广东省广州市第六十五中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷

这是一份广东省广州市第六十五中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷，共5页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
命题人：汪峥
说明：本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分；第Ⅰ卷客观题58分，第Ⅱ卷主观题92分，共150分；第Ⅰ卷需用2B铅笔填涂到答卷上，第Ⅱ卷用黑色的签字笔或钢笔于答卷上作答；考试时间120分钟。
一、单项选择题：本题共8小题，每题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知复数（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2. 已知是两个不共线的向量，且，则（ ）
A．三点共线B．三点共线
C．三点共线D．三点共线
如图，一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为的等腰梯形，已知直观图中，，则该平面图形的面积为
A． B．2 C． D．
以下四个结论：
①若，则为异面直线；
②若，则为异面直线；
③没有公共点的两条直线是平行直线；
④两条不平行的直线就一定相交．
其中正确答案的个数是（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
若,则（ ）
A．B．
C．D．
6. 中，分别是角的对边，且，则的形状为（ ）
A．直角三角形B．钝角三角形
C．直角或钝角三角形D．锐角三角形
7.一艘游轮航行到处时看灯塔在的北偏东，距离为海里，灯塔在的北偏西，距离为海里，该游轮由沿正北方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏东方向，则此时灯塔位于游轮的（ ）
A．正西方向B．南偏西方向C．南偏西方向D．南偏西方向
8．已知正六边形ABCDEF的边长为2，圆O的圆心为正六边形的中心，半径为1，若点P在正六边形的边上运动，MN为圆O的直径，则的取值范围是（ ）
A． B．C．D．
多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
若向量，满足，，则（ ）
A．B．与的夹角为
C．D．在上的投影向量为
10．下列命题中正确的是
A．用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为，则球的表面积为
B. 圆柱形容器底半径为，两直径为的玻璃球都浸没在容器的水中，若取出这两个小球，则容器内水面下降的高度为
正四棱台的上下底面边长分别为2，4，侧棱长为2，其体积为
已知圆锥的母线长为10，侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的体积为
11.在三角形所在平面内，点满足，其中，，，，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，直线一定经过三角形的重心
B．当时，直线一定经过三角形的外心
C．当时，直线一定经过三角形的垂心
D．当时，直线一定经过三角形的内心
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知以为起点的向量，在正方形网格中的位置如图所示、网格纸上小正方形的边长为1，则 .
13．在中，若，则____________
14.如图，正方体的棱长为1，为的中点，为线段上的动点，过点，，的平面截该正方体所得截面记为，则下列命题正确的是 （写出所有正确命题的编号）
①当时，为等腰梯形.
②当时，与的交点满足.
③当时，为四边形.
④当时，的面积为.

四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤.
15．（13分）
如图，在四棱锥中，已知底面为平行四边形，点为棱的中点，
（1）求证：平面；
（2）设平面平面，点在上，求证：为的中点．
16.（15分）
已知向量是同一平面内的三个向量，其中．
(1) 若，且，求向量的坐标；
(2) 若是单位向量，且，求与的夹角.
(3) 若，求向量在向量上的投影向量（用坐标表示）.
17．（15分）
已知函数
（1）写出函数的单调递减区间；
（2）设，求的最值.
18.（17分）
中，为边的中点，.

(1)若的面积为，且，求的值；
(2)若，求的取值范围．
（17分）
“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角所对的边分别为，且
（1）求；
（2）若，设点为的费马点，求；
（3）设点为的费马点，，求实数的最小值．