2024年山西省吕梁市文水县多校中考三模数学试题（原卷版+解析版）

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注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟．
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置．
3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效．
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷 选择题（共30分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1. 的绝对值是（ ）
A. 5B. C. D.
2. 已知，则的余角的度数为（ ）
A. B. C. D.
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 勿忘草是开蓝色小花紫草科植物，它的花粉粒只有在高倍显微镜下才能看见，其直径约为．数据“0.0000045”用科学记数法表示正确的是（ ）
A. B. C. D.
5. 如图是由若干个大小相同的小正方体搭成的几何体的三视图，则组成该几何体的小正方体的个数为（ ）
A 3个B. 4个C. 5个D. 6个
6. 《中华人民共和国森林法》明确规定每年3月12日为植树节，2024年3月12日是我国的第46个植树节．某校九年级8个班级春季植树的数量（单位：棵）分别为：100，120，100，120，90，120，60，70，则这8个班级植树棵数的中位数和众数分别为（ ）
A. 90棵，120棵B. 100棵，100棵C. 120棵，100棵D. 100棵，120棵
7. 已知点，，都在反比例函数的图象上，且，则，，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，在矩形中，，，点是上一点，将矩形沿折叠，点恰好落在边上的点处，则的长为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
9. 将抛物线沿轴向左平移4个单位长度后，得到新抛物线的表达式为（ ）
A. B.
C. D.
10. 如图，将扇形沿方向平移，使点平移到中点处，得到扇形．若，，则阴影部分的面积为（ ）
A. 6B. C. D.
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11. 计算：____________________.
12. 如图是一只蝴蝶标本，将其放在平面直角坐标系中，若蝴蝶两个“翅膀顶端”，两点的坐标分别为，，则蝴蝶“翅膀尾部”点的坐标为_________
13. 已知某品牌书包的进价为元，某商店以元的价格出售．新学期开学期间，该商店为增加销量，决定降价出售，但要保证利润率不低于，则该品牌书包最多可降价__________元．
14. 如图，为的内接三角形，过点的切线交的延长线于点．若，则的度数为__________
15. 如图，在矩形中，，，点是的中点，与交于点，连接，则的长为__________
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. （1）计算：；
（2）解方程组：
17. 如图，在中，，垂足点．
（1）实践与操作：
过点作，垂足为点，连接和．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）猜想与证明：
猜想与之间的数量关系，并说明理由．
18. 山西拥有众多爱国主义教育示范基地，某校每学期都要举行“怀革命先烈、激发爱国热情、凝聚奋斗力量”的研学教育活动，得到了家长的大力支持．新学期，学校提供了下列四个教育示范基地作为研学地点供大家选择：A．八路军太行纪念馆；B．百团大战纪念馆；C．刘胡兰纪念馆；D．太原解放纪念馆．为了解同学们的意向，学校团委随机抽取部分学生进行调查，规定被调查的学生必须从四个地点中选择一个，根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．

解答下列问题：
（1）本次共调查了________名学生；
（2）在扇形统计图中，的值是________，所对应的扇形圆心角的度数是_________；
（3）补全条形统计图；
（4）小宇和小华两位同学要从这四个爱国主义教育示范基地中各随机选择一个作为研学地点，请用画树状图或列表的方法求小宇和小华选择同一地点的概率．
19. 项目化学习
项目主题：玉米种子购买方案的选择
项目背景：种子是植物世界的起源，是农业生产的基础，是保障粮食安全最重要的因素之一．优质种子的生产、繁殖和利用，能够提高粮食生产的质量和效益．某校综合实践活动小组以探究“玉米种子的购买方案”为主题开展项目学习．
驱动任务：探究玉米种子的付款金额与购买量之间的函数关系；
研究步骤：
（1）收集区域内甲、乙两个种子商店销售同一玉米种子的信息；
（2）对收集的信息进行整理描述；
（3）信息分析，形成结论．
数据信息：信息1：甲商店这种玉米种子的售价为4元，无论购买多少均不打折；
信息2：乙商店这种玉米种子的售价如下表：
信息3：乙商店销售这种玉米种子的部分小票统计如下表：
问题解决：
（1）请分别写出在甲、乙两个商店购买玉米种子的付款金额（元）与购买量（）之间的函数关系式；
（2）现需购买一批这种玉米种子，请通过计算说明选择哪个商店更合算．
20. 如图，小文骑自行车从家出发沿正北方向行驶到岔路口后，沿北偏西方向再行驶到达综合实践活动基地，参加完活动后，沿路线到达爷爷家．已知小文爷爷家在小文家的北偏西方向上，在岔路口的北偏西方向上，且点，，，在同一平面内．（计算结果保留根号）
（1）求小文爷爷家到小文家的距离；
（2）求综合实践活动基地到小文爷爷家的距离．
21. 请阅读下面材料，并完成相应的任务．用“几何代数法”解分式方程．
《几何原本》中的“几何代数法”是指用几何方法研究代数问题，这种方法是数学家处理问题的重要依据．在意大利数学家斐波那契（约1170—1250）编写的《计算之书》中频繁运用了这种方法．例如，运用面积关系将分式方程转化为整式方程，从而求解分式方程．
例：《计算之书》中记载了一道题，译文如下：一组人平分90枚硬币，每人分得若干，若再加上6人，平分120枚硬币，则第二次每人所得与第一次相同．求第一次分硬币的人数．设第一次分硬币的人数为人，则可列方程为．
解：构造如图1所示的图形，，，矩形的面积为90，矩形的面积为120，则，．显然，．
根据图形可知．
所以．（将分式方程转化成了整式方程）
解得．
图1
答：第一次分硬币的人数为18人．
任务：

图2 图3
（1）如图2，，，矩形和矩形的面积均为60，下列代数式可以表示边的是___________．（多选）
A． B． C． D．
（2）如图3，，，矩形的面积为60，矩形的面积为20，，则可列方程为___________．
（3）请仿照材料中的方法，通过构造图形，求分式方程的解．
22. 综合与实践
在菱形中，，对角线，相交于点，点是上的动点，将绕点顺时针旋转得到，连接，．
猜想证明：
（1）如图1，当点在线段上时，与之间的数量关系为___________．
（2）如图2，当点在线段上时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．
探究发现：
（3）当是等腰直角三角形时，直接写出的度数．
23. 综合与探究
如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，顶点为点，连接，，与抛物线的对称轴交于点．

（1）求点，，的坐标．
（2）若点是第四象限内抛物线上一动点，连接，，当时，求点的坐标．
（3）若点是对称轴右侧抛物线上的动点，试探究在射线上是否存在一点，使以，，为顶点的三角形与相似．若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．购买量
以内（含3）
超过
售价
元
超过的部分打折销售
购买量
付款金额元