2023北京高三一模数学分类汇编-专题09 数列综合题（解析版）

这是一份2023北京高三一模数学分类汇编-专题09 数列综合题（解析版），共36页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题，双空题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．（2023·北京房山·统考一模）已知数列对任意满足，且，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由数列递推公式依次计算，，，，即可得答案.
【详解】由题意可得，，，
，.
故选：D.
2．（2023·北京·北京市八一中学校考模拟预测）已知为等差数列的前项和，满足，，则数列中（ ）
A．有最大项，无最小项B．有最小项，无最大项
C．有最大项，有最小项D．无最大项，无最小项
【答案】C
【分析】通过已知条件先算出等差数列的首项，公差，然后写出的通向公式，最后写出数列的通项公式分析即可.
【详解】在等差数列中，设首项为，公差为，
因为，
，
解得，
所以等差数列的通项公式为：
，
所以，
当时，，
当时，，
所以数列有最大项为第1项，有最小项第7或第8项，
故选：C.
3．（2023·北京海淀·校考模拟预测）已知数列是等比数列，且满足，则（ ）
A．是递增数列B．是递减数列
C．是的公比为或1D．是的公比为
【答案】D
【分析】本题可由关系式，令，结合等比数列的通项公式可解得的值.
【详解】因为，令，可得，
又因为数列是等比数列，可得，化简得.
故选：D.
4．（2023·北京海淀·清华附中校考模拟预测）已知数列为等差数列，其前n项和为，，，若对于任意的，总有恒成立，则（ ）
A．6B．7C．9D．10
【答案】D
【分析】根据题意，求得等差数列的通项公式，从而得到数列前项都是负数，从而得到结果.
【详解】设等差数列的公差为，
由性质知，则，且，
则，
令，得，即前项都是负数，
所以最小，所以.
故选：D.
5．（2023·北京东城·统考一模）已知，，，，成等比数列，且1和4为其中的两项，则的最小值为（ ）
A．－64B．－8C．D．
【答案】B
【分析】结合题意，取最小值时为负数，且，利用等比数列的基本量运算即可求解.
【详解】由题意，要使最小，则，，都是负数，则和选择1和4，
设等比数列的公比为，
当时，，所以，所以，所以；
当时，，所以，所以，所以；
综上，的最小值为－8.
故选：B.
6．（2023·北京朝阳·统考一模）已知项数为的等差数列满足，．若，则k的最大值是（ ）
A．14B．15C．16D．17
【答案】B
【分析】通过条件，，得到，
再利用条件得到，
进而得到不等关系：，从而得到的最大值.
【详解】由，，得到，
即，
当时，恒有，即，
所以，
由，得到，
所以，，
整理得到：，所以.
故选：B.
二、填空题
7．（2023·北京·北师大实验中学校考模拟预测）已知数列是等差数列，并且，，若将，，，去掉一项后，剩下三项依次为等比数列的前三项，则为__________．
【答案】
【分析】先求得，进而求得，，，，根据等比数列的知识求得.
【详解】设等差数列的公差为，
依题意，则，
解得，所以，
所以，
通过观察可知，去掉后，
成等比数列，
所以等比数列的首项为，公比为，
所以.
故答案为：.
8．（2023·北京石景山·统考一模）项数为的有限数列的各项均不小于的整数，满足，其中.给出下列四个结论：
①若，则；
②若，则满足条件的数列有4个；
③存在的数列；
④所有满足条件的数列中，首项相同.
其中所有正确结论的序号是_________.
【答案】①②④
【分析】根据有限数列的性质，，及满足，其中，利用不等式放缩，结合等比数列求和可得，即可确定的值，从而可判断①③④的正误，若，得，结合，求得的关系，根据不等式求得的范围，一一列举得数列，即可判断②.
【详解】由于有限数列的各项均不小于的整数，所以，，
又因为，
所以
所以，且，为整数，所以，故③不正确，④正确；
当时，得，所以，则，故①正确；
当时，得，因为，所以，则，
所以，为整数，则的可能取值为，对应的的取值为，
故数列可能为；；；，共4个，故②正确.
故答案为：①②④.
三、解答题
9．（2023·北京朝阳·统考一模）已知有穷数列满足．给定正整数m，若存在正整数s，，使得对任意的，都有，则称数列A是连续等项数列．
(1)判断数列是否为连续等项数列？是否为连续等项数列？说明理由；
(2)若项数为N的任意数列A都是连续等项数列，求N的最小值；
(3)若数列不是连续等项数列，而数列，数列与数列都是连续等项数列，且，求的值．
【答案】(1)数列是连续等项数列，不是连续等项数列，理由见解析；(2)11；(3)0
【分析】（1）根据新定义直接验证数列，1，0，1，0，1，，可得结论；
（2）先根据新定义证明时，数列一定是连续等项数列，再验证时，不是连续等项数列即可；
（3）由都是连续等项数列可得，
，再由反证法证得，即可得出的值.
【详解】（1）数列是连续等项数列，不是连续等项数列，理由如下:
因为，所以是连续等项数列.
因为为；
为；
为;
为，
所以不存在正整数，使得.
所以A不是连续等项数列.
（2）设集合，则中的元素个数为.
因为在数列中，所以.
若，则.
所以在这个有序数对中，
至少有两个有序数对相同，
即存在正整数，使得.
所以当项数时，数列一定是连续等项数列.
若，数列不是连续等项数列.
若，数列不是连续等项数列.
若，数列不是连续等项数列.
若，数列不是连续等项数列.
若，数列不是连续等项数列.
若，数列不是连续等项数列.
若，数列不是连续等项数列.
若,数列不是连续等项数列.
所以的最小值为11.
（3）因为与都是连续等项数列，
所以存在两两不等的正整数,
使得，
下面用反证法证明.
假设，
因为，
所以中至少有两个数相等.
不妨设，则
所以是连续等项数列，与题设矛盾.
所以.
所以.
10．（2023·北京房山·统考一模）如果数列对任意的，，则称为“速增数列”.
(1)判断数列是否为“速增数列”？说明理由；
(2)若数列为“速增数列”.且任意项，，求正整数k的最大值；
(3)已知项数为（）的数列是“速增数列”，且的所有项的和等于k，若，，证明：.
【答案】(1)是，理由见解析；(2)；(3)证明见解析
【分析】（1）计算，，，得到答案.
（2）根据题意得到，，计算当时，，当时，，得到答案.
（3）证明，得到，得到，代入计算得到证明.
【详解】（1）因为，则，，
又，故，数列是“速增数列”.
（2），
当时，，
即，，
当时，，当时，，
故正整数k的最大值为.
（3），故，即；
，故，
即，
同理可得：，，，
故，
故，，得证.
11．（2023·北京海淀·校考模拟预测）若无穷数列的各项均为整数．且对于，都存在，使得，则称数列满足性质P．
(1)判断下列数列是否满足性质P，并说明理由．
①，，，，…；
②，，，，…．
(2)若数列满足性质P，且，求证：集合为无限集；
(3)若周期数列满足性质P，请写出数列的通项公式（不需要证明）．
【答案】(1)①不满足；②满足；(2)证明见解析；(3)或；
【分析】（1）根据题意分析判断；
（2）根据题意先证为数列中的项，再利用反证法证明集合为无限集；
（3）先根据题意证明，再分为常数列和非常数列两种情况，分析判断.
【详解】（1）对①，取，对，则，
可得，
显然不存在，使得，
所以数列不满足性质P；
对②，对于，则，，
故
，因为，
则，且，
所以存在，，
使得，
故数列满足性质P；
（2）若数列满足性质，且，则有：
取，均存在，使得，
取，均存在，使得，
取，均存在，使得，
故数列中存在，使得，即，
反证：假设为有限集，其元素由小到大依次为，
取，均存在，使得，
取，均存在，使得，
取，均存在，使得，
即这与假设相矛盾，故集合为无限集.
（3）设周期数列的周期为，则对，均有，
设周期数列的最大项为，最小项为，
即对，均有，
若数列满足性质：
反证：假设时，取，则，使得，
则，即，
这对，均有矛盾，假设不成立；则对，均有；
反证：假设时，取，则，使得，
这与对，均有矛盾，假设不成立，即对，均有；
综上所述：对，均有，
反证：假设1为数列中的项，由（2）可得：为数列中的项，
∵，即为数列中的项，
这与对，均有相矛盾，即对，均有，同理可证：，
∵，则，
当时，即数列为常数列时，设，故对，都存在，
使得，解得或，即或符合题意；
当时，即数列至少有两个不同项，则有：
①当为数列中的项，则，即为数列中的项，但，不成立；
②当为数列中的项，则，即为数列中的项，但，不成立；
③当为数列中的项，则，即为数列中的项，但，不成立；
综上所述：或.
12．（2023·北京·北京市八一中学校考模拟预测）已知数列，，…，的各项均为正整数．设集合，记的元素个数为．
(1)若数列1，1，3，2，求集合，并写出的值；
(2)若是递增数列，求证：“”的充要条件是“为等差数列”；
(3)若，数列由1，2，3，…，11，22这12个数组成，且这12个数在数列中每个至少出现一次，求的最大值．
【答案】(1)，；(2)见解析；(3)43
【分析】（1）利用列举法写出符合题意的所有的的取值可能，得出的值；
（2）利用已知的定义及性质，分别证明充分性和必要性成立即可；
（3）根据新定义分析差值可能出现的情况数，对其进行分析即可得出结论.
【详解】（1）因为，，，，则的可能情况有：
，，，，，，
所以，．
（2）充分性：若是等差数列，设公差为d．
因为数列是递增数列，所以．
则当时，，
所以，．
必要性：若．
因为是递增数列，所以，
所以，且互不相等，
所以．
又，
所以，且互不相等．
所以，
所以，
所以为等差数列．
（3）因为数列A由1，2，3，…，11，22这12个数组成，任意两个不同的数作差，
差值只可能为和，共42个不同的值；
∵这12个数在数列中每个至少出现一次，
∴当时，和这两个数中至少有一个在集合中，
∵这12个数在数列中共出现23次，所以数列中存在，
∴，
当数列：1，2，3，…，11，22，11，10，…，2，1．
有，．
则的最大值为43．
13．（2023·北京大兴·统考模拟预测）设集合，其中是正整数，记．对于，，若存在整数k，满足，则称整除，设是满足整除的数对的个数．
（I）若，，写出，的值;
（Ⅱ）求的最大值;
（Ⅲ）设A中最小的元素为a，求使得取到最大值时的所有集合A．
【答案】（1），；（2）4；（3），或
【解析】（1）根据定义得到，，即可得到，的值；
（2）结合条件得到最多有(1, 2)，(1, 3)， (1, 4)， (2,3)， (2, 4)，(3, 4)六种情况，
排除(2, 4) , (3，4)即可得到的最大值；
（3）假设，，根据定义可得或，进而得到A.
【详解】（1）根据条件所给定义，SA=15=5(1+2)=3(1+4)，故，
SB=24=4(1+5) =2(5+7)=2(1+11)=3 (1+7)，故.
（2）不妨设，因为，所以，不能整除，因为最多有(1, 2)，(1, 3)， (1, 4)， (2,3)， (2, 4)，(3, 4)六种情况，而(2, 4) , (3，4)不满足题意，所以，当时，，所以的最大值为4 ；
（3）假设，由（2）可知，当取到最大值4时，均能整除，因，
故，所以，
设，则是的因数，
所以是的因数，且是的因数，因为，
所以，因为是的因数，所以，
因为是的因数，所以是的因数，
因为，所以，所以或，
故，或，
所以当取到最大值4时，故，或.
14．（2023·北京石景山·统考一模）若无穷数列满足以下两个条件，则称该数列为数列.
①，当时，；
②若存在某一项，则存在，使得（且）.
(1)若，写出所有数列的前四项；
(2)若，判断数列是否为等差数列，请说明理由；
(3)在所有的数列中，求满足的的最小值.
【答案】(1)数列的前四项为：；；；；(2)数列为首项为1公差为4的等差数列，理由见解析；(3)的最小值为
【分析】（1）先根据条件①去绝对值可得或，由得，再根据条件逐个列举即可；
（2）由条件①知，当时，或，由得，利用反证法假设数列中存在最小的正整数（），使得，根据单调性结合条件②可知假设不成立，即可得结论；
（3）先根据条件②可得必为数列中的项，再结合条件①可得分析即可．
【详解】（1）由条件①知，当时，或，
因为，由条件①知，
所以数列的前四项为：；；；.
（2）若，数列是等差数列
由条件①知，当时，或，
因为，所以
假设数列中存在最小的正整数（），使得，
则单调递增，
由则均为正数，且.
所以.由条件②知，则存在 ，使得
此时与均为正数矛盾，
所以不存在整数（），使得，即.
所以数列为首项为1公差为4的等差数列.
（3）由及条件②,
可得必为数列中的项，记该数列为，有，
不妨令，由条件①，或均不为；
此时或或或，均不为
上述情况中，当，时，
结合，则有.
由，得即为所求.
15．（2023·北京东城·统考一模）已知数表中的项互不相同，且满足下列条件：
①；
②.
则称这样的数表具有性质.
(1)若数表具有性质，且，写出所有满足条件的数表，并求出的值；
(2)对于具有性质的数表，当取最大值时，求证：存在正整数，使得；
(3)对于具有性质的数表，当n为偶数时，求的最大值.
【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)
【分析】（1）根据题意写出满足性质的所有数表，再分别计算即可；
（2）根据题意，可知当取最大值时，存在，使得，由数表具有性质可得为奇数，不妨设此时数表为，再利用反证法证明即可；
（3）结合性质可得，，两式相加可得得，结合，可得，构造数表，结合性质进而可以求解.
【详解】（1）满足条件的数表为，
所以的值分别为5，5，6.
（2）若当取最大值时，存在，使得.
由数表具有性质可得为奇数，
不妨设此时数表为.
①若存在（为偶数，），使得，交换和的位置，所得到的新数表也具有性质，
调整后数表第一行和大于原数表第一行和，与题设矛盾，所以存在，使得.
②若对任意的（为偶数，），都有，交换和的位置，所得到的新数表也具有性质，此时转化为①的情况.
综上可知，存在正整数，使得.
（3）当n为偶数时，令，，对任意具有性质数表，
一方面，，
因此．①
另一方面，，
因此.②
记．
由①+②得.
又，可得.
构造数表
可知数表具有性质，且.
综上可知，当n为偶数时，的最大值为.
16．（2023·北京西城·统考一模）给定正整数，设集合．对于集合中的任意元素和，记．设，且集合，对于中任意元素，若则称具有性质．
(1)判断集合是否具有性质？说明理由；
(2)判断是否存在具有性质的集合，并加以证明；
(3)若集合具有性质，证明：．
【答案】见解析
【分析】（1）根据集合具有性质的特征，即可根据集合中的元素进行检验求解，
（2）假设集合具有性质，分别考虑时，集合中的元素，即可根据的定义求解.
（3）根据假设存在使得，考虑当时以及时，分量为1的个数即可讨论求解.
【详解】（1）因为，同理．
又，同理．
所以集合具有性质．
（2）当时，集合中的元素个数为．由题设．
假设集合具有性质，则
①当时，，矛盾．
②当时，，不具有性质，矛盾．
③当时，．
因为和至多一个在中；和至多一个在中；
和至多一个在中，故集合中的元素个数小于，矛盾．
④当时，，不具有性质，矛盾．
⑤当时，，矛盾．
综上，不存在具有性质的集合．
（3）记，则．
若，则，矛盾．若，则，矛盾．故．
假设存在使得，不妨设，即．
当时，有或成立．
所以中分量为的个数至多有．
当时，不妨设．
因为，所以的各分量有个，不妨设．
由时，可知，，中至多有个，
即的前个分量中，至多含有个．
又，则的前个分量中，含有
个，矛盾．
所以． 因为，
所以．
所以．
17．（2023·北京顺义·统考一模）已知为正整数数列，满足．记．定义A的伴随数列如下：
①；
②，其中．
(1)若数列A：4，3，2，1，直接写出相应的伴随数列；
(2)当时，若，求证：；
(3)当时，若，求证：．
【答案】(1)；(2)见解析；(3)见解析
【分析】（1）依题意，可直接写出相应的伴随数列；
（2）讨论，两种情况，利用反证法即可求解；
（3）讨论，两种情况，当时，由（2）的结论，中至少有两个1，利用反证法可得，根据的定义即可证明.
【详解】（1）因为数列A：4，3，2，1，，
所以.
因为，
所以，，，
，.
故数列A的伴随数列为.
（2）当时，，显然有；
当时，只要证明.
用反证法，假设，
则，从而，矛盾.
所以.
再根据为正整数，可知.
故当时，.
（3）当时，，有，此时，命题成立；
当时，由（2）的结论，中至少有两个1，
现假设中共有个1，即
则.
因为若，则，矛盾.
所以.
根据的定义可知，，，
，
以此类推可知一直有，再由后面，可知；
另一方面与奇偶性相同，所以.
18．（2023·北京·北师大实验中学校考模拟预测）对于一个有穷单调递增正整数数列P，设其各项为，，，，若数列P中存在不同的四项，，，满足，则称P为等和数列，集合称为P的一个等和子集，否则称P为不等和数列．
(1)判断下列数列是否是等和数列，若是等和数列，直接写出它的所有等和子集；A：1，3，5，7，9；B：2，4，6，7，10；
(2)已知数列P：，，，，是等和数列，并且对于任意的，总存在P的一个等和子集M满足集合，求证：数列P是等差数列；
(3)若数列P：，，，是不等和数列，求证：．
【答案】见解析
【分析】（1）由等和数列的定义判断即可；
（2）数列P最多有如下五个等和子集：，，，，，根据反证法结合等差数列的定义证明即可；
（3）假设，且不是整数，利用反证法证明即可.
【详解】（1）A是等和数列，所有的等和子集为，，；
B是不等和数列．
（2）数列P最多有如下五个等和子集：，，，，，
考虑，，只可能是如下三种情况的一种：
，，，
若，则，不是P的等和子集，
否则，或，并且不是P的等和子集，否则，，
所以，P的所有等和子集有，，
此时，不满足，该情况不成立，即；
由对称性可知，，
因此，，此时，，不是P的等和子集，
考虑，，
故，是P的等和子集，
故，，
由以上三式可知，即数列P是等差数列．
（3）假设，且不是整数，
则对于任意，总有，
因为数列P是不等和数列，所以，至少有个不同的取值，
若存在，则，，
当时，若，则，则存在等和数列，与题设矛盾，
故时，有，
所以，，只有个不同的取值，
因此，，，
又因为存在，所以，，此时，，矛盾．
若不存在，则，恰个不同的取值，
所以，，，并且，，
此时，，矛盾．
综上，．
19．（2023·北京·校考模拟预测）对于每项均是正整数的数列、、、，定义变换，将数列变换成数列、、、、．对于每项均是非负整数的数列、、、，定义变换，将数列各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列；又定义．设是每项均为正整数的有穷数列，令．
(1)如果数列为、、，写出数列、；
(2)对于每项均是正整数的有穷数列，证明；
(3)证明：对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列，存在正整数，当时，．
【答案】(1)、、，、、、；(2)见解析；(3)见解析
【分析】（1）由、、，求得再通过求解；
（2）设有穷数列求得再求得，由，两者作差比较；
（3）设是每项均为非负整数的数列、、、．在存在，有时条件下，交换数列的第项与第项得到数列，在存在，使得时条件下，若记数列、、、为，，．由，得到．是大于的整数，所以经过有限步后，必有．
【详解】（1）解：、、，、、、，、、，
、、、，、、、.
（2）证明：设每项均是正整数的有穷数列为、、、，
则为、、、、，
从而．
又 ，
所以，
故．
（3）解：设是每项均为非负整数的数列，，．
当存在，使得时，交换数列的第项与第项得到数列，
则．
当存在，使得时，若记数列，，为，
则．
所以．
从而对于任意给定的数列，由，1，2，…
可知．
又由（2）可知，所以．
即对于，要么有，要么有．
因为是大于的整数，所以经过有限步后，必有．
即存在正整数，当时，.
20．（2023·北京·汇文中学校考模拟预测）设数列.如果，且当时，，则称数列A具有性质.对于具有性质的数列A，定义数列，其中.
(1)对，写出所有具有性质的数列A；
(2)对数列，其中，证明：存在具有性质的数列A，使得与为同一个数列；
(3)对具有性质的数列A，若且数列满足，证明：这样的数列A有偶数个.
【答案】(1)、、；(2)见解析；(3)见解析
【分析】（1）根据数列的定义，得到且，，，确定，按照或分别讨论可得答案；
（2）设数列：中恰有项为1，在按照、、三种情况分别讨论可证结论；
（3）按照的奇偶分类讨论，结合数列的定义可证结论.
【详解】（1）因为，所以，则
因为，，，所以，，，
又，
所以，或，
当时，，
当时，或，
综上所述：所有具有性质的数列A为：、、.
（2）由于数列：，其中，
不妨设数列：中恰有项为1，
若，则符合题意，
若，则符合题意，
若，则设这项分别为，
构造数列，令分别为，
数列的其余各项分别为，
经检验数列符合题意.
（3）对于符合题意的数列，
①当为奇数时，存在数列符合题意，
且数列与不同，与相同，
按这样的方式可由数列构造出数列，
所以为奇数时，这样的数列有偶数个，
当时，这样的数列也有偶数个，
②当为偶数时，
如果是数列中不相邻的两项，交换与得到数列符合题意，
且数列与不同，与相同，
按这样的方式可由数列构造出数列，
所以这样的数列有偶数个，
如果是数列中相邻的两项，由题设知，必有，，，
除这三项外，是一个项的符合题意的数列，
由①可知，这样的数列有偶数个，
综上，这样的数列有偶数个.
21．（2023·北京丰台·统考一模）已知集合，对于集合的非空子集．若中存在三个互不相同的元素，，，使得，，均属于，则称集合是集合的“期待子集”．
(1)试判断集合，是否为集合的“期待子集”；（直接写出答案，不必说明理由）
(2)如果一个集合中含有三个元素，，，同时满足①，②，③为偶数．那么称该集合具有性质．对于集合的非空子集，证明：集合是集合的“期待子集”的充要条件是集合具有性质；
(3)若的任意含有个元素的子集都是集合的“期待子集”，求的最小值．
【答案】(1)是集合的“期待子集”，不是集合的“期待子集”；(2)见解析；(3)
【分析】（1）根据所给定义判断即可.
（2）先证明必要性，再证明充分性，结合所给“期待子集”的定义及性质的定义证明即可；
（3）首先利用反例说明当、时不成立，再利用数学归纳法证明集合的任意含有个元素的子集，都是的“期待子集”，即可得解.
【详解】（1）因为，
对于集合，令，解得，显然，，
所以是集合的“期待子集”；
对于集合，令，则，
因为，即，故矛盾，所以不是集合的“期待子集”；
（2）先证明必要性：
当集合是集合的“期待子集”时，由题意，存在互不相同的，使得，
不妨设，令，，，则，即条件中的①成立；
又，所以，即条件中的②成立；
因为，
所以为偶数，即条件中的③成立；
所以集合满足条件.
再证明充分性：
当集合满足条件时，有存在，满足①，②，③为偶数，
记，，，
由③得，由①得，由②得，
所以，
因为，，，所以，，均属于，
即集合是集合的“期待子集”.
（3）的最小值为，理由如下：
一方面，当时，对于集合，其中任意三个元素之和均为奇数，由（2）知，不是的“期待子集”；
当时，对于集合，
从中任取三个不同的元素，若不含有，则不满足条件的③，
若含有，则另外两个数必都是奇数，因为任意两个奇数之差（大数减小数）都不小于，
故不满足条件中的②，所以不是的“期待子集”；
所以.
另一方面，我们用数学归纳法证明集合的任意含有个元素的子集，都是的“期待子集”：
（I）当时，对于集合的任意含有个元素的子集，记为，
当、、三个数中恰有个属于时，则，因为数组、、、、都满足条件，
当三个数都属于，因为数组满足条件，
所以此时集合必是集合的“期待子集”，
所以当时的任意含有个元素的子集都是集合的“期待子集”.
（II）假设当时结论成立，即集合的任意含有个元素的子集都是的“期待子集”，那么时，对于集合的任意含有个元素的子集，
分成两类，①若，至多有个属于，则中至少有个元素都在集合，由归纳假设知，结论成立；
②若，，则集合中恰含的个元素，此时，当中只有一个奇数时，则集合中包含中的所有偶数，此时数组，，符合条件，结论成立；
当集合中至少有两个奇数时，则必有一个奇数不小于，此时数组，，符合条件，结论成立，所以时结论成立，
根据（I）（II）知，集合的任意含有个元素的子集，都是的“期待子集”，所以的最小值为
22．（2023·北京·北京四中校考模拟预测）已知集合，若集合，且对任意的，存在，，使得（其中），则称集合为集合的一个元基底．
(1)分别判断下列集合是否为集合的一个二元基底，并说明理由；
①，；
②，．
(2)若集合是集合的一个元基底，证明：；
(3)若集合为集合的一个元基底，求出的最小可能值，并写出当取最小值时的一个基底．
【答案】见解析
【分析】（1）利用二元基底的定义加以验证，可得不是的一个二元基底.，是的一个二元基底.．
（2）设，计算出的各种情况下的正整数个数并求出它们的和，结合题意得，即．
（3）由（2）可知，所以，并且得到结论“基底中元素表示出的数最多重复一个”．再讨论当时，集合的所有情况均不可能是的4元基底，而当时，的一个基底，由此可得 的最小可能值为5．
【详解】（1）①不是的一个二元基底.
理由是；
②是的一个二元基底.
理由是，
.
（2）不妨设，则
形如 的正整数共有个；
形如 的正整数共有个；
形如 的正整数至多有个；
形如 的正整数至多有个.
又集合含个不同的正整数，为集合的一个元基底.
故，即.
（3）由（2）可知，所以.
当时，，即用基底中元素表示出的数最多重复一个. *
假设为的一个4元基底，
不妨设，则.
当时，有，这时或.
如果，则由，与结论*矛盾.
如果，则或.易知和都不是的4元基底，矛盾.
当时，有，这时，，易知不是的4元基底，矛盾.
当时，有，这时，，易知不是的4元基底，矛盾.
当时，有，，，易知不是的4元基底，矛盾.
当时，有，，，易知不是的4元基底，矛盾.
当时，有，，，易知不是的4元基底，矛盾.
当时，有，，，易知不是的4元基底，矛盾.
当时，均不可能是的4元基底.
当时，的一个基底；或{3,7,8,9,10}；或{4,7,8,9,10}等，只要写出一个即可.
综上，的最小可能值为5.
23．（2023·北京海淀·清华附中校考模拟预测）若无穷数列满足，，则称具有性质．若无穷数列满足，，则称具有性质．
(1)若数列具有性质，且，请直接写出的所有可能取值；
(2)若等差数列具有性质，且，求的取值范围；
(3)已知无穷数列同时具有性质和性质，，且不是数列的项，求数列的通项公式．
【答案】(1)的可能取值有：、、、；(2)；(3)
【分析】（1）根据题中定义可得出，，可依次求得、的取值；
（2）设等差数列的公差为，根据可求得的取值范围，再利用二次函数的基本性质可求得的取值范围；
（3）根据性质可得出，根据可推导出、必同号，再利用性质可得出，利用反证法可证得：，则，再证明出，由此可知，都成立，可猜测数列的通项公式，再利用反证法证明数列的唯一性即可.
【详解】（1）解：因为数列具有性质，则，所以，，
当时，由，所以，或，
当时， 由，所以，或.
综上所述，的可能取值有：、、、.
（2）解：设等差数列的公差为，
则，
即，所以，，
所以，，
因为，则，
所以，.
（3）解：根据性质，，都有，
又因为，所以，，
于是，因为、必同号，进而、必同号，
若，由性质，必有，，，，这与矛盾，
所以，，进而，，讨论可知或或，仅有这三种可能.
若，则，，，这与矛盾，因此，.
下面证明：，则，
利用反证法：假设，则，
又因为，所以，，
若，则或，与矛盾，则，所以，，则或，
于是无论哪种情况，，，
由且可得，此时满足，
所以，，则，，所以，，矛盾，
综上可知，，所以，，，
下面证明：，利用反证法，如不然，只能，所以，，则，
由于，所以，，只能有，，这与矛盾，
总之，，再由可得，进而，都成立，
可以猜测数列的通项为，
可验证此时、两条性质均成立，符合题意，
如另有其它数列符合题意，则至少前项必为：、、、、，
仍满足，，
设是第一个违反上述通项公式的项，
若，则，，所以，，符合通项公式，矛盾；
若，则，，所以，，也符合通项公式，矛盾.
综上所述，数列的通项公式必为.
24．（2023·北京海淀·统考一模）已知数列．给出两个性质：
①对于中任意两项，在中都存在一项，使得；
②对于中任意连续三项，均有．
(1)分别判断以下两个数列是否满足性质①，并说明理由：
（i）有穷数列：；
（ⅱ）无穷数列：．
(2)若有穷数列满足性质①和性质②，且各项互不相等，求项数m的最大值；
(3)若数列满足性质①和性质②，且，求的通项公式．
【答案】(1)（i）不满足，理由见详解；（ⅱ）满足，理由见详解；(2)3；(3)
【分析】（1）（i）令，代入求解即可判断；（ⅱ）对于任意，直接相乘得到即可判断；
（2）对于有穷数列，记其非零项中绝对值最大的一项为，绝对值最小的一项为，令时，得到；再令时，得到，从而得到数列至多有0，-1，1共3项，再构造数列：0，-1，1，证明其满足性质①和性质②，进而即可求得项数m的最大值；
（3）首先证明：当，时，数列满足，且， (*)，再考虑，，三项，结合性质(*)得到，从而，最后经验证，数列：满足条件，再通过反证法证明这是唯一满足条件的数列即可．
【详解】（1）（i）不满足．令，则不是数列{an } 中的项，故有穷数列不满足性质①；
（ⅱ）满足．对于任意，有，
由于，令即可，故无穷数列满足性质①．
（2）对于有穷数列，记其非零项中绝对值最大的一项为，绝对值最小的一项为，
故令时，存在一项，
又是数列非零项中绝对值最大的，所以，即；
再令时，存在一项，
又是数列非零项中绝对值最小的，所以，即，
又，所以数列所有非零项的绝对值均为1，
又数列的各项均不相等，所以其至多有0，-1，1共3项，所以，
构造数列：0，-1，1，
其任意两项乘积均为0，-1，1之一，满足性质①；
其连续三项满足，满足性质②.
又其各项均不相等，所以该数列满足条件，此时，
综上，的最大值为3．
（3）首先证明：当，时，数列满足，且， (*)
因为对于任意数列的连续三项，，，总有，
即 或，不论是哪种情形， 均有
当时，，即；
当时，，亦有，
又，故性质(*)得证．
考虑，，三项，有或，
若，则，此时令，有，
由性质(*)知不存在k 使得，且，
故只有，此时，
因为 ，
所以令时，，
由性质(*)知，只有或，
当 时，，，此时令，，
但，即，
由性质(*)知不存在k使得，
所以，即，从而，
经验证，数列：满足条件，下面证这是唯一满足条件的数列，
假设是第一个不满足上述通项公式的项，，
当，时，只能为，
令，则 ，但，
由性质(*)，不存在k使得，
当，时，只能为，
则，
令，则，但，
由性质(*)，不存在k 使得，
故不存在不满足上述通项公式的项，
综上，数列的通项公式为．
四、双空题
25．（2023·北京东城·统考一模）已知数列各项均为正数，，为其前n项和.若是公差为的等差数列，则______，______.
【答案】；
【分析】根据题意和等差数列的性质可得，解得，结合等差数列的通项公式可得，利用与的关系即可求出数列的通项公式.
【详解】由题意知，，由，得，，
又等差数列的公差为，
所以，
即，解得，
所以，解得，
当时，，
得，
当时，，与题意中的相符，
所以.
故答案为：；.
26．（2023·北京西城·统考一模）已知数列的通项公式为，的通项公式为．记数列的前项和为，则____；的最小值为____．
【答案】 ；
【分析】（1）由题可得，根据等比数列及等差数列的求和公式可得，利用数学归纳法可得时，，时，，进而即得.
【详解】由题可知，
所以，
，
令，则，
当时，，即，下面用数学归纳法证明
当时，成立，假设时，成立，
当时，，即时也成立，
所以时，，即，
所以时，，时，，
由当时，有最小值，最小值为.
故答案为：；.