上海市延安中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题（原卷版+解析版）

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2024.4
一、填空题(本大题共有12小题，满分42分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得3分，7-12题每个空格填对得4分，否则一律得0分.
1. 是第_____________象限角，
【答案】三
【解析】
【分析】利用终边相同角的概念可知，与的终边相同可得结论.
【详解】易知，因此与的终边相同，
因为在第三象限，所以是第三象限角.
故答案为：三
2. 已知角的终边经过点，则的值为______.
【答案】
【解析】
【分析】由三角函数的定义求解即可.
【详解】由角的终边经过点，得，
所以.
故答案为：.
3. 已知扇形的弧长为，周长为，则这个扇形的面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】求出扇形的半径，利用扇形的面积公式可求得结果.
【详解】由题意可知，扇形的半径为，因此，该扇形的面积为.
故答案为：.
4. 已知，则______.
【答案】##
【解析】
【分析】由商数关系与平方关系联立求解即可.
【详解】因为，所以即，结合，
所以或，又，所以，
所以.
故答案为：
5. 函数的严格增区间是______.
【答案】
【解析】
【分析】由余弦函数的单调递增区间出发，用整体代换后，反解可得结果.
【详解】由于余弦函数的单调递增区间为：，
只需，
解得：，
所以函数的严格增区间是：，
故答案是：.
6. 若，则________.
【答案】
【解析】
【分析】用两角和的正切公式化简即可得出的值.
【详解】因为，所以，则，所以.
故答案为：
7. 已知，均为锐角，，则＝______．
【答案】
【解析】
【分析】由，都是锐角，得出的范围，由和的值，利用同角三角函数间的基本关系分别求出和的值，然后把所求式子的角变为，利用两角和与差的正弦函数公式化简，把各自的值代入即可求出值．
【详解】，都是锐角，
，
又，，
所以，，
则
．
故答案为：.
8. 已知是第三象限角，，则_________.
【答案】
【解析】
【分析】结合同角三角函数的基本关系和诱导公式求解即可.
【详解】因为是第三象限角，，所以，
所以，
故答案为：.
9. 若，则______．
【答案】
【解析】
【分析】求出的值，再利用二倍角公式展开，结合弦化切可得结果.
【详解】因为，则，
所以，
.
故答案：.
10. 在中，的角平分线长为，则________．
【答案】
【解析】
【分析】由，求得，进而得到A，再利用求解.
【详解】如图所示：
因为，
所以，
则，
所以，
因为，
所以，
故答案为：
11. 设函数在区间上是增函数，则的取值范围为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据三角函数的性质可得，即得.
【详解】因为函数在区间上是增函数，
∴，解得 ，
所以取值范围是.
故答案为：.
12. 锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝3且b2＋c2-bc＝9，则b的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】首先根据余弦定理可得，由为锐角三角形，可得，所以，再由正弦定理，所以即可得解.
【详解】因为且，，故，
因为为锐角三角形，则，，
由正弦定理，因为，
所以由可得，
故的取值范围是.
故答案为：
二、选择题（本大题共有5题，满分15分，每题3分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13. 下列函数中，最小正周期为的是（ ）.
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由正余弦函数的最小正周期公式计算求解判断即可.
【详解】由题意知周期为，周期为，
周期为，周期为.
故选：C
14. 已知函数，，则，及的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先利用定义判断函数的奇偶性，再求导判断函数的单调性，即可比较大小.
【详解】因为，
，
所以是偶函数，
所以，
又时，
得，
所以此时函数是增函数，
所以.
故选：C.
【点睛】本题主要考查了利用函数的奇偶性和单调性比较大小的问题.属于中档题.
15. 已知关于的方程在有两个不等的实根,则的一个值是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】方程在有两个不等的实根等价于函数与的图象在上有两个不同的交点，观察图象可得的范围，由此确定正确选项.
【详解】由题设可得，
因为方程在有两个不等的实根，
所以函数与的图象在上有两个不同的交点，
所以函数与的图象在上有两个不同的交点，
作函数在上的图象如下：
所以，
所以时，方程在有两个不等的实根，
故选： D．
16. 若，，，，则的值等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】结合同角三角函数基本关系，两角差的余弦公式与二倍角公式计算即可得.
【详解】，，，，
，，
，
.
故选：B.
17. 已知，直线与函数的交点分别为A，B，则线段长度的最大值为（ ）
A. 1B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】先由题中条件，得到；进而得出，结合三角恒等变换，将该式化简整理， 利用三角函数的性质，即可得出结果.
【详解】因为，，
又直线与函数的交点分别为A，B，
所以
，
又，所以，
因此线段长度的最大值为.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：
求解本题的关键在于由题中条件将线段的长度转化为，利用三角函数的性质即可求解.
三、解答题 (本大题满分78分) 本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤
18. 在中，角，，的对边分别为，，，，求的值
【答案】或
【解析】
【分析】由正弦定理解三角形.
【详解】在中，由，
利用正弦定理得，由于，所以或．
①当时，利用三角形内角和定理，
②当时，利用三角形内角和定理.
19. 已知，且，求的值
【答案】
【解析】
【分析】由诱导公式化简，求出，然后利用两角和的正切公式求解即可.
【详解】，又，.
.
20. 如图所示，一艘海轮在海面上的处发现两座小岛，，测得小岛在的北偏东的方向上，小岛在的北偏东的方向上，海轮从处向正东方向航行100海里后到达处，测得小岛在的北偏西的方向上，小岛在的北偏东的方向上．
（1）求处与小岛之间的距离；
（2）求，两座小岛之间的距离．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）结合图形求出相关角，利用正弦定理即可求得；
（2）根据题设条件计算得到，在中利用余弦定理求得，接着在中利用余弦定理，即可求得结果.
【小问1详解】
由题可知在中：，，
所以，
由正弦定理可得：，
所以（海里）．
【小问2详解】
由题可知在中：，，所以．
所以（海里），
由余弦定理可得：
，
所以（海里），
由题意可知，在中，，
由余弦定理可得：
，
所以（海里）
21. 已知函数
（1）求函数的最小正周期
（2）当时，求函数的最大值和最小值
（3）已知函数，若对任意的，当时，恒成立，求实数的取值范围
【答案】（1）
（2）最大值为，最小值为
（3）
【解析】
【分析】（1）先由降幂公式，倍角公式，辅助角公式化简，再代入周期公式求解即可；
（2）由已知结合的范围，利用正弦函数的性质求解即可；
（3）由已知不等式结合辅助角公式进行化简可得，然后结合正弦函数的单调性求解即可.
【小问1详解】
，
则最小正周期为.
【小问2详解】
；
则函数的最大值为，最小值为.
【小问3详解】
，
因为，
，
因为对任意的，当时，恒成立，
则对任意的，当时，恒成立，
，
不妨设，则问题转化成在上单调递减，
所以，其中，解得，
所以的取值范围为.
22. 给出集合对任意，都有成立．
（1）若，求证：函数；
（2）由于（1）中函数既是周期函数又是偶函数，于是张同学猜想了两个结论：
命题甲：集合中的元素都是周期为6的函数；
命题乙：集合中的元素都是偶函数；
请对两个命题给出判断，如果正确，请证明；如果不正确，请举反例
【答案】（1）证明见解析
（2）甲正确，证明见解析；乙错误，答案见解析
【解析】
【分析】（1）由集合定义，只需证明符合即可；
（2）由周期函数与奇偶性判断即可.
【小问1详解】
证明：，
所以；
小问2详解】
因为，
所以，
所以，
所以是周期为6的周期函数，
即集合中的元素都是周期为6的函数；
若，则，
但，不是偶函数；
甲正确，乙错误．