湖南省长沙市第一中学、长沙市一中城南中学等多校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题

这是一份湖南省长沙市第一中学、长沙市一中城南中学等多校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题，文件包含高二数学答案pdf、高二数学docx、高二数学pdf等3份试卷配套教学资源，其中试卷共12页， 欢迎下载使用。
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册至选择性必修第三册第七章。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知复数，则在复平面内对应的点位于（ ）
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
2.某种袋装大米的质量（单位：）服从正态分布，且.若某商场购入500袋这种大米，则该种袋装大米的质量在的袋数约为（ ）
A.300B.350C.400D.450
3.已知，，则（ ）
A.0B.2C.D.4
4.已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（ ）
A.B.C.D.
5.某单位五一放假，安排甲、乙等五人值班五天，每人值班一天.若甲、乙都至少需要三天的连休假期，则不同的值班安排共有（ ）
A.60种B.66种C.72种D.78种
6.在人工智能神经网络理论中，根据不同的需要，可以设置不同的激活神经单元的函数，其中函数是比较常用的一种，其解析式为.关于函数，下列结论正确的是（ ）
A.是偶函数B.是单调递增函数
C.方程有唯一解D.恒成立
7.今天是星期天，则天后是（ ）
A.星期五B.星期六C.星期天D.星期一
8.已知正四棱锥外接球的半径为3，内切球的半径为1，则该正四棱锥的高为（ ）
A.B.C.D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.若集合含有个元素，则称为元集，的子集中含有个元素的子集叫做的元子集.已知集合，，则（ ）
A.是2元集
B.的2元子集有10个
C.是5元集
D.是的9元子集
10.已知随机变量服从二项分布，，下列判断正确的是（ ）
A.若，则B.
C.若，则D.的最大值为
11.边长为2个单位长度的正方形如图1所示.将正方形向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到正方形，正方形和的组合图形如图2所示.将正方形向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到正方形，正方形，和的组合图形如图3所示.依此类推，得到图，则（ ）
A.图3中矩形的个数为11
B.图4中矩形的个数为19
C.图10中矩形的个数为81
D.图1至图20中所有知形的个数之和为1732
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.
12.记的内角，，的对边分别为，，，且，，则________.
13.设一组样本数据，，…，的平均值是1，且，，…，的平均值是3，则数据，，…的方差是________.
14.做一个容积为的圆柱形封闭容器，要求所用材料最省，则该容器的底面半径为________，表面积为________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（13分）
如图，在四边形中，，，平面与半圆弧所在的平面垂直，是上异于，的点.
（1）证明：是直角三角形.
（2）若是上更靠近的三等分点，求平面与平面夹角的余弦值.
16.（15分）
已知数列的前项和为，，，且.
（1）证明：数列是等差数列.
（2）求的通项公式.
（3）若，数列的前项和为，证明：.
17.（15分）
已知为抛物线：的焦点，第一象限内的点在上，点的纵坐标等于横坐标的4倍，且.
（1）求的方程；
（2）若斜率存在的直线与交于异于的，两点，且直线的斜率与直线的斜率之积为16，证明：过定点.
18.（17分）
京剧被誉为中国文化的瑰宝.每个脸谱都有其独特的象征意义，是京剧中不可或缺的一个组成部分.某商店售卖的京剧脸谱娃娃共有三种款式，有直接购买和盲盒购买两种方式.若直接购买京剧脸谱娃娃，则每个京剧脸谱娃娃售价54元，可选定款式；若盲盒购买京剧脸谱娃娃，则每个盲盒售价27元，盲盒中的一款京剧脸谱娃娃是随机的.
（1）甲采用盲盒购买的方式，每次购买一个盲盒并打开，若买到的京剧脸谱娃娃中出现相同款式，则停止购买.用表示甲购买盲盒的个数，求的分布列.
（2）乙计划收集一套京剧脸谱娃娃（三种款式各一个），先购买盲盒，每次购买一个盲盒并打开（乙最多购买3个盲盒），若未集齐一套京剧脸谱娃娃，再直接购买没买到的款式，以购买费用的期望值为决策依据，问乙应购买多少个盲盒?
19.（17分）
已知函数（，），且曲线在点处的切线经过点.
（1）求；
（2）求的单调区间；
（3）若，，证明：.