2024年高考数学三轮复习考前回归课本基础知识公式汇编人教A版2019学案

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2024届高三三轮复习
考前回归课本高中数学基础知识公式汇编
（2024新结构、新高考）
第一板块 了解新旧教材的变化
第二板块 高中数学基础知识公式汇编
第一板块 了解新旧教材的变化（人教A版2019）
认真研究近几年全国统一考试新课标卷命题特点、规律与走向的基础上，结合新高考变化，稳中有变，导向正确。
“一核”是核心功能，即“立德树人、服务选才、引导教学”(为什么考)
“四层”为考查内容，即“核心价值、学科素养、关键能力、必备知识”(考什么)
“四翼”为考查要求，即“基础性、综合性、应用性、创新性”(怎么考)
第二板块高中数学基础知识公式汇编
（人教A版2019）
新时代高考命题改革理念
1.要把“立德树人”放在学科命题和教学的首位；
2.试题要具有时代性，紧密联系当前社会和科技发展；
3.理论联系实际，加强实践应用能力培养；
4.试题具有开放性，引导教学走向开放的思维；
5.加强思维能力考查，引导教学注重过程；
6.考查问题的本质，培养高层次的复杂能力；
7.注重考查基础，引导教学回归教材和课程；
8.命题改革创新，加强核心素养的养成。
复习阶段：
第一轮：系统复习 建构框架、梳理脉络、条分缕析、夯实双基
第二轮：专题复习 编织网络、正本清源、巩固完善、拓宽加深
第三轮：综合练习 查漏补缺、综合练习、形成能力、熟悉卷型
第一章 集合与常用逻辑用语、不等式
第1讲 集合及其运算
1. 集合与元素
(1) 集合中元素的三个特性： 确定性 、 互异性 、 无序性 .
(2) 集合中元素与集合的关系：对于元素a与集合A，或者a∈A，或者a∉A，二者必居其一．
(3) 常见集合的符号表示
2.集合间的基本关系
注：若集合A中含有n(n≥1)个元素，则集合A有 2n 个子集， 2n－1 个真子集．
3. 集合的基本运算
4. 常见结论与等价关系
A∩B＝A⇔A⊆B； A∪B＝A⇔B⊆A；
(∁UA)∪A＝ U ; ∁U(∁UA)＝ A .
第2讲 充分条件、必要条件、充要条件
1. 充分、必要条件
(1) 对命题“若p则q”而言，当它是真命题时，记作p⇒q，称p是q的 充分 条件，q是p的 必要 条件；当它是假命题时，记作peq \(⇒,/)q，称p不是q的 充分 条件，q不是p的 必要 条件．
(2) ①若p⇒q，且qeq \(⇒,/)p，则p是q的 充分不必要 条件；
②若peq \(⇒,/)q，且q⇒p，则p是q的 必要不充分 条件；
③若p⇒q，且q⇒p，则p是q的 充要 条件，记做p⇔q；
④若peq \(⇒,/)q，且qeq \(⇒,/)p，则p是q的 既不充分又不必要 条件．
(3) 证明“充要条件”应分为两个环节，一是充分性，二是必要性．应该进行由条件到结论，由结论到条件的两次证明．证明时要分清哪个是条件，哪个是结论．
2. 判断充分必要条件的常用方法
(1) 定义判断法：通过判断p⇒q与q⇒p是否成立确定p是q的什么条件．
(2) 集合判断法：建立命题p，q相应的集合，若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即p：x∈A＝{x|p(x)}，q：x∈B＝{x|q(x)}，则：
①若A⊆B，则p是q的充分条件；
②若B⊆A，则p是q的必要条件；
③若AB，则p是q的充分不必要条件；
④若BA，则p是q的必要不充分条件；
⑤若A＝B，则p是q的充要条件；
⑥若AB且B A，则p是q的既不充分又不必要条件．
第3讲 全称量词和存在量词
1. 全称量词
我们把表示 全体 的量词称为全称量词．
对应日常语言中的“一切”“任意的”“所有的”“凡是”“任给”“对每一个”等词，用符号“∀”表示．
含有全称量词的命题，叫做全称量词命题．“对任意实数x∈M，都有p(x)成立”简记成“ ∀x∈M，p(x) ”．
2. 存在量词
我们把表示 部分 的量词称为存在量词．
对应日常语言中的“存在一个”“至少有一个”“有个”“某个”“有些”“有的”等词，用符号“ ∃ ”表示．
含有存在量词的命题，叫做存在量词命题．“存在实数x0∈M，使得p(x0)成立”简记成“ ∃x0∈M，p(x0) ”．
3. 命题的否定：“∀x∈M，p(x)”与“ ∃x∈M，綈p(x) ”互为否定．
4. 常见词语的否定
第4讲 不等式的性质、基本不等式
1. 两个实数比较大小的方法
(1) 作差法：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－b＞0⇔a＞b，,a－b＝0⇔a＝b，,a－b＜0⇔a＜b.))
(2) 作商法：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(a,b)＞1⇔a＞ba∈R，b＞0，,\f(a,b)＝1⇔a＝ba∈R，b≠0，,\f(a,b)＜1⇔a＜ba∈R，b＞0.))
2. 基本不等式：eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)
(1) 基本不等式成立的条件： a＞0，b＞0 .
(2) 设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为eq \f(a＋b,2)，几何平均数为eq \r(ab).基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
3. 利用基本不等式求最值问题
若x>0，y>0，则：
(1) 如果积xy是定值p，那么当且仅当 x＝y 时，x＋y有最小值 2eq \r(p) ；(简记：积定和最小)
(2) 如果和x＋y是定值p，那么当且仅当 x＝y 时，xy有最大值 eq \f(p2,4) .(简记：和定积最大)
4. 常用结论
若a，b∈R，则ab，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2，eq \f(a2＋b2,2)的大小关系如何？当a，b＞0时，eq \r(,ab)，eq \f(a＋b,2)，eq \r(,\f(a2＋b2,2))的大小关系又是怎样的？
【解答】 因为a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2＝eq \f(a2＋b2＋2ab,4)≥eq \f(2ab＋2ab,4)＝ab，且eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2＝eq \f(a2＋b2＋2ab,4)≤eq \f(2a2＋b2,4)＝eq \f(a2＋b2,2)，所以ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2≤eq \f(a2＋b2,2)，当且仅当a＝b时，等号成立．同理，当a，b>0时，eq \r(,ab)≤ eq \f(a＋b,2)≤eq \r(,\f(a2＋b2,2))，当且仅当a＝b时，等号成立．
第5讲 一元二次不等式
1. 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集
设相应的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个实数根为x1，x2且x1≤x2，Δ＝b2－4ac，则不等式的解集的各种情况如下表：
2. 求解一元二次不等式的三个步骤
(1) 解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0得到根；
(2) 结合二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象；
(3) 写出一元二次不等式的解集．
3. 与一元二次不等式有关的恒成立问题
(1) 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R的条件是eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>0，,Δ<0.))
(2) 一元二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集为R的条件是eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a<0，,Δ<0.))
4. 常用结论
(1) 含参数的一元二次不等式的解题步骤为：①将二次项系数转化为正数．②判断相应方程是否有根．③根据根的情况写出相应的解集，若方程有两个相异根，为了正确写出解集还要确定两个根的大小．
(2) 若y＝f(x)，x∈D，则：
①f(x)≥a恒成立⇔f(x)min≥a成立；
②f(x)≤a恒成立⇔f(x)max≤a成立．
第二章 基本初等函数
第6讲 函数的概念及其表示方法
1. 函数的概念
(1) 设A，B是两个 非空 的数集，如果按某个确定的 对应关系f ，使对于集合A中的 每一个 元素x，在集合B中都有 唯一 的元素y和它对应，那么称 f：A→B 为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.其中将所有的输入值x组成的集合A叫做函数y＝f(x)的 定义域 ，将所有的输出值y组成的集合叫做函数的 值域 .
(2) 函数的定义含有三个要素，即定义域A，值域C和对应关系f.当函数的定义域及从定义域到值域的对应关系确定之后，函数的值域也就随之确定．因此，当且仅当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时，这两个函数才是同一个函数．
2. 常用的函数的表示方法
(1) 解析法：就是把两个变量的函数关系用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式；
(2) 列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的函数关系；
(3) 图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系．
3. 分段函数
若一个函数的定义域分成了若干个子区间，且每个子区间的解析式不同，则这种函数称为分段函数．
4. 求复合函数定义域的方法
(1) 若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出．
(2) 若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域.
第7讲 函数的单调性与最值
1. 函数的单调性
(1) 单调函数的定义
(2) 单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间A上是增函数或是减函数，那么称A为单调区间．
(3) 复合函数的单调性
对于函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果当x∈(a，b)时，u∈(m，n)，且u＝g(x)在区间(a，b)上和y＝f(u)在区间(m，n)上同时具有单调性，那么复合函数y＝f(g(x))在区间(a，b)上具有 单调性 ，并且具有这样的规律： 同增异减 .
2. 若函数f(x)，g(x)在区间B上具有单调性，则在区间B上具有以下性质：
(1) f(x)与f(x)＋C(C为常数)具有 相同 的单调性．
(2) f(x)与a·f(x)，当a>0时，具有相同的单调性；当a<0时，具有相反的单调性．
(3) 当f(x)恒不等于零时，f(x)与eq \f(1,fx)具有 相反 的单调性．
(4) 当f(x)，g(x)都是增(减)函数时，f(x)＋g(x)都是增(减)函数．
3. 函数的最值
4. 常用结论
(1) 函数单调性的两个等价结论
设∀x1，x2∈D(x1≠x2)，则
①eq \f(fx1－fx2,x1－x2)>0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0)⇔f(x)在D上单调递增；
②eq \f(fx1－fx2,x1－x2)<0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0)⇔f(x)在D上单调递减．
(2) 函数最值存在的两条结论
①闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到；
②开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值．
第8讲 函数的奇偶性与周期性、对称性
1. 奇、偶函数的定义
对于函数f(x)定义域内的 任意 一个x，都有 f(－x)＝－f(x) (或 f(－x)＋f(x)＝0 )，则称f(x)为奇函数；对于函数f(x)定义域内的任意一个x，都有 f(－x)＝f(x) (或 f(－x)－f(x)＝0 )，则称f(x)为偶函数．
2. 奇、偶函数的性质
(1) 具有奇偶性的函数，其定义域关于 原点 对称(也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于 原点 对称)．
(2) 奇函数的图象关于 原点 对称，偶函数的图象关于 y轴 对称．
(3) 若奇函数的定义域包含0，则f(0)＝__0__.
(4) 定义在(－∞，＋∞)上的任意函数f(x)都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和．
3. 函数的周期性
(1) 周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在非零常数T，对定义域内的任意一个x值，都有 f(x＋T)＝f(x) ，就把函数f(x)称为周期函数，称T为这个函数的周期．
(2) 最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中 存在一个最小 的正数，那么这个最小的正数就叫做f(x)的 最小 正周期．
4. 常用结论
(1) 函数奇偶性的常用结论
①如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．
②奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．
③在公共定义域内：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
(2) 函数周期性的常用结论
对于f(x)定义域内任一自变量的值x：
①若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．
②若f(x＋a)＝eq \f(1,fx)，则T＝2a(a>0)．
③若f(x＋a)＝－eq \f(1,fx)，则T＝2a(a>0)．
(3) 对称性的三个常用结论
①若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．
②若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．
③若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b,0)中心对称．
第9讲 二次函数与幂函数
1. 二次函数解析式的三种形式
(1) 一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；
(2) 顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)；
(3) 零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
2. 二次函数的图象和性质(此处略)
3. 幂函数的定义
一般地，形如f(x)＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．
4. 五种常见幂函数
5. 幂函数的性质
(1) 幂函数在 (0，＋∞) 上都有定义；
(2) 幂函数的图象都过点 (1,1) ；
(3) 当α>0时，幂函数的图象都过点__(0,0)__与 (1,1) ，且在(0，＋∞)上单调 递增 ；
(4) 当α<0时，幂函数的图象都 不过 点(0,0)，在(0，＋∞)上单调 递减 .
6. 常用结论
(1) 一元二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的内在联系及相应转化如下(第5讲有详细归纳)：
①f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标是方程f(x)＝0的实数根．
②当 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＞0，,Δ＜0)) 时，f(x)＞0恒成立；当 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＜0，,Δ≤0)) 时，f(x)≤0恒成立．结论成立的条件是x∈R.
(2) 二次函数在闭区间上的最值
闭区间上二次函数取得的最值一定是在区间 端点 或 顶点 处．
对二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当a>0时，f(x)在区间[p，q]上的最大值是M，最小值是m，令x0＝eq \f(p＋q,2)：
①若－eq \f(b,2a)≤p，则m＝f(p)，M＝f(q)；
②若p<－eq \f(b,2a)③若x0≤－eq \f(b,2a)④若－eq \f(b,2a)≥q，则m＝f(q)，M＝f(p)．
第10讲 指数与指数函数
1. 根式
(1) 概念：式子eq \r(n,a)叫做 根式 ，其中n叫做根指数，a叫做被开方数．
(2) 性质：(eq \r(n,a))n＝a(a使得eq \r(n,a)有意义)；当n为奇数时，eq \r(n,an)＝a；当n为偶数时，eq \r(n,an)＝|a|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a，a≥0，,－a，a<0.))
2. 分数指数幂
(1) 规定：正数的正分数指数幂的意义是aeq \s\up7(\f(m,n))＝
eq \r(n,am) (a>0，m，n∈N*且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是aeq \s\up7(-\f(m,n))＝ eq \f(1,\r(n,am)) (a>0，m，n∈N*且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂 没有意义 .
(2) 有理指数幂的运算性质：aras＝ ar＋s ；(ar)s＝ ars ；(ab)r＝ arbr ，其中a>0，b>0，r，s∈Q.
3. 指数函数及其性质
(1) 概念：函数y＝ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数．
(2) 指数函数的图象与性质
4. 常用结论
(1) 指数函数的图象恒过点(0,1)，(1，a)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,a)))，依据这三点的坐标可得到指数函数的大致图象．
(2) 函数y＝ax与y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)))x(a>0且a≠1)的图象关于y轴对称．
第11讲 对数与对数函数
1. 对数的概念
一般地，如果a(a>0，a≠1)的b次幂等于N，即ab＝N，那么数b叫做以a为底N的对数，记做 lgaN＝b .其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
以10为底的对数叫做常用对数，将lg10N记做lg N.
另外，以无理数e＝2.718 28…为底数的对数叫做自然对数，并将lgeN记做ln N.
2. 对数的性质与运算性质
(1) 对数的性质：①algaN＝ N ；
②lgaab＝b(a>0且a≠1)．
(2) 对数的运算法则
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么
①lga(MN)＝ lgaM＋lgaN ；
②lgaeq \f(M,N)＝ lgaM－lgaN ；
③lgaMn＝ nlgaM (n∈R)；
④lgamMn＝eq \f(n,m)lgaM(m，n∈R且m≠0)．
3. 换底公式及其两个重要结论
(1) 换底公式： lgbN＝eq \f(lgaN,lgab) (a，b均大于零且不等于1)．
(2) 两个重要结论：
①lgab＝eq \f(1,lgba)；②＝eq \f(n,m)lgab，其中a>0且a≠1，b>0且b≠1，m，n∈R.
4. 对数函数及其性质
(1) 概念：函数y＝lgax(a＞0且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．
(2) 对数函数的图象与性质
5. 常用结论
(1) 对数函数y＝lgax(a>0且a≠1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)，－1))，函数图象只在第一、四象限．
(2) 函数y＝lgax与y＝lgeq \s\d7(\f(1,a))x(a>0且a≠1)的图象关于x轴对称．
(3) 在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大．
第12讲 函数的图象
1. 作函数图象的两种方法：
(1) 描点法：① 列表 ；② 描点 ；
③ 连点成线 .
运用描点法作图前，必须对图象的特征(包括图象的存在范围、大致形状、变化趋势等)做到心中有数，这样可减少列表的盲目性和连点成线的随意性，从而确保表列在关键处，线连在恰当处．
(2) 图象变换法：包括 平移 变换、 伸缩 变换、 对称 变换．
2. 利用图象变换法作函数的图象
(1) 平移变换
(2) 对称变换
y＝f(x)的图象eq \(――――――→,\s\up7(关于x轴对称))y＝ －f(x) 的图象；
y＝f(x)的图象eq \(――――――→,\s\up7(关于y轴对称))y＝ f(－x) 的图象；
y＝f(x)的图象eq \(―――――――→,\s\up7(关于原点对称))y＝ －f(－x) 的图象；
y＝ax(a>0且a≠1)的图象eq \(――――――――――→,\s\up7(关于直线y＝x对称))y＝ lgax (a>0且a≠1)的图象．
(3) 伸缩变换
y＝f(x)的图象eq \(――――――――――――――→,\s\up12(各点纵坐标不变、横坐标),\s\d4(变为原来的\f(1,a)a>0倍))y＝f(ax)的图象；
y＝f(x)的图象eq \(―――――――――――――→,\s\up12(各点横坐标不变、纵坐标),\s\d4(变为原来的AA>0倍))y＝Af(x)的图象．
(4) 翻折变换
y＝f(x)的图象eq \(――――――――――――――→,\s\up12(x轴下方部分翻折到x轴上方),\s\d4(x轴及上方部分不变))y＝ |f(x)| 的图象；
y＝f(x)的图象eq \(―――――――――――――――――→,\s\up12(y轴右侧部分翻折到y轴左侧),\s\d4(原y轴左侧部分去掉，右侧不变))y＝ f(|x|) 的图象．
3. 常用结论
(1) 函数图象自身的轴对称
①f(－x)＝f(x)⇔函数y＝f(x)的图象关于y轴对称．
②f(a＋x)＝f(a－x) ⇔f(x)＝f(2a－x) ⇔f(－x)＝f(2a＋x) ⇔函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．
③若函数y＝f(x)的定义域为R，且有f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝eq \f(a＋b,2)对称．
(2) 函数图象自身的中心对称
①f(－x)＝－f(x) ⇔函数y＝f(x)的图象关于原点对称．
②f(a＋x)＝－f(a－x) ⇔f(x)＝－f(2a－x) ⇔f(－x)＝－f(2a＋x) ⇔函数y＝f(x)的图象关于点(a,0)中心对称．
③f(a＋x)＝2b－f(a－x) ⇔f(x)＝2b－f(2a－x) ⇔函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)中心对称．
(3) 两个函数图象之间的对称关系
①函数y＝f(a＋x)与y＝f(b－x)的图象关于直线x＝eq \f(b－a,2)对称(由a＋x＝b－x得对称轴方程)；
②函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称；
③函数y＝f(x)与y＝2b－f(－x)的图象关于点(0，b)中心对称．
第13讲 函数与方程
1. 函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的 实数根 ，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的 横坐标 ，所以函数y＝f(x)有零点等价于函数y＝f(x)的图象与x轴有 交点 ，也等价于方程f(x)＝0有 实数根 .
2. 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续的曲线，且有 f(a)·f(b)<0 ，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，此时c就是方程f(x)＝0的实数根．但反之，不成立．
3. 函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点，而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件．
4. 常用结论
(1) 若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．
(2) 连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．
(3) 连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．
第三章 一元函数的导数及其应用
第14讲 导数的几何意义和四则运算
1. 导数的几何意义
(1) 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率k，即k＝f′(x0)．
(2) 曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为 y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0) .
2. 基本初等函数的导数公式
3. 导数的运算法则
若f′(x)，g′(x)存在，则有
[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(fx,gx)))′＝eq \f(f′xgx－fxg′x,[gx]2)(g(x)≠0)；
[cf(x)]′＝cf′(x)．
4. 复合函数的求导：复合函数y＝f(g(x))的导数y′＝ f′(g(x))·g′(x) .
5. 设s＝s(t)是位移函数，则s′(t0)表示物体在t＝t0时刻的 瞬时速度 ; 设v＝v(t)是速度函数，则v′(t0)表示物体在t＝t0时刻的 瞬时加速度 .
6. 常用结论
(1) 奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．
(2) 曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点．
(3) 熟记以下结论：
①eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))′＝－eq \f(1,x2)；
②eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,fx)))′＝－eq \f(f′x,[fx]2) (f(x)≠0)；
③[af(x)±bg(x)]′＝af′(x)±bg′(x)．
第15讲 导数与函数的单调性
1. 函数的单调性
设函数y＝f(x)在某个区间内可导，若f′(x) > 0，则f(x)为增函数，若f′(x) < 0，则f(x)为减函数．
2. 求可导函数f(x)单调区间的步骤：
(1) 确定f(x)的 定义域 ；
(2) 求导数f′(x)；
(3) 令f′(x) > 0(或f′(x) < 0)，解出相应的x的取值范围；
(4) 当 f′(x)>0 时，f(x)在相应区间上是增函数，当 f′(x)<0 时，f(x)在相应区间上是减函数．
3. 常用结论
(1) f′(x)>0(或f′(x)<0)是f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的充分不必要条件．
(2) f′(x)≥0(或f′(x)≤0)(f′(x)不恒等于0)是f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的充要条件．
(3) 对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件．
第16讲 导数与函数的极值、最值
1. 函数的极值
(1) 设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x) ≤ f(x0)，那么f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值＝f(x0)，x0为f(x)的 极大值点 ；如果对x0附近的所有的点，都有f(x) ≥ f(x0)，那么f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值＝f(x0)，x0为f(x)的 极小值点 .极小值点与极大值点统称为 极值点 ，极大值与极小值统称为极值．
(2) 当函数f(x)在x0处连续时，判别f(x0)是极大(小)值的方法：
如果x 0，x>x0有f′(x)__<__0，那么f(x0)是极大值．
如果xx0有f′(x)__>__0，那么f(x0)是极小值．
2. 求可导函数f(x)极值的步骤
(1) 求导数f′(x) ；
(2) 求方程f′(x)＝0的根 ；
(3) 检验f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右的值的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数y＝f(x)在这个根处取得 极大值 ；如果在根的左侧附近为负，右侧附近为正，那么函数y＝f(x)在这个根处取得 极小值 .
3. 函数的最值的概念
设函数y＝f(x)在 [a，b] 上连续，在(a，b)_内可导，函数f(x)在[a，b]上一切函数值中的最大(最小)值，叫做函数y＝f(x)的最大(最小)值．
4. 求函数最值的步骤
设函数y＝f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最值，可分两步进行：
(1) 求f(x)在(a，b)内的极值；
(2) 将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
5. 常用结论
(1) 极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间[a，b]的整体而言；
(2) 在函数的定义区间[a，b]内，极大(小)值可能有多个(或者没有)，但最大(小)值只有一个(或者没有)；
(3) 函数f(x)的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点；
(4) 对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得．
第17讲 导数的综合应用
1. 利用导数证明不等式
(1) 构造法：证明f(x)(2) 最值比较法：证明f(x)2. 利用导数解决不等式的恒成立(能成立)问题
“恒成立”与“存在性”问题可看作一类问题，一般都可通过求相关函数的最值来解决，如：当f(x)在x∈D上存在最大值和最小值时，若f(x)≥g(a)对于x∈D恒成立，应求f(x)在x∈D上的最小值，将原条件转化为g(a)≤ f(x)min ；若f(x)≤g(a)对于x∈D恒成立，应求f(x)在x∈D上的最大值，将原条件转化为g(a)≥ f(x)max ；若存在x∈D，使得f(x)≥g(a)成立，应求f(x)在x∈D上的最大值，将原条件转化为g(a)≤ f(x)max ；若存在x∈D，使得f(x)≤g(a)成立，应求f(x)在x∈D上的最小值，将原条件转化为g(a)≥ f(x)min .
3. 利用导数研究函数零点
(1) 求函数f(x)的单调区间和极值；
(2) 根据函数f(x)的性质作出图象；
(3) 判断函数零点的个数．
第1课时 导数与不等关系
(1) 利用导数证明不等式的基本思路是依据函数的单调性，求得函数的最值，然后由f(x)≤f(x)max或f(x)≥f(x)min证得不等式．
(2) 证明f(x)>g(x)，可以构造函数h(x)＝f(x)－g(x)，然后利用h(x)的最值证明不等式．
(3) 若直接求导比较复杂或无从下手时，可将待证式进行变形分拆，构造两个函数，从而找到可以传递的中间量，达到证明的目的．
第2课时 导数与不等式恒成立(能成立)问题
f(x)(1) 若a>f(x)对x∈D恒成立，则只需a>f(x)max；
(2) 若a(3) ∃x∈D，使得a>f(x)能成立⇔a>f(x)min；
(4)∃x∈D，使得a f(x1)(1) 任意x1∈A，任意x2∈B，使得f(x1)≥g(x2)成立，则f(x)min≥g(x)max；
(2) 任意x1∈A，存在x2∈B，使得f(x1)≥g(x2)成立，则f(x)min≥g(x)min；
(3) 存在x1∈A，任意x2∈B，使得f(x1)≥g(x2)成立，则f(x)max≥g(x)max；
(4) 存在x1∈A，存在x2∈B，使得f(x1)≥g(x2)成立，则f(x)max≥g(x)min.
f(x)－x2在D上是增函数．
第3课时 导数与函数零点
利用导数研究函数零点个数(或方程根的个数)问题的一般思路：
(1) 可转化为用导数研究其函数的图象与x轴(或直线y＝k)在该区间上的交点问题；
(2) 涉及两函数的交点：利用数形结合思想方法，通过图象可清楚地数出交点的个数(即零点，根的个数)或者确定参数的取值范围．
已知函数有零点求参数的取值范围常用的方法：
(1) 分离参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数的取值范围．通用解法为从f(x)中分离出参数，然后利用求导的方法求出构造的新函数的最值，最后根据题设条件构建关于参数的不等式，确定参数的取值范围；
(2) 分类讨论法：一般命题情境为没有固定区间，求满足函数零点个数的参数的取值范围．通用解法为结合单调性，先确定参数分类的标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各小范围并在一起，即为所求参数的取值范围．
1. 已知函数f(x)，过点(a，b)，可作曲线f(x)的n(n＝1,2,3)条切线问题：
第一步：设切点P0(x0，y0)；
第二步：计算切线斜率k＝f′(x0)；
第三步：根据直线的点斜式方程得到切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．
第四步：将点(a，b)代入切线方程，得b－y0＝f′(x0)(a－x0)，整理成关于x0的方程；
第五步：由题意知能作几条切线，则关于x0的方程就有几个实数解．
1. 构造可导积函数
第四章 三角函数与解三角形
第18讲 弧度制、任意角的三角函数
1. 角的概念的推广
(1) 定义：角可以看成平面内一条射线绕着 端点 从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．
(2) 分类eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(按旋转方向不同分为 正角 、, 负角 、 零角 .,按终边位置不同分为 象限角 , 和轴线角.))
(3) 终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}．
2. 弧度制的定义和公式
(1) 定义：把长度等于 半径长 的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记做rad.
(2) 公式：
3. 任意角的三角函数
(1) 定义：已知α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sinα＝y，cs α＝x，tanα＝eq \f(y,x)(x≠0)．
(2) 三角函数的符号规律
4. 常用结论
(1) 各象限内三角函数的符号的记忆方法为“一全正、二正弦、三正切、四余弦”．
(2) 轴线角
第19讲 同角三角函数的基本关系式与诱导公式
1. 同角三角函数的基本关系
(1) 平方关系： sin2α＋cs2α＝1 .
(2) 商数关系： eq \f(sinα,csα)＝tanαeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)) .
2. 三角函数的诱导公式
温馨提示：诱导公式的记忆口诀是“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指eq \f(π,2)的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．
3. 常见的互余和互补的几组角
4. 常用结论
(1) 同角三角函数关系式的常用变形
(sinα±csα)2＝1±2sinαcsα；sinα＝tanα·csα.
(2) 利用同角三角函数的平方关系，开方时，要特别注意判断符号．
第20讲 简单的三角恒等变换
1. 两角和、差公式
(1) C(α∓β)：cs(α∓β)＝ csαcsβ±sinαsinβ ；
(2) S(α±β)：sin(α±β)＝ sinαcsβ±csαsinβ ；
(3) T(α±β)：tan(α±β)＝ eq \f(tanα±tanβ,1∓tanαtanβ) .
2. 二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin2α＝ 2sinαcsα ；
cs2α＝ cs2α－sin2α ＝ 2cs2α－1 ＝ 1－2sin2α ；
tan2α＝eq \f(2tanα,1－tan2α).
3. 辅助角公式
函数y＝asin x＋bcs x可化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式，
asin x＋bcs x＝ eq \r(a2＋b2)sin(x＋φ) ，其中tan φ＝eq \f(b,a).
4. 常用结论
(1) tanα±tanβ＝ tan(α±β)(1∓tanαtanβ) ；
(2) 降幂公式：cs2α＝eq \f(1＋cs2α,2)，sin2α＝eq \f(1－cs2α,2)；
(3) 1＋sin2α＝(sinα＋csα)2,1－sin2α＝(sinα－csα)2，sinα±csα＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α±\f(π,4))).
第21讲 三角函数的图象和性质
1. 正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
2. 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象
(1) y＝Asin(ωx＋φ)表示一个振动量的有关概念
(2) 函数y＝sinx的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象的步骤如下：
3. 常用结论
(1) 对称与周期：①正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是eq \f(1,2)个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是eq \f(1,4)个周期．②正切曲线相邻两对称中心之间的距离是eq \f(1,2)个周期．
(2) 奇偶性：若函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)，则：①函数f(x)为偶函数的充要条件是φ＝eq \f(π,2)＋kπ(k∈Z)；②函数f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)．
(3) 对于y＝tanx不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,2)，kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)内为增函数．
第22讲 正弦定理与余弦定理
1. 正弦定理和余弦定理
2. 三角形常用面积公式
(1) S＝eq \f(1,2)a·ha(ha表示边a上的高)；(2) S＝eq \f(1,2)absinC＝eq \f(1,2)acsinB＝eq \f(1,2)bcsinA.
3. 在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况
4. 常用结论
(1) 在△ABC中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，且大边对大角，大角对大边，A>B⇔a>b⇔sinA>sinB⇔csA(2) 在△ABC中，sin(A＋B)＝sinC，cs(A＋B)＝－csC，sineq \f(A＋B,2)＝cseq \f(C,2)等．
(3) 射影定理：在△ABC中，a＝bcsC＋ccsB，b＝acsC＋ccsA，c＝bcsA＋acsB.
第23讲 解三角形
1. 仰角和俯角：在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角，如图(1)．

图(1) 图(2)
2. 方位角：从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角，如B点的方位角为α，如图(2)．
3. 方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东30°，北偏西45°等．
4. 常用结论
平面几何中解三角形问题的求解思路：
(1) 把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解；
(2) 寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果．
第五章 平面向量与复数
第24讲 平面向量的概念与线性运算
1. 向量的有关概念
2. 向量的线性运算
3. 共线向量定理：向量平行(共线)的充要条件：a∥b⇔a＝λb(b≠0)．向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得 b＝λa .
4. 两个重要结论
(1) 若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则eq \(OP,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2)(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))) .
(2) 若eq \(OA,\s\up6(→))＝λeq \(OB,\s\up6(→))＋μeq \(OC,\s\up6(→))(λ，μ为实数)，且点A，B，C共线，则λ＋μ＝1.
第25讲 平面向量的基本定理及坐标表示
1. 平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对于该平面内任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，满足 a＝λ1e1＋λ2e2 ，我们把不共线向量e1，e2叫做这一平面内所有向量的一组基底．
2. 向量的坐标运算
(1) 向量加法、减法、数乘及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝ (x1－x2，y1－y2) ，λa＝ (λx1，λy1) ，|a|＝eq \r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1)).
(2) 向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq \(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq \(AB,\s\up6(→))|＝eq \r(x2－x12＋y2－y12).
3. 平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若b≠0，则a，b共线⇔ x1y2＝x2y1 .
4. 常用结论
(1) 若a与b不共线，λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.
(2) 由三点共线结论推导等和(高)线定理：如图，由三点共线结论知，若eq \(OP,\s\up6(→))＝λeq \(OA,\s\up6(→))＋μeq \(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝1.由△OAB与△OA′B′相似，知必存在一个常数k，k∈R，使得eq \(OP′,\s\up6(→))＝keq \(OP,\s\up6(→))，则eq \(OP′,\s\up6(→))＝keq \(OP,\s\up6(→))＝kλeq \(OA,\s\up6(→))＋kμeq \(OB,\s\up6(→)).又eq \(OP′,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))(x，y∈R)，所以x＋y＝k(λ＋μ)＝k；反之也成立．
第26讲 平面向量数量积的应用
1. 向量的夹角：已知两个非零向量a，b，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，那么∠AOB称为向量a与b的夹角，向量夹角的取值范围是 [0，π] .
2. 投影向量
如图，设a，b是两个非零向量，eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(CD,\s\up6(→))＝b，考虑如下变换：过eq \(AB,\s\up6(→))的起点A和终点B，分别作eq \(CD,\s\up6(→))所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到eq \(A1B1,\s\up6(→))，称上述变换为向量a向向量b投影，eq \(A1B1,\s\up6(→))叫做向量a在向量b上的投影向量，且a在b方向上的投影向量为|a|cs θeq \f(b,|b|)＝eq \f(a·b,|b|2)·b，θ为a与b的夹角．
3. 平面向量的数量积
已知两个非零向量a，b，θ为a，b的夹角，那么数量|a||b|csθ叫做向量a，b的数量积，记作a·b.
4. 平面向量数量积的性质
(1) 若e是单位向量，则a·e＝e·a＝|a|csθ(θ为a，e的夹角)；
(2) a⊥b⇔a·b＝0；
(3) 当向量a，b同向时，a·b＝|a||b|，当向量a，b反向时，a·b＝ －|a||b| ，特别地，a·a＝|a|2，|a|＝eq \r(a·a)；
(4) csθ＝eq \f(a·b,|a||b|)(θ为a，b的夹角)；
(5) |a·b|≤ |a||b| .
5. 平面向量数量积的运算律
(1) 交换律：a·b＝b·a；
(2) 分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c；
(3) 对任意λ∈R，λ(a·b)＝(λa)·b＝a·(λb)．
6. 平面向量数量积有关性质的坐标运算
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(θ为a，b的夹角)，则：
(1) a·b＝ x1x2＋y1y2 ；
(2) a⊥b⇔ x1x2＋y1y2＝0 ；
(3) |a|＝ eq \r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1)) ；
(4) cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝ eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1))·\r(x\\al(2,2)＋y\\al(2,2))) .
7. 常用结论
(1) 两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b>0且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b<0且a，b不共线．
(2) 平面向量数量积运算的常用公式：(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.
第27讲 复 数
1. 复数的有关概念
(1) 定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1，__a__叫做实部， b 叫做虚部，复数集记做C，即C＝{z|z＝a＋bi，a，b∈R}．
(2) 复数相等：复数z1＝a＋bi与z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)相等⇔ a＝c且b＝d .
(3) 共轭复数：如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，那么这两个复数叫做互为共轭复数，即复数z＝a＋bi的共轭复数为eq \x\t(z)＝a－bi.
2. 复数的分类
对于复数z＝a＋bi(a，b∈R)，则z是实数⇔b＝0；z是虚数⇔b≠0；z是纯虚数⇔a＝0且b≠0.
3. 复数的几何意义
(1) 复平面：建立平面直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．显然，实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示虚数．
(2) 几何意义：复数z＝a＋bieq \(――――→,\s\up7(一一对应))复平面内的点Z(a，b) eq \(――――→,\s\up7(一一对应))向量eq \(OZ,\s\up6(→)).
(3) 复数的模：设eq \(OZ,\s\up6(→))＝a＋bi，则向量eq \(OZ,\s\up6(→))的模叫做复数a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|.由模的定义知|z|＝|a＋bi|＝ eq \r(a2＋b2) .
4. 复数的代数运算
已知两个复数z1＝a＋bi与z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，那么：
z1±z2＝(a±c)＋(b±d)i，z1·z2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i，
eq \f(z1,z2)＝eq \f(a＋bi,c＋di)＝eq \f(ac＋bd＋bc－adi,c2＋d2)(z2≠0)．
5. 常用结论
(1) i的乘方具有周期性：i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N*.
(2) 复数的模与共轭复数的关系：z·eq \x\t(z)＝|z|2＝|eq \x\t(z)|2.
第六章 数 列
第28讲 数列的概念与简单表示
1. 数列的通项公式
如果数列{an}的第n项与 序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．
2. an与Sn的关系
若数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an，则an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1( S1 ，n＝1，, Sn－Sn－1 ，n≥2.))
3. 数列的递推公式
如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
由递推公式求通项的常用方法：
4. 常用结论
在数列{an}中，若an最大，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(an≥an－1，,an≥an＋1.))若an最小，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(an≤an－1，,an≤an＋1.))
第29讲 等差数列及其前n项和
1. 等差数列的有关概念
(1) 定义：如果一个数列从 第2项 起，每一项与它的前一项的差都等于 同一个常数 ，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为 an＋1－an＝d (n∈N*，d为常数)．
(2) 等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是 A＝eq \f(a＋b,2) ，其中A叫做a，b的等差中项．
2. 等差数列的有关公式
(1) 通项公式：an＝ a1＋(n－1)d ；
(2) 前n项和公式：Sn＝ na1＋eq \f(nn－1,2)d ＝ eq \f(na1＋an,2) .
3. 已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和．
(1) 通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d (n，m∈N*)；
(2) 若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an；
(3) 若{an}的公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d；
(4) 若{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列；
(5) 数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…构成等差数列．
4. 关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质
(1) 若项数为2n，则S偶－S奇＝nd，eq \f(S奇,S偶)＝eq \f(an,an＋1)；
(2) 若项数为2n－1，则S偶＝(n－1)an，S奇＝nan，S奇－S偶＝an，eq \f(S奇,S偶)＝eq \f(n,n－1).
5. 两个等差数列{an}，{bn}的前n项和Sn，Tn之间的关系为eq \f(S2n－1,T2n－1)＝eq \f(an,bn).
第30讲 等比数列及其前n项和
1. 等比数列的有关概念
(1) 定义
如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于 同一常数 (不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的 公比 ，通常用字母q表示，定义的表达为 eq \f(an＋1,an)＝q(q≠0，n∈N*) .
(2) 等比中项
如果a，G，b成等比数列，那么 G 叫做a与b的等比中项，即G是a与b的等比中项⇔ G2＝ab .
2. 等比数列的有关公式
(1) 通项公式：an＝ a1qn－1 ；
(2) 前n项和公式：Sn＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1( na1 ，q＝1，,\f(a11－qn,1－q)＝\f(a1－anq,1－q)，q≠1.))
3. 等比数列几个常用结论
已知数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和(m，n，p，q，r，k∈N*)．
(1) 若m＋n＝p＋q＝2r，则am·an＝ap·aq＝aeq \\al(2,r)；
(2) 数列am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等比数列；
(3) 数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍是等比数列(此时{an}的公比q≠－1)；
(4) 若项数为2n，则eq \f(S偶,S奇)＝q；若项数为2n＋1，则eq \f(S奇－a1,S偶)＝q.
4. 常用结论
(1) 若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则数列{c·an}(c≠0)，{|an|}，{aeq \\al(2,n)}，eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))，{an·bn}，eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(an,bn)))也是等比数列．
(2) 在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形而导致解题失误.
第31讲 数列的求和
1. 分组求和法
数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差数列或等比数列或可求数列的前n项和的数列进行求和．
2. 分组求和法的常见类型
3. 错位相减法求和
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n项和即可用错位相减法．如：{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求a1b1＋a2b2＋…＋anbn的和．
4. 裂项相消法常用的裂项技巧
(1) eq \f(1,nn＋k)＝eq \f(1,k)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,n)－\f(1,n＋k)))；
(2) eq \f(1,\r(,n＋k)＋\r(,n))＝eq \f(1,k)(eq \r(,n＋k)－eq \r(,n))．
5. 常用结论
(1) 1＋2＋3＋4＋…＋n＝eq \f(nn＋1,2).
(2) 12＋22＋…＋n2＝eq \f(nn＋12n＋1,6).
(3) 在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分别讨论公比等于1和不等于1两种情况．
第七章 立体几何
第32讲 空间几何体的表面积和体积
1. 空间几何体的结构特征
(1) 多面体的结构特征
(2) 旋转体的结构特征
2. 圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
3. 柱、锥、台、球的表面积和体积
4. 常用结论
(1) 正方体与球的切、接常用结论：设正方体的棱长为a，球的半径为R，若球为正方体的外接球，则2R＝eq \r(,3)a；若球为正方体的内切球，则2R＝a；若球与正方体的各棱相切，则2R＝eq \r(,2)a.
(2) 设长方体的共顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝eq \r(,a2＋b2＋c2).
(3) 正四面体的外接球的半径R＝eq \f(\r(,6),4)a，内切球的半径r＝eq \f(\r(,6),12)a(a为该正四面体的棱长)．
第33讲 空间点、线、面之间的位置关系
1. 平面的基本性质
基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面．
基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．
基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
2. 空间点、直线、平面之间的位置关系
3. 平行直线
(1) 基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行．
(2) 定理：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
4. 异面直线所成的角
(1) 定义：设a，b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a，b所成的角．
(2) 取值范围： eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))) .
5. 特别提醒
两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角．
第34讲 直线、平面平行的判定与性质
1. 直线和平面平行
(1) 定义：直线和平面没有公共点，称这条直线与这个平面平行；
(2) 判定方法：
(3) 性质定理：
2. 两个平面平行
(1) 定义：两个平面没有公共点，称这两个平面平行；
(2) 判定方法：
(3) 性质定理：
3. 常用结论
(1) 垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.
(2) 平行于同一平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.
(3) 垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b.
第35讲 直线、平面垂直的判定与性质
1. 直线与平面垂直
(1) 直线与平面垂直的定义：
直线l与平面α内的 任意一条直线 都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．
(2) 直线与平面垂直的判定定理和性质定理：
2. 直线和平面所成的角
(1) 定义：一条斜线和它在平面上的射影所成的 锐角 叫做这条直线和这个平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°的角．
(2) 取值范围： eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))) .
3. 二面角
(1) 定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．
(2) 二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作 垂直于棱 的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．
(3) 二面角的取值范围： [0，π] .
(4) 平面与平面垂直的定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是 直二面角 ，就说这两个平面互相垂直．
4. 点面距：点与它在平面上的投影的距离．
5. 平面与平面垂直的判定定理和性质定理
6. 常用结论
(1) 若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面(需要证明不可直接用)．
(2) 若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法)．
(3) 垂直于同一条直线的两个平面平行．
第36讲 空间直角坐标系与空间向量
1. 空间向量中的有关定理
(1) 共线向量定理
空间中两个向量a与b(b≠0)共线的充要条件是存在实数λ，使得 a＝λb .
(2) 共面向量定理
共面向量定理的向量表达式： p＝xa＋yb ，其中x，y∈R，a，b为不共线的向量．
(3) 空间向量基本定理
如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间中任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得 p＝xa＋yb＋zc ，{a，b，c}叫做空间中的 一组基底 .
2. 空间向量的数量积
(1) 两向量的夹角：若两个非零向量a，b，在空间中任取一点O，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记做〈a，b〉，其范围是0≤〈a，b〉≤π.若〈a，b〉＝eq \f(π,2)，则称a与b互相垂直，记做a⊥b.
(2) 两向量的数量积：若空间中两个非零向量a，b，则|a|·|b|cs〈a，b〉叫做向量a，b的数量积，记做a·b，即a·b＝|a||b|cs〈a，b〉．
3. 空间向量的坐标表示及其应用
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．
4. 两个重要向量
5. 空间位置关系的向量表示
6. 常用结论
(1) 在空间中，P，A，B，C四点共面的充要条件是eq \(OP,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))＋zeq \(OC,\s\up6(→))(其中x＋y＋z＝1)，O为空间中任意一点．
(2) 在利用eq \(MN,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(AC,\s\up6(→))证明MN∥平面ABC时，必须说明点M或点N不在平面ABC内．
第37讲 空间角与距离的计算
1. 两条异面直线所成角的求法
设a，b分别是两条异面直线l1，l2的方向向量，则
2. 直线与平面所成角的求法
设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，a与n的夹角为β，则sin θ＝|cs β|＝eq \f(|a·n|,|a||n|).
3. 平面与平面的夹角的求法
如图，平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角(人教A版教材中的定义)．
若平面α，β的法向量分别是n1和n2，则平面α与平面β的夹角即为向量n1和n2的夹角或其补角．设平面α与平面β的夹角为θ，则csθ＝|cs〈n1，n2〉|＝eq \f(|n1·n2|,|n1||n2|).
4. 点P到直线 l 的距离
已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量eq \(AP,\s\up6(→))＝a，则向量eq \(AP,\s\up6(→))在直线l上的投影向量为eq \(AQ,\s\up6(→))＝(a·u)u，点P到直线l的距离为PQ＝ eq \r(,a2－a·u2) .
5. 点面距的求法
(1) 定义法：自点向平面作垂线，利用三角形知识求垂线段的长度；
(2) 等积法：利用体积相等求棱锥的高，如VP－ABC＝VA－PBC.
(3) 向量法：如图，设AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则点B到平面α的距离d＝eq \f(|\(AB,\s\up6(→))·n|,|n|).
说明：线面距和面面距，转化成点面距求解．
6. 常用结论
(1) 线面角θ的正弦值等于直线的方向向量a与平面的法向量n所成角的余弦值的绝对值，即sin θ＝|cs〈a，n〉|.
(2) 二面角的取值范围是[0，π]，两个平面的夹角的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).
第八章 解析几何
第38讲 直线的方程及位置关系
1. 直线的倾斜角
(1) 定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l 向上方向 之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.
(2) 范围：直线l倾斜角的取值范围是 [0，π) .
2. 斜率公式
(1) 若直线l的倾斜角α≠90°，则斜率k＝ tanα .
(2) 若P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上且x1≠x2，则l的斜率k＝ eq \f(y2－y1,x2－x1) .
3. 直线方程的五种形式
4. 两条直线平行与垂直的判定
(1) 平行：对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔ k1＝k2 .特别地，当直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2平行．
(2) 垂直：如果两条直线l1，l2的斜率都存在，设为k1，k2，则l1⊥l2⇔ k1·k2＝－1 .特别地，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直．
5. 三个距离公式
(1) 点点距：两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离为|P1P2|＝ eq \r(x2－x12＋y2－y12) .
(2) 点线距：平面上任意一点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离
d＝ eq \f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)) .
(3) 线线距：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离
d＝ eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)) .
6. 常用结论
(1) “截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数．
(2) “直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0平行”的充要条件是“A1B2＝A2B1且A1C2≠A2C1”；“两直线垂直”的充要条件是“A1A2＋B1B2＝0”．
第39讲 圆的方程
1. 圆的定义、方程
2. 点与圆的位置关系
点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：
(1) 若点M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2>r2；
(2) 若点M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；
(3) 若点M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)23. 两个常用结论
(1) 方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，
且eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(D,A)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(E,A)))2－4·eq \f(F,A)>0，即D2＋E2－4AF＞0.
(2) 以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.
第40讲 直线与圆、圆与圆的位置关系
1. 直线与圆的位置关系
设直线l：Ax＋By＋C＝0 (A2＋B2≠0)，圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2 (r>0)，d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.
2. 圆与圆的位置关系
设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝req \\al(2,1)(r1>0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝req \\al(2,2)(r2>0)．
3. 几个常用结论
(1) 圆的切线方程的常用结论
①过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
②过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
③过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线的方程为x0x＋y0y＝r2.
(2) 圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交时，公共弦所在直线的方程为 (D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.
第41讲 椭 圆
1. 椭圆的概念
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做 椭圆 .这两个定点叫做椭圆的 焦点 ，两焦点间的距离叫做椭圆的 焦距 .
集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：
(1) 若 a>c ，则集合P为椭圆；
(2) 若 a＝c ，则集合P为线段；
(3) 若 a2. 椭圆的标准方程和几何性质
3. 直线与椭圆的弦长
将直线方程与椭圆方程联立，消去y(或x)后得到关于x(或y)的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．当Δ>0时，直线与椭圆有两个交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系可知x1＋x2＝－eq \f(b,a)，x1·x2＝eq \f(c,a)，则弦长为|AB|＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|＝eq \r(1＋k2)·eq \r(x1＋x22－4x1x2)＝eq \r(1＋\f(1,k2))eq \r(y1＋y22－4y1y2)， k为直线的斜率且k≠0.
当A，B两点坐标易求时也可直接用两点间距离公式|AB|＝eq \r(x1－x22＋y1－y22)求出．
4. 常用结论
(1) 中点弦所在直线的斜率：椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的弦的中点坐标为P(x0，y0)(y0≠0)，则过点P的弦所在直线的斜率为k＝－eq \f(b2x0,a2y0)，其中k＝eq \f(y1－y2,x1－x2)(x1≠x2)，(x1，y1)，(x2，y2)为弦的端点坐标．
(2) 焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中垂直于长轴的焦点弦最短，弦长lmin＝eq \f(2b2,a).
(3) 焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点F1，F2构成的△PF1F2叫作焦点三角形，若r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)中：
①当r1＝r2，即点P的位置为短轴端点时，θ最大；
②S＝b2tan eq \f(θ,2)＝c|y0|，当|y0|＝b，即点P的位置为短轴端点时，S取最大值，且最大值为bc.
第42讲 双曲线
1. 双曲线的定义
平面内与两个定点F1，F2的 距离的差的绝对值 等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做 双曲线的焦点 ，两焦点间的距离叫做 双曲线的焦距 .
集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.
(1) 当 2a<2c 时，点P的轨迹是双曲线；
(2) 当 2a＝2c 时，点P的轨迹是两条射线；
(3) 当 2a>2c 时，点P不存在．
2. 双曲线的标准方程和几何性质
3. 几个常用结论
(1) 如图(1)，过焦点F1的弦AB与双曲线交于同支上，则AB与另一个焦点F2构成的△ABF2的周长为4a＋2|AB|.

图(1) 图(2)
(2) 过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为eq \f(2b2,a).
(3) 如图(2)，P为双曲线上的点，F1，F2为双曲线的两个焦点，且∠F1PF2＝θ，则△F1PF2的面积为eq \f(b2,tan\f(θ,2)).
(4) 焦点到渐近线的距离为b.
(5) 设P，A，B是双曲线上的三个不同的点，其中A，B关于原点对称，则直线PA与PB的斜率之积为eq \f(b2,a2).
(6) 利用待定系数法求双曲线标准方程的常用方法：
①与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1共渐近线的方程可设为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝λ(λ≠0)；
②若双曲线的渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x，则双曲线的方程可设为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝λ(λ≠0)；
③若双曲线过两个已知点，则双曲线的方程可设为eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,n)＝1(mn＜0)或mx2＋ny2＝1(mn＜0).
第43讲 抛物线
1. 抛物线的概念
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离 相等 的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的__焦点__，直线l叫做抛物线的 准线 .
2. 抛物线的标准方程与几何性质
3. 几个常用结论
(1) 抛物线y2＝2px(p>0)上一点P(x0，y0)到焦点Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))的距离|PF|＝x0＋eq \f(p,2)，也称为抛物线的焦半径．
(2) 设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
①x1x2＝eq \f(p2,4)，y1y2＝－p2.②弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝eq \f(2p,sin2α)(α为弦AB的倾斜角)．
③以弦AB为直径的圆与准线相切．
④过焦点且垂直于对称轴的弦的长为2p.
⑤eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(2,p).
第44讲 圆锥曲线中的几个常用二级结论
焦点三角形的面积公式
(1) 已知F1，F2是椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，点P在椭圆上，∠F1PF2＝θ，则其焦点三角形的面积为S△F1PF2＝b2taneq \f(θ,2).
(2) 已知F1，F2是双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，点P在双曲线上，∠F1PF2＝θ，则其焦点三角形的面积为S△F1PF2＝eq \f(b2, tan\f(θ,2)).
两直线斜率的乘积为e2－1
平面内与两定点A1(－a,0)，A2(a,0)连线的斜率的乘积等于常数e2－1的点的轨迹叫做椭圆或双曲线，其中两个定点为椭圆和双曲线的两个顶点．当e2－1>1时，轨迹为双曲线，当e2－1∈(－1,0)时，轨迹为椭圆．
1. 椭圆方程中有关e2－1＝－eq \f(b2,a2)的结论：
(1) 已知AB是椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的不平行于对称轴的弦，M(x0，y0)为AB的中点，则kOM·kAB＝－eq \f(b2,a2)，即kAB＝－eq \f(b2x0,a2y0).
(2) 已知椭圆的方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，过原点的直线交椭圆于A，B两点，P是椭圆上异于A，B两点的任一点，则kPA·kPB＝－eq \f(b2,a2).
2. 双曲线方程中有关e2－1＝eq \f(b2,a2)的结论：
(1) 已知AB是双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的不平行于对称轴的弦，M(x0，y0)为AB的中点，则kOM·kAB＝eq \f(b2,a2)，即kAB＝eq \f(b2x0,a2y0).
(2) 已知双曲线的方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，过原点的直线交双曲线于A，B两点，P是双曲线上异于A，B两点的任一点，则kPA·kPB＝eq \f(b2,a2).
椭圆、双曲线共焦点
已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝θ，e1，e2分别是椭圆和双曲线的离心率，则eq \f(sin2\f(θ,2),e\\al(2,1))＋eq \f(cs2\f(θ,2),e\\al(2,2))＝1.
焦点弦问题
若焦点弦被焦点分成两部分m，n，则eq \f(1,m)＋eq \f(1,n)＝eq \f(2a,b2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(抛物线中为\f(1,m)＋\f(1,n)＝\f(2,p))).
第九章 统计
第45讲 随机抽样的方法、用样本估计总体
1. 简单随机抽样
(1) 简单随机抽样
分为放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样．除非特殊声明，本章简单随机抽样指不放回简单随机抽样．
(2) 简单随机抽样的常用方法
实现简单随机抽样的方法很多，抽签法和随机数法是比较常用的两种方法．
2. 总体平均数与样本平均数
3. 分层随机抽样
(1) 分层随机抽样的概念
一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层．
(2) 分层随机抽样的平均数计算
在分层随机抽样中，以层数是2为例，如果第1层和第2层包含的个体数分别为M和N，抽取的样本量分别为m和n，第1层和第2层的样本平均数分别为eq \x\t(x)，eq \x\t(y)，样本平均数为eq \x\t(w)，则eq \x\t(w)＝eq \f(M,M＋N)eq \x\t(x)＋eq \f(N,M＋N)eq \x\t(y)＝eq \f(m,m＋n)·eq \x\t(x)＋eq \f(n,m＋n)eq \x\t(y).我们可以用样本平均数eq \x\t(w)估计总体平均数eq \x\t(W).
4. 统计图表
常见的统计图表有条形图、扇形图、折线图、频数分布直方图、频率分布直方图等(见微专题)．
5. 百分位数
一般地，一组数据的第k百分位数是这样一个值pk，它使得这组数据中至少有 k% 的数据小于或等于pk，且至少有 (100－k)% 的数据大于或等于pk.如果将样本数据从小到大排列成一行，那么第k百分位数pk所处位置如图所示．
6. 平均数、中位数和众数
(1) 平均数：eq \x\t(x)＝eq \f(1,n)(x1＋x2＋…＋xn)．
(2) 中位数：将一组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，处在最 中间 的一个数据(当数据个数是奇数时)或最中间两个数据的 平均数 (当数据个数是偶数时)．
(3) 众数：一组数据中出现次数 最多 的数据(即频数最大值所对应的样本数据)．
7. 标准差与方差
设一组数据x1，x2，x3，…，xn的平均数为eq \x\t(x)，则这组数据的标准差和方差分别是
s＝eq \r(,\f(1,n)[x1－\x\t(x)2＋x2－\x\t(x)2＋…＋xn－\x\t(x)2])，
s2＝eq \f(1,n)[(x1－eq \x\t(x))2＋(x2－eq \x\t(x))2＋…＋(xn－eq \x\t(x))2]．
8. 分层抽样数据的方差
一般地，如果总体分为k层，第j层抽取的样本为xj1，xj2，…，xjn，第j层的样本量为nj，样本平均数为eq \x\t(x)j，样本方差为seq \\al(2,j)，j＝1,2，…，k.记eq \(∑,\s\up12(k),\s\d4(j＝1))nj＝n，eq \x\t(x)为总体平均数，那么所有数据的样本方差为seq \\al(2,总)＝eq \f(1,n)eq \(∑,\s\up12(k),\s\d4(j＝1))njeq \(∑,\s\up12(nj),\s\d4(t＝1)) (xjt－eq \x\t(x))2＝eq \f(1,n)eq \(∑,\s\up12(k),\s\d4(j＝1))nj[seq \\al(2,j)＋(eq \x\t(x)j－eq \x\t(x))2]．
9. 常用结论
平均数、方差的公式推广
(1) 若数据x1，x2，…，xn的平均数为eq \x\t(x)，则mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均数是meq \x\t(x)＋a.
(2) 若数据x1，x2，…，xn的方差为s2，则
①数据x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差也为s2；
②数据ax1，ax2，…，axn的方差为a2s2.
第46讲 数据分析——一元线性回归模型及其应用
1. 变量的相关关系
(1) 相关关系
两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系．
(2) 相关关系的分类：正相关和负相关．
(3) 线性相关
一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在 一条直线 附近，我们就称这两个变量线性相关．
一般地，如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，那么我们就称这两个变量非线性相关或曲线相关．
2. 样本相关系数
(1) 相关系数r的计算
变量x和变量y的样本相关系数r的计算公式如下：
r＝eq \f(\(∑,\s\up12(n),\s\d4(i＝1)) xi－\x\t(x)yi－\x\t(y),\r(,\(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1)) xi－\x\t(x)2\(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1)) yi－\x\t(y)2))
＝eq \f(\(∑,\s\up12(n),\s\d4(i＝1))xiyi－n\x\t(x)\x\t(y),\r(,\(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1))x\\al(2,i)－n\x\t(x)2)·\r(,\(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1))y\\al(2,i)－n\x\t(y)2))
(2) 相关系数r的性质
①当 r>0 时，称成对样本数据 正 相关；当 r< 0时，称成对样本数据 负 相关；当r＝0时，称成对样本数据间没有线性相关关系．
②样本相关系数r的取值范围为 [－1,1] .
当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越 强 ；
当|r|越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越 弱 .
3. 一元线性回归模型
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Y＝bx＋a＋e，,Ee＝0，De＝σ2))称为Y关于x的一元线性回归模型，其中，Y称为因变量或响应变量，x称为自变量或解释变量，a和b为模型的未知参数，e是 Y与bx＋a之间 的随机误差．
我们将eq \(y,\s\up6(∧))＝eq \(b,\s\up6(∧))x＋eq \(a,\s\up6(∧))称为Y关于x的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线．这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的eq \(b,\s\up6(∧))，eq \(a,\s\up6(∧))叫做b，a的最小二乘估计，其中
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\(b,\s\up12(∧)) ＝\f(\(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1)) xi－\x\t(x)yi－\x\t(y),\(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1)) xi－\x\t(x)2), ＝ \f(\(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1))xiyi－n\x\t(x) \x\t(y),\(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1))x\\al(2,i)－n\x\t(x)2) ，,\(a,\s\up6(∧))＝\x\t(y)－\(b,\s\up6(∧))\x\t(x).))
第47讲 数据分析——列联表与独立性检验
1. 2×2列联表
一般地，假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其2×2列联表为
2. 临界值
χ2＝eq \f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d). 忽略χ2的实际分布与该近似分布的误差后，对于任何小概率值α，可以找到相应的正实数xα，使得P(χ2≥xα)＝α成立．我们称xα为α的临界值，这个临界值就可作为判断χ2大小的标准．
3. 独立性检验
基于小概率值α的检验规则是：
当χ2≥xα时，就推断H0不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过α；
当χ2＜xα时，没有充分证据推断H0不成立，可以认为X和Y独立．
这种利用χ2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简称独立性检验．
下表给出了χ2独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值：
第十章 计数原理、概率及其分布
第48讲 排列与组合
1. 两个计数原理的区别与联系
2. 排列与组合的概念
3. 排列数与组合数
(1) 排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有 不同排列 的个数，用符号 Aeq \\al(m,n) 表示．
(2) 组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有 不同组合 的个数，用符号 Ceq \\al(m,n) 表示．
4. 排列数、组合数的公式及性质
第49讲 二项式定理及其应用
1. 二项式定理
2. 二项式系数的性质
(1) Ceq \\al(0,n)＝1，Ceq \\al(n,n)＝1，Ceq \\al(m,n＋1)＝ Ceq \\al(m－1,n)＋Ceq \\al(m,n) ，
Ceq \\al(m,n)＝ Ceq \\al(n－m,n) (0≤m≤n)．
(2) 二项式系数先增后减中间项最大．
当n为偶数时，第eq \f(n,2)＋1项的二项式系数最大，最大值为Ceq \\al( eq \s\up10(\f(n,2)),n)，当n为奇数时，第eq \f(n＋1,2)项和第eq \f(n＋3,2)项的二项式系数最大，最大值为Ceq \\al( eq \s\up10(\f(n－1,2)),n)和Ceq \\al( eq \s\up10(\f(n＋1,2)),n).
(3) 各二项式系数和：Ceq \\al(0,n)＋Ceq \\al(1,n)＋Ceq \\al(2,n)＋…＋Ceq \\al(n,n)＝ 2n ，Ceq \\al(0,n)＋Ceq \\al(2,n)＋Ceq \\al(4,n)＋…＝Ceq \\al(1,n)＋Ceq \\al(3,n)＋Ceq \\al(5,n)＋…＝ 2n－1 .
第50讲 随机事件与概率
1. 样本空间和随机事件
(1) 样本点和有限样本空间
①样本点：随机试验E的每个可能的 基本结果 称为样本点，常用ω表示．
全体样本点的集合称为试验E的样本空间，常用Ω表示．
②有限样本空间：如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间．
(2) 随机事件
①定义：将样本空间Ω的 子集 称为随机事件，简称事件．
②表示：大写字母A，B，C，….
③随机事件的极端情形：必然事件、不可能事件．
2. 两个事件的关系和运算
3. 古典概型
(1) 有限性：样本空间的样本点只有 有限个 ；
(2) 等可能性：每个样本点发生的可能性 相等 .
4. 古典概型的概率公式
一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率为P(A)＝eq \f(k,n)＝eq \f(nA,nΩ)，其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数．
5. 概率的性质
性质1：对任意的事件A，都有P(A)≥0；
性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0；
性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝ P(A)＋P(B) ；
性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝ 1－P(B) ；
性质5：如果A⊆B，那么P(A)≤P(B)，由该性质可得，对于任意事件A，因为∅⊆A⊆Ω，所以0≤P(A)≤1.
性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，有P(A∪B)＝ P(A)＋P(B)－P(A∩B) .
第51讲 事件的相互独立性、条件概率与全概率公式
1. 相互独立事件
(1) 概念：对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝ P(A)P(B) 成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立．
(2) 性质：若事件A与B相互独立，那么A与eq \x\t(B)，eq \x\t(A)与 B ，eq \x\t(A)与eq \x\t(B)也都相互独立．
2. 条件概率
(1) 概念：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(B|A)＝eq \f(PAB,PA)为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率．
(2) 两个公式
①利用古典概型：P(B|A)＝eq \f(nAB,nA)；
②概率的乘法公式：P(AB)＝ P(A)·P(B|A) .
3. 全概率公式
一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有 P(B)＝eq \(∑,\s\up12(n),\s\d4(i＝1))P(Ai)P(B|Ai) ，我们称上面的公式为全概率公式．
4. *贝叶斯公式：
一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0, i＝1,2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，P(B)>0有P(Ai|B)＝eq \f(PAiPB|Ai,PB)＝eq \f(PAiPB|Ai,\(∑,\s\up12(n),\s\d4(k＝1))PAkPB|Ak)，i＝1,2，…，n.
第52讲 随机变量及其概率分布、期望与方差
1. 离散型随机变量
一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有 唯一 的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量．可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量．
2. 离散型随机变量的分布列
一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n为X的概率分布列，简称分布列．
3. 离散型随机变量的分布列的性质
(1) pi ≥ 0(i＝1,2，…，n)；
(2) p1＋p2＋…＋pn＝ 1 .
4. 离散型随机变量的均值与方差
一般地，若离散型随机变量X的分布列为
(1) 均值：
E(X)＝ x1p1＋x2p2＋…＋xnpn ＝eq \(∑,\s\up12(n),\s\d4(i＝1))xipi为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望．它反映了离散型随机变量取值的 平均水平 .
(2) 方差：
D(X)＝[x1－E(X)]2p1＋[x2－E(X)]2p2＋…＋[xn－E(X)]2pn＝ eq \(∑,\s\up12(n),\s\d4(i＝1))[xi－E(X)]2pi 为随机变量X的方差，并称eq \r(,DX)为随机变量X的 标准差 ，记为σ(X)，它们都可以度量随机变量取值与其均值的 偏离程度 .
5. 均值与方差的性质
(1) E(aX＋b)＝ aE(X)＋b .
(2) D(aX＋b)＝ a2D(X) (a，b为常数)．
(3) D(X)＝E(X2)－[E(X)]2.
第53讲 二项分布与超几何分布
一、 二项分布
1. 伯努利试验
只包含 两个 可能结果的试验叫做伯努利试验．将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为 n重伯努利试验 .
2. 二项分布
一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(03. 两点分布与二项分布的均值、方差
(1) 若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝__p__，D(X)＝__p(1－p)__.
(2) 若X～B(n，p)，则E(X)＝ np ，D(X)＝ np(1－p) .
二、 超几何分布
一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品，从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，那么X的分布列为P(X＝k)＝ eq \f(C\\al(k,M)C\\al(n－k,N－M),C\\al(n,N)) ，k＝m，m＋1，m＋2，…，r，其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布．
三、 常用结论
超几何分布的均值与方差(*)
(1) 均值：根据均值的计算公式，当X～H(n，M，N)时，E(X)＝eq \(∑,\s\up12(r),\s\d4(k＝M))kPk＝ eq \f(nM,N) ，其中r＝min{n，M}．
(2) 方差：D(X)＝eq \f(nMN－MN－n,N2N－1).
第54讲 正态分布
1. 定义
若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)＝eq \f(1,σ\r(,2π))·e eq \s\up10(－\f(x－μ2,2σ2))，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，则称随机变量X服从正态分布，记为 X～N(μ，σ2) .
2. 正态曲线的特点
(1) 曲线是单峰的，它关于直线 x＝μ 对称；
(2) 曲线在 x＝μ 处达到峰值eq \f(1,σ\r(,2π))；
(3) 当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴．
3. 3σ原则：假设X～N(μ，σ2)，则
(1) P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7；
(2) P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5；
(3) P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3.
4. 正态分布的均值与方差
若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝ μ ，D(X)＝ σ2 .
5. 常用结论
若X服从正态分布，即X～N(μ，σ2)，要充分利用正态曲线关于直线x＝μ对称和曲线与x轴之间的面积为1解题.
1. 在n次伯努利试验中强调试验的独立和重复其实质就是为了保证事件A发生与不发生的概率在每一次试验中是一样恒定不变的，只有概率不变才可以考虑二项分布．而放回抽样可以保证每一次抽取事件A发生与不发生的概率不变，所以是典型的二项分布问题，不放回抽样第一次抽与下一次抽，事件A发生与不发生的概率都在变化，不符合二项分布条件，所以使用超几何分布来处理．
2. 比如在不放回n次摸球试验中，摸到某种颜色球的次数服从超几何分布，但是当袋子中的球的数目很大时，X的分布近似于二项分布，并且随着球的数目N的增加，这种近似的精度也在增加，所以用二项分布近似来处理超几何分布，可以减少计算量，这种近似处理的思想方法经常用到，如用频率来代替概率．
3. 二项分布与超几何分布的关系：
在n次试验中，某事件A发生的次数X可能服从超几何分布或二项分布.
增加的内容
数学建模活动与数学探究活动、复数的三角形式、空间向量与立体几何、空间中点到直线的距离公式、有限样本空间、总体百分位数、全概率公式、贝叶斯公式、二项分布与超几何分布期望公式的推导.
删减的内容
删除了“算法初步”、“框图”相关内容、“推理与证明”相关内容、“简单线性规划问题”、“三视图”相关内容、命题及其关系、简单的逻辑连接词、映射、三角函数线、系统抽样、函数中的生活中的优化问题和定积分、统计案例、极坐标与参数方程、不等式选讲
调整的内容
“常用逻辑用语”、“复数”由原来的选修内容调整到必修内容、“数列”、“变量的相关性”、“直线与方程”、”圆与方程“由原来的必修内容调整为选择性必修内容；“解三角形”单独一章合并到“平面向量”这一章；数学归纳法调整在数列中（选学）、超几何分布、抛物线由“理解”变为“了解”、相关系数提高了要求，增加了样本相关系数与标准化数据向量夹角的内容
弱化的内容:
常用逻辑用语(只保留了充分条件和必要条件、全称量词与存在量词，去掉了四种命题、逻辑连接词.)
变化的内容:
相互独立事件的定义、独立性检验的结论.
数集
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N*或N＋
Z
Q
R
关系
定义
记法
相等
集合A与B的所有元素都相同
A＝B
子集
A中任意一个元素均为B中的元素
A⊆B或B⊇A
真子集
A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素不是A中的元素
AB
集合的并集
A∪B
集合的交集
A∩B
集合的补集
∁UA
图形表示
意义
{x|x∈A或x∈B}
{x|x∈A且x∈B}
{x|x∈U且x∉A}
词语
是
一定是
都是
大于
小于
词语的
否定
不是
不一
定是
不都是
小于或
等于
大于或
等于
词语
且
必有
一个
至少有
n个
至多有
一个
所有x
成立
词语的
否定
或
一个也
没有
至多有
n－1个
至少有
两个
存在一个x不成立
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数
y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根
有两个相异实数根x1，x2
(x1有两个相等实数根x1＝x2＝－eq \f(b,2a)
无实
数根
ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集
{x|xx2}
{xeq \b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(x≠－\f(b,2a)))
R
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集
{x|x1 ∅
∅
增函数
减函数
定义
在函数y＝f(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意的两个数x1，x2∈A：
当x1当x1图象
描述
自左向右看，图象是 上升的
自左向右看，图象是 下降的
前提
函数y＝f(x)的定义域为D
条件
(1) 对于任意x∈D，都有 f(x)≤M ；
(2) 存在x0∈D，使得f(x0)＝M
(3) 对于任意x∈D，都有 f(x)≥M ；
(4) 存在x0∈D，使得 f(x0)＝M
结论
M为最大值
M为最小值
几何
意义
函数y＝f(x)图象上最高点的纵坐标
函数y＝f(x)图象上最低点的纵坐标
函数
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝xeq \f(1,2)
y＝x－1
图象
性质
定义域
R
R
R
{x|x≥0}
{x|x≠0}
值域
R
{y|y≥0}
R
{y|y≥0}
{y|y≠0}
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
非奇非偶函数
奇函数
单调性
在R上单调递增
在(－∞，0]上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增
在R上
单调递增
在[0，＋∞)上单调递增
在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减
公共点
(1,1)
a>1
0图象
定义域
R
值域
(0，＋∞)
性质
过定点 (0,1) ，即当x＝0时，y＝1
当x>0时， y>1 ；
当x<0时， 0当x<0时， y>1 ；
当x>0时，0在(－∞，＋∞)上是 增函数
在(－∞，＋∞)上是 减函数
a>1
0图象
性质
定义域： (0，＋∞)
值域： R
当x＝1时，y＝0，图象过定点 (1,0)
当x>1时，y>0；
当0当x>1时，y<0；
当00
在(0，＋∞)上是 增函数
在(0，＋∞)上是 减函数
基本初等函数
导函数
f(x)＝c(c为常数)
f′(x)＝ 0
f(x)＝xα(α是实数)
f′(x)＝ αxα－1
f(x)＝sinx
f′(x)＝ csx
f(x)＝csx
f′(x)＝ －sinx
f(x)＝ex
f′(x)＝ ex
f(x)＝ax(a＞0)
f′(x)＝ axlna
f(x)＝lnx
f′(x)＝ eq \f(1,x)
f(x)＝lgax(a＞0，a≠1)
f′(x)＝ eq \f(1,xlna)
序号
条件
构造函数
1
f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)≥0
F(x)＝f(x)g(x)
2
f′(x)＋f(x)<0
F(x)＝exf(x)
3
f′(x)＋nf(x)<0
F(x)＝enxf(x)
4
xf′(x)＋f(x)>0
F(x)＝xf(x)
5
xf′(x)＋2f(x)≤0
F(x)＝x2f(x)
6
xf′(x)＋nf(x)>0
F(x)＝xnf(x)
7
f′(x)sinx＋f(x)csx>0
F(x)＝f(x)sinx
8
f′(x)csx－f(x)sinx>0
F(x)＝f(x)csx
角α的弧度数公式
|α|＝eq \f(l,r)(l表示弧长)
角度与弧度的换算
①1°＝eq \f(π,180) rad；
②1 rad＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(180,π)))°
弧长公式
l＝ |α|r
扇形面积公式
S＝eq \f(1,2)lr＝eq \f(1,2)|α|r2
象限
符号
函数
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ
sinα
＋
＋
－
－
csα
＋
－
－
＋
tanα
＋
－
＋
－
公式一
sin(α＋k·2π)＝sinα
cs(α＋k·2π)＝csα
tan(α＋k·π)＝tanα
公式二
sin(π＋α)＝－sinα
cs(π＋α)＝－csα
tan(π＋α)＝tanα
公式三
sin(－α)＝－sinα
cs(－α)＝csα
tan(－α)＝－tanα
公式四
sin(π－α)＝sinα
cs(π－α)＝－csα
tan(π－α)＝－tanα
公式五
sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))＝csα
cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))＝sinα
公式六
sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝csα
cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝－sinα
互余的角
eq \f(π,3)－α与eq \f(π,6)＋α；eq \f(π,3)＋α与eq \f(π,6)－α；eq \f(π,4)＋α与eq \f(π,4)－α等
互补的角
eq \f(π,3)＋θ与eq \f(2π,3)－θ；eq \f(π,4)＋θ与eq \f(3π,4)－θ等
函数
y＝sinx
y＝csx
y＝tanx
图象
定义域
R
R
{xeq \b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x∈R))且
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(x≠kπ＋\f(π,2)))
值域
[－1,1]
[－1,1]
R
周期性
2π
2π
π
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
增区间
eq \b\lc\[\rc\ (\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(π,2)，))
eq \b\lc\ \rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,2)))
[2kπ－π，2kπ]
eq \b\lc\(\rc\ (\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,2)，))
eq \b\lc\ \rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,2)))
减区间
eq \b\lc\[\rc\ (\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,2)))，eq \b\lc\ \rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(3π,2)))
[2kπ，2kπ＋π]
无
对称中心
(kπ，0)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,2)，0))
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)，0))
对称轴方程
x＝kπ＋eq \f(π,2)
x＝kπ
无
y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x∈R
振幅
周期
频率
相位
初相
A
T＝eq \f(2π,ω)
f＝eq \f(1,T)＝eq \f(ω,2π)
ωx＋φ
φ
定理
正弦定理
余弦定理
内容
eq \f(a,sinA)＝eq \f(b,sinB)＝eq \f(c,sinC) ＝2R
a2＝b2＋c2－2bccsA；b2＝a2＋c2－2accsB；
c2＝a2＋b2－2abcsC
变形
形式
①a＝ 2RsinA ，b＝ 2RsinB ，
c＝ 2RsinC ；
②sinA＝ eq \f(a,2R) ，sinB＝ eq \f(b,2R) ，
sinC＝ eq \f(c,2R) (其中R是△ABC外接圆的半径)；
③a∶b∶c＝ sinA∶sinB∶sinC ；
④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA
csA＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)；csB＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)；
csC＝ eq \f(a2＋b2－c2,2ab)
解斜三
角形的
问题
①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；
②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角
①已知三边，求各角；
②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角
A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系式
a＝bsinA
bsinAa≥b
a>b
a≤b
解的个数
一解
两解
一解
一解
无解
名称
定义
备注
向量
既有大小，又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)
平面向量是自由向量
零向量
长度为0的向量，其方向是任意的
记作0
单位
向量
长度等于1个单位长度的向量
与非零向量a共线的单位向量为±eq \f(a,|a|)
共线
向量
方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，也叫做共线向量
0向量与任一向量平行或共线
相等
向量
长度相等且方向相同的向量
两个向量只有相等或不相等，不能比较大小
相反
向量
长度相等且方向相反的向量
0的相反向量为0
向量运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运算
三角形法则
平行四边形法则
(1) 交换律：
a＋b＝b＋a；
(2) 结合律：
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法
求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差
三角形法则
a－b＝a＋(－b)
数乘
求实数λ与向量a的积的运算
(1)|λa|＝|λ||a|；
(2) 当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0
λ(μ a)＝(λμ)a；
(λ＋μ)a＝λa＋μa；
λ(a＋b)＝λa＋λb
方法
转化过程
适合题型
累加法
(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝an－a1
an＋1－an＝f(n)，f(n)可求和
累乘法
eq \f(a2,a1)×eq \f(a3,a2)×…×eq \f(an－1,an－2)×eq \f(an,an－1)＝eq \f(an,a1)
eq \f(an＋1,an)＝f(n)，f(n)可求积
构造法
由an＋1＝pan＋q化为an＋1＋m＝p(an＋m)，构造{an＋m}为等比数列，其中m＝eq \f(q,p－1)
an＋1＝pan＋q
取倒数法
an＝eq \f(man－1,kan－1＋b)取倒数得eq \f(1,an)＝eq \f(kb,m)·eq \f(1,an－1)＋eq \f(k,m)，令bn＝eq \f(1,an)
an＝eq \f(man－1,kan－1＋b)
取对数
对an＝paeq \\al(r,n－1)取对数得lg an＝rlg an－1＋lg p，令bn＝lg an
an＝paeq \\al(r,n－1)(n≥2，p>0)
几何体
旋转图形
旋转轴
圆柱
矩形
任一边 所在的直线
圆锥
直角三角形
任一直角边 所在的直线
圆台
直角梯形
垂直于底边的腰 所在的直线
球
半圆
直径 所在的直线
圆柱
圆锥
圆台
侧面展开图
侧面积公式
S圆柱侧＝ 2πrl
S圆锥侧＝ πrl
S圆台侧＝π(r1＋r2)l
名称
几何体
表面积
体积
柱体(棱柱和圆柱)
S表面积＝S侧＋2S底
V＝ Sh
锥体(棱锥和圆锥)
S表面积＝S侧＋S底
V＝ eq \f(1,3)Sh
台体(棱台和圆台)
S表面积＝S侧＋S上＋S下
V＝eq \f(1,3)(S上＋S下＋eq \r(S上·S下))h
球
S＝ 4πR2
V＝ eq \f(4,3)πR3
直线与直线
直线与平面
平面与平面
平行
关系
图形语言
符号语言
a∥b
a∥α
α∥β
图形语言
符号语言
a∩b＝A
a∩α＝A
α∩β＝l
独有
关系
图形语言
符号语言
a，b是
异面直线
a⊂α
文字语言
图形语言
符号语言
线线平行⇒线面平行
如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(l∥a，,a⊂α，,l⊄α))⇒l∥α
面面平行⇒线面平行
如果两个平面平行，那么在一个平面内的所有直线都平行于另一个平面
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(α∥β，,a⊂α))⇒a∥β
文字语言
图形语言
符号语言
线面平行⇒线线平行
一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(l∥α，,l⊂β，,α∩β＝b))⇒l∥b
文字语言
图形语言
符号语言
线面平行⇒面面平行
如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a∥β，,b∥β，,a∩b＝P，,a⊂α，,b⊂α))⇒α∥β
文字语言
图形语言
符号语言
面面平行⇒线线平行
两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(α∥β，,α∩γ＝a，,β∩γ＝b))⇒a∥b
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a，b⊂α，,a∩b＝O，,l⊥a，,l⊥b)) ⇒l⊥α
性质定理
垂直于同一个平面的两条直线平行
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a⊥α，,b⊥α))⇒a∥b
文字语言
图形语言
符号语言
判定
定理
如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(l⊂β，,l⊥α))⇒α⊥β
性质
定理
两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(α⊥β，,l⊂β，,α∩β＝a，,l⊥a))⇒l⊥α
向量表示
坐标表示
数量积
a·b
a1b1＋a2b2＋a3b3
共线
a＝λb(b≠0，λ∈R)
a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3
垂直
a·b＝0(a≠0，b≠0)
a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
模
|a|
eq \r(a\\al(2,1)＋a\\al(2,2)＋a\\al(2,3))
夹角
〈a，b〉(a≠0，b≠0)
cs〈a，b〉＝eq \f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\\al(2,1)＋a\\al(2,2)＋a\\al(2,3))·\r(b\\al(2,1)＋b\\al(2,2)＋b\\al(2,3)))
直线的方向向量
直线的方向向量是指和这条直线平行(或重合)的非零向量，一条直线的方向向量有 无数 个
平面的法向量
直线l⊥平面α，取直线l的方向向量，则这个向量叫做平面α的法向量．显然一个平面的法向量有无数个，它们是共线向量
位置关系
向量表示
直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2
l1∥l2
n1∥n2⇔n1＝λn2
l1⊥l2
n1⊥n2⇔n1·n2＝0
直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m
l∥α
n⊥m⇔m·n＝0
l⊥α
n∥m⇔n＝λm
平面α，β的法向量分别为n，m
α∥β
n∥m⇔n＝λm
α⊥β
n⊥m⇔n·m＝0
l1与l2所成的角θ
a与b的夹角β
范围
eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))
[0，π]
求法
cs θ＝eq \f(|a·b|,|a||b|)
cs β＝eq \f(a·b,|a||b|)
名称
方程
适用范围
点斜式
y－y0＝k(x－x0)
不含直线x＝x0
斜截式
y＝kx＋b
不含垂直于x轴的直线
两点式
eq \f(y－y1,y2－y1)＝eq \f(x－x1,x2－x1)(x1≠x2，y1≠y2)
不含直线x＝x1 和直线y＝y1
截距式
eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1
不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式
Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)
平面直角坐标系内的直线都适用
定义
平面内到 定点 的距离等于 定长 的点的轨迹叫做圆
标准方程
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)
圆心： (a，b)
半径： r
一般方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
条件： D2＋E2－4F>0
圆心： eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))
半径：r＝ eq \f(1,2)eq \r(D2＋E2－4F)
方法
位置关系
几何法
代数法
相交
d < r
Δ__>__0
相切
d__＝__r
Δ__＝__0
相离
d__>__r
Δ__<__0
方法
位置关系
几何法：圆心距d与r1，r2的关系
代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况
外离
d>r1＋r2
无 解
外切
d＝r1＋r2
一组 实数解
相交
|r1－r2| 两组不同的 实数解
内切
d＝ |r1－r2| (r1≠r2)
一组实数解
内含
0 ≤ d < |r1－r2|(r1≠r2)
无解
标准方程
eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)
eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)
图形
性质
范围
－a≤x≤a，
－b≤y≤b
－b≤x≤b，
－a≤y≤a
对称性
对称轴：坐标轴 对称中心：原点
顶点坐标
A1(－a,0)，A2(a,0)
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)
B1(－b,0)，B2(b,0)
轴
长轴A1A2的长为 2a ；
短轴B1B2的长为 2b
焦距
|F1F2|＝ 2c
离心率
e＝eq \f(c,a)∈(0,1)
a，b，c的关系
a2＝b2＋c2
标准方程
eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)
eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)
图形
性质
范围
x≥a或x≤－a，y∈R
x∈R，y≤－a或y≥a
对称性
对称轴： 坐标轴 ；对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±eq \f(b,a)x
y＝±eq \f(a,b)x
离心率
e＝eq \f(c,a)，e∈ (1，＋∞) ，
其中c＝eq \r(a2＋b2)
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝__2a__，线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝ 2b ；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
a，b，c
的关系
c2＝ a2＋b2 (c>a>0，c>b>0)
标准方程
y2＝2px(p>0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形
顶点坐标
O(0,0)
对称轴
x轴
y轴
焦点坐标
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，0))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(p,2)))
离心率
e＝1
准线方程
x＝－eq \f(p,2)
x＝eq \f(p,2)
y＝－eq \f(p,2)
y＝eq \f(p,2)
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，
x∈R
开口方向
向右
向左
向上
向下
名称
定义
总体均值
(总体平均数)
一般地，总体中有N个个体，它们的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，则称eq \x\t(Y)＝eq \f(Y1＋Y2＋…＋YN,N)＝eq \f(1,N)eq \(∑,\s\up12(N),\s\d4(i＝1))Yi为 总体均值 ，又称总体平均数
如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi(i＝1,2，…，k)，则总体均值还可以写成加权平均数的形式eq \x\t(Y)＝eq \f(1,N)eq \(∑,\s\up12(k),\s\d4(i＝1))fiYi
样本均值
(样本平均数)
如果从总体中抽取一个容量为n的样本，它们的变量值分别为y1，y2，…，yn，则称eq \x\t(y)＝eq \f(y1＋y2＋…＋yn,n)＝eq \f(1,n)eq \(∑,\s\up12(n),\s\d4(i＝1))yi为 样本均值 ，又称样本平均数
说明：(1) 在简单随机抽样中，我们常用样本平均数eq \x\t(y)去估计总体平均数eq \x\t(Y)；
(2) 总体平均数是一个确定的数，样本平均数具有随机性(因为样本具有随机性)；
(3) 一般情况下，样本量越大，估计越准确
X
Y
合计
Y＝y1
Y＝y2
X＝x1
a
b
a＋b
X＝x2
c
d
c＋d
合计
a＋c
b＋d
n＝a＋b＋c＋d
α
0.10
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
分类加法计数原理
分步乘法计数原理
相同点
用来计算完成一件事的方法种数
不同点
分类、相加
分步、相乘
每类方案中的每一种方法都能独立完成这件事
每步依次完成才算完成这件事情(每步中的每一种方法不能独立完成这件事)
注意点
类类独立，不重不漏
步步相依，缺一不可
名称
定义
排列
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素
按照 一定的顺序 排成一列
组合
作为一组
公式
(1) Aeq \\al(m,n)＝ n(n－1)(n－2)…(n－m＋1) ＝eq \f(n！,n－m！)(n，m∈N*，且m≤n)．
(2) Ceq \\al(m,n)＝eq \f(A\\al(m,n),A\\al(m,m))＝eq \f(nn－1n－2…n－m＋1,m！)
＝eq \f(n！,m！n－m！)(n，m∈N*，且m≤n)．特别地Ceq \\al(0,n)＝1
性质
(1) 0！＝ 1 ；Aeq \\al(n,n)＝ n！ .
(2) Ceq \\al(m,n)＝Ceq \\al(n－m,n)；Ceq \\al(m,n＋1)＝ Ceq \\al(m,n)＋Ceq \\al(m－1,n)
二项式定理
(a＋b)n＝ Ceq \\al(0,n)an＋Ceq \\al(1,n)an－1b1＋…＋Ceq \\al(k,n)an－k·bk＋…＋Ceq \\al(n,n)bn (n∈N*)
二项展开式的通项公式
Tk＋1＝ Ceq \\al(k,n)an－kbk ，它表示第 k＋1 项
二项式系数
展开式中各项的二项式系数为Ceq \\al(k,n)(k∈{0,1,2，…，n})
含义
符号表示
包含关系
A发生导致B发生
A⊆B
相等关系
B⊇A且A⊇B
A＝B
并事件(和事件)
A与B至少一个发生
A∪B或A＋B
交事件(积事件)
A与B同时发生
A∩B或AB
互斥(互不相容)
A与B不能同时发生
A∩B＝∅
互为对立
A与B有且仅有一个发生
A∩B＝∅ ，
A∪B＝Ω
X
x1
x2
…
xn
P
p1
p2
…
pn
区别
(1) 当这n次试验是独立重复试验时(如有放回摸球)，X服从二项分布；
(2) 当这n次试验不是独立重复试验时(如不放回摸球)，X服从超几何分布
联系
在不放回n次试验中，如果总体数量N很大，而试验次数n很小，此时超几何分布可近似转化成二项分布