2023北京高三一模数学分类汇编-专题04 三角函数与解三角形（解析版）

这是一份2023北京高三一模数学分类汇编-专题04 三角函数与解三角形（解析版），共25页。试卷主要包含了单选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．（2023·北京丰台·统考一模）在中，若，则该三角形的形状一定是（ ）
A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形
【答案】A
【分析】利用内角和定理及诱导公式得到，利用两角和与差的正弦函数公式化简，代入已知等式变形再利用两角和与差的正弦函数公式化简，得到，即，即可确定出三角形形状．
【详解】解：在中，，
，即，
，，
，即，则为等腰三角形．
故选：A．
2．（2023·北京·汇文中学校考模拟预测）如果函数的两个相邻零点间的距离为2，那么的值为（ ）．
A．1B．C．D．
【答案】A
【分析】利用辅助角公式化简函数，由已知求出，再结合函数式计算作答.
【详解】依题意，，函数的周期，而，则，，
，，
所以.
故选：A.
3．（2023·北京海淀·校考模拟预测）函数在区间上是增函数，且，，则函数在区间上（ ）
A．是增函数B．是减函数
C．可以取到最大值AD．可以取到最小值
【答案】D
【分析】由换元法和余弦函数的图象，得出的范围，根据范围结合正弦函数的图象，逐一检验选项，得出答案．
【详解】设，函数在区间上是增函数，且，，
则当时，，
而函数在上先减后增，排除选项A和B，
当时，函数取到最小值，排除选项C，
故选：D.
4．（2023·北京·北京市八一中学校考模拟预测） 若角的终边在第三象限，则下列三角函数值中小于零的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据三角函数定义和诱导公式化简三角函数式，从而判断选项的正负.
【详解】因为角的终边在第三象限，所以
对于A，
对于B，
对于C，；
对于D，
故选：D.
5．（2023·北京石景山·统考一模）若函数的部分图象如图所示，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据正弦型函数的对称性可得对称中心，即可求得最小正周期，从而可求的值，结合图象代入已知点坐标即可得的值.
【详解】由图可知，所以是的一个对称中心，
由图象可得最小正周期满足：，则，又，所以，
则由图象可得，，所以，，又，所以.
故选：A.
6．（2023·北京·北师大实验中学校考模拟预测）已知函数满足，则函数是（ ）
A．奇函数，关于点成中心对称B．偶函数，关于点成中心对称
C．奇函数，关于直线成轴对称D．偶函数，关于直线成轴对称
【答案】D
【分析】，求得，再根据余弦函数的性质即可判断.
【详解】
因为，即
所以，即，
则，
所以，
令
对于AC，因为，所以函数是偶函数.AC错误；
对于BD，，所以函数关于直线成轴对称，B错误D正确.
故选：D.
7．（2023·北京·校考模拟预测）在平面直角坐标系中，角以为始边，终边与单位圆交于点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据单位圆及三角函数的定义求出，再由二倍角余弦公式求解.
【详解】因为是角终边与单位圆的交点，
所以，
故.
故选：A.
8．（2023·北京·北京四中校考模拟预测）函数，在区间上是增函数，且，，则函数在上（ ）
A．单调递增B．单调递减C．最大值为D．最小值为
【答案】C
【分析】由正弦函数的性质确定的范围，进而由余弦函数的单调性得出结论.
【详解】函数在区间上是增函数，且，，，
则当时，.
而函数在上先增后减，
即函数在上先增后减，有最大值.
故选：C.
二、填空题
9．（2023·北京·汇文中学校考模拟预测）在中，角的对边分别为，若，，，则__________．
【答案】
【分析】由正弦定理得到，再由余弦定理求出的值.
【详解】由正弦定理得：，
再有余弦定理得：，
解得：.
故答案为：．
10．（2023·北京·校考模拟预测）记函数的最小正周期为T，若，为的零点，则的最小值为____________．
【答案】
【分析】首先表示出，根据求出，再根据为函数的零点，即可求出的取值，从而得解；
【详解】解： 因为，（，）
所以最小正周期，因为，
又，所以，即，
又为的零点，所以，解得，
因为，所以当时；
故答案为：.
11．（2023·北京海淀·清华附中校考模拟预测）已知函数，在上单调递增，那么常数的一个取值____．
【答案】（答案不唯一）
【分析】由条件利用正弦函数的单调性可得,由此求得正数ω的范围，任取此范围内常数即可.
【详解】在上单调递增,
则,
，取一个该范围内的值即可，如．
故答案为：.
12．（2023·北京海淀·校考模拟预测）__________．
【答案】
【分析】根据给定条件，利用诱导公式结合特殊角的三角函数值求解作答.
【详解】.
故答案为：.
三、双空题
13．（2023·北京西城·统考一模）设，其中．当时，____；当时，的一个取值为____．
【答案】；（答案不唯一）
【分析】将代入计算可得，利用两点间距离公式可知；由即可得，化简整理可得，即可写出一个合适的值.
【详解】根据题意可得当时，可得，
所以；
当时，即，
整理可得，即，
可得，所以的一个取值为.
故答案为：,.
14．（2023·北京朝阳·统考一模）在中，，，．
（1）若，则________；
（2）当________（写出一个可能的值）时，满足条件的有两个．
【答案】；（答案不唯一）
【分析】（1）求出，再由余弦定理求解即可；
（2）根据已知两边及一边的对角求三角形解得情况，建立不等式求出的范围即可得解.
【详解】（1），，
，，
由余弦定理，，即，
解得.
（2）因为,,
所以当时，方程有两解，
即，
取即可满足条件（答案不唯一）
故答案为：；6.
15．（2023·北京房山·统考一模）在中，，则__________；的值为__________.
【答案】；
【分析】化简得到，再根据正弦定理得到，得到，计算得到答案.
【详解】，，故，，；
，则，即，，
，则，，.
故答案为：；
四、解答题
16．（2023·北京·北师大实验中学校考模拟预测）在中，，，．
(1)求；
(2)求c．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）由正弦定理以及倍角公式得出；
（2）由平方关系、倍角公式得出，得出，最后由正弦定理得出c．
【详解】（1）因为，，，
所以在中，由正弦定理得．
所以，故．
（2）由（1）知，所以．
又因为，所以．
所以．
在中，．
所以．
17．（2023·北京·中央民族大学附属中学校考模拟预测）函数的部分图象如图所示.
（1）求的值；
（2）求在区间的最大值与最小值及对应的x的值.
【答案】（1）；（2），此时；，此时；
【分析】（1）首先利用二倍角公式以及两角和的正弦公式的逆应用将函数化为，根据三角函数的图像可得，利用周期公式即可求解.
（2）由（1）可得函数，利用正弦函数的性质即可求解.
【详解】（1）由，
则
，
由三角函数的图像可知，
所以，解得.
（2）由（1）可得，
因为，所以，
当即时，函数；
当即时，函数.
18．（2023·北京丰台·统考一模）已知函数的部分图象如图所示．
(1)求的解析式；
(2)若函数，求在区间上的最大值和最小值．
【答案】(1)；(2)最大值为和最小值为0
【分析】（1）由图象及三角函数的性质可以得到，进而得到的解析式；
（2）根据三角恒等变换化简，进而分析在区间上的最大值和最小值.
【详解】（1）由图象可知：，
将点代入得，
∴
（2）
由得
当时，即；
当时，即；
19．（2023·北京海淀·101中学校考模拟预测）在中，，.再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使其能够确定唯一的三角形，求：
(1)a的值；
(2)的面积.条件①：；条件②：；条件③：.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】(1)选②，；选③，；(2)选②，；选③，
【分析】（1）利用正弦定理，余弦定理即得；
（2）根据三角形面积公式结合条件即得.
【详解】（1）选条件①：，
在中，由余弦定理得，，
，即.
解得或，
满足条件的三角形有两个，不符合题意，舍去；
选条件②：即 ，
在中，由余弦定理得，，
，
解得；
选条件③：，
在中，由正弦定理得，，
所以；
（2）选条件②：由题可知，，
所以的面积；
选条件③：，则，，
所以的面积.
20．（2023·北京石景山·统考一模）如图，在中，，，点在边上，.
(1)求的长；
(2)若的面积为，求的长.
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）根据三角形中邻补角互补，，由平方关系得，再结合正弦定理即可求得的长；
（2）由得面积可得，再结合余弦定理即可求得的长.
【详解】（1）因为，所以
在中，因为
所以
在中，由正弦定理得，
所以；
（2）的面积为，得
因为，所以
又因为，所以
在中，由余弦定理得
所以.
21．（2023·北京·校考模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求角B的大小；
(2)若，求的面积．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）根据已知条件及同角三角函数的商数关系，结合三角形内角的特点及特殊值对应的特殊角即可求解；
（2）根据（1）的结论及三角形的内角和定理，再利用两角和的正弦公式及正弦定理，结合三角形面积公式即可求解.
【详解】（1）由，得，
因为所以，，所以，
因为，所以.
（2）由（1）知，，因为，所以，
因为，所以，
所以.
由正弦定理，得.
所以.
22．（2023·北京·汇文中学校考模拟预测）如图，在四边形中，，，，，.
（1）求；
（2）求的长.
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）计算出、，利用两角和的余弦公式可求得的值；
（2）在中，利用正弦定理可求出的长，然后在中利用余弦定理可求得的长.
【详解】（1）因为，，则、均为锐角，
所以，，，
，
，则，因此，；
（2）在中，由正弦定理可得，
可得，
在中，由余弦定理可得，
因此，.
23．（2023·北京·北京四中校考模拟预测）在中，内角，，所对的边分别是，，．已知．
(1)求角的大小；
(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积．
条件①：，；
条件②：，；
条件③：，．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)；(2)见解析
【分析】（1）由正弦定理的边化角公式得出角的大小；
（2）选①：由余弦定理以及判别式求解即可；选②：由余弦定理得出，进而求出面积；选③：由正弦定理得出，进而由余弦定理得出，即可得解..
【详解】（1）因为，所以，
又，所以.
因为，所以.
（2）选①：由余弦定理可得，.
即，此时，无解，不合题意.
选②：由余弦定理可得，整理得，
解得或（舍），即.
满足存在且唯一确定，则的面积为.
选③：，由正弦定理可得.
由余弦定理可得，，即.
解得，
当时，，不合题意；
所以，满足存在且唯一确定，
则的面积为
24．（2023·北京海淀·清华附中校考模拟预测）在△中，，.
(1)求证：△为等腰三角形；
(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使△存在且唯一，求的值.
条件①：；
条件②：△的面积为；
条件③：边上的高为.
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】见解析.
【分析】（1）把转化为边a、b之间的倍数关系，把转化为三边a、b、c之间的关系，综合可得证；
（2）条件①,与已知矛盾，三角形无解，不可选；
条件②，通过三角形面积公式解得a，可使△存在且唯一；
条件③，通过转化条件，可使△存在且唯一.
【详解】（1）在△中，由，可得
则由，可得
即，故有
故△为等腰三角形.
（2）选择条件①：时，由（1）知，则有，
此时，
与已知矛盾，三角形无解.不能选；
选择条件②：△的面积为时，
由得，
故有，解得，,.
三角形存在且唯一，可选.
选择条件③：边上的高为.
由得，
可得，则有,.
三角形存在且唯一，可选.
综上可知:选择条件②时，三角形存在且唯一，.
选择条件③时，三角形存在且唯一，.
25．（2023·北京西城·统考一模）如图，在中，，，平分交于点，．
(1)求的值；
(2)求的面积．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）在中，利用正弦定理即可得解；
（2）由（1）可求出，再根据平分可得为等腰三角形，再根据三角形的面积公式即可得解.
【详解】（1）在中，由正弦定理得，
所以，
因为，
所以；
（2）由（1）得，
由题设，，即为等腰三角形，
所以，
，
所以的面积．
26．（2023·北京东城·统考一模）已知函数.
(1)求的最小正周期；
(2)若是函数的一个零点，求的最小值.
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）三角函数恒等变换的公式，化简函数，进而求得函数的最小正周期；
（2）由（1）得到函数，根据题意，得到方程，即可求解.
【详解】（1）解：由函数
，
所以函数的最小正周期为.
（2）解：由，
因为是函数的一个零点，
可得，
即，即，
可得或，
即或，
又因为，所以的最小值为.
27．（2023·北京朝阳·统考一模）设函数，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使得存在．
(1)求函数的解析式；
(2)求在区间上的最大值和最小值．
条件①：；
条件②：的最大值为；
条件③：的图象的相邻两条对称轴之间的距离为．
注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多组条件分别解答，按第一组解答计分．
【答案】(1)选择条件②③，；(2)最大值为，最小值为.
【分析】（1）由正弦函数和余弦函数的奇偶性可排除条件①，先利用辅助角公式化简，再根据正弦函数的图象和性质即可求解；
（2）利用整体代入法，结合正弦函数的图象和性质即可求解.
【详解】（1）若选择条件①，
因为，所以，
由可得对恒成立，与矛盾，
所以选择条件②③，
由题意可得，
设，
由题意可得，
其中，，
因为的最大值为，所以，解得，
所以，，
由的图象的相邻两条对称轴之间的距离为可得，
所以解得，
所以.
（2）由正弦函数的图象可得当时，，，
所以在区间上的最大值为，最小值为.
28．（2023·北京房山·统考一模）已知函数的最小正周期为.
(1)求值；
(2)再从条件①.条件②、条件③三个条件中选择一个作为已知.确定的解析式.设函数，求的单调增区间.条件①：是偶函数；条件②：图象过点；条件③：图象的一个对称中心为.注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答给分.
【答案】(1)；(2)见解析
【分析】（1）根据周期公式，即可求解；
（2）分别选择条件，根据三角函数的性质，求，再根据三角函数的单调性，代入公式，即可求解.
【详解】（1）由条件可知，，解得：；
（2）由（1）可知，，
若选择条件①：是偶函数，
所以，即，
所以，
，
令,
解得：,
所以函数的递增区间是，
若选择条件②：图象过点，，，
则，即，所以，
所以，
所以
令，
解得：，
所以的单调递增区间是.
如选择条件③：图象的一个对称中心为，
所以，，，，
所以，
所以
令，
解得：，
所以的单调递增区间是.
29．（2023·北京海淀·校考模拟预测）已知函数，且．
(1)求a的值和函数在区间上的最大值及取得最大值时x的值．
(2)若，，求的值．
【答案】(1)，在上的最大值为2，此时x的值为；(2).
【分析】（1）由求得a的值，再由x的范围求得的范围进而求得的最大值即可.
（2）由得，再由范围求出的范围来判断的符号，进而求得的值，再运用配凑角求得值.
【详解】（1）∵，解得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴当，即时，取得最大值为1，
∴当时，取得最大值为2，
即：在上的最大值为2，此时x的值为.
（2）∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴
.
故的值为.
30．（2023·北京·北京市八一中学校考模拟预测）在中，现有下列四个条件：①；②；③；④．
(1)①②两个条件可以同时成立吗？请说明理由；
(2)请选择上述四个条件中的三个，使有解，并求的面积．
【答案】(1)①②不能同时成立，理由见解析；(2)选择①③④，
【分析】（1）由求出得到，然后利用余弦定理求出，最后根据三角形内角和得出①②不能同时成立；
（2）先分析②③④，根据大边对大角显然不成立，再选择①③④，由正弦定理求出，从而得到是以为直角的三角形，最后求出的面积．
【详解】（1）由条件①得，
解得或，
因为，所以；
由条件②得，
因为，所以．
而与矛盾，所以①②不能同时成立．
（2）由（1）知，①②中只能选择其一，
若选择②③④，
由知，
而，显然不成立，
所以只能选择①③④．
有，即，，
因为，所以，
所以，即是以为直角的三角形，
所以的面积．
31．（2023·北京海淀·统考一模）在中，．
(1)求；
(2)若的面积为，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求a的值．
条件①：；条件②：；条件③：．
注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)；(2)选②或③，
【分析】（1）利用正弦定理：边转角，再利用正弦的二倍角公式，即可求出结果；
（2）条件①，由，角可以是锐角或钝角，不满足题设中的条件，故不选①；条件②，利用条件建立，边与的方程组，求出与，再利用余弦定理，即可求出结果；条件③，利用正弦定理，先把角转边，再结合条件建立，边与的方程组，求出与，再利用余弦定理，即可求出结果；
【详解】（1）因为，由正弦定理得，，
又，所以，得到，
又，所以，
又，所以，得到，
所以.
（2）选条件①：
由（1）知，，根据正弦定理知，，即，
所以角有锐角或钝角两种情况，存在，但不唯一，故不选此条件.
选条件②：
因为，所以，
又，得到，代入，得到，解得，所以，
由余弦定理得，，
所以.
选条件③：
因为，所以，
由，得到，
又，由(1)知，
所以
又由正弦定理得，，得到，
代入，得到，解得，所以，
由余弦定理得，，
所以.