河南省驻马店市驿城区第二初级中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

这是一份河南省驻马店市驿城区第二初级中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版），文件包含河南省驻马店市驿城区第二初级中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题原卷版docx、河南省驻马店市驿城区第二初级中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共27页， 欢迎下载使用。

1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选D．
2. 已知实数，满足，则下列选项错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据不等式的性质即可得到a＞b,故可进行判断．
【详解】由不等式的性质得a＞b，
∴a＋2＞b＋2，，−a＜−b．
故选：B．
【点睛】本题考查了不等式的性质，属于基础题．
3. 下列条件中，不能判断为直角三角形的是（ ）
A B.
C. D. ，，
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理逆定理，三角形内角和定理，熟记勾股定理逆定理是解答本题的关键．
根据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理分析每个选项，得出正确答案．
【详解】解：根据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，
、，是直角三角形，故不符合题意；
、，，
，即是直角三角形，故不符合题意；
、，
不是直角三角形，故符合题意；
、，
直角三角形，故不符合题意，
故选：．
4. 在平面直角坐标系中，将点A(-3，-2)向右平移5个单位长度得到点B，则点B关于y轴对称点的坐标为（ ）
A. (2，2)B. (-2，2)C. (-2，-2)D. (2，-2)
【答案】C
【解析】
【分析】根据点的平移规律左减右加可得点B的坐标，然后再根据关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案．
【详解】解：点A(-3，-2)向右平移5个单位长度得到点B(2，-2)，
点B关于y轴对称点的坐标为（-2，-2），
故选：C．
【点睛】本题主要考查了点的平移和关于y轴的对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．
5. 已知方程组的解x、y满足2x+y≥0，则m的取值范围是（ ）
A. m≥-B. m≥ C. m≥1D. -≤m≤1
【答案】A
【解析】
【详解】解： ，
②-①×2得，
7x=-m+1，
解得x=③；
把③代入①得，
y=④；
∵2x+y≥0，
∴×2+≥0，
解得m≥-．
故选A．
考点：1．二元一次方程组，2．一元一次不等式
6. 如图，直线与直线（为常数，）相交于点，则关于的不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式；先利用直线的解析式确定点A坐标，然后结合函数特征写出直线在直线上方所对应的自变量的范围即可．
【详解】解：把代入得，
解得，
当时，，
故选A．
7. 如图，是中的平分线，于点E，于点F．，则长是（ ）
A. 4B. 3C. 6D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的性质．熟记相关结论是解题关键．
由角平分线的性质可得，根据即可求解．
【详解】解：∵是中的平分线，于点E，于点F．
∴．
又∵，，
∴
解得．
故选：B．
8. 如图，在中，，将绕点A按逆时针方向旋转得到．若点刚好落在边上，且，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由旋转的性质可知，，则，即，，根据，计算求解即可．
【详解】解：由旋转的性质可知，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，，
故选：A．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理，三角形外角的性质．熟练掌握旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理，三角形外角的性质是解题的关键．
9. 我市某学校有住宿生若干名，分住若干间宿舍，若每间住4人，则还有19人无宿舍住；若每间住7人，则有一间宿舍不空但所住的人数不足5人．若设宿舍间数为x，根据题意x应满足的不等式（组）为（ ）
A B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了由实际问题列不等式组，易得学生总人数，有一间宿舍不空但所住的人数不足5人是一个宿舍人数比0多，比5人少，关系式为：总人数间宿舍的人数；总人数间宿舍的人数，把相关数值代入即可．
【详解】解：∵若每间住4人，则还有19人无宿舍住，
∴学生总人数为人，
由题意得：，
故选：C．
10. 如图，Rt△AOB 中，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝4，将△AOB 沿 x 轴依次以三角形三个顶点为旋转中心顺时针旋转，分别得图②，图③，…，则旋转到图⑩时直角顶点的坐标是（ ）

A. （28，4）B. （36，0）C. （39，0）D. （,）
【答案】B
【解析】
【分析】根据勾股定理列式求出AB的长度，然后根据图形可发现，每3个图形为一个循环组依次循环，且下一组的第一个图形与上一组的最后一个图形的直角顶点重合，所以，第10个图形的直角顶点与第9个图形的直角顶点重合，然后求解即可．
【详解】∵∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝4，
∴AB＝＝5，
根据图形，每3个图形为一个循环组，3＋5＋4＝12，
所以，图⑨的直角顶点在x轴上，横坐标为12×3＝36，
所以，图⑨的顶点坐标为（36，0），
又∵图⑩的直角顶点与图⑨的直角顶点重合，
∴图⑩的直角顶点的坐标为（36，0）．
故选：B．
【点睛】本题考查了坐标与图形的变化−旋转，仔细观图形，判断出旋转规律“每3个图形为一个循环组依次循环，且下一组的第一个图形与上一组的最后一个图形的直角顶点重合”是解题的关键．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11. 已知中，，求证：，用反证法证明：第一步是：假设_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是反证法的应用，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，的反面是．
【详解】解：已知中，，
求证：，
运用反证法证明这个结论，第一步应先假设，
故答案为：．
12. 已知关于x的不等式组无解，则a的取值范围为______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题主要考查了不等式组无解的条件．先整理不等式组，根据无解的条件列出不等式，求出a的取值范围即可．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵关于x的不等式组无解，
∴，
解得：．
故答案为：
13. 等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰中，，则它的特征值________．
【答案】或
【解析】
【分析】由等腰三角形的两底角相等，则可求得底角的度数，从而可求解．
【详解】①当为顶角时，等腰三角形两底角的度数为：，
∴特征值，
②当为底角时，顶角的度数为：，
∴特征值，
综上所述，特征值为或．
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键，要注意到本题中，已知的底数，要进行判断是底角或顶角，以免造成答案的遗漏．
14. 如图，在等边三角形中，D为的中点，于点E，，则线段的长为______．
【答案】18
【解析】
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，三角形内角和定理，先由等边三角形的性质得到，再求出，得到，进而得到，则．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
∵D为的中点，
∴，
∴，
故答案为：18．
15. 如图，正方形ABCD的边长是16，点E在边AB上，AE=3，点F是边BC上不与点B、C重合的一个动点，把△EBF沿EF折叠，点B落在B′处，若△CDB′恰为等腰三角形，则DB′的长为_____________．
【答案】16或4##或16
【解析】
【分析】根据翻折的性质，可得BE的长，根据勾股定理，可得CE的长，根据等腰三角形的判定，可得答案．
【详解】（1）当B′D=B′C时，过B′点作GH∥AD，则∠B′GE=90°，
当B′C=B′D时，AG=DH=DC=8，由AE=3，AB=16，得BE=13．
由翻折的性质，得B′E=BE=13，
∴EG=AG﹣AE=8﹣3=5，
∴B′G===12，
∴B′H=GH﹣B′G=16﹣12=4，
∴DB′===；
（2）当DB′=CD时，则DB′=16（易知点F在BC上且不与点C、B重合）；
（3）当CB′=CD时，
∵EB=EB′，CB=CB′，
∴点E、C在BB′的垂直平分线上，
∴EC垂直平分BB′，
由折叠可知点F与点C重合，不符合题意，舍去．
综上所述，DB′的长为16或．
故答案为：16或．
【点睛】本题考查了翻折变换、勾股定理、等腰三角形的判定，分类讨论是解题的关键．
三．解答题（共9小题，满分75分）
16. 解不等式组：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组：
（1）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可；
（2）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．
【小问1详解】
解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为；
【小问2详解】
解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为．
17. 如图，在中，是中线，使，若，．求证：是等边三角形．

【答案】证明见解析．
【解析】
【分析】根据等腰三角形的性质，得到，，可得，求出，根据线段垂直平分线的性质得到，从而求出，即可证明．
【详解】证明：，
，
，
，
，
，
是中线，
，
，
，
是等边三角形．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定：三条边都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形．也考查了等腰三角形的性质．
18. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，已知的三个顶点，，．
（1）将以点C为旋转中心旋转180°，得到，请画出；
（2）平移，使点A的对应点坐标为，请画出平移后对应的；若绕某一点旋转可得到，请直接写出旋转中心的坐标．
【答案】（1）见解析；（2）见解析， 旋转中心的坐标为（0，－1）．
【解析】
【分析】（1）利用旋转的性质得出对应点坐标进而得出答案；
（2）利用平移规律得出对应点位置，进而得出答案；再利用旋转图形的性质，连接对应点，即可得出旋转中心的坐标．
【详解】解：（1）如图，即为所求；
（2）如图，即为所求；旋转中心P的坐标为．
【点睛】本题考查旋转作图和平移作图，掌握点的坐标变化规律正确作图是解题关键．
19. 如图，在△ABC中∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，连接CE，交AD于点F．
（1）求证：AD是线段CE的垂直平分线；
（2）若∠BAC＝60°，AD＝16，求DF的长．
【答案】（1）见解析 （2）4
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形：
（1）根据垂直定义可得，从而可得，再利用角平分线的定义可得，然后利用可证，从而利用全等三角形的性质可得，，再利用线段垂直平分线性质定理的逆定理即可解答；
（2）利用角平分线的定义可得，然后在中，利用含30度角的直角三角形的性质可得，，再利用（1）的结论可得，从而可得，最后在中，利用含30度角的直角三角形的性质，进行计算即可解答．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴是线段的垂直平分线；
【小问2详解】
解：∵平分，
∴，
在中，，
∴，
∵是线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
∴的长为4．
20. 若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“友好方程”，例如：方程的解为．不等式组的解集为．因为．所以称方程为不等式组，的“友好方程”．
（1）请你写出一个方程 ，使它和不等式组为“友好方程”；
（2）若关于的方程是不等式组的“友好方程”，求的取值范围；
（3）若关于的方程是关于的不等式组的“友好方程”，且此时不等式组有3个整数解，试求的取值范围．
【答案】（1）（答案不唯一）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）分别解每一个不等式，得到不等式组的解集，再根据“友好方程”的定义即可得到答案；
（2）分别解每一个不等式，得到不等式组的解集，再求出方程的解，根据“友好方程”的定义即可得到关于的不等式组，解不等式组即可得到答案；
（3）分别解每一个不等式，得到不等式组的解集，再求出方程的解，最后根据不等式组有3个整数解，以及“友好方程”的定义进行计算即可得到答案．
【小问1详解】
解：解不等式，
得，
解不等式，
得，
不等式组解集为：，
的解为，且，
是不等式组的“友好方程”，
故答案为：（答案不唯一）；
【小问2详解】
解：解不等式，
得，
解不等式，
得，
∴的解集为：，
关于的方程的解为：，
∵关于的方程是不等式组的“友好方程”，
∴在范围内，
∴，
解得：；
【小问3详解】
解：解不等式，
得，
解不等式，
得，
∴的解集为：，
∵此时不等式组有3个整数解，
∴，
解得：
关于的方程的解为，
∵关于的方程是不等式组的“友好方程”，
∴范围内，
∴，
解得：，
综上所述，．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程、解不等式组，熟练掌握一元一次方程及不等式组的解法，读懂题意，理解“友好方程”的定义，是解题的关键．
21. 如图，在中，，．
（1）利用直尺和圆规作图（要求：保留作图痕迹，不写作法）；
①在上求作一点，使得；
②连接，在上找一点，使得点到，的距离相等．
（2）在（1）所作的图中，求的度数．
【答案】（1）①见解析 ②见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）①由题意知，点在线段的垂直平分线上，根据线段垂直平分线的作图方法作图即可．
②由题意得，点在的平分线上，根据角平分线的作图方法作图即可．
（2）根据角平分线的定义以及线段垂直平分线的性质求解即可．
【小问1详解】
①若，
则，
点在线段的垂直平分线上．
如图，点即为所求．
②由题意得，点在的平分线上．
如图，点即为所求．
【小问2详解】
，，
，
由（1）可知，，
，
，
平分，
．
【点睛】本题考查作图复杂作图、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质、线段垂直平分线的性质是解答本题的关键．
22. 某文具店准备购进A、B两种品牌的文具袋进行销售，若购进A品牌文具袋和B品牌文具袋各5个共花费120元，购进A品牌文具袋3个和B品牌文具袋4个共花费88元．
（1）求购进A品牌文具袋和B品牌文具袋的单价；
（2）若该文具店购进了A，B两种品牌的文具袋共100个，其中A品牌文具袋售价为12元，B品牌文具袋售价为23元，设购进A品牌文具袋x个，获得总利润为w元．
①求w关于x的函数关系式；
②要使销售文具袋的利润最大，且所获利润不低于进货价格的45%，请你帮该文具店设计一个进货方案，并求出其所获利润的最大值．
【答案】（1）购进A品牌文具袋的单价为8元，B品牌文具袋的单价为16元；（2）①w＝﹣3x+700；②购进A品牌文具袋34个，B品牌文具袋66个时，可以获得最大利润，最大利润是598元．
【解析】
【分析】（1）根据购进品牌文具袋和品牌文具袋各5个共花费120元，购进品牌文具袋3个和品牌文具袋4个共花费88元，可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求得购进品牌文具袋和品牌文具袋的单价；
（2）①根据题意，可以写出关于的函数关系式；
②根据所获利润不低于进货价格的，可以得到，从而可以求得的取值范围，然后根据一次函数的性质，即可解答本题．
【详解】解：（1）设购进A品牌文具袋的单价为x元，B品牌文具袋的单价为y元，
由题意得：，得，
答：购进A品牌文具袋的单价为8元，B品牌文具袋的单价为16元；
（2）①由题意可得，w＝（12﹣8）x+（23﹣16）（100﹣x）＝﹣3x+700，
即w关于x的函数关系式为w＝﹣3x+700；
②∵所获利润不低于进货价格的45%，
∴﹣3x+700≥[8x+16（100﹣x）]×45%，
解得：，
∵x为整数，w＝﹣3x+700，
∴当x＝34时，w取得最大值，此时w＝598，100﹣x＝66，
答：购进A品牌文具袋34个，B品牌文具袋66个时，可以获得最大利润，最大利润是598元．
【点睛】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．
23. 探究：如图1和图2，四边形ABCD中，已知AB＝AD，∠BAD＝90°，点E、F分别在BC、CD上，∠EAF＝45°．
（1）① 如图1，若∠B、∠ADC都是直角，把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合，直接写出线段BE、DF和EF之间的数量关系 ；
② 如图2，若∠B、∠D都不是直角，但满足∠B+∠D＝180°，线段BE、DF和EF之间的结论是否仍然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
（2）拓展：如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2．点D、E均在边BC边上，且∠DAE＝45°，若BD＝1，直接写出DE的长．
【答案】（1）①EF＝BE+DF；②成立，见解析；（2）DE＝
【解析】
【分析】（1）①根据旋转的性质得出AE=AG，，BE=DG，求出，根据SAS推出，根据全等三角形的性质得出EF=GF，即可得到答案；
②根据旋转的性质做辅助线，得出AE=AG，，，求出C、D、G在一条直线上，根据SAS推出，根据全等三角形的性质得出EF=GF，即可得到结果；
（2）同理作旋转三角形，根据等腰直角三角形性质和勾股定理求出，，根据旋转的性质得出AF=AE，，，求出，证明，根据全等得出DF=DE，设，则，，根据勾股定理得出方程，求解即可；
【详解】解：（1）①EF＝BE+DF；
如图1，
∵把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合，
∴AE=AG，，BE=DG，，
∵，
∴，
∴F、D、G共线，
∵，，
∴，
∴，
即，
在△EAF和△GAF中，
，
∴，
∴EF=GF，
∵BE=DG，
∴，
故答案是EF＝BE+DF；
②成立；
理由：如图2，把△ABE绕A点旋转到△ADG，使AB和AD重合，
则AE＝AG，∠B＝∠ADG，∠BAE＝∠DAG，
∵∠B+∠ADC＝180°，
∴∠ADC+∠ADG＝180°，
∴C、D、G在一条直线上，
与①同理得，∠EAF＝∠GAF＝45°，
在△EAF和△GAF中，
∵，
∴△EAF≌△GAF（SAS），
∴EF＝GF，
∵BE＝DG，
∴EF＝GF＝BE+DF；
（2）△ABC中，，，
∴，
由勾股定理可得：，
如图3，把△AEC绕A点旋转到△AFB，使AB和AC重合，连接DF，
则AF=AE，，，
∵，
∴，
，
∴，
在△FAD和△EAD中，
，
∴，
∴DF=DE，
设，则，
∵，
∴，
∵，，
∴，
由勾股定理得：，
，
解得：；
即DE＝．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质和勾股定理的证明，准确分析计算是解题的关键．