类图书和文学类图书每本各多少元？
（2）经过评选有300名同学在活动中获奖，学校对每位获奖同学奖励一本科技类或文学类图书．如果学校用于购买奖品的资金不超过8000元，那么科技类图书最多能买多少本？
【答案】（1）科技类图书每本28元，文学类图书每本25元
（2）科技类图书最多能买166本
【解析】
【分析】（1）设科技类图书每本x元，文学类图书每本y元，根据题意列出二元一次方程，求解即可；
（2）设购买科技类图书a本，结合资金不超过8000元，列出一元一次不等式，解出最大值.
【小问1详解】
解：设科技类图书每本x元，文学类图书每本y元．
依题意，得，
①×2－②，得，
把代入①，得．
所以这个方程组的解为，
答：科技类图书每本28元，文学类图书每本25元．
【小问2详解】
解：设购买科技类图书a本．
依题意，得．
解得．
所以满足条件的最大整数为166．
答：科技类图书最多能买166本．
【点睛】本题考查了二元一次方程和一元一次不等式的求解，设出未知数进行求解是解题的关键.
28. 对于二元一次方程的任意一个解给出如下定义：若，则称为方程的“关联值”；若，则称为方程的“关联值”．
（1）写出方程的一个解，并指明此时方程的“关联值”；
（2）若“关联值”为4，写出所有满足条件方程的解；
（3）直接写出方程最小“关联值”为______；当关联值为时，直接写出x的取值范围是______．
【答案】（1）方程的解为，方程的“关联值”为1（答案不唯一）
（2），
（3）或
【解析】
【分析】（1）根据“关联值”的概念求解即可；
（2）根据“关联值”为4分情况列方程求解即可；
（3）根据题意得到，进而得到当增大时，先减小到0，然后再增大，然后联立求解即可；根据题意分四种情况分别列出不等式求解即可．
【小问1详解】
当时，即，
解得，
∵
∴此时方程的“关联值”为1，方程的解为（答案不唯一）；
【小问2详解】
∵“关联值”为4，
∴①当时，即，解得，
∴方程的解为；
②当时，即，解得，
∴方程的解为；
③当时，即，解得，
∵，
∴不符合题意，应舍去；
④当时，即，解得，
∵，
∴不符合题意，应舍去；
综上所述，所有满足条件的方程的解有，；
【小问3详解】
∵
∴，
∵当时，，
当增大时，先减小到0，然后再增大，
∴当时，方程取得最小“关联值”，
∴联立，解得
∴方程的最小“关联值”为；
当关联值为时，即，
∴，
∴
∴①当，时，即，时，
∴，解得，
∴；
②当，时，即，时，
∴，解得，
∴；
③当，时，即，时，
∴，解得，
∴；
④当，时，即，时，
∴，解得，
∴；
综上所述，当或时，关联值为．
【点睛】此题考查了二元一次方程的解和一元一次不等式，解题的关键是正确分析题目中的等量关系和不等关系．