2023北京高三一模数学分类汇编-专题06 计数原理与概率统计（解析版）

这是一份2023北京高三一模数学分类汇编-专题06 计数原理与概率统计（解析版），共26页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、填空题
1．（2023·北京·北京市八一中学校考模拟预测）若二项式的展开式中有常数项，则最小的正整数n为______．
【答案】3
【分析】先写出通项为,若有常数项,则,对赋值求出最小正整数即可.
【详解】通项为,
当展开式中有常数项时,则有,即,
,
当时,得到最小正整数;
故答案为：3.
2．（2023·北京海淀·校考模拟预测）一个袋子中装有5个大小相同的球，其中2个红球，3个白球，从中依次摸出2个球，则在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到白球的概率是______.
【答案】
【分析】由于第一次摸到红球已经发生，故第二次摸球的时候袋子中有1个红球，3个白球，即得到答案
【详解】第一次摸到红球的条件下,第二次摸球的时候袋子中有1个红球，3个白球，所以第二次摸到白球的概率为 ，
故答案为：.
3．（2023·北京东城·统考一模）在的展开式中，的系数为60，则实数______.
【答案】
【分析】求出二项展开式的通项，令的指数等于2，求得，再根据展开式中的系数为60，即可得出答案.
【详解】的展开式的通项为，
令，则，
则在展开式中，的系数为，
所以.
故答案为：.
4．（2023·北京·汇文中学校考模拟预测）在的展开式中，常数项是__________（用数字作答）．
【答案】15
【分析】求出通项，令由此求得展开式中常数项．
【详解】在的展开式中，通项
令 ．故展开式中常数项是 ，
故答案为 15．
5．（2023·北京丰台·统考一模）从，，，，这个数中任取个不同的数，记“两数之积为正数”为事件，“两数均为负数为事件．则________．
【答案】
【分析】根据古典概型的概率公式求出，，再由条件概率的概率公式计算可得.
【详解】从，，，，这个数中任取个不同的数有种取法，
其中满足两数之积为正数的有种取法，
满足两数之积为正数且两数均为负数的有种取法，
所以，，
所以.
故答案为：.
6．（2023·北京·校考模拟预测）已知，则___________．
【答案】
【分析】利用二项式定理的通项公式即可求解.
【详解】的二项展开式的通项公式，
所以.
故答案为：.
7．（2023·北京石景山·统考一模）若的展开式中含有常数项，则正整数的一个取值为_________.
【答案】3（只要是3正整数倍即可）
【分析】根据二项式通项公式即可求出结果.
【详解】的展开式的通项为，
的展开式中含有常数项需要满足，
即，所以只要是3正整数倍即可.
故答案为：3（只要是3正整数倍即可）.
8．（2023·北京海淀·101中学校考模拟预测）若，则___________.
【答案】0
【分析】先令，求出，再令，得，进一步计算得出结果.
【详解】令，得.
令，得，
则.
故答案为：0.
二、解答题
9．（2023·北京·北京市八一中学校考模拟预测）某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在10个卖场的销售量（单位：台），并根据这10个卖场的销售情况，得到如图所示的茎叶图．为了鼓励卖场，在同型号电视机的销售中，该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名为该型号电视机的“星级卖场”．
(1)当，时，记甲型号电视机的“星级卖场”数量为m，乙型号电视机的“星级卖场”数量为n，比较m，n的大小关系；
(2)在这10个卖场中，随机选取2个卖场，记X为其中甲型号电视机的“星级卖场”的个数，求X的分布列和数学期望．
(3)记乙型号电视机销售量的方差为，根据茎叶图推断a与b分别取何值时，达到最小值．（只需写出结论）
【答案】(1)；(2)分布列见解析；(3)时，达到最小值
【分析】（1）计算甲乙的平均数比较大小即可；
（2）分析数据，列出X的分布列并求出数学期望；
（3）根据方差的性质，时，离散程度越小，达到最小值．
【详解】（1）根据茎叶图，可得甲组数据的平均数为，
乙组数据的平均数为，
甲型号电视机的“星级卖场”数量为，乙型号电视机的“星级卖场”数量为，
所以；
（2）的可能取值为0，1，2，由（1）知，甲型号电视机的“星级卖场”数量为5，
，，，
X的分布列为：
（3）方差代表和中心偏离的程度，
时，离散差越小，达到最小值．
10．（2023·北京海淀·校考模拟预测）某超市制定的某种有机蔬菜销售策略如下：每天以元/千克购进该种蔬菜，然后以7元/千克出售.若每天下午点以前购进的有机蔬菜没有全部销售完，则对未售出的有机蔬菜进行降价处理，以2元/千克出售，并且降价后能够把剩余蔬菜全部销售完，且当天不再进货.该超市整理了过去两个月（按60天计算）每天下午6点前这种有机蔬菜的日销售量（单位：千克），得到如下的统计数据（注：视评率为概率，）
（注：每天超市销售的蔬菜量是相互独立的）
(1)在接下来的2天中，设X为下午6点前的销售数量不少于350千克的天数，求X的分布列和数学期望；
(2)若该超市拟购进350千克有机蔬菜，表示蔬菜销售量．
①求分布列和数学期望；
②写出此时利润的数学期望（直接写出结果）．
【答案】(1)的分布列为：
的数学期望.
(2)①的分布列为：
的数学期望.
②
【分析】（1）求出1天下午6点前的销售量不少于350千克的概率，再求出的可能值及对应的概率，列出分布列并求出期望作答.
（2）①根据列分布列的步骤求出购进350千克有机蔬菜，表示蔬菜销售量，分布列和数学期望；
②利用均值的线性运算直接求解即可.
【详解】（1）依题意，1天下午6点前的销售量不少于350千克的概率，
随机变量的可能值为0，1，2，
，，，
所以的分布列为：
的数学期望.
（2）①根据题意可得：随机变量的可能值为250，300，350，
根据题意可得；；，
所以的分布列为：
的数学期望.
②.
11．（2023·北京房山·统考一模）某社区组织了一次公益讲座.向社区居民普及垃圾分类知识.为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民.让他们在讲座前和讲座后分别回答一份垃圾分类知识向卷.这10位社区居民的讲座前和讲座后答卷的正确率如下表：
(1)从公益讲座前的10份垃圾分类知识答卷中随机抽取一份.求这份答卷正确率低于的概率；
(2)从正确率不低于的垃圾分类知识答卷中随机抽取3份，记随机变量X为抽中讲座前答卷的个数.求随机变量X的分布列和数学期望；
(3)判断此次公益讲座的宣传效果.并说明你的理由.
【答案】(1)；(2)分布列见解析，数学期望为；(3)见解析
【分析】（1）共10份书卷，准确率低于有份，计算概率即可.
（2）的取值可能是，计算概率得到分布列，再计算数学期望得到答案.
（3）讲座前的平均准确率为，讲座后的平均准确率为，提升明显，得到答案.
【详解】（1）共10份书卷，准确率低于有份，故概率为；
（2）正确率不低于的垃圾分类知识答卷中，讲座前有2份，讲座后有5份，
的取值可能是，
；；
.
故X的分布列为：
故数学期望为.
（3）此次公益讲座的宣传效果很好，
讲座前的平均准确率为：
；
讲座后的平均准确率为：
；
平均准确率明显提高，故此次公益讲座的宣传效果很好.
12．（2023·北京朝阳·统考一模）某地区组织所有高一学生参加了“科技的力量”主题知识竟答活动，根据答题得分情况评选出一二三等奖若干，为了解不同性别学生的获奖情况，从该地区随机抽取了500名参加活动的高一学生，获奖情况统计结果如下：
假设所有学生的获奖情况相互独立．
(1)分别从上述200名男生和300名女生中各随机抽取1名，求抽到的2名学生都获一等奖的概率；
(2)用频率估计概率，从该地区高一男生中随机抽取1名，从该地区高一女生中随机抽取1名，以X表示这2名学生中获奖的人数，求X的分布列和数学期望；
(3)用频率估计概率，从该地区高一学生中随机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率为；从该地区高一男生中随机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率为；从该地区高一女生中随机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率为，试比较与的大小．（结论不要求证明）
【答案】(1)；(2)分布列见解析，期望；(3)
【分析】（1）直接计算概率；
（2）的所有可能取值为0,1,2，求出高一男生获奖概率和高一女生获奖概率，再计算概率得到分布列，最后计算期望即可；
（3）计算出，，比较大小即可.
【详解】（1）设事件为“分别从上述200名男生和300名女生中各随机抽取1名,
抽到的2名学生都获一等奖”，
则，
（2）随机变量的所有可能取值为0,1,2.
记事件为“从该地区高一男生中随机抽取1名,该学生获奖”,
事件为“从该地区高一女生中随机抽取1名,该学生获奖”.由题设知,事件,相互独立,
且估计为估计为.
所以,
,
.
所以的分布列为
故的数学期望
（3），理由：根据频率估计概率得
，由（2）知，，
故，
则.
13．（2023·北京东城·统考一模）甲、乙两名同学积极参与体育锻炼，对同一体育项目，在一段时间内甲进行了6次测试，乙进行了7次测试.每次测试满分均为100分，达到85分及以上为优秀.两位同学的测试成绩如下表：
(1)从甲、乙两名同学共进行的13次测试中随机选取一次，求该次测试成绩超过90分的概率；
(2)从甲同学进行的6次测试中随机选取4次，设X表示这4次测试成绩达到优秀的次数，求X的分布列及数学期望EX；
(3)从乙同学进行的7次测试中随机选取3次，设Y表示这3次测试成绩达到优秀的次数，试判断数学期望EY与（2）中EX的大小.（结论不要求证明）
【答案】(1)
(2)的分布列为
所以.
(3)
【分析】（1）根据表格中的数据，代入古典概型的概率计算公式即可求解；
（2）根据题意先求出所有的可能取值，然后分别求出每一个值对应的概率，列出分布列并计算出期望即可求解；
（3）根据题意先求出所有的可能取值，然后分别求出每一个值对应的概率，计算出期望与（2）中期望即可求解；
【详解】（1）由题意可知：甲、乙两名同学共进行的13次测试中，测试成绩超过90分的共4次，由古典概型的概率计算公式可得，
所以从甲、乙两名同学共进行的13次测试中随机选取一次，求该次测试成绩超过90分的概率.
（2）由题意可知：从甲同学进行的6次测试中随机选取4次，这4次测试成绩达到优秀的次数的可能取值为1，2，3，
则；；，
所以的分布列为
所以.
（3）由题意可知：从乙同学进行的7次测试中随机选取3次，这3次测试成绩达到优秀的次数的可能取值为0，1，2，3，
则；；；；
所以的分布列为
所以，
.
14．（2023·北京西城·统考一模）根据《国家学生体质健康标准》，高三男生和女生立定跳远单项等级如下（单位：cm）：
从某校高三男生和女生中各随机抽取名同学，将其立定跳远测试成绩整理如下（精确到）：
假设用频率估计概率，且每个同学的测试成绩相互独立．
(1)分别估计该校高三男生和女生立定跳远单项的优秀率；
(2)从该校全体高三男生中随机抽取人，全体高三女生中随机抽取人，设为这人中立定跳远单项等级为优秀的人数，估计的数学期望；
(3)从该校全体高三女生中随机抽取人，设“这人的立定跳远单项既有优秀，又有其它等级”为事件，“这人的立定跳远单项至多有个是优秀”为事件．判断与是否相互独立．（结论不要求证明）
【答案】(1)；(2)；(3)与相互独立
【分析】（1）样本中立定跳远单项等级获得优秀的男生人数为，获得优秀的女生人数为，计算频率得到优秀率的估计值；
（2）由题设，的所有可能取值为．算出对应概率的估计值，得到的数学期望的估计值；
（3）利用两个事件相互独立的定义判断即可.
【详解】（1）样本中立定跳远单项等级获得优秀的男生人数为，获得优秀的女生人数为，
所以估计该校高三男生立定跳远单项的优秀率为；估计高三女生立定跳远单项的优秀率为．
（2）由题设，的所有可能取值为．
估计为；
估计为；
估计为；
估计为．
估计的数学期望．
（3）估计为；
估计为；
估计为，
，所以与相互独立．
15．（2023·北京海淀·清华附中校考模拟预测）为了弘扬中华优秀传统文化，加强对学生的美育教育，某校开展了为期5天的传统艺术活动，从第1天至第5天依次开展“书画”、“古琴”、“汉服”、“戏曲”、“面塑”共5项传统艺术活动，每名学生至少选择其中一项进行体验，为了解该校上述活动的开展情况，现从高一、高二、高三学生中各随机选取了100名学生作为样本进行调查，调查数据如表：
(1)从样本中随机选取1名学生，求这名学生体验戏曲活动的概率；
(2)从高一、高二、高三年级中各随机选取1名学生，估计这三名学生中恰有一名参加戏曲体验的概率；
(3)为了解不同年级学生对各项传统艺术活动的喜爱程度，现从高一、高二、高三样本中各随机选取1名学生进行访谈，设这3名学生均选择了第天传统艺术活动的概率为，当取得最大值时，写出的值．（直接写出答案即可）
【答案】(1)；(2)；(3)
【分析】（1）结合古典概型可直接求解；
（2）先求出样本中这三名学生中恰有一名参加戏曲体验的概率，再利用样本估计总体概率；
（3）结合相互独立事件概率公式求出，即可求解.
【详解】（1）由题意知，样本中学生共有人，
其中体验戏曲活动的学生共人，
设事件为“从样本学生中随机选取1名学生，这名学生体验戏曲活动”，
故所求概率为.
（2）从高一、高二、高三年级的体验学生中各随机选取1名学生，
这三名学生中恰有一名参加戏曲体验的概率为：，
所以从高一、高二、高三年级中各随机选取1名学生，估计这三名学生中恰有一名参加戏曲体验的概率为.
（3）由题可知，，
，
，
，
，
故．
所以当取得最大值时，.
16．（2023·北京·北京四中校考模拟预测）某校工会开展健步走活动，要求教职工上传3月1日至3月7日的微信记步数信息，下图是职工甲和职工乙微信记步数情况：
(1)从3月2日至3月7日中任选一天，求这一天职工甲和职工乙微信记步数都不低于10000的概率；
(2)从3月1日至3月7日中任选两天，记职工乙在这两天中微信记步数不低于10000的天数为，求的分布列及数学期望；
(3)下图是校工会根据3月1日至3月7日某一天的数据制作的全校200名教职工微信记步数的频率分布直方图．已知这一天甲和乙微信记步数在单位200名教职工中排名（按照从大到小排序）分别为第68和第142，请指出这是根据哪一天的数据制作的频率分布直方图（不用说明理由）．
【答案】(1)；(2)分布列见解析，；(3)3月3日
【分析】（1）根据古典概型公式求解即可.
（2）根据题意得到，，，，再写出分布列数学期望即可.
（3）根据折线图和频率分布直方图求解即可.
【详解】（1）令时间A为“职工甲和职工乙微信记步数都不低于10000”，
从3月2日至3月7日这6天中，3月2日、5日、7日这3天中，
甲乙微信记步数都不低于10000，
故.
（2）由（1）知：，
，，，
的分布列为：
（3）根据频率分步直方图知：微信记步数落在，，，，
（单位：千步）区间内的人数依次为人，人，
人，人，人，
由甲微信记步数排名第68，可知当天甲微信记步数在15000到20000万之间，
根据折线图知：只有3月2日，3月3日，3月7日.
由乙微信记步数排名第142，可知当天乙微信记步数在5000到10000万之间，
根据折线图知：只有3月3日和3月6日，
所以3月3日符合要求.
17．（2023·北京·汇文中学校考模拟预测）自由购是通过自助结算方式购物的一种形式. 某大型超市为调查顾客使用自由购的情况，随机抽取了100人，统计结果整理如下：
（Ⅰ）现随机抽取 1 名顾客，试估计该顾客年龄在且未使用自由购的概率；
（Ⅱ）从被抽取的年龄在使用自由购的顾客中，随机抽取3人进一步了解情况，用表示这3人中年龄在的人数，求随机变量的分布列及数学期望；
（Ⅲ）为鼓励顾客使用自由购，该超市拟对使用自由购的顾客赠送1个环保购物袋.若某日该超市预计有5000人购物，试估计该超市当天至少应准备多少个环保购物袋.
【答案】；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）2200
【解析】（Ⅰ）随机抽取的100名顾客中，年龄在[30，50）且未使用自由购的有3+14＝17人，由概率公式即可得到所求值；
（Ⅱ）所有的可能取值为1,2,3，求出相应的概率值，即可得到分布列与期望；
（Ⅲ）随机抽取的100名顾客中，使用自由购的有44人，计算可得所求值．
【详解】（Ⅰ）在随机抽取的100名顾客中，年龄在[30,50)且未使用自由购的共有3+14=17人，
所以，随机抽取1名顾客，估计该顾客年龄在[30,50)且未使用自由购的概率为．
（Ⅱ）所有的可能取值为1,2,3，
,
,
.
所以的分布列为
所以的数学期望为.
（Ⅲ）在随机抽取的100名顾客中，
使用自由购的共有人，
所以该超市当天至少应准备环保购物袋的个数估计为.
18．（2023·北京丰台·统考一模）交通拥堵指数（TPI）是表征交通拥堵程度的客观指标，TPI越大代表拥堵程度越高．某平台计算TPI的公式为：，并按TPI的大小将城市道路拥堵程度划分为如下表所示的4个等级：
某市2023年元旦及前后共7天与2022年同期的交通高峰期城市道路TP1的统计数据如下图：
(1)从2022年元旦及前后共7天中任取1天，求这一天交通高峰期城市道路拥堵程度为“拥堵”的概率；
(2)从2023年元旦及前后共7天中任取3天，将这3天中交通高峰期城市道路TPI比2022年同日TPI高的天数记为，求的分布列及数学期望；
(3)把12月29日作为第1天，将2023年元旦及前后共7天的交通高峰期城市道路TPI依次记为，将2022年同期TPI依次记为，记，．请直接写出取得最大值时的值．
【答案】(1)；(2)见解析；(3)
【分析】（1）根据随机事件的概率公式即可求解；
（2）结合题意先求出的分布列，再结合数学期望的公式求解即可；
（3）结合题意先求得，进而即可求解.
【详解】（1）由图可知，2022年元旦及前后共7天中，交通高峰期城市道路拥堵程度为“拥堵”的共2天，
所以这一天交通高峰期城市道路拥堵程度为“拥堵”的概率为.
（2）由图可知，2023年元旦及前后共7天中比2022年同日TPI高的天数只有1月3日和1月4日这2天，
所以，
，
，
所以的分布列为：
数学期望.
（3）由题意，，
，
，
，
，
，
，
所以，
所以取得最大值时，.
19．（2023·北京·校考模拟预测）为了增强学生的冬奥会知识，弘扬奥林匹克精神，北京市多所中小学校开展了模拟冬奥会各项比赛的活动.为了了解学生在越野滑轮和旱地冰壶两项中的参与情况，在北京市中小学学校中随机抽取了10所学校，10所学校的参与人数如下：
（Ⅰ）现从这10所学校中随机选取2所学校进行调查.求选出的2所学校参与越野滑轮人数都超过40人的概率；
（Ⅱ）现有一名旱地冰壶教练在这10所学校中随机选取2所学校进行指导，记X为教练选中参加旱地冰壶人数在30人以上的学校个数，求X的分布列和数学期望；
（Ⅲ）某校聘请了一名越野滑轮教练，对高山滑降、转弯、八字登坡滑行这3个动作进行技术指导.规定：这3个动作中至少有2个动作达到“优”，总考核记为“优”.在指导前，该校甲同学3个动作中每个动作达到“优”的概率为0.1.在指导后的考核中，甲同学总考核成绩为“优”.能否认为甲同学在指导后总考核达到“优”的概率发生了变化？请说明理由.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析，（Ⅲ）见解析
【分析】（Ⅰ）记“选出的两所学校参与越野滑轮人数都超过40人”为事件S，从这10所学校中随机选取2所学校进行调查，可得基本事件总数为.参与越野滑轮人数超过40人的学校共4所，随机选择2所学校共种，利用古典概率计算公式即可得出概率.
（Ⅱ）X的所有可能取值为0，1，2，参加旱地冰壶人数在30人以上的学校共4所.利用超几何分布列计算公式即可得出.
（Ⅲ）答案不唯一.示例：虽然概率非常小，但是也可能发生，一旦发生，就有理由认为指导后总考核达到“优”的概率发生了变化.
【详解】（Ⅰ）记“选出的两所学校参与越野滑轮人数都超过40人”为事件S，现从这10所学校中随机选取2所学校进行调查，可得基本事件总数为.
参与越野滑轮人数超过40人的学校共4所，随机选择2所学校共种，
所以
（Ⅱ）X的所有可能取值为0，1，2，参加旱地冰壶人数在30人以上的学校共4所.
，，.
X的分布列为：
.
（Ⅲ）答案不唯一.
答案示例1：可以认为甲同学在指导后总考核为“优”的概率发生了变化.理由如下：
指导前，甲同学总考核为“优”的概率为：.
指导前，甲同学总考核为“优”的概率非常小，一旦发生，就有理由认为指导后总考核达到“优”的概率发生了变化.
答案示例2：无法确定.理由如下：
指导前，甲同学总考核为“优”的概率为：.
虽然概率非常小，但是也可能发生，所以，无法确定总考核达到“优”的概率发生了变化.
20．（2023·北京·北师大实验中学校考模拟预测）为调查A，B两种同类药物在临床应用中的疗效，药品监管部门收集了只服用药物A和只服用药物B的患者的康复时间，经整理得到如下数据：
假设用频率估计概率，且只服用药物A和只服用药物B的患者是否康复相互独立．
(1)若一名患者只服用药物A治疗，估计此人能在14天内康复的概率；
(2)从样本中只服用药物A和只服用药物B的患者中各随机抽取1人，以X表示这2人中能在7天内康复的人数，求X的分布列和数学期望：
(3)从只服用药物A的患者中随机抽取100人，用“”表示这100人中恰有k人在14天内未康复的概率，其中．当最大时，写出k的值．（只需写出结论）
【答案】(1)；(2)分布列见解析，数学期望为1；(3)2
【分析】（1）结合表格中数据求出概率；
（2）先得到只服用药物A和只服用药物B的患者7天内康复的概率，得到X的可能取值及相应的概率，得到分布列和期望；
（3）求出只服用药物A的患者中，14天内未康复的概率，利用独立性重复试验求概率公式得到，列出不等式组，求出，结合得到答案.
【详解】（1）只服用药物A的人数为人，且能在14天内康复的人数有人，
故一名患者只服用药物A治疗，估计此人能在14天内康复的概率为；
（2）只服用药物A的患者7天内康复的概率为，
只服用药物B的患者7天内康复的概率为，
其中X的可能取值为，
，，
，
则分布列为：
数学期望为；
（3）只服用药物A的患者中，14天内未康复的概率为，
，
令，即，
解得：，因为，所以.
21．（2023·北京石景山·统考一模）某高校“植物营养学专业”学生将鸡冠花的株高增量作为研究对象，观察长效肥和缓释肥对农作物影响情况.其中长效肥、缓释肥、未施肥三种处理下的鸡冠花分别对应1,2,3三组.观察一段时间后，分别从1,2,3三组随机抽取40株鸡冠花作为样本，得到相应的株高增量数据整理如下表.
假设用频率估计概率，且所有鸡冠花生长情况相互独立.
(1)从第1组所有鸡冠花中随机选取1株，估计株高增量为厘米的概率；
(2)分别从第1组，第2组，第3组的所有鸡冠花中各随机选取1株，记这3株鸡冠花中恰有株的株高增量为厘米，求的分布列和数学期望；
(3)用“”表示第组鸡冠花的株高增量为，“”表示第组鸡冠花的株高增量为厘米，，直接写出方差，，的大小关系.（结论不要求证明）
【答案】(1)；(2)分布列见解析，；(3)
【分析】（1）根据表格数据，第1组所有鸡冠花中随机选取1株，得厘米的总数，由古典概型概率公式可得结果；
（2）首先估计各组鸡冠花增量为厘米的概率，然后可确定所有可能的取值，根据独立事件概率公式可求得每个取值对应的概率，由此可得分布列；根据数学期望计算公式可求得期望；
（3）由两点分布方差计算公式可求得，，的值，由此可得大小关系．
【详解】（1）设事件为“从第1组所有鸡冠花中随机选取1株，株高增量为厘米”，
根据题中数据，第1组所有鸡冠花中，有20株鸡冠花增量为厘米,
所以估计为；
（2）设事件为“从第2组所有鸡冠花中随机选取1株，株高增量为厘米”，
设事件为“从第3组所有鸡冠花中随机选取1株，株高增量为厘米”，
根据题中数据，估计为， 估计为，
根据题意，随机变量的所有可能取值为0,1,2.3，且
；
；
；
，
则的分布列为：
所以.
（3）
理由如下：
，所以；
，所以；
，所以；
所以.
22．（2023·北京海淀·101中学校考模拟预测）我国脱贫攻坚战取得全面胜利，现行标准下农村贫困人口全部脱贫，消除了绝对贫困．为了解脱贫家庭人均年纯收入情况，某扶贫工作组对A，B两个地区2019年脱贫家庭进行简单随机抽样，共抽取500户家庭作为样本，获得数据如下表：
假设所有脱贫家庭的人均年纯收入是否超过10000元相互独立．
（1）从A地区2019年脱贫家庭中随机抽取1户，估计该家庭2019年人均年纯收入超适10000元的概率；
（2）在样本中，分别从A地区和B地区2019年脱贫家庭中各随机抽取1户，记X为这2户家庭中2019年人均年纯收入超过10000元的户数，求X的分布列和数学期望；
（3）从样本中A地区的300户脱贫家庭中随机抽取4户，发现这4户家庭2020年人均年纯收入都超过10000元．根据这个结果，能否认为样本中A地区2020年人均年纯收入超过10000元的户数相比2019年有变化？请说明理由．
【答案】（1）；（2）概率分布列见解析，期望为；（3）可以
【分析】（1）直接由古典概型概率公式计算；
（2）的可能取值为，分别计算出概率后可得分布列，然后由期望公式计算出期望；
（3）根据概率的意义作答．
【详解】（1）由题意所求概率为；
（2）由题意的可能取值为，
地区抽取1户，纯收入超过10000元的概率为，
，
，
，
分布列为
期望为；
（3）如果2020年人均年纯收入超过10000元的户数没有变化，其概率为，因此发生改变的概率为，概率接近于1了，可以认为2020年人均年纯收入超过10000元的户数有改变．
X
0
1
2
P
每天下午6点前的销售量/千克
250
300
350
400
450
天数
10
10
s
t
5
0
1
2
0
1
2
1号
2号
3号
4号
5号
6号
7号
8号
9号
10号
讲座前
讲座后
性别
人数
获奖人数
一等奖
二等奖
三等奖
男生
200
10
15
15
女生
300
25
25
40
0
1
2
次数
同学
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
第六次
第七次
甲
80
78
82
86
95
93
—
乙
76
81
80
85
89
96
94
立定跳远单项等级
高三男生
高三女生
优秀
及以上
及以上
良好
~
~
及格
~
~
不及格
及以下
及以下
男生
女生
传统艺术活动
第1天
第2天
第3天
第4天
第5天
书画
古琴
汉服
戏曲
面塑
高一体验人数
80
45
55
20
45
高二体验人数
40
60
60
80
40
高三体验人数
15
50
40
75
30
20以下
70以上
使用人数
3
12
17
6
4
2
0
未使用人数
0
0
3
14
36
3
0
1
2
3
TPI
不低于4
拥堵等级
畅通
缓行
拥堵
严重拥堵
0
1
2
X
0
1
2
P
康复时间
只服用药物A
只服用药物B
7天内康复
360人
160人
8至14天康复
228人
200人
14天内未康复
12人
40人
0
1
2
株高增量（单位：厘米）
第1组鸡冠花株数
9
20
9
2
第2组鸡冠花株数
4
16
16
4
第3组鸡冠花株数
13
12
13
2
0
1
2
3
A地区
B地区
2019年人均年纯收入超过10000元
100户
150户
2019年人均年纯收入未超过10000元
200户
50户
0
1
2