陕西省宝鸡市陇县2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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（时间：120分钟 分值：100分）
一、选择题（每小题只有一个选项是符合题意的，每小题3分，共24分）
1. 下列各式中，一定是二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次根式的定义：形如的式子叫做二次根式，即可解答．
【详解】解：A、没有意义，故A不符合题意；
B、不是二次根式，故B不符合题意；
C、是二次根式，故C符合题意；
D、当时，是二次根式，当时，没有意义，故D不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查了二次根式的识别，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键．
2. 如图，在中，过点作的垂线交的延长线于点，已知，则的长度为（ ）
A. 15B. 16C. 18D. 20
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题关键．先在中，利用勾股定理可得的长，从而可得的长，再在中，利用勾股定理求解即可得．
【详解】解：，，
，
，
，
则在中，，
故选：D．
3. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查最简二次根式的定义，根据最简二次根式的被开方数不含开的方的因式以及小数和分母，进行逐项分析，即可作答．
【详解】解：A．的被开方数含有分母，不是最简二次根式，故该选项是错误的；
B．，被开方数含开的方的因式，不是最简二次根式，故该选项是错误的；
C．是最简二次根式，故该选项是正确的；
D．的被开方数含小数，不是最简二次根式，故该选项是错误的；
故答案为：C．
4. 如图，平行四边形对角线，交于点，已知，，的周长为15，则的长为（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】首先求出OB＋OC，再根据△OBC的周长计算即可；
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，，，
∴OA＝OC＝3，OB＝OD＝5，AD＝BC，
∵△BOC的周长为15，
∴BC＋OB＋OC＝15，
∴BC＝7，
∴AD＝BC＝7，
故选：C．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、三角形的周长等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
5. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的四则运算，熟知相关计算法则是解题的关键．
【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算正确，符合题意；
故选：D．
6. 如图，四边形为平行四边形，A，C两点的坐标分别是，，则平行四边形的周长等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据点A、C的坐标可得OA、OC的长，再根据平行四边形的性质可得BC、AB长，由此即可得出答案．
【详解】
四边形为平行四边形
则平行四边形的周长为
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、两点之间的距离公式等知识点，熟记平行四边形的性质是解题关键．
7. 如图，是的边上的点，是中点，连接并延长交点，连接与相交于点，若，，则阴影部分的面积为（ ）．

A. 28B. 26C. 24D. 20
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定和全等三角形的性质与判定．连接，先根据平行四边形的性质得到，再证明，可得，可判定四边形是平行四边形，从而得到，再证明四边形是平行四边形，可得，最后根据阴影部分的面积，即可求解．
详解】解：连接，如图，

∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∵是中点，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，即，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积为．
故选：A
8. 如图，在矩形中，E、F分别是边、上的点，，连接、与对角线交于点O，且，，，则的长为（ ）
A. B. C. D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】连接，先证，得到，得到 ，求得，根据直角三角形的性质，得到，从而得到．
【详解】连接，
∵四边形是矩形，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
设，
∵，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选B．
【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的三线合一，直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握矩形的性质和直角三角形的性质是解题的关键．
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件可直接进行求解．
【详解】解：由二次根式在实数范围内有意义可得：
，
解得： ；
故答案为 ．
【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
10. 在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，则AB2+AC2+BC2＝_____．
【答案】50
【解析】
【分析】根据∠C的度数确定△ABC为直角三角形，且AB为斜边，再根据勾股定理即可求解．
【详解】解：∵△ABC中，∠C=90°，
∴△ABC为直角三角形，且AB为斜边．
∵AB=5，
∴．
故答案为：50．
【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握该知识点是解题关键．
11. 如图，中，，，，、分别为，的中点，平分，交于点，则的长是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了三角形中位线定理、勾股定理、等角对等边，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
根据勾股定理求出，根据三角形中位线定理结合平行线的性质、等腰三角形的判定定理推出，再代入计算即可．
【详解】解：∵在中，，
∴由勾股定理得：，
平分，
，
分别为的中点，
，，
故答案为：．
12. 如图，在矩形中，，相交于点，平分交于点．若，则的度数为________．
【答案】#75度
【解析】
【分析】根据矩形的性质及平分分别判定及为等边三角形，然后求得，则可在中求得的度数．本题考查了矩形的性质、等边三角形和等腰三角形的判定及三角形的内角和等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
【详解】解：在矩形中，平分，
，，，
，
．
，
，
又，
为等边三角形，
，
．
故答案为：
13. 如图，的顶点在等边的边上，点在的延长线上，为的中点，连接．若，，则的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质得，，，即可得，延长交于点H，根据得，利用证明，可得，，即可得，根据，得是等边三角形，可得，即可得．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，，，
∴，，，
∴，
如图所示，延长交于点H，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴等边三角形，
∴，
∴，
故答案为：．
【点晴】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，掌握平行四边形的性质，添加辅助线是解题的关键。
三、解答题（共9小题，计61分）
14. （1）
（2）．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】本题主要考查二次根式的运算：
（1）先把每一个二次根式化为最简，然后再进行二次根式的加减运算即可；
（2）根据完全平方公式及二次根式的运算进行求解即可．
详解】解：（1）原式
（2）原式
．
15. 如图，在中，是边的中线，，，，求的度数．
【答案】
【解析】
【分析】根据已知条件利用勾股定理的逆定理可得出是直角三角形，且，再根据，推出，即可得出答案．
【详解】解：如图，∵是边的中线，，
∴，
，，而，
∴由勾股定理的逆定理得：是直角三角形，且，
∵又，
∴，
∵是的邻补角，
∴．
【点睛】本题考查的知识点是勾股定理的逆定理的应用，根据题目推出是等腰直角三角形是解此题的关键．
16. 如图，在中，，是对角线上的两点，且．
求证：．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质．利用证明，即可证明．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，，
∴；
∴．
17. 已知，，试求：
（1）；
（2）
【答案】（1）=1
（2）23
【解析】
【分析】（1）根据二次根式的乘法运算以及平方差公式求解即可；
（2）利用完全平方公式对式子进行化简，然后代入求解即可．
【小问1详解】
解：
=1；
【小问2详解】
解：
；
当，时，
原式
=23．
【点睛】此题考查了二次根式的加减乘除运算，涉及了平方差公式和完全平方公式，解题的关键是熟练掌握二次根式的有关运算以及平方差公式和完全平方公式．
18. 如图，在中，点E，F分别在，上，，．求证：四边形是矩形．

【答案】见详解
【解析】
【分析】先证四边形是平行四边形，再由对角线相等的平行四边形是矩形，即可得出结论．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
即，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是矩形．
【点睛】本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质、熟练掌握矩形的判定是解题的关键．
19. 如图在平行四边形中，，，．求的长．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查平行四边形的性质，勾股定理．根据平行四边形的性质，得到，勾股定理求出的长，进而得到的长，再用勾股定理求出的长，即可．
【详解】解：∵四边形平行四边形，
∴，
又∵，，
∴在中，，
又∵由平行四边形性质可得，
．
；
在中，，
∴．
20. 如图所示，在中，点D、E分别为的中点，点H在线段上，连接，点G、F分别为的中点．

（1）求证：四边形为平行四边形
（2），求线段的长度．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）由三角形中位线定理得到，，得到，即可证明四边形为平行四边形；
（2）由四边形为平行四边形得到，由得到，由勾股定理即可得到线段的长度．
【小问1详解】
解：∵点D、E分别为的中点，
∴，
∵点G、F分别为、的中点．
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形；
【小问2详解】
∵四边形为平行四边形，
∴，
∵
∴，
∵，
∴．
【点睛】此题考查了中位线定理、平行四边形的判定和性质、勾股定理等知识，证明四边形为平行四边形和利用勾股定理计算是解题的关键．
21. 已知：如图，点为对角线的中点，过点的直线与，分别相交于点，．
求证：．

【答案】详见解析
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质得出，，进而得出，，再证明，根据全等三角形的性质得出，再利用线段的差得出，即可得出结论．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
∵点为对角线的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，正确理解题意是解题的关键．
22. 如图，在平行四边形中，为线段的中点，连接，，延长，交于点，连接，．

（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求四边形的面积．
【答案】（1）证明，见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据平行四边形的性质，得，根据平行线的性质，得，；再根据为线段的中点，全等三角形的判定，则，根据矩形的判定，即可；
（2）过点作于点，根据勾股定理，求出的长，再根据四边形的面积等于，即可．
【小问1详解】
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，，
∵为线段的中点，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是矩形．
【小问2详解】
过点作于点，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形的面积等于，
∵，，
∵点是对角线的中心，
∴，
∴，
∴平行四边形的面积为：．
【点睛】本题考查矩形，平行四边形，全等三角形的知识，解题的关键是矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质．