福建省福州外国语学校2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷（原卷版+解析版）

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高一年级数学试卷
（全卷共4页，四大题，19小题；满分：150分；时间：120分钟）
班级__________座号__________姓名__________
注意事项：
1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填涂自己的准考证号、姓名．考生要认真核对答题卡上的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上规定的范围内书写作答，请不要错位、越界答题！在试题卷上作答的答案无效．
3．考试结束，考生必须将答题卡交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知平面向量与不共线，向量，若，则实数的值为（ ）
A. 1B. C. 1或D. 或
2. 已知i是虚数单位，复数，则（ ）
A. 1B. 2C. D. 0
3. 四羊方尊（又称四羊尊）为中国商代晚期青铜器，其盛酒部分可近似视为一个正四棱台（上、下底面边长分别为，高为），则四羊方尊的容积约为（ ）
A. B. C. D.
4. 如图，是水平放置的的直观图，则的面积是（ ）
A. 6B. C. D. 12
5. 祖暅原理也就是“等积原理”，它是由我国南北朝杰出的数学家祖冲之的儿子祖暅首先提出来的.祖暅原理的内容是：“幂势既同，则积不容异”，“势”即是高，“幂”是面积.意思是，如果夹在两平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的平面所截，如果两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.已知，两个平行平面间有三个几何体，分别是三棱锥、四棱锥、圆锥（高度都是h），其中：三棱锥的体积为V，四棱锥的底面是边长为a的正方形，圆锥的底面半径为r，现用平行于这两个平面的平面去截三个几何体，如果得到的三个截面面积总相等，那么，下面关系式正确的是（ ）
A ，，B. ，，
C. ，，D. ，，
6. 在中，是边上一点，且是的中点，记，则（ ）
A. B. C. D.
7. 在中，角的对边分别为，若的平分线的长为，则边上的高线的长等于（ ）
A B.
C 2D.
8. 已知点为外接圆的圆心，角，，所对的边分别为，，，且，若，则当角取到最大值时的面积为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知向量、满足，，，则下列正确的是（ ）
A. B.
C. 向量与的夹角为D. 向量与的夹角为
10. 约翰逊多面体是指除了正多面体､半正多面体（包括13种阿基米德多面体､无穷多种侧棱与底棱相等的正棱柱､无穷多种正反棱柱）以外，所有由正多边形面组成的凸多面体．其中，由正多边形构成的台塔是一种特殊的约翰逊多面体，台塔，又叫帐塔､平顶塔，是指在两个平行的多边形（其中一个的边数是另一个的两倍）之间加入三角形和四边形所组成的多面体．各个面为正多边形的台塔，包括正三､四､五角台塔．如图是所有棱长均为1的正三角台塔，则该台塔（ ）

A. 共有15条棱B. 表面积为
C. 高为D. 外接球的体积为
11. 在中，三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，则（ ）
A. 的面积为2B. 外接圆的半径为
C. D.
三、填空题：本题共3小題，每小题5分，共15分．
12. 已知a，，，则______.
13. 已知的内角所对的边分别为，，，角为锐角，的面积为，若是边上的中线，那么_________．
14. 已知平面凸四边形ABCD的对角线分别为AC，BD，其中，，则________；若，则四边形ABCD的面积的最大值为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解筸应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知复数，其中.
（1）设，若是纯虚数，求实数值；
（2）设，分别记复数、在复平面上对应的点为、，求与的夹角以及在上的数量投影.
16. 已知的内角所对的边分别为，向量与平行.
（1）求；
（2）若，求的面积．
17. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，E为棱的中点，平面与棱交于点F．
（1）求证：平面；
（2）求证：F为的中点；
18. 记是内角的对边分别为．已知，点在边上，．
（1）证明：；
（2）若，求．
19. 北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和．例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在各顶点的曲率为，故其总曲率为．

（1）求四棱锥的总曲率；
（2）若多面体满足：顶点数-棱数+面数，证明：这类多面体的总曲率是常数．