浙江省温州市第十二中学2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分）
1. 下列各式是二元一次方程的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程组的定义是解答本题的关键．方程的两边都是整式，含有两个未知数，并且含未知数的项的次数都是1次的方程叫做二元一次方程．根据二元一次方程的定义逐项分析即可．
【详解】解：A．只含一个未知数，不是二元一次方程，故不符合题意；
B．的分母含未知数，不是二元一次方程，故不符合题意；
C．是二元一次方程，符合题意；
D．整理得，最高次项的次数是2，不是二元一次方程，故不符合题意．
故选C．
2. 石墨烯理论厚度是，数据用科学记数法表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了用科学记数法表示绝对值小于1的数．熟练掌握绝对值小于1的数，用科学记数法表示为，其中，的值为第一个不为0的数的前面0的个数是解题的关键．
根据用科学记数法表示绝对值小于1的数的方法，进行作答即可．
【详解】解：由题意知，，
故选：A．
3. 下列图形中，与是同位角的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据同位角的定义解答．
【详解】A、B、C中的与不是同位角，D中的与是同位角；
故选：D．
【点睛】此题考查同位角的定义，熟记定义是解题的关键．
4. 的运算结果为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用同底数幂的乘法求解即可求得答案．
【详解】解：，
故选：B．
【点睛】此题考查了同底数幂的乘法，熟悉相关性质是解题的关键．
5. 如果，那么的值分别是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了多项式乘以多项式，掌握多项式乘多项式运算法则是解题的关键．先将等式的左边利用多项式乘以多项式法则计算，再根据多项式相等的条件即可求出m与n的值．
【详解】解：∵，
∴，
∴，．
故选B．
6. 如图，一块直尺与一个直角三角形如图放置，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，直角三角形的性质，根据平行线的性质求出，然后根据邻补角的定义求出，最后根据直角三角形两个锐角互余求出即可．准确识图是解题的关键．
【详解】解：如图，
直尺的两边互相平行，
，
，
故选：．
7. 已知二元一次方程组，则的值是（ ）
A. 9B. 3C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据加减法解方程组即可．
【详解】解：，
①-②得，-m-n=-3，
∴m+n=3，
故选：B．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，正确掌握解方程组的方法是解题的关键．
8. 一个正方形的边长增加，面积相应增加，则这个正方形的边长为（ ）
A. 8B. 5C. 6D. 7
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了完全平方公式的应用，正方形的边长是，根据面积相应地增加了，即可列方程求解．
【详解】解：设这个正方形的边长是，
根据题意得：，
整理得，
解得：，
则这个正方形的边长为．
故选C．
9. 我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清酒、醑酒各几斗？如果设清酒x斗，醑酒y斗，那么可列方程组为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据“现在拿30斗谷子，共换了5斗酒”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【详解】解：依题意，得：．
故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组和数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题关键．
10. 如图，将正方形与正方形叠在一起，且这两个正方形的边长之差为，两个正方形相交于点M、N，连结，，若阴影部分的面积是9，，，则正方形的边长为（ ）
A. B. 4C. 4.2D. 4.5
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了多项式乘多项式应用，先设正方形的边长为，再表示正方形的边长为，，根据面积关系列式得，代入代数式，进行计算，即可作答．
【详解】解：连接，如图：
设正方形的边长为，
∵这两个正方形的边长之差为，
∴正方形的边长为，
依题意，
∵四边形、是正方形
∴
∴
∴四边形是矩形
∴
∴
∵阴影部分的面积是9，
即
∴
得
解得
故选：B．
二、填空题（本题共8个小题，每小题3分，共24分）
11. 计算：____________．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了平方差公式，根据平方差公式进行计算即可．
【详解】解：
故答案为：
12. 将方程写成用含x的代数式表示y的形式____________．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了方程的变形和等式的基本性质，利用等式的基本性质进行变形即可．
【详解】解：
移项得，
系数化1得，
故答案为：
13. 已知，，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】直接逆用同底数幂的除法法则进行计算即可得到答案．
【详解】解：∵，，
∴,
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
14. 若是关于x，y的二元一次方程的一个解，则k的值为____________．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程解，能使二元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做二元一次方程的解．把代入，然后解关于k的方程即可求出k的值．
【详解】解：把代入，得
，
∴．
故答案为：2．
15. 已知m+n=mn,则(m-1)(n-1)=_______.
【答案】1
【解析】
【分析】根据乘法公式多项式乘以多项式，用第一个多项式的每一项乘以第二个多项式的每一项，从而可得答案.
【详解】解： m+n=mn，
mn-m-n+1=mn-（m+n）+1，

故答案为：1
16. 如图，将平移到的位置（点在边上），若，，则的度数为 _____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了三角形内角和定理，平移的性质，平行线的性质，由三角形内角和定理可得，由平移可得，再根据平行线的性质即可求解，掌握平移的性质是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
∵平移得到，
∴，
∴，
故答案为：．
17. 若关于x、y的二元一次方程组的解为，则方程组的解为____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查二元一次方程组的解，解题的关键是掌握换元思想的运用．先整理得，结合的解为，即可列式进行作答．
【详解】解：∵
∴
∵关于x、y的二元一次方程组的解为
∴
解得
故答案为：
18. 图1是光伏发电场景，其示意图如图2，为吸热塔，在地平线上的点C，D处各安装定日镜（介绍见图3）．绕各中心点（A，B）旋转镜面，使过中心点的太阳光线经镜面反射后到达吸热器点O处．A、B处于同一水平高度，已知反射光线与水平线的夹角是，镜面与立杆的夹角，则太阳光线与水平面夹角____________；若反射光线与水平线的夹角是时，则____________．
【答案】 ①. ②. 53
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质以及垂线的定义，根据题意的新定义内容，作出法线，结合已知角，得出，再利用角的运算，得出，结合光线是平行的，得出，结合已知角以及角的和差关系列式代入数值，进行计算，即可作答．
【详解】解：如图：分别作出两个定日镜的法线：
∵反射光线与水平线的夹角是，镜面与立杆的夹角
∴
∵
∴
∴
∵光线是平行的
∴
∵反射光线与水平线的夹角是时
∴
∵
∴
则
∵
∴
故答案为：，53
三、解答题（本题共6小题，共46分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
19. （1）计算：
（2）化简：
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】此题考查了零指数幂、负整数指数幂、整式的混合运算等知识，熟练掌握幂的运算法则和乘法公式是解题的关键．
（1）利用负整数指数幂、零指数幂、乘方计算后，再进行加法运算即可；
（2）利用完全平方公式和单项式乘以多项式展开后合并同类项即可．
【详解】（1）
（2）
20. 解方程组：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了代入消元法、加减消元法解二元一次方程组．熟练掌握代入消元法、加减消元法解二元一次方程组是解题的关键．
（1）利用代入消元法解二元一次方程组即可；
（2）利用加减消元法解二元一次方程组即可．
【小问1详解】
解：，
将①代入②得，，
解得，，
将代入①得，，
∴；
【小问2详解】
解：，
②整理得，③；
得，，
解得，，
将代入③得，，
解得，，
∴．
21. 如图，在边长为1个单位的正方形网格中有一格点．
（1）请在图1中将平移，使点A落在D，得到，画出．
（2）请在图2中将平移，使点D、E都落在内部．
【答案】（1）见详解 （2）见详解
【解析】
【分析】（1）根据图形平移的性质，图形大小和形状、方向不变，描出点，再依次连接即可；
（2）根据点D、E都落在内部且结合图形平移的性质，图形大小和形状不变，描出点，再依次连接即可；
本题考查了图形的平移性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
【小问1详解】
解：如图：
；
【小问2详解】
解：如图所示：
22. 如图，与相交于点F，，．
（1）试判断与的位置关系，并说明理由．
（2）若平分，，求的度数．
【答案】（1），理由见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定方法和性质，是解题的关键．
（1）对顶角相等，结合，推出，得到，进而得到，推出，即可得证；
（2）角平分线的定义，求出，平行线的性质，得到，即可求出的度数．
【小问1详解】
解：，理由如下：
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
小问2详解】
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴．
23. 如图，在纸板中裁剪一款纸盒，减去阴影部分，再把剩下的纸片沿虚线折叠成一个有盖的长方体纸盒，设减去的正方形纸片边长为，长方形纸片的长为．
（1）用含的代数式表示，，则____________，____________．
（2）用含的代数式表示阴影部分的总面积．
（3）若规定“当阴影部分面积超过总面积的时，属于无效设计”，则当时，请判断该设计是否有效，并说明理由．
【答案】（1）；
（2）
（3）有效，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了长方体的实际应用，代数式等知识点，灵活运用长方体边的特点是解题的关键．
（1）由图象得到，，运算即可；
（2）利用四边形的面积公式列式运算即可；
（3）利用四边形的面积公式列式运算出纸板总面积和阴影部分的总面积，再求出阴影部分的总面积占纸板面积的百分比，进行比较即可．
【小问1详解】
解：由题意可得：，，
∴，；
【小问2详解】
解：阴影部分的总面积，
【小问3详解】
解：当时，则，，
∴纸板总面积，
∵阴影部分的总面积，
∴，
∴时，设计有效．
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【答案】任务一：店内鸡腿和狮子头的销售单价分别是4元，5元；任务二：店内鸡腿和狮子头的销售单价分别是4元，5元；购买两个小鸡腿套餐，一个狮子头套餐，一个酸菜鱼套餐，购买最优惠，求最少费用是元．任务三：见详解
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正确根据题意列出方程是解题的关键．
任务一：设店内鸡腿和狮子头的销售单价分别是元，元，列出关于，的方程组，进行解方程，即可作答．
任务二：与任务一同理，列出方程组，进行解方程，即可作答．
任务三：把到店购买的车费算上，以及把外卖的打包盒以及券的费用考虑，再进行分类讨论，逐一分析作答即可．
【详解】解：任务一：设店内鸡腿和狮子头的销售单价分别是元，元，
依题意，列式得，
整理得，
解得，
∴店内鸡腿和狮子头的销售单价分别是4元，5元．
任务二：设其中鸡腿和狮子头分别是个，
依题意，，
整理得，
则能整除4，
∴，
此时，
解得，
∴其中鸡腿和狮子头分别是个，
根据优惠套餐：
∴购买两个小鸡腿套餐，一个狮子头套餐，一个酸菜鱼套餐，
此时5个鸡腿，4个狮子头，1份酸菜鱼，4份素菜，4份饭，
即（元），
∴购买两个小鸡腿套餐，一个狮子头套餐，一个酸菜鱼套餐，购买最优惠，求最少费用是元．
任务三：设最后两个券膨胀为元，
当刚好美团外卖和到店购买一样省钱，
则美团外卖：，
则到店购买，
当时，解得，
当美团外卖比到店购买省钱，
即，解得，
当到店购买比美团外卖省钱，
即，解得，
综上：最后两张券膨胀金钱和为，选择美团外卖；最后两张券膨胀金钱和为，选择到店购买；当最后两张券膨胀金钱和为元，则两个方式都一样省钱．
设计最优订餐方案
素
材
一
天天中餐厅推出了没有代言费的酸菜鱼，25元一份．若购买2个鸡腿，2个狮子头，3份素菜，2份饭需要46元；若购买1份酸菜鱼，2个鸡腿，4个狮子头，2份素菜，3份饭需要75元．
注：米饭2元一份，素菜8元一份．
素
材
二
天天中餐厅推出多款优惠套餐：
小鸡腿套餐：2个鸡腿，1个狮子头，1份素菜，1份饭，共20元；
狮子头套餐：2个狮子头，1个鸡腿，1份素菜，1份饭，共21元；
酸菜鱼套餐：1份酸菜鱼，1份素菜，1份饭，共32元．
素
材
三
美团外卖：菜品单点价格比到店购买价格高3元．
美团套餐价：小鸡腿套餐28元，狮子头套餐29元，酸菜鱼套餐39元．
现活动推出每月可购买外卖通用券4张，每张2元，每单只能用一张券，券至少可以抵扣5元（无门槛），最多可以免费膨胀到20元，券不用可以退．外卖每个订单需要打包费3元，满20起送，活动期间减免配送费．
问题解决
任
务
一
店内鸡腿和狮子头的销售单价各是多少元？
任
务
二
小明到店购买晚餐，单点1份酸菜鱼，4份素菜，4份饭，若干个鸡腿和狮子头（每样都要有）预计花费105元，求其中鸡腿和狮子头各几个？在相同菜品量的基础上，如何购买最优惠，求最少费用是多少？
任
务
三
小明到店来回还需打车费20元，若选择美团外卖，按任务二相同菜品量，购买外卖券后，点了免费膨胀，前2个券分别膨胀到7元，8元，最后两个券膨胀结果未知．请结合膨胀情况，比较美团外卖和到店购买哪种方案更省钱？