人教版六年级数学下册第四单元《比例》同步教学设计

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人教版六年级数学下册第四单元《比例》同步教学设计本单元的教学内容是在学习了比的有关知识并掌握了一些常见数量关系的基础上，学习比例的有关知识及其应用。比例在生活和生产中有着广泛的应用，如绘制地图就需要应用比例尺的知识。比例的知识还是进一步学习中学数学、物理、化学等知识的基础。教材首先由实际问题引入；其次在练习中增加应用问题；还专门安排了“比例的应用”一节内容，其中既有正、反比例的实际问题，也有比例尺及图形的放大与缩小问题。通过这些内容的学习，学生体会到比例在生产生活中的应用，提高应用所学知识解决实际问题的能力。1．比例在生活和生产中广泛的应用，为学生的认识学习过程提供了现实基础，也为教学提供了方便。因此，教学中要引导学生参与知识的形成过程，让他们自己去发现新知识。2．教学中要重视揭示和建立新旧知识之间的内在联系，使学生的分析、概括能力得到培养和提高。3．教材中的应用题对学生来说用以前学过的方法也可以解答，这里不过让学生多掌握 一种解法而已，提高学生灵活解题的能力。1．理解比例的意义和基本性质，会解比例。2．理解正比例和反比例的意义，能找出生活中成正比例和成反比例量的实例，能运用比例知识解决简单的实际问题。3．认识正比例关系的图象，能根据给出的有正比例关系的数据在有坐标系的方格纸上画出图象，会根据其中一个量在图象中找出或估计出另一个量的值。4．了解比例尺，会求平面图的比例尺以及根据比例尺求图上距离或实际距离。5．认识放大与缩小现象，能利用方格纸等形式按一定的比例将简单图形放大或缩小，体会图形的相似。6．渗透函数思想，使学生受到辩证唯物主义观点的启蒙教育。比例的基本性质，正反比例的意义，比例尺。运用比例知识解决相应的实际问题。比例的意义和基本性质3课时正比例和反比例2课时比例的应用6课时自行车里的数学1课时1．比例的意义和基本性质第1课时　比例的意义课本P38。1．理解比例的意义，了解比和比例的区别。2．能根据比例的意义组成比例。3．在自主探究、观察比较中，培养分析、概括能力。理解比例的意义。会根据比例的意义判断两个比能否组成比例。一、复习导入1．什么叫作比？并举例说明什么是比的前项、后项和比值。2．求比值。12∶16　4.5∶2.7　 eq \f(3,4)∶ eq \f(1,8)　10∶6学生求出各比的比值后，再提问：哪两个比的比值相等？像这样表示两个比相等的式子叫作什么呢？这就是这节课我们要学习的内容。(板书课题：比例的意义)二、探究新知1．多媒体呈现课本P38主题图。(1)说一说各幅图的情景。(2)图中有什么相同之处？2．(指教室里的国旗)这面国旗的长和宽的比值是多少？学生回答，教师板书：60∶40＝ eq \f(3,2)3．操场上的国旗的长和宽的比值是多少？这两面国旗有什么关系？(1)学生回答长、宽比值。板书：2.4∶1.6＝ eq \f(3,2)(2)两面国旗的长和宽的比值相等。板书：2.4∶1.6＝60 ∶40也可以写成： eq \f(2.4,1.6)＝ eq \f(60,40)4．什么是比例？在这一基础上，教师可以明确告诉学生比例的意义，并板书：表示两个比相等的式子叫作比例。5．找比例。在这三面国旗的尺寸中，你还能找出哪些比可以组成比例？学生汇报。三、巩固练习完成课本P38“做一做”第1题、第2题。四、课堂小结今天我们学习了什么？你们有什么收获？五、课后作业完成课本P41第1、2题。第2课时　比例的基本性质课本P39。1．使学生进一步理解比例的意义，了解比例各部分名称。2．经历探索比例基本性质的过程，理解并掌握比例的基本性质。3．能运用比例的基本性质判断两个比能否组成比例。理解比例的基本性质。理解并掌握比例的基本性质。一、复习导入1．什么叫作比例？2．应用比例的意义，判断下面的比能否组成比例。0．5∶0.25和0.2∶0.4　　2∶5和5∶224∶3和6∶1 0.2∶0.8和1∶4二、探究新知1．认识比例各部分名称。(1)自学课本第39页的第一段话，初步认识比例各部分名称。组成比例的四个数，叫作比例的项。两端的两项叫作比例的外项，中间的两项叫作比例的内项。(2)观察自己刚才举的比例，找出它的内项、外项。(3)引导学生观察把比例写成分数形式，比例的外项和内项的位置又是怎样的？2．探究比例的基本性质。出示例1。(1)我们知道了比例各部分的名称，那么比例有什么性质呢？现在我们就来探究。(板书课题：比例的基本性质)(2)组织学生观察组成比例2.4∶1.6＝60∶40的两个内项和两个外项，你发现它们有什么关系？学生小组内交流，指名汇报。(3)组织学生观察计算比例 eq \f(3,5)＝ eq \f(9,15)的两个内项的积和两个外项的积，看看能有什么发现？(自主、合作、交流)(4)验证其他的比例有没有这个规律。(5)引导学生说一说，比例的基本性质是什么？组织学生分小组交流、汇报。归纳：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。这叫作比例的基本性质。用字母表示就是：如果a∶b＝c∶d，那么ad＝bc。反过来，四个不为0的数，如果其中两个数的乘积和另外两个数的乘积相等，这四个数就可以组成比例。三、巩固练习完成课本P39“做一做”。四、课堂小结通过这节课的学习，你学到了什么知识？五、课后作业完成课本P41第4、5题。第3课时　解比例课本P40。1．掌握解比例的方法，会解比例。2．能运用比例的知识解决生活中的实际问题。3．通过小组合作，培养合作精神及集体荣誉感。学会解比例。解比例的方法。一、复习导入1．什么叫比例？比例的基本性质是什么？2．一个比例有几项？(四项)如果我们已经知道比例中的三项，另一项可以求出来吗？这节课我们就一起来探讨解比例。(板书课题：解比例)二、探究新知1．什么叫作解比例。师：根据比例的基本性质，如果已知比例中的任何三项，就可以求出这个比例中的另外一个未知项。求比例中的未知项，叫作解比例。2．教学例2。(1)根据题意，描述两个相等的比。(2)指出其中的未知项，说一说你想怎样解答。(3)学生独立思考，解决问题。板书：解：设这个模型总长约为x m。x∶57,＝1∶1010x,＝57×1　　(问：根据什么？)　　　x,＝ eq \f(57×1,10)x,＝5.7答：这个模型总长约为5.7 m。3．教学例3。解比例　 eq \f(2.4,1.5)＝ eq \f(6,x)。过程要求：(1)学生独立练习，求出未知项。(2)同学之间互相交流，发现问题及时解决。(3)集体订正。解：2.4x＝1.5×6　 x＝ eq \f(1.5×6,2.4)　 x＝ eq \f(15,4)三、巩固练习完成课本P40“做一做”第1、2题。四、课堂小结今天这节课，我们学习了解比例的知识。在解比例时，我们先根据比例的基本性质把比例转化成方程，再按照解方程的方法进行解答。五、课后作业完成课本P42第8、9题。2.正比例和反比例第1课时　正比例课本P43～44。1．使学生认识成正比例的量，理解正比例的意义，能根据正比例的意义判断两个量是不是成正比例的量。2．使学生了解表示成正比例的量的图象特征，并能根据图象解决有关的简单问题。理解正比例的意义。会判断两种相关联的量是不是成正比例的量。一、情境导入1．已知路程和时间，怎样求速度？2．已知总价和数量，怎样求单价？3．已知工作总量和工作时间，怎样求工作效率？这些变化的量有什么规律：存在什么关系呢？今天，我们首先来探究成正比例的量。(板书课题：正比例)二、探究新知1．教学例1。展示例1的图和表格。引导学生观察、讨论问题。(1)表中有哪两种量？(2)总价是怎样随着数量的变化而变化的？(3)相应的总价与数量的比分别是多少？比值是多少？组织学生在小组中讨论，然后交流。2．归纳概括正比例的意义。两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫作成正比例的量，它们的关系叫作正比例关系。3．用字母关系式表示正比例的关系。如果用字母y和x表示两种相关联的量，用k表示它们的比值(一定)。正比例关系用字母关系式怎样表示呢？(学生可能会说： eq \f(y,x)＝k(一定))4．研究正比例关系的图象。(1)展示课本P44图象，引导学生观察图象。图中的坐标系是由互相垂直的两条数轴组成的。横轴上的数据表示彩带的数量，竖轴上的数据表示彩带的总价。(2)引导学生比较例1的表中数据和图象。组织学生在小组中议一议：你发现了什么？学生小组讨论、交流后汇报。(3)出示课本第44页例题问题(2)、(3)、(4)。学生先独立思考，后小组讨论，指名汇报。三、巩固练习1．找一找生活中还有哪些成正比例的量？举出例子。2．完成课本P44的“做一做”。四、课堂小结今天我们研究了成正比例关系的量。两种量成正比例关系要满足以下三个条件：1.这两种量是相关联的量；2.一种量变化，另一种量也随着变化；3.这两种量中相对应的两个比值一定。五、课后作业完成课本P47～48第1～5题。第2课时　反比例课本P45～46。1．通过具体问题认识成反比例的量，理解反比例的意义。2．能够正确判断两种相关联的量是不是成反比例的量。3．发展学生分析、比较、抽象、概括能力。理解反比例的意义。会判断两种相关联的量是不是成反比例的量。一、情境导入1．出示下表。谁能说说表中哪两个量成反比例？你是怎样判断的？2．揭示课题。今天，我们一起来学习反比例。两种量是什么样的关系时，这两种量成反比例呢？(板书课题：反比例)二、探究新知1．教学例2。引导学生观察，并将表填完整。讨论：表中两个数量之间有什么关系？小组讨论、交流。教师总结：从表中数据可以看出，水的高度和容器的底面积是两种相关联的量，水的高度是随着容器的底面积的变大而不断变小的，而且水的高度与容器的底面积的乘积总是一定的。例如：30×10＝20×15＝15×20＝…＝300。积300，实际就是倒入容器的水的体积。用式子表示它们的关系就是：底面积×高度＝体积(一定)2．归纳反比例的意义。教师讲解：像这样，两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫作成反比例的量，它们的关系叫作反比例关系。3．用字母表示。用字母x和y来表示两种相关联的量，用k表示它们的积(一定)，请同学们把反比例关系用式子表示出来。板书：xy＝k(一定)4．对比归纳。组织学生将例1与例2进行比较，小组内讨论：正比例与反比例的相同点和不同点。归纳：相同点：都表示两种相关联的量，且一种量变化，另一种量也随着变化。不同点：正比例关系中比值一定，反比例关系中乘积一定。三、巩固练习1．找一找生活中还有哪些成反比例的量？举出例子。2．完成课本P46“做一做”。四、课堂小结这节课我们学习了成反比例的量，知道了什么样的两个量是成反比例的两个量，也学会了怎样判断两种量是不是成反比例。五、课后作业完成课本P49第8、9、10题。高度/cm24681012底面积/cm2252525252525体积/cm350100150200250300容器的底面积/cm21015203060…水的高度/cm302015105…3．比例的应用第1课时　比例尺(1)课本P51～52页。1．使学生理解比例尺的含义。2．能根据实际距离和图上距离求一幅图的比例尺。理解比例尺的意义。利用比例尺的相关知识解决问题。一、情境导入出示地图。(挂图)1．学生观察地图，找到图中标注的比例尺。2．教师说明比例尺的作用。师：在绘制地图和其他平面图的时候，需要把实际距离按一定的比缩小(或扩大)，再画在图纸上。这时，就要确定图上距离和相对应的实际距离的比。这个比就是我们要学习的内容——比例尺。(板书课题：比例尺)二、探究新知1．什么叫作比例尺？一幅地图的图上距离和实际距离的比，叫作这幅图的比例尺。(板书：图上距离∶实际距离＝比例尺)(1)出示比例尺为1∶100000000的中国地图。学生找出图中的比例尺，并写下来。组织学生议一议：比例尺中的1表示什么？100000000表示什么？比例尺中的1表示图上距离，100000000表示相对应的实际距离。说明：1∶100000000是数值比例尺，有时写成 eq \f(1,100000000)。(2)出示比例尺为的中国地图，学生找出图中的比例尺，并抄写下来。引导学生观察比例尺。适时讲解：这是线段比例尺，表示地图上1 cm的距离相当于地面上 50 km的实际距离。(3)出示精细的零件图纸。引导学生观察图中的比例尺2∶1。强调：在生产中，有时由于机器零件比较小，需要把实际尺寸扩大一定的倍数以后，再画在图纸上。这时比例尺的前项比后项大。为了计算方便，通常把比例尺写成前项或后项是1的比。2．教学例1。学生读题，口答。板书：图上距离∶实际距离＝比例尺120 km＝12000000 cm2．4 ∶12000000 ＝1∶5000000答：这幅地图的比例尺是1∶5000000。三、巩固练习完成课本P52“做一做”。四、课堂小结通过这节课的学习，你有什么收获？五、课后作业完成课本P54第1～4题。第2课时　比例尺(2)课本P52。1．使学生进一步理解比例尺的意义，掌握利用比例尺求图上距离和实际距离的方法。2．使学生能综合运用比例尺的知识解决有关问题，提高学生解决问题的能力。掌握用比例尺求实际距离的方法。多种策略解决有关比例尺的实际问题。一、情境导入1．什么叫作比例尺？板书：图上距离∶实际距离＝比例尺或 eq \f(图上距离,实际距离)＝比例尺2．说一说下列各比例尺表示的具体意义。(1)比例尺1∶4500000(2)比例尺80∶1(3)比例尺二、探究新知教学例2。课件出示课本第52页例2。1．组织学生读题、理解题意。2．教师根据学生的汇报板书：解：设北京地铁2号线的实际长度大约是x cm。 eq \f(77,x),＝ eq \f(1,30000)x,＝77×30000x,＝23100002310000 cm＝23.1 km答：北京地铁2号线的实际长度大约是23.1 km。三、巩固练习完成课本P52“做一做”。四、课堂小结这节课我们利用比例尺的知识解决了一些问题。当我们要求图上距离或实际距离时，我们可以根据 eq \f(图上距离,实际距离)＝比例尺列方程解答，也可以利用关系式“图上距离＝实际距离×比例尺”或“实际距离＝图上距离÷比例尺”来进行计算，在计算过程中要注意单位名称的统一。五、课后作业完成课本P55第5、6题。第3课时　比例尺(3)课本P53。1．使学生进一步理解比例尺的意义，会根据比例尺公式求图上距离，并能解决简单的作图问题。2．提高学生分析问题和解决问题的能力。选择合适的比例尺求出图上距离，解决简单的作图问题。能灵活运用比例尺的知识解决作图问题。 一、复习导入1．把比例尺1∶2000000改写成线段比例尺。2．说说实际距离，图上距离和比例尺之间的关系。二、探究新知教学例3。1．组织学生读题，理解题意。2．组织学生在小组中议一议：画出小明、小亮、小红家到学校的平面图要做好哪些准备工作？通过小组相互交流，使学生明确：方向和距离可确定位置，题中方向已知，算出图上距离即可画出平面图。3．如何求图上距离呢？根据“ eq \f(图上距离,实际距离)＝比例尺”，可推出“图上距离＝实际距离×比例尺”。4．小组合作完成求出小明家，小亮家，小红家到学校的图上距离。学生汇报，教师板书：200 m＝20000 cm，400 m＝40000 cm，250 m＝25000 cm。小明家到学校的图上距离：20000× eq \f(1,10000)＝2(cm)小亮家到学校的图上距离：(40000－20000)× eq \f(1,10000)＝2(cm)小红家到学校的图上距离：25000× eq \f(1,10000)＝2.5(cm)5．组织学生画出平面图，在全班交流。三、巩固练习完成课本P53“做一做”。四、课堂小结我们在设计平面图时，要先根据实际情况确定平面图的比例尺，再根据比例尺计算出相应的图上距离，最后画图。五、课后作业完成课本P55第9题，P56第10题。 第4课时　图形的放大与缩小课本P57～58。1．使学生从数学的角度认识放大与缩小现象。体会图形相似变化的特点，能按要求将图形放大或缩小。2．培养学生把已学到的知识应用到现实生活中的能力。3．使学生体会到生活中到处存在着数学。理解图形的放大与缩小。 会把图形按一定的比例放大与缩小。 一、情境导入1．什么是比例尺。2．多媒体出示课本P57页的图。说说图中反映的是什么现象？哪些是将物体放大了？哪些是将物体缩小了？生活中还存在许多放大与缩小的现象，这节课我们就来研究“图形的放大与缩小”。(板书课题)二、探究新知1．教学例4。(1)让学生说说题中要求的按“2∶1”放大图形是什么意思？(按2∶1放大图形也就是把图形的各边的长放大到原来的2倍)(2)学生尝试着画出正方形和长方形放大后的图形。 (3)画直角三角形时，引导学生思考：直角三角形的斜边不能看出是多少格，怎么办？(只要把两条直角边放大到原来的2倍，再连成封闭图形就可以了)画完后通过量一量的方式，发现放大后的斜边的长度也是原来的2倍)(4)观察对比原图形和放大后的图形，比较一下它们的内角、边长、周长，什么变了？什么没变？(一个图形按2∶1的比放大后，图形各边的长都放大到原来的2倍，周长放大到原来的2倍，内角的度数没有改变，即图形的形状没变)2．拓展延伸。(1)如果把放大后的正方形按1∶3，长方形按1∶4，三角形按1∶2缩小，各个图形又会发生什么变化？学生讨论后得出：①图形缩小了，但形状不变。②缩小后的图形各条边分别缩小到原来长度的 eq \f(1,3)、 eq \f(1,4)、 eq \f(1,2)。(2)学生独立画出缩小后的图形，指名投影展示。3．归纳小结：图形的各边按一定的比放大或缩小后，图形的大小发生了变化，形状没变。三、巩固练习完成课本P58的“做一做”。四、课堂小结今天我们一起研究了图形的放大与缩小，你有什么新的认识？五、课后作业完成课本P61第1、2题。第5课时　用比例解决问题(1)课本P59。 1．使学生能正确判断题中涉及的两种量是否成正比例关系，并能利用正比例的意义正确解决实际问题。2．在让学生尝试解决问题的过程中，培养学生分析问题和解决问题的能力。掌握用正比例知识解决问题的方法与步骤。多种策略解决有关正比例的实际问题。 一、情境导入1．谁能说一说生活中有哪些成正比例的量，教师根据学生回答，板书相关的关系式。2．判断两种相关联的量是否成正比例的关键是什么？今天，我们继续学习运用正比例知识解决生活中的实际问题。二、探究新知教学例5。1. 展示课本P61的情境图，引导学生观察，弄清题目条件和问题。2．怎样列式？先算出每吨水的价钱，再算10吨水多少钱。　40÷8×10＝5×10＝50(元)问：还有其他解答方法吗？可以用比例的方法解决。问：这道题目相关联的两个量是哪两个？用水的吨数和水费是相关联的两个量。问：哪种量是固定不变的？每吨水的价格是不变的。问：它们成什么比例关系？水费和用水的吨数的比值是每吨水的价格，而每吨水的价格又是不变的。因此水费和用水的吨数成正比例关系。3．组织学生设未知数，根据正比例的意义列方程解答。指名板演，集体订正并检验。板书：解：设李奶奶家上个月的水费是x元。 eq \f(40,8),＝ eq \f(x,10) 8x,＝40×10x,＝ eq \f(40×10,8)x,＝504. 王爷爷家上个月的水费是60元，他家上个月用了多少吨水？组织学生独立思考，独立练习，然后全班交流。三、巩固练习完成课本P60“做一做”第1题。四、课堂小结今天我们学习了用正比例解决问题，说一说解决问题的步骤。五、课后作业完成课本P61第3、4题。第6课时　用比例解决问题(2)课本P60。 1．使学生能正确判断题中涉及的两种量是否成反比例，并能利用反比例的意义正确解决实际问题。2．使学生在经历解决问题的过程中，发展分析问题、解决问题的能力。掌握用反比例知识解决问题的方法与步骤。 能正确运用反比例知识解决有关问题。 一、情境导入1．下面各题中的两种量是否成比例，成什么比例？(课件出示)(1)比例尺一定，图上距离和实际距离。(2)工作总量一定，工作效率和工作时间。(3)平行四边形的面积一定，平行四边形的底和对应的高。2．上一节课我们学习了用正比例知识解决问题。今天，我们一起来学习用反比例知识解决问题。二、探究新知教学例6。1．了解题目条件和问题。2．说一说题目中哪一种量一定，哪两种量成什么比例关系。使学生明确：总用电量是一定的。每天的用电量与用电天数的乘积相等，所以这两种量成反比例关系。3．指名板演，集体订正。板书：解：设原来5天的用电量现在可以用x天。25x＝100×5x＝ eq \f(100×5,25)x＝20答：原来5天的用电量现在可以用20天。三、巩固练习完成课本P60“做一做”第2题。四、课堂小结今天我们学习了用反比例解决问题，说一说解决问题的步骤。五、课后作业完成课本P62第5、8题。自行车里的数学课本P65～66。1．综合运用圆、比例、排列组合等知识解决生活中常见的有关自行车里的数学问题。2．经历“提出问题—分析问题—建立数学模型—解释与应用”的解决问题的基本过程，获得运用数学解决实际问题的思考方法，并加深对所学知识及其相互关系的理解。普通自行车的速度与其内在结构的联系。 前齿轮转一圈，后齿轮转“前齿轮数÷后齿轮数”圈。 一、情境导入你会骑自行车吗？其实在自行车里蕴含着丰富的数学知识，今天我们就一起来探究自行车里的数学。(板书课题：自行车里的数学)二、探究新知1．活动1。展示一辆普通自行车图片。(1)这辆自行车脚踏板蹬一圈，能走多远呢？学生分小组讨论，并相互交流想法，小组派代表汇报。找一辆自行车蹬一圈，通过直接测量来解决问题。(这种方法误差很大)(2)展示自行车工作的原理图，向学生介绍自行车的工作原理：脚踏板带动前齿轮，前齿轮带动后齿轮，后齿轮又带动后轮转动。组织学生自主探究，小组合作完成：脚踏板蹬一圈，带动前齿轮转一圈。前齿轮转一圈，后齿轮转几圈？组织汇报。学生可能会说出：前齿轮的齿数＝后齿轮的齿数×后齿轮转的圈数师总结：后齿轮转动的圈数就是车轮转动的圈数。蹬一圈自行车走的距离＝车轮的周长(3)组织学生分组收集的需要的数据，再代入上面的算式，求出答案。(4)研究蹬2圈及以上的情况。后齿轮的齿数、转动圈数与前齿轮的齿数、转动圈数有什么关系吗？组织学生展示并解释各自的研究过程和结果。2．活动2。多媒体展示一辆变速自行车图片。(1)观察它有几个前齿轮，几个后齿轮？完成课本P66的表格。(2)组织学生分组合作探究：变速自行车中可以组合出多少种速度？学生小组交流，教师巡视指导。(3)蹬同样的圈数，哪种组合使自行车走得最远？学生结合表格，交流讨论前、后齿轮齿数比和自行车走的距离关系。学生汇报后教师小结：当前、后齿轮齿数的比值最大时，自行车走得最远。三、课堂小结今天我们学习了与自行车相关的知识，你有什么收获？