湖北省荆州市2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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（本试题卷共4页，满分120分，考试时间120分钟）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效，作图一律用2B铅笔或黑色签字笔．
一、选择题（共10题，每题3分，共30分，在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1. 下列四个数中，最小的数是（ ）
A. 0B. 3C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了实数大小比较，准确熟练地进行计算是解题的关键．
利用平方法先比较与的大小，即可解答．
详解】解：∵，
，
在这四个数中，
∴最小的数是，
故选：C．
2. 如图，已知，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，根据对顶角相等，得出，再结合平行线的性质，得出，因为，代入数值进行计算，即可作答．
【详解】解：如图：
∵对顶角相等，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B
3. 如图，将两个含角的直角三角板的最长边靠在一起滑动，可知直角边，根据是（ ）
A. 同位角相等，两直线平行B. 同旁内角互补，两直线平行
C. 内错角相等，两直线平行D. 两直线平行，内错角相等
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查平行线的判定，图中的两个的角是一对内错角，而内错角相等，两直线平行，据此可得答案．
【详解】解：∵，
∴（内错角相等，两直线平行）．
故选：C
4. 已知下列语句：①同位角相等；②相等的角是对顶角；③是分数；④的算术平方根是3；其中真命题是（ ）
A. ①B. ②C. ③D. ④
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了命题的真假，解题的关键是了解平行线的性质、对顶角、无理数定义和算术平方根．根据平行线的性质、对顶角、无理数定义和算术平方根判断解答即可．
【详解】解：①两直线平行，同位角相等，原命题是假命题；
②相等的角不一定是对顶角，原命题是假命题；
③是无理数，不是分数，原命题是假命题；
④的算术平方根是3，原命题是真命题；
故选：D．
5. 如图，小明用手盖住的点的坐标可能为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据点的坐标特征与象限的关系判断即可．
【详解】∵第二象限的坐标符号特征为，
∴符合题意，
故选B．
【点睛】本题考查了坐标特征与象限的关系，熟练掌握坐标的符号特征与象限的关系是解题的关键．
6. 在下面的正方形网格图中，标明了学校附近的一些地点，其中每一个小正方形网格的边长代表．在图中以正东和正北方向分别为x轴，y轴正方向，代表1个单位长度建立平面直角坐标系，若超市的坐标为，体育馆的坐标为，则学校的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了用坐标表示位置，数形结合，找到坐标原点画出坐标系是解题的关键．先确定确定原点的位置为电影院，即可此处学校坐标．
【详解】解：超市的坐标为，体育馆的坐标为，
坐标原点所在的位置为电影院，
学校的坐标为．
故选：B．
7. 如图，，平分，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查平行线的性质、角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．本题考查平行线的性质、角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
【详解】解：，，
，，
平分，
，
，
故选：D．
8. 若一个正方体水池的容积为20立方米，估计这个正方体的棱长（ ）
A. 在4米至5米之间B. 在3米至4米之间
C. 在2米至3米之间D. 在1米至2米之间
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了估算无理数的大小，先估算被开方数在哪两个相邻的平方数之间，再估算该无理数在哪两个相邻的整数之间．用“夹逼法”求解即可．
【详解】解：∵一个正方形的花坛，它的容积是20平方米，
∴个正方形的边长为米，
∵，
∴．
故选C．
9. 如图，数轴上表示1，的点分别为A，B，点A是的中点，则点C所表示的数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据中点得，然后从点向左平移即可；
【详解】解：点A是的中点，
，
点C所表示数为：．
故选：C．
【点睛】本题考查了无理数与数轴的关系、线段的中点性质等知识点，中点性质的运用是解题关键．
10. 如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿着箭头所示方向，每次移动一个单位长度，依次得到点，，，，，，……，则点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平面直角坐标系中找点的规律问题，关键是找到循环规律．根据已知点的坐标总结规律即可得解．
【详解】解： 由的坐标 可得：时，当下标为3的整数倍时，横坐标为，纵坐标为0，当下标除以3后有余数且商为奇数时，坐标在第四象限，纵坐标为，余数为1时，横坐标为商，余数为2时，横坐标为商；当下标除以3后有余数且商为偶数时，坐标在第二象限，纵坐标为1，余数为1时，横坐标为商，余数为2时，横坐标为商．
∵，
∴点的坐标是即．
故选：B．
二、填空题（共5题，每题3分，共15分）
11. 在平面直角坐标系中，若点在x轴上，则________．
【答案】2
【解析】
【分析】因为点在x轴上，纵坐标等于0，根据点在x轴上的特征可得:：，解得．
【详解】解：∵点x轴上，
∴，解得．
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查点在x轴上点的特征，解决本题的关键是要熟练掌握点在x轴上点的纵坐标为0．
12. 如图，所示，请添加一个条件，使．则添加的条件为___________．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的判定，熟知平行线的判定定理是解题的关键．
【详解】解：添加条件，理由如下：
∵，
∴（同位角相等，两直线平行），
故答案为；（答案不唯一）．
13. 若的整数部分为m，的小数部分为n，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查的是估算无理数的大小及乘法运算，求得m、n的值是解题的关键．
先估算数，的大小，然后可求得m、n的值，最后代入求解即可．
【详解】，，
，，
的整数部分为m，的小数部分为n，
，，
，
故答案为：．
14. 如图是一块从一个边长为的正方形材料中剪出的垫片，现测得，则这个剪出的垫片图形的周长是______．
【答案】30
【解析】
【分析】本题考查了生活中的平移现象，利用平移的性质得出是解题关键．利用平移的性质将，，分别向左和上平移即可得出平移后图形，进而求出这块垫片的周长．
【详解】解：如图所示：这块垫片周长为：，
故答案为：30．
15. 如图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知，，，，则的度数为______．
【答案】##85度
【解析】
【分析】本题考查平行线的性质，解题关键是结合图形利用平行线的性质进行角的转化和计算．过点F作，因为，所以，再根据平行线的性质可以求出，，进而可求出，再根据平行线的性质即可求得．
【详解】解：如图，过点F作，
∵，
∴，而，
∴，，，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴．
故答案为．
三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算，解本题的关键在熟练掌握绝对值的性质、算术平方根和立方根的定义．先根据绝对值的性质、算术平方根和立方根的定义进行化简，然后再进行计算即可．
【详解】解：
．
17. 求下列各式中x的值：
（1）；
（2）．
【答案】（1）或；
（2）．
【解析】
【分析】本题主要考查了利用平方根和立方根解方程，熟练掌握平方根和立方根的相关知识是解此题的关键．
（1）利用平方根解方程即可；
（2）将原方程变形为，再利用立方根解方程即可．
【小问1详解】
解：，
或，
解得：，；
【小问2详解】
解：，
，
．
18. 如图，已知，，，将求的过程补充完整．
解：∵（已知），
∴（____________），
∵（已知），
∴（____________），
∴(____________），
∴（____________），
∵（已知），
∴______．
【答案】两直线平行，内错角相等；等量代换；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；．
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质与判定．根据平行线的性质与判定即可求出答案．
【详解】解：∵（已知），
∴（两直线平行，内错角相等），
∵（已知），
∴（等量代换），
∴ (同位角相等，两直线平行），
∴（两直线平行，同旁内角互补），
∵（已知），
∴．
故答案为：两直线平行，内错角相等；等量代换；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；．
19. 如图，直线与相交于点O，．
（1）若，求证：；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查垂直的定义，角的和差．
（1）由得到，进而有，从而得证；
（2）由得到，从而，根据即可求出，进而即可解答．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，即，
∵，
∴，即
∴；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
20. 如图，在平面直角坐标系中，，，．
（1）把三角形先向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后得到三角形，请画出三角形，并写出点，的坐标；
（2）求三角形的面积．
【答案】（1）图见解析，，；
（2）．
【解析】
【分析】本题考查了平移变换及网格求三角形面积、坐标与图形；熟练掌握平移的性质是解题的关键．
（1）根据平移的性质作出图形即可求解；利用平移的性质得出对应点坐标；
（2）利用分割法即可求解；
【小问1详解】
解：如图，三角形即为所求，
点，的坐标为，；
【小问2详解】
三角形的面积为．
21. 在平面直角坐标系中，已知点，，．
（1）若轴，求A，B两点间的距离；
（2）若轴于点D，且时，求点C的坐标．
【答案】（1）7 （2）或
【解析】
【分析】本题主要考查坐标于图形的性质，熟练掌握性质是关键，
（1）根据轴可知点A，B的纵坐标一样解得a的值，再求解的横坐标，最后即可求得两点间的距离；
（2）根据轴于点D，且，求出n的值，即可得出点C的坐标.
【小问1详解】
解：∵轴，
∴，
∴，
∴，，
∴A，B两点间的距离为；
【小问2详解】
∵轴于点D，，
∴，
∴或
则或
∴点C的坐标为或．
22. 如图，于点D，于点F，，．（要求写明与平行线的性质和判定相关的推理根据）
（1）求的度数；
（2）求证：．
【答案】（1）；
（2）见解析．
【解析】
【分析】本题考查了垂线的性质，平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解答本题的关键．
（1）根据垂线的性质得，判定，平行线的性质得，根据进而求出的度数；
（2）由平行线的性质得，利用等量代换，，在证，再证，根据平行公理得出结论．
【小问1详解】
∵，，
∴，
∴（同位角相等，两直线平行），
∴（两直线平行，同位角相等），
∴；
【小问2详解】
∵，
∴（两直线平行，同位角相等），
∵，
∴，（等量代换）
∴（内错角相等，两直线平行）
∵，
∴（同位角相等，两直线平行），
∴．
23. 先观察下列等式，再回答问题：第一个等式；第二个等式；第三个等式．
（1）根据上述三个等式提供的信息，请你猜想第五个等式；
（2）请按照上面各等式反映的规律，试写出第n个等式（n为正整数）；
（3）对于任何实数a，表示不超过a的最大整数，如，，计算：的值．
【答案】（1）
（2）
（3）2023
【解析】
【分析】本题考查了与算术平方根有关规律探索，正确找到题中的规律是解题关键．
（1）根据题中所给信息可判结果；
（2）根据第一问的结果用字母代替数字即可；
（3）根据规律将原式进行正确变形求解；
【小问1详解】
∵第一个等式；
第二个等式；
第三个等式；
故根据规律可猜测第五个等式为；
【小问2详解】
根据（1）总结规律可得：第n个等式为；
【小问3详解】
根据规律可化简
．
24. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，过点分别作x轴、y轴的垂线，交x轴于点C，交y轴于点B，动点P从点C出发，沿以每秒3个单位长度的速度向终点B运动，运动时间为t（秒），a，b满足．
（1）直接写出点B和点C的坐标；
（2）用含t的式子表示线段的长，并写出t的取值范围；
（3）已知点，连接，，在（2）条件下是否存在t值，使四边形的面积是三角形的面积的3倍，若存在，请求出t值及点P的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1），；
（2）当时，，当时，；
（3）存在；，点P的坐标为；，点P的坐标为．
【解析】
【分析】本题考查了坐标与图形的性质，矩形的性质，三角形面积的计算，正确的作出图形是解题的关键；
（1）根据求出a、b，及点A坐标，根据矩形特征即可得到结论；
（2）根据，，可得：，，分两种情况，当点P在线段上时，当点P在线段上时，用用含t的式子表示即可；
（3）当点P在线段上时，当点P在线段上时，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【小问1详解】
，
解得：
点，即，，
作x轴、y轴的垂线，交x轴于点C，交y轴于点B，
，；
【小问2详解】
由，，可得：，，
点P从点C出发，沿以每秒3个单位长度的速度向终点B运动，
当点P在线段上时，
，
即当时，，
当点P在线段上时，
，
即；当时，；
【小问3详解】
存在，理由如下：
点，
，
，
当点P在线段上时，
，
，
解得：，
，
点P的坐标为；
当点P在线段上时，
解得：；
，
点P的坐标为
综上所述：，点P的坐标为；，点P的坐标为．