2024年海南省琼海市嘉积中学中考三模数学试题（原卷版+解析版）

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（考试时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题（本大题满分36分，每小题3分）在下列各题的四个备选答案中，有且只有一个是正确的，请在答题卡上把你认为正确的答案的字母代号按要求用2B铅笔涂黑．
1. 的倒数是（ ）
A. B. C. D. 2024
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了求一个数的倒数，根据乘积为1的两个数互为倒数进行求解即可．
【详解】解：的倒数是，
故选：B．
2. 某科技公司研发了全液冷超充技术，电动汽车充电100度仅需10分钟，实现了“一秒一公里”，预计2024年装车量达到800万辆，数据“8000000”用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，据此解答即可．
【详解】解：．
故选：B．
3. 如图所示的几何体是由7个大小相同的小正方体搭成的，其主视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查三视图，画出从正面看到的图形，即可．
【详解】解：由题意得，主视图为：
故选C．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据积的乘方、多项式乘以多项式、合并同类项法则、同底数幂的除法法则解题．
【详解】解：A．，选项A正确；
B．，选项B错误；
C．，选项C错误；
D．，选项D错误．
故选：A．
【点睛】本题主要考查积乘方、多项式乘以多项式、合并同类项法则、同底数幂的除法等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
5. 一组数据：6，7，9，6，9，10，11，6．则这组数据的众数和中位数分别为（ ）
A. 9和7.5B. 6和7C. 6和8D. 6和7.5
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了众数和中位数，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．
【详解】解：∵从小到大排列此数据为：6，6，6，7，9，9，10，11，数据6出现的次数最多，
∴众数为6，中位数为
故选：C．
6. 分式方程的解是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了解分式方程，①解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．②解分式方程一定注意要验根．观察可得方程最简公分母为，去分母，转化为整式方程求解，结果要检验．
【详解】解：，
两边同乘，得，
整理、解得：．
检验：将代入，
方程的解为．
故选：A．
7. 以原点为中心，把点逆时针旋转，得到点B，则点B的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是一个点绕原点旋转后对应的点的坐标，根据以原点为中心逆时针旋转，得到的点与该点关于原点对称，即可求得答案．
【详解】解：依题意，点关于原点的对称点为，
即把点逆时针旋转，得到点B，点B的坐标为，
故选：B．
8. 若点，，都在反比例函数函数的图象上，则a，b，c的大小关系用“＜”连接的结果为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了比较反比例函数值的大小，熟知反比例函数图象的性质是解题的关键．
根据得到反比例函数图象经过第二、四象限，且在每个象限内y随x增大而增大，进而得到，在第二象限，在第四象限，据此求解即可．
【详解】解：∵反比例函数解析式为，
∴反比例函数图象经过第二、四象限，且在每个象限内y随x增大而增大，
∵点，，都在反比例函数的图象上，
∴点，在第二象限，在第四象限，
∵，
∴，
故选D．
9. 如图，已知直线，，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据三角形的内角和定理得到的度数，然后根据平行线的性质得到的度数，再根据角的和差解题即可．
【详解】解：如图，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故选D．
10. 如图，CD是的直径，上的两点A，B分别在直径CD的两侧，且，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】连接BD，由直径所对的圆周角等于90度可得，进而可知，再由圆周角定理即可求解．
【详解】解：如图；连接BD，
∵ 是的直径，
，
∵，
∴，
，
∴ ．
故选：C．
【点睛】本题考查了圆周角定理，直径所对的圆周角等于90度，掌握圆周角定理和推论是解题的关键．
11. 如图，，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点D，C；再分别以点C，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点E；作射线，过点E分别作交于点G，于点F．若，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】作于点H，由角平分线的性质可证，再证明，然后根据勾股定理求解解．
【详解】作于点H，由作法知平分，
∵，
∴．
∵，，
∴．
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了尺规作图-作角的平分线，角平分线的性质定理，等腰三角形的判定，以及勾股定理等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键．
12. 如图，在边长为2的等边三角形的外侧作正方形，过点D作，垂足为F，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】过点分别作于点，于点，可得四边形是矩形，从而得到，再由△ABC为等边三角形，可得，，从而得到，再证得，然后根据直角三角形的性质，即可求解．
【详解】解：如图，过点分别作于点，于点，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵为等边三角形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
在正方形中，，，
∴，
∴，
∴．
故选：D
【点睛】本题主要考查了等边三角形和正方形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形和正方形的性质，直角三角形的性质是解题的关键．
二、填空题（本大题满分12分，每小题3分）
13. 二次根式有意义，则x的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了二次根式有意义的条件：被开方数大于等于零，据此得到，即可求出答案．
【详解】解：∵次根式有意义，
∴，
解得，
故答案为：．
14. 因式分解：______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键．
原式提取公因式3，再利用完全平方公式分解即可．
详解】解：，
故答案为：．
15. 如图，在中，，D是的中点，延长至点E，使，连接，F为中点，连接．若，则的长为 _____．
【答案】5
【解析】
【详解】在中，
，
∴．
∵为中线，
∴．
∵F为中点，，即点B是的中点，
∴是的中位线，
则．
故答案为：5．
【点睛】本题考查三角形的中位线定理．熟练掌握三角形的中位线定理是解题的关键．同时本题还考查了勾股定理解三角形，以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
16. 如图，将矩形纸片折叠，折痕为，点M，N分别在边，上，点C，D的对应点分别为点E，F，且点F在矩形内部，的延长线交边于点G，交边于点H，，，为______；当时，线段的长为______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题考查矩形性质，等腰三角形的判定，相似三角形的判定和性质，勾股定理，构造是解题的关键.
利用翻折性质求出的度数，再利用邻补角求出的度数；过点作交的延长线于点，可证四边形是矩形，由∽可求出的长，由翻折性质和矩形性质可求出的长， 以及与的关系，利用勾股定理可求出的长，从而求出的长.
【详解】解：∵是矩形，
∴，
由折叠可得：，
∴
故答案为：；
过点作交延长线于点，
由矩形的性质和翻折性质，知，
，
，
，
，
∵四边形是矩形， 四边形由四边形折叠得到，
，，
，
∴四边形是矩形，
，
，
∵四边形是矩形， 四边形由四边形折叠得到，
，
，
，
，
在中，由勾股定理，得
，
，
，
故答案为：．
三、解答题（本大题满分72分）
17. （1）计算：；
（2）解不等式组．
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】本题考查了实数的运算，开立方根，零指数幂，负整数指数幂，解一元一次不等式组，解题的关键是熟练掌握相关的运算法则．
（1）先算零指数幂，负整数指数幂，立方根，再计算加法；
（2）解出每个不等式，再求公共解集．
【详解】解：（1）
；
（2）
解不等式①得，
解不等式②得，
在数轴上表示它们的解集如下：
∴不等式组的解集为．
18. 某商场需要购进一批头盔，已知购进1个乙型头盔比1个甲型头盔少20元，购进6个甲型头盔和购进10个乙型头盔需要的钱一样多，求购进1个甲型头盔和1个乙型头盔分别需要多少元？
【答案】购进1个甲型头盔需要50元，1个乙型头盔需要30元
【解析】
【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，设购进1个甲型头盔需要x元，1个乙型头盔需要元，根据“购进6个甲型头盔和购进10个乙型头盔需要的钱一样多”，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论
【详解】解：设购进1个甲型头盔需要x元，1个乙型头盔需要元，根据题意得，
解得，，
，
答：购进1个甲型头盔需要50元，1个乙型头盔需要30元
19. 某校为了解九年级同学学习“青年大学习”的情况，随机抽取部分九年级同学进行了问卷调查，按照调查结果，将学习情况分为优秀、良好、合格、较差四个等级．学校绘制了不完整的统计图，根据图中信息解答下列问题：
（1）本次参与问卷调查的初中生共为______人；
（2）扇形统计图中“合格”所对应的百分比为______%；
（3）条形统计图中“良好”所对应的人数为______人；
（4）若该校九年级有800名同学，根据问卷调查的结果可估计学习情况为“良好”或“优秀”的九年级同学一共有______人；
（5）该校九年级某班有5名同学（3名男同学、2名女同学）在调查中获得“优秀”等级，班主任将从这5名同学中随机选取1名同学代表班级参加学校组织的“青年大学习”演讲比赛，则所选同学恰好是男同学的概率为______．
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
【解析】
【分析】此题考查了列表法或树状图法求概率、扇形统计图和条形统计图.用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比.
（1）根据优秀的人数和所占的百分比求出总人数；
（2）用合格的人数除以总人数乘以求出所占的百分比；
（3）用总人数减去其它等级的人数，求出良好的人数；
（4）用“良好”或“优秀”的人数除以考查人数乘以解题即可；
（5）利用直接列举法求概率即可.
【小问1详解】
解：抽取学生人数为：(人),
故答案为：；
【小问2详解】
扇形统计图中“合格”所对应的百分比为 ，
故答案为：；
【小问3详解】
解：条形统计图中“良好”所对应的人数为(人),
故答案为：；
【小问4详解】
解：估计学习情况为“良好”或“优秀”的九年级同学一共有（人），
故答案为：；
【小问5详解】
从这5名同学中随机选取1名同学代表班级参加学校组织的“青年大学习”演讲比赛，则所选同学恰好是男同学的概率为，
故答案为：．
20. 如图，某中学依山而建，校门A处有一斜度，坡度，坡面长度为13米，在坡顶B处看教学楼的楼顶C的仰角，离B点4米远的E处有一个花台，在E处仰望C的仰角是，的延长线交校门处的水平面于点D．
（1）______；
（2）求坡顶B到水平面的高度；
（3）求楼顶C到水平面的高度（结果保留根号）．
【答案】（1）
（2）5米 （3）的长度为米
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角和俯角问题，解直角三角形的应用-坡度和坡比问题．
（1）由坡度可求出；
（2）过点B作，过点E作，由的坡度和长即可求出；
（3）由，根据米解三角形求出，即可解答．
【小问1详解】
解：∵斜度的坡度，
∴，
故答案为：；
【小问2详解】
解：过点B作，过点E作，
∵，
∴，
∵米，
设（米），（米），
∴，
∴，
∴米，
则坡顶B的高度是5米；
【小问3详解】
解：设为x米，则米，
∵，
∴米，
∵，
∴，
解得，
∴米，
∴米，
答：的长度为米．
21. 如图1，在矩形中，点M是的中点，点E是边上一动点，连接，并延长交射线于点F，过点M作的垂线交射线于点G，连接和．
（1）求证：
①；
②；
（2）在点E的运动过程中，探究：
①若矩形是正方形，则的值是否发生变化？若不变，求出这个值；
②如图2，若，，，当为等边三角形时，求k的值．
【答案】（1）①见解析 ②见解析
（2）①不变， ②
【解析】
【分析】（1）①判断出，即可得出结论；②先判断出，利用垂直平分线即可得出结论；
（2）①先判断出进而判断出进而判断出，即可得出结论；②先判断出，借助①的结论即可得出结论．
【小问1详解】
证明：①∵四边形是正方形，
∴.
∵是的中点，
∴.
又∵，
∴；
②由，
∴，
∵，
∴；
【小问2详解】
①的值不变，如图，
过点作，垂足为点，则四边形是矩形，
∴.
∵，
∴，
在 中，，
，
，
，
，
为定值不变；
②如图， 过点作，垂足为点，
则四边形是矩形.
，
若 是等边三角形，
则，
同①的方法得，，
，
∵是的中点，
，
．
【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了正方形性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，垂直平分线定理，等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，判断出 是解本题是关键．
22. 抛物线与x轴交于点和点，与y轴交点A．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，连接，在y轴的负半轴是否存在点Q，使得？若存在，求Q点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）点P是抛物线上的一个动点，且点P在第三象限内．
①如图2，连接与直线交于点D，求的最大值；
②如图3，过点P作y轴的垂线，交y轴于点M，若与相似，求此时点P的横坐标．
【答案】（1）
（2）
（3）①有最大值为；②或
【解析】
【小问1详解】
解：将，两点代入得：
，
解得：，
抛物线解析式为：；
【小问2详解】
解：存在，
，
时，
即，
设点Q坐标为，
把代入得：，
∴，
∴，
∵，
，
解得：，
故Q点的坐标为；
【小问3详解】
解：①过点P作轴垂线交直线于点E如图：
设直线的解析式为：，
将代入得，
，
解得：，
∴直线的解析式为：，
设点P的坐标为则E的坐标为，
，
，
，
，，
，
，
当时，有最大值为；
②设点则点，
当，点M在点A的上方时，
，，
，
即，
解得：或（舍去），
此时点P的横坐标；
当，点M在点A的下方时，
，，
，
即，
解得：或（舍去），
此时点P的横坐标；
当，点M在点A的下方时，
，，
，
即，
解得：（舍去）或（舍去）；
当，点M在点A的上方时，
，，
，
即，
解得：（舍去）或（舍去）；
综上分析可知：点P的横坐标为：或．
【点睛】本题考查了二次函数—几何综合，三角形相似的判定及性质，一次函数，平行线的性质，勾股定理，三角形外角和定理等知识，题目综合性强、难度较大，解题关键的正确做出辅助线及数形结合思想．为中考常考题型．