2023-2024学年陕西省西安市雁塔区高新一中八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年陕西省西安市雁塔区高新一中八年级（下）期中数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列各式中，是分式的是( )
A. 3x+12B. −m+n3C. 14D. 3x+3
2.下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是( )
A. 3abc3=3c⋅abc2B. (x+1)2=x2+2x+1
C. 4t2−9=(2t+3)(2t−3)D. x2−16+6x=(x+4)(x−4)+6x
3.在以下绿色食品、可回收物、响应环保、节水四个标志中，是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
4.不等式组2x−4≤0x+2>0的解集在数轴上用阴影表示正确的是( )
A. B. C. D.
5.如果把分式xy2x−3y中的x和y都扩大为原来的3倍，那么分式的值( )
A. 不变B. 缩小3倍C. 扩大3倍D. 扩大9倍
6.如图，将直角△ABC沿边AC的方向平移到△DEF的位置，连结BE，若CD=6，AF=14，则BE的长为( )
A. 4
B. 6
C. 8
D. 12
7.将一箱书分给学生，若每位学生分6本书，则还剩10本书；若每位学生分8本书，则有一个学生分到书但不到4本．求这一箱书的本数与学生的人数．若设有x人，则可列不等式组为( )
A. 8(x−1)<6x+10<4B. 0<6x+10<8x
C. 0<6x+10−8(x−1)<4D. 8x<6x+10<4
8.如图，一次函数y=kx+3(k≠0)的图象与正比例函数y=mx(m≠0)的图象相交于点P，已知点P的横坐标为1，则关于x的不等式(k−m)x>−3的解集为( )
A. x<1
B. 1C. 2D. x>3
9.关于x的不等式组x−1≤3a−x<2有5个整数解，则a的取值范围是( )
A. 110.运行程序如图所示，规定：从“输入一个值x”到“结果是否>95”为一次程序操作，如果程序操作进行了三次才停止，那么x的取值范围是( )
A. x≥3B. 11二、填空题：本题共7小题，每小题3分，共21分。
11.当分式1x+3有意义时，x应满足的条件是______．
12.因式分解：a3−4a=______．
13.如图，点A、B分别在x轴和y轴上，OA=1，OB=2，若将线段AB平移至A′B′，则a+b的值为______．
14.已知1a−1b=2，则a−3ab−b2a−2b+5ab的值等于______．
15.如图，将直角三角形ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到三角形A′B′C，连接BB′，若∠A′B′B=20°，则∠A的度数是_____．
16.若a，b，c是△ABC的三边，且满足a2−ab+c2=2ac−bc，则△ABC是______三角形．
17.如图，边长为6的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC，连接DF.则在点E运动过程中，DF的最小值是______．
三、解答题：本题共8小题，共69分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题8分)
计算：
(1)解不等式：3(1−2x)<7−2(x−4)，并将解集表示在数轴上．
(2)解不等式组：1−x≤3x+12+x−13<1．
19.(本小题8分)
计算：
(1)a−12a−1−a1−2a；
(2)x2−2x+1x⋅x2−2xx−1÷(x−1)．
20.(本小题6分)
先化简，再求值：(3a+1−a+1)÷a2−4a+4a+1，请从−1，1，2中选择一个合适的数作为a的值代入求值．
21.(本小题6分)
如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A(2,2)，点B(4,2)，点C(3,4)，请解答下列问题：
(1)画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后得到的△A1B1C1，并写出B1的坐标：B1(______，______)；
(2)画出△ABC关于原点O成中心对称的△A2B2C2，并写出B2的坐标：B2(______，______).
22.(本小题9分)
线段AB与CD的位置关系如图1所示，AB=CD=m，AB与CD的交点为O，且∠AOC=60°，分别将AB和AC平移到CE，BE的位置(如图2)．
(1)求CE的长和∠DCE的度数；
(2)在图2中求证：AC+BD>m．
23.(本小题10分)
我校运动会需购买A，B两种奖品，其中A奖品的单价是10元；B奖品的单价是25元.计划购买A、B两种奖品共100件，购买费用不超过1375元，且A种奖品的数量不大于B种奖品数量的4倍．
(1)求出A种奖品的数量范围；
(2)设购买费用为W元，写出W(元)与A种奖品的数量(件)之间的函数关系，并确定最少费用W的值．
24.(本小题10分)
数形结合思想是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想.我们可用此思想，来探索因式分解的一些方法．

(1)探究一：将图1的阴影部分沿虚线剪开后，拼成图2的形状，拼图前后图形的面积不变，因此可得一个多项式的因式分解______．
(2)探究二：类似地，我们借助一个棱长为a的大正方体进行以下探索：在大正方体一角截去一个棱长为b(b(3)问题应用：利用上面的结论，解决问题：已知a−b=6，ab=2，求a3−b3的值．
25.(本小题12分)
我们定义：有一组邻边相等且有一组对角互补的凸四边形叫做等补四边形．
(1)如图1，△ABC是等边三角形，在BC上任取一点D(BC除外)，连接AD，我们把△ABD绕点A逆时针旋转60°，则AB与AC重合，点D的对应点E.请根据给出的定义判断，四边形ADCE ______(选择是或不是)等补四边形．
(2)如图2，等补四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠ADC=90°，若S四边形ABCD=32，求BD的长．
(3)如图3，在某运动公园的同一水平面上，四条通道围成四边形ABCD.已知AB=AD=100米，∠B=60°，∠ADC=120°，∠BAD=150°，道路BC，CD上分别有景点E、F，且AE⊥AD，∠DAF=15°，现要在E、F之间修一条笔直的道路，求出这条道路EF的长．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：选项A、B、C中代数式的分母中不含有字母，不是分式；选项D中代数式的分母中含有字母，属于分式．
故选：D．
根据分式的定义逐个判断即可．
本题考查了分式的定义，能熟记分式的定义(分母中含有字母的代数式叫分式)是解此题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：∵3abc3=3c⋅abc2的变形不是因式分解，
∴选项A不符合题意；
∵(x+1)2=x2+2x+1的变形是整式乘法，
∴选项B不符合题意；
∵4t2−9=(2t+3)(2t−3)的变形是因式分解，
∴选项C符合题意；
∵x2−16+6x=(x+4)(x−4)+6x的变形不是因式分解，
∴选项D不符合题意，
故选：C．
运用整式乘法和因式分解的定义进行逐一辨别．
此题考查了因式分解的辨别能力，关键是能准确理解并运用因式分解的定义．
3.【答案】C
【解析】解：A、不是中心对称图形．故本选项不合题意；
B、不是中心对称图形．故本选项不合题意；
C、是中心对称图形．故本选项符合题意；
D、不是中心对称图形．故本选项不合题意．
故选：C．
根据中心对称图形的概念解答即可．
本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
4.【答案】C
【解析】解：2x−4≤0 ① x+2>0 ②，
由①得x≤2，由②得x>−2，
故此不等式组的解集为：
故选：C．
先求出不等式组的解集并在数轴上表示出来，找出符合条件的选项即可．
本题考查的是在数轴上表示不等式组的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来(>,≥向右画；<，≤向左画)，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“<”，“>”要用空心圆点表示．
5.【答案】C
【解析】解：根据题意得：
3x×3y2×3x−3×3y
=9xy3(2x−3y)
=3xy2x−3y，即分式的值扩大3倍，
故选：C．
根据题意列出算式，再根据分式的基本性质进行化简即可．
本题考查了分式的基本性质，能灵活运用分式的基本性质进行变形是解此题的关键，注意：分式的分子和分母都乘以同一个数(或除以同一个不等于0的数)，分式的值不变．
6.【答案】A
【解析】解：由平移的性质可知，BE=AD，DF=AC，
则DF−DC=AC−DC，即CF=AD，
∴AD=12(AF−CD)=12(14−6)=4，
∴BE=4，
故选：A．
根据平移的性质得到BE=AD，DF=AC，结合图形计算，得到答案．
本题考查的是平移的性质，经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．
7.【答案】C
【解析】解：设有x人，则书有(6x+10)本，由题意得：
0<6x+10−8(x−1)<4，
故选：C．
设有x人，由于每位学生分6本书，则还剩10本书，则书有(6x+10)本；若每位学生分8本书，则有一个学生分到书但不到4本，就是书的本数6x+10−8(x−1)大于0，并且小于4，根据不等关系就可以列出不等式．
此题主要考查由实际问题抽象出一元一次不等式组，关键是正确理解题意，找出题目中的不等关系．
8.【答案】A
【解析】解：当x<1时，kx+3>mx，
所以关于x的不等式(k−m)x>−3的解集为x<1．
故选：A．
写出直线y=mx在直线y=kx+3下方所对应的自变量的范围即可．
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于(或小于)0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
9.【答案】C
【解析】解：x−1≤3 ①a−x<2 ②，
解不等式①得，x≤4，
解不等式②得，x>a−2，
所以，不等式组的解集是a−2∵不等式组有5个整数解，
∴整数解为0、1、2、3、4，
∴−1≤a−2<0，
解1≤a<2．
故选：C．
先求出两个不等式的解集，再求其公共解，然后根据整数解的个数确定a的取值范围即可．
本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到(无解)．
10.【答案】B
【解析】解：由题意得，2(2x+1)+1≤95①2[2(2x+1)+1]+1>95②，
解不等式①得，x≤23
解不等式②得，x>11，
∴11故选：B．
根据运行程序，第一次运算结果小于等于95，第二次运算结果≤95，第三次运算结果>95列出不等式组，然后求解即可．
本题考查了一元一次不等式组的应用，读懂题目信息，理解运行程序并列出不等式组是解题的关键．
11.【答案】x≠−3
【解析】解：由题可知，
x+3≠0，
解得x≠−3．
故答案为：x≠−3．
根据分母不为零的条件进行解题即可．
本题考查分式有意义的条件，掌握分母不为零的条件是解题的关键．
12.【答案】a(a+2)(a−2)
【解析】【分析】
此题主要考查了提取公因式法和公式法分解因式，熟练掌握平方差公式是解题关键．
首先提取公因式a，进而利用平方差公式分解因式得出即可．
【解答】
解：a3−4a=a(a2−4)=a(a+2)(a−2)．
故答案为：a(a+2)(a−2)．
13.【答案】2
【解析】解：由作图可知，线段AB向右平移3个单位，再向下平移1个单位得到线段A′B′，
∵A(−1,0)，B(0,2)，
∴A′(2,−1)，B′(3,1)，
∴a=−1，b=3，
∴a+b=2，
故答案为：2．
由作图可知，线段AB向右平移3个单位，再向下平移1个单位得到线段A′B′，求出A′，B′的坐标可得结论．
本题考查坐标与图形变化−平移，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
14.【答案】−5
【解析】解：已知等式整理得：b−aab=2，即a−b=−2ab，
则原式=a−b−3ab2(a−b)+5ab=−5abab=−5，
故对答案为：−5
已知等式左边通分并利用同分母分式的减法法则计算，整理得到a−b与ab的关系，代入原式计算即可求出值．
此题考查了分式的加减法，以及分式的值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
15.【答案】65°
【解析】【分析】
本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的定义，三角形的内角和的定理，熟记各性质并准确识图是解题的关键．根据旋转的性质可得BC=B′C，然后判断出三角形BCB′是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的定义可得∠CB′B=45°，再根据三角形的内角和求出∠B′A′C，然后根据旋转的性质可得∠A=∠B′A′C，
【解答】
解：∵直角三角形ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△A′B′C，
∴BC=B′C，∠BCB′=90°，
∴三角形BCB′是等腰直角三角形，
∴∠CB′B=45°，
∵∠A′B′B=20°，
∴∠A′B′C=25°，
∴∠B′A′C=180°−90°−∠A′B′C=90°−25°=65°，
由旋转的性质得∠A=∠B′A′C=65°．
故答案为：65°．
16.【答案】等腰
【解析】解：∵a2−ab+c2=2ac−bc，
∴a2−ab+c2−2ac+bc=0，
∴(a2+c2−2ac)−(ab−bc)=0，
∴(a−c)2−b(a−c)=0，
∴(a−c)(a−c−b)=0，
∴a−c=0或a−c−b=0，
∴a=c或a=b+c，
∵a，b，c是△ABC的三边，
∴a∴a=b+c不成立，
∴a=c，
∴△ABC是等腰三角形．
故答案为：等腰．
首先根据a2−ab+c2=2ac−bc，可得a2−ab+c2−2ac+bc=0，然后把a2−ab+c2−2ac+bc因式分解，判断出△ABC的三边的关系，推出△ABC是什么类型的三角形即可．
此题主要考查了三角形的分类和应用，以及因式分解的应用，注意完全平方公式的应用．
17.【答案】1.5
【解析】【分析】
本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．
取AC的中点G，连接EG，根据等边三角形的性质可得CD=CG，再求出∠DCF=∠GCE，根据旋转的性质可得CE=CF，然后利用“边角边”证明△DCF和△GCE全等，再根据全等三角形对应边相等可得DF=EG，然后根据垂线段最短可得EG⊥AC时最短，再根据∠CAD=30°求解即可．
【解答】
解：如图，取AC的中点G，连接EG，
∵旋转角为60°，
∴∠ECD+∠DCF=60°，
又∵∠ECD+∠GCE=∠ACB=60°，
∴∠DCF=∠GCE，
∵AD是等边△ABC的对称轴，
∴CD=12BC，
∴CD=CG，
又∵CE旋转到CF，
∴CE=CF，
在△DCF和△GCE中，
CF=CE∠DCF=∠GCECD=CG,
∴△DCF≌△GCE(SAS)，
∴DF=EG，
根据垂线段最短，EG⊥AC时，EG最短，即DF最短，
此时∵∠CAD=12×60°=30°，AG=12AC=12×6=3，
∴EG=12AG=12×3=1.5，
∴DF=1.5．
故答案为：1.5．
18.【答案】解：(1)去括号得：3−6x<7−2x+8，
移项得：−6x+2x<7+8−3，
合并同类项得：−4x<12，
两边同时除以−4得：x>−3；
把解集表示在数轴上如下：

(2)1−x≤3①x+12+x−13<1②，
解不等式①得：x≥−2，
解不等式②得：x<1，
∴不等式组的解集为−2≤x<1．
【解析】(1)根据解一元一次不等式的一般步骤求解即可；
(2)求出每个不等式的解集，再求公共解集即可．
本题考查解一元一次不等式和一元一次不等式组，解题的关键是掌握解一元一次不等式的一般步骤和求公共解集的方法．
19.【答案】解：(1)a−12a−1−a1−2a
=a−12a−1+a2a−1
=a−1+a2a−1
=2a−12a−1
=1；
(2)x2−2x+1x⋅x2−2xx−1÷(x−1)
=(x−1)2x⋅x(x−2)x−1⋅1x−1
=x−2．
【解析】(1)先变形，再根据分式的加法法则进行计算即可；
(2)先根据分式的除法法则把除法变成乘法，再根据分式的乘法法则进行计算即可．
本题考查了分式的混合运算，能正确根据分式的运算法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺序．
20.【答案】解：(3a+1−a+1)÷a2−4a+4a+1
=(3a+1−a2−1a+1)÷(a−2)2a+1
=−(a+2)(a−2)a+1⋅a+1(a−2)2
=−a+2a−2，
∵a≠−1，a≠2，
∴当a=1时，原式=−1+21−2=3．
【解析】根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后在−1，1，2中选一个使得原分式有意义的值代入即可解答本题．
本题考查了分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
21.【答案】−2 4 −4 −2
【解析】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求．
点B1的坐标为(−2,4)．
故答案为：−2；4．
(2)如图，△A2B2C2即为所求．
点B2的坐标为(−4,−2)．
故答案为：−4；−2．
(1)根据旋转的性质作图，即可得出答案．
(2)根据中心对称的性质作图，即可得出答案．
本题考查作图−旋转变换、中心对称，熟练掌握旋转的性质、中心对称的性质是解答本题的关键．
22.【答案】(1)解：∵将AB和AC平移到CE，BE的位置，
∴AB=CE，AB//CE，
∴∠AOC=∠DCE，
∵∠AOC=60°，AB=CD=m，
∴∠DCE=60°，CE=AB=m；
(2)证明：如图，连接DE，

由(1)得：∠DCE=60°，CE=AB=m，
∵AB=CD=m
∴CD=CE，
∴△CDE是等边三角形，
∴DE=CD=m，
∵将AB和AC平移到CE，BE的位置，
∴AC=BE，
在△BDE中，BD+BE>DE，
即AC+BD>m．
【解析】(1)根据平移的性质可得AB=CE，AB//CE，从而得到∠AOC=∠DCE，即可求解；
(2)连接DE，先证明△CDE是等边三角形，可得DE=CD=m，再由平移的性质可得AC=BE，然后在△BDE中，利用三角形的三边关系即可．
本题主要考查了平移的性质，等边三角形的判定和性质，三角形的三边关系，熟练掌握平移的性质，等边三角形的判定和性质，三角形的三边关系是解题的关键．
23.【答案】解：(1)设购买A奖品的数量为x件，则购买B奖品的数量为(100−x)件，
根据题意得10x+25(100−x)≤1375x≤4(100−x)，
解得：75≤x≤80，
即A种奖品的数量范围为75件至80件．
(2)由(1)可得W=10x+25(100−x)=−15x+2500(75≤x≤80)，
∵−15<0，
∴W随x的增大而减小，
∴当x=80时，W取得最小值，最小值为−15×80+2500=1300，
即最少费用W的值为1300．
【解析】(1)设购买A奖品的数量为x件，则购买B奖品的数量为(100−x)件，根据题意列出不等组求解即可；
(2)由(1)可得W关于x的函数关系式，结合一次函数的性质即可求解．
本题主要考查一元一次不等式组的应用、一次函数的实际应用，根据题意正确列出不等式组和一次函数是解题关键．注意应用一次函数解决实际问题时自变量的实际意义．
24.【答案】a2−b2=(a+b)(a−b) a3−b3 b2(a−b) a2(a−b) a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)
【解析】解：(1)图1中阴影部分的面积为a2−b2，图2中阴影部分的面积为(a+b)(a−b)，
∵拼图前后图形的面积不变，
∴a2−b2=(a+b)(a−b)，
故答案为：a2−b2=(a+b)(a−b)；
(2)如图3所示，则得到的几何体的体积为：a3−b3；
∵EN=b，DE=b，DM=a−b，
∴长方体②的体积为b2(a−b)，
∵GH=a，FG=a−b，HR=a，
∴长方体③的体积为a2(a−b)，
∴a3−b3=ab(a−b)+b2(a−b)+a2(a−b)=(a−b)(a2+ab+b2)，
则可以得到的恒等式(将一个多项式因式分解)为a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)，
故答案为：a3−b3；b2(a−b)；a2(a−b)；a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)；
(3)∵a−b=6，ab=2，
∴a2+b2=(a−b)2+2ab=62+2×2=40，
∴a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)
=6×(40+2)，
=252．
(1)图1中阴影部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，图2中阴影部分的面积等于长为a+b、宽为a−b的长方形的面积，由此即可得；
(2)直接利用大正方体的体积减去小正方体的体积，长方体的体积公式，再结合结论即求解；
(3)由a−b=6，ab=2，求出a2+b2=(a−b)2+2ab=62+2×2=40，然后代入求值即可；
本题考查了平方差公式与图形面积、利用完全平方公式变形求值、利用提公因式法分解因式等知识点，熟练利用不同的方法表示同一个几何体的体积是解题的关键．
25.【答案】是
【解析】解：(1)由旋转得：AD=AE，∠ADB=∠AEC，
∵∠ADC+∠ADB=180°，
∴∠ADC+∠AEC=180°，
∴四边形ADCE是等补四边形．
故答案为：是；
(2)如图2，∵∠ABC=90°，AB=BC，
∴将△BAD绕点B顺时针旋转90°得△BCG，
∴∠BAD=∠BCG，BD=BG，∠DBG=90°，
∵∠ABC=∠ADC=90°，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∴∠BAD+∠BCD=180°，
∴∠BCD+∠BCG=180°，
∴D、C、G三点共线，
∵S四边形ABCD=32，
∴S△BDG=32，
∴12BD2=32，
∴BD=8(负值舍去)；
(3)延长CD至M，使DM=DA，连接AM，过A作AH⊥CD，交CD的延长线于H，
则∠ADH=180°−∠ADC=180°−120°=60°，
∴∠DAH=90°−60°=30°，
∴DH=12AD=50=MH，
∴AH= 3DH=50 3，
∵∠DAF=15°，
∴∠DFA=∠ADM−∠DAF=45°，
∴HF=AH=50 3，
∴AH=FH，
∵AE⊥AD，∠BAD=150°，
∴∠EAF=90°−15°=75°，∠BAE=150°−90°=60°=∠B，
∴∠EAF=12∠BAD，△ABE是等边三角形，
∴BE=AB=100，
∵DM=AD，∠ADM=60°，
∴△ADM是等边三角形，
∴AM=AD=AE，
∵∠EAF=∠MAF=75°，
∴△AEF≌△AMF(SAS)
∴EF=MF，
∴EF=MH+HF=50+50 3．
(1)根据旋转的性质得：AD=AE，∠ADB=∠AEC，再证明四边形有一对角互补，根据等补四边形的定义可得结论；
(2)如图2，将△BAD绕点B顺时针旋转90°得△BCG，先证明D、C、G三点共线，根据旋转的性质可知：S四边形ABCD=S△BDG=32，根据三角形的面积公式可得BD的长；
(3)延长CD至M，使DM=DA，连接AM，过A作AH⊥CD，交CD的延长线于H，由直角三角形的性质求出MH，HF，证明△AEF≌△AMF(SAS)，得出EF=MF，则可得出答案．
此题是四边形综合题，考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质等知识；证明三角形全等是解决问题的关键．