天津市重点校2023-2024学年高一下学期4月期中联考数学试题（原卷版+解析版）

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第I卷(共36分)
一、选择题（本题共9小题，每题4分，共36分)
1. 为虚数单位，则复数（ ）
A. B. C. D.
2. 一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出此平面图形的直观图恰好是一个边长为4的正方形，则原平面图形的面积为（ ）
A. 32B. 16C. D.
3. 在中，是角分别所对的边，，则一定是（ ）
A. 底边和腰不相等的等腰三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 等边三角形
4. 已知向量满足，则（ ）
A. 3B.
C 7D.
5. 在中，角所对的边长分别为，若，，，则这样的三角形解的个数为
A. 1B. 2C. 0D. 不确定
6. 在中，，是的中线，若，，则（ ）
A. B.
C. D.
7. 冰嘎别名冰尜，是东北民间少年儿童游艺品，俗称“陀螺”.通常以木镟之，大小不一，一般径寸余，上端为圆柱形，下端为锥形.如图所示的是一个陀螺立体结构图.已知分别是上、下底面圆的圆心，，底面圆的半径为，则该陀螺的表面积为（ ）
A. B. C. D.
8. 一个人骑自行车由A地出发向正东方向骑行了到达地，然后由地向南偏东方向骑行了到达地，再从地向北偏东方向骑行了到达地，则两地的距离为（ ）
A. B. C. D.
9. 在体积为15的斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，S是C1C上的一点，S﹣ABC的体积为3，则三棱锥S﹣A1B1C1的体积为（ ）
A. 1B.
C 2D. 3
第Ⅱ卷（共84分）
二、填空题(本题共5小题，每题5分，共25分)
10. 复数满足，其中为虚数单位，则复数的虚部为__________.
11. 已知一个正方体的外接球的体积为，则正方体的体积为__________.
12. 已知一个正三棱锥的侧棱长为3，其底面是边长为的等边三角形，则此正三棱锥的高为__________.
13. 如图，直三棱柱六个顶点都在半径为1的半球面上，，侧面是半球底面圆的内接正方形，则直三棱柱的体积为___________.
14. 如图，在中，与BE交于点，，则值为__________；过点的直线分别交于点设，则的最小值为__________.
三、解答题（本题共5小题，共59分)
15. 设复数，其中为虚数单位，.
（1）若是纯虚数，求实数的值;
（2）在复平面内表示复数的点位于第四象限，求实数的取值范围.
16. 在中，是角分别所对的边，.
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求的值.
17. 平面内给出三个向量，求解下列问题:
（1）求向量在向量方向上的投影向量的坐标;
（2）设向量与向量夹角为，求的值;
（3）若向量与向量的夹角为锐角，求实数的取值范围.
18. 如图，已知正方体的体积为8.
（1）求正方体的表面积;
（2）设上底面中心为，求三棱锥的体积;
（3）求三棱锥内切球(与所有面均相切的球)的半径.
19. 的内角的对边分别为已知.
（1）若的周长等于3，求；
（2）若为锐角三角形，且；
①求；
②求面积的取值范围.