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初中数学人教版七年级下册第八章 二元一次方程组8.1 二元一次方程组教案
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这是一份初中数学人教版七年级下册第八章 二元一次方程组8.1 二元一次方程组教案，共27页。教案主要包含了教学与建议等内容，欢迎下载使用。
8.1 二元一次方程组
教师备课 素材示例
●类比导入 如图．
问题1：假设老牛驮了x个包裹，则小马驮了(x－2)个包裹，可得到方程为__x＋1＝(x－2－1)×2__，则老牛驮了__7个__包裹，小马驮了__5个__包裹．
问题2：如果假设老牛驮了x个包裹，小马驮了y个包裹，你能得到怎样的方程？能列几个？
【教学与建议】教学：通过现实情景再现，类比一元一次方程到列二元一次方程，培养学生良好的数学应用意识．建议：指出二元一次方程与一元一次方程的联系与区别.
●归纳导入 播放多媒体：姚明和刘翔的合影照片．姚明说：“我比刘翔高37 cm.”刘翔说：“我身高的2倍比姚明高152 cm.”他们两人的身高分别是多少？
如果假设姚明的身高为x cm，刘翔的身高为y cm，你能得到怎样的方程？能列几个？
可得方程为： eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y＝37，,2y－x＝152.))
含有__两个__未知数并且含有未知数的项数都是__1__，像这样的方程叫做二元一次方程．
【教学与建议】教学：利用姚明和刘翔的身高，为新课的引入做准备，引出方程问题，让学生再次经历建模的体验．建议：引导学生回答问题，小组合作完成题目．
命题角度1 识别二元一次方程
判断一个方程是不是二元一次方程．首先要看元，即未知数是否有两个；其次要看次，即未知数的次数，含有未知数的项的次数必须都是1.
【例1】下列方程中，是二元一次方程的是(D)
A．x－2y＝4z B．3xy＋5＝0 C． eq \f(1,x)＋5y＝10 D．3x＝ eq \f(y－2,5)
【例2】若方程3xm+1－2yn+2＝4是二元一次方程，则m＝__0__，n＝__－1__．
命题角度2 识别二元一次方程组
判断一个方程是不是二元一次方程组，首先要看方程中是不是共含有两个未知数；其次要看含有未知数的项的次数是否都为1.
【例3】下列方程组中，是二元一次方程组的是(D)
A． eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(xy＝－1，,x＋y＝0)) B． eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x－y＝4，,\f(1,x)＋y＝4)) C． eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋z＝2，,2x－y＝\f(1,2))) D． eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＝4，,\f(x,3)＋\f(y,4)＝7))
【例4】下列是二元一次方程组的是__(1)、(3)__．
(1) eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x－2y＝9，,y＋5x＝0)) (2) eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－3y＋9z＝8，,y＋3z＝5)) (3) eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,x＋y＝1)) (4) eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(xy＋y＝5，,x－y＝4))
命题角度3 判断二元一次方程的解
要判断一对未知数的值是不是二元一次方程的解，应根据二元一次方程的解的概念进行判断，能使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值是二元一次方程的解．
【例5】二元一次方程5x－y＝2的一个解为(C)
A． eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝1)) B． eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝0)) C． eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝3)) D． eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝0，,y＝2))
【例6】解为 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝2))的方程组是(D)
A． eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y＝1，,3x＋y＝5)) B． eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y＝－1，,3x＋y＝－5)) C． eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y＝3，,3x－y＝1)) D． eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－2y＝－3，,3x＋y＝5))
命题角度4 由二元一次方程(组)的解确定字母系数或式子的值
根据方程(组)的解求方程(组)中字母系数或相关式子的值的方法：将方程组的解代入方程(组)，得到关于字母系数的新方程(组)，从而求解．
【例7】已知 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝2))是方程ax＋y＝3的解，则式子a2＋5的值为__6__.
【例8】若关于x，y的二元一次方程组 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(mx－2y＝n，,nx＋4y＝1))的解是 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝－1，))则m＋n的值为(D)
A．2 B．4 C．6 D．8
命题角度5 求二元一次方程的特殊解
在二元一次方程的所有解中找出具有特殊意义的解，如正整数解、自然数解等．
【例9】端午节前夕，某食品加工厂准备将生产的粽子装入A，B两种食品盒中，A种食品盒每盒装8个粽子，B种食品盒每盒装10个粽子，若现将200个粽子分别装入A，B两种食品盒中(两种食品盒均要使用并且装满)，则不同的分装方式有(C)
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
命题角度6 建立二元一次方程组模型
由实际问题抽象出二元一次方程组的步骤：(1)审清题意；(2)找出题目中的两个相等关系；(3)设出合适的未知数；(4)根据相等关系列出两个方程，组成方程组．
【例10】我国古代数学著作《孙子算经》有“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？”其大意如下：有若干人要坐车，如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人坐一辆车，那么有9人需要步行，问人与车各多少？设共有x人，y辆车，则可列方程组(C)
A． eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3(y－2)＝x，,2y－9＝x)) B． eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3(y＋2)＝x，,2y＋9＝x))
C． eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3(y－2)＝x，,2y＋9＝x)) D． eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3(y＋2)＝x，,2y－9＝x))
高效课堂 教学设计
1．理解二元一次方程、二元一次方程组和它的解的含义．
2．会检验一组数是不是某个二元一次方程组的解．
3．能根据问题情境列二元一次方程组．
▲重点
二元一次方程、二元一次方程组及其解的概念．
▲难点
会列二元一次方程组，并判断一组数是不是某个二元一次方程组的解．
◆活动1 新课导入
1．下列方程中，是一元一次方程的是( B )
A．x＋y＝2 B．x＋2＝3 C．x＋2y＋z＝0 D．4x2＝0
2．若x＝1是方程ax＋2x＝3的解，则a＝__1__．
3．篮球比赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分，某队在14场比赛中得到26分，那么这个队胜、负场数分别是多少？
学生回答或展示．
◆活动2 探究新知
1．教材P88 思考．
提出问题：
(1)引言中的问题包含了哪些必须同时满足的条件？设胜的场数是x，负的场数是y，你能用方程把这些条件表示出来吗？
(2)列出的方程有什么特点？与一元一次方程有什么不同？
(3)什么样的方程叫做二元一次方程？
(4)什么叫做二元一次方程组？
学生完成并交流展示．
2．教材P89 探究及其以下内容．
提出问题：
(1)请完成探究中的填空；
(2)什么叫二元一次方程的解？怎样检验一组数是否为某个二元一次方程的解？
(3)什么叫二元一次方程组的解？怎样检验一组数是否为某个二元一次方程组的解？
学生完成并交流展示．
◆活动3 知识归纳
1．含有__两__个未知数(x和y)，并且含有未知数的项的次数都是__1__，像这样的方程叫做二元一次方程．
2．方程组中有__两__个未知数，且含有每个未知数的项的次数都是__1__，并且一共有__两__个方程，这样的方程组叫做二元一次方程组．
3．一般地，使二元一次方程两边的值__相等__的两个未知数的值，叫做二元一次方程的__解__．
4．一般地，二元一次方程组的两个方程的__公共解__，叫做二元一次方程组的解．
◆活动4 例题与练习
例1 已知|m－1|x|m|＋y2n-1＝3是二元一次方程，则m＋n的值是多少？
解：由题意，得|m|＝1且|m－1|≠0，2n－1＝1，解得m＝－1，n＝1，∴m＋n＝－1＋1＝0.
例2 若 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3m＋1，,y＝2m－2))是二元一次方程4x－3y＝10的一个解，求m的值．
解：将 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3m＋1，,y＝2m－2))代入方程4x－3y＝10，得4(3m＋1)－3(2m－2)＝10，解得m＝0.
例3 甲、乙两人共同解方程组 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ax＋5y＝15，①,4x－by＝－2，②))由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－3，,y＝－1，))乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝5，,y＝4.))试计算a2 019＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,10)b)) eq \s\up12(2 020)的值．
解：将 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－3，,y＝－1))代入方程②，得－12＋b＝－2，解得b＝10.将 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝5，,y＝4))代入方程①，得5a＋20＝15，解得a＝－1.∴a2 019＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,10)b)) eq \s\up12(2 020)＝(－1)2 019＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,10)×10)) eq \s\up12(2 020)＝－1＋1＝0.
练习
1．教材P89 练习．
2．下列方程组中，是二元一次方程组的是( A )
A． eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝4，,2x＋3y＝7)) B． eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(7a－8b＝11，,5b－4c＝6))
C． eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＝25，,y＝4x)) D． eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝12，,x2－y＝4))
3．已知关于x，y的方程(m2－4)x2＋(m＋2)x＋(m＋1)y＝m＋5.
(1)当m为何值时，它是一元一次方程？
(2)当m为何值时，它是二元一次方程？
解：由题意，得m2－4＝0，解得m＝2或m＝－2.
(1)当m＝－2时，m＋2＝0，此时方程为一元一次方程；
(2)当m＝2时，原方程可化为4x＋3y＝7，此时方程为二元一次方程．
◆活动5 完成附赠手册
◆活动6 课堂小结
1．二元一次方程(组)的概念．
2．二元一次方程(组)的解的概念．
1．作业布置
(1)教材P90 习题8.1第1，2，3，4题；
(2)对应课时练习．
2．教学反思
8.2 消元——解二元一次方程组
第1课时 代入消元法
教师备课 素材示例
●情景导入 情境：某商场有如图所示的一则广告．
问题：你知道一个茶杯和一瓶可乐各多少钱吗？
【教学与建议】教学：现实而直观的情境是使学生主动参与的最佳途径，初步体验代入消元法．建议：以此例引出课题，找出解题突破点，两式相减可得到一个茶杯价格.
●置疑导入 情境再现：“各驮了多少包裹”
上节课我们学习了老牛和小马各驮了多少包裹的问题，得出了二元一次方程组 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y＝2 ①，,x＋1＝2(y－1) ②，))那么老牛和小马各驮了多少包裹呢？这就需要解这个二元一次方程组．一元一次方程我们会解，那么二元一次方程组如何解呢？
【教学与建议】教学：在解决实际问题的过程中，得出解方程组的必要性．建议：可把上节课的开课问题投影在黑板上，便于思考新问题．
●复习导入 1.下列方程是二元一次方程吗？
(1)x＋2y＝5；(2)2y＋4＝0；(3) eq \f(2,x)－y＝5；(4)3x＋y＝10.
2．你能把上面的二元一次方程改写成用x表示y(或用y表示x)的形式吗？
3．二元一次方程组 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝8，,x＋2y＝10))的解是__ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝6，,y＝2))__.
【教学与建议】教学：复习问题由易到难，引出课题，在回顾的过程中学会思考和质疑．建议：培养学生独立完成回顾和探究的好习惯．
命题角度1 字母间的关系
此类题目往往涉及3个字母，通常把其中一个方程代入另一个方程消去多余的字母即可．
【例1】已知关于x，y的方程组 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋m＝4，,y－5＝m，))则x＋y＝__9__.
【例2】方程组 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4x－3y＝k，,2x＋3y＝5))的解x与y的值相等，则k的值为__1__．
命题角度2 整体代入法解二元一次方程组
当所给的方程组比较复杂时，应先化简，若两方程中含有未知数的部分相等时，可把这一部分看作一个整体求解．
【例3】解方程组 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x＋1,3)＝2y ①，,2(x＋1)－y＝11 ②.))
解：由①，得x＋1＝6y ③，把③代入②，得2×6y－y＝11，解得y＝1，把y＝1代入①，得x＝5，所以原方程组的解为 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝5，,y＝1.))
命题角度3 非负数的性质涉及的解二元一次方程组问题
解决此类问题只需抓住两点：(1)认准常见的非负数；(2)若几个非负数的和为零，则每一个非负数都为零．
【例4】若 eq \r(x－y＋3)与|2x＋y|互为相反数，则x＋y的值为__1__．
【例5】若 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝－3))是方程(mx＋ny－9)2＋|nx－my＋6|＝0的解，则－3m2＋2n－2的值是__－8__．
命题角度4 二元一次方程组的解与解二元一次方程组的综合问题
二元一次方程组的解一定适合二元一次方程组，只需把解代入原方程组，再解新方程组即可．
【例6】已知 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝2))是关于x，y的二元一次方程组 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ax＋by＝5，,ax－by＝－1))的解，则a＋b＝__3.5__.
高效课堂 教学设计
1．了解消元法的思想．
2．理解什么是代入消元法，能用代入消元法解二元一次方程组．
▲重点
代入消元法．
▲难点
探索如何用代入法将“二元”转化为“一元”的消元过程．
◆活动1 新课导入
1．回顾二元一次方程组的相关概念．
2．在篮球联赛中，某校七(1)班为了取得好名次，他们想在全部22场比赛中得到40分，已知每场比赛都要分出胜负，胜队得2分，负队得1分，那么七(1)班应该胜、负各几场？如果设该班胜x场，负y场，可列出什么样的方程组？
学生回答或展示： eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝22 ①，,2x＋y＝40 ②.))
那么这个方程组该怎么解呢？今天我们来学习如何解方程组．
◆活动2 探究新知
1．教材P91 内容．
提出问题：
(1)若引言中只设一个未知数，你能列出相应的方程吗？
(2)二元一次方程组 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝10，,2x＋y＝16))与一元一次方程2x＋(10－x)＝16有什么关系？
(3)如何求(2)中方程组的解？
(4)什么叫做消元思想？
(5)什么叫做代入消元法？
(6)用代入消元法解二元一次方程组的步骤是什么？
学生完成并交流展示．
2．教材P91 例1.
提出问题：
(1)例1的解题过程中的把③代入②，改成把③代入①可以吗？试试看；
(2)把y＝－1代入①或②可以吗？解题过程中为什么要把y＝－1代入③，有什么优点？
(3)把第一步由①得x＝y＋3换成由①得y＝x－3，记为③，然后代入求解，结果一样吗？试试看．
学生完成并交流展示．
◆活动3 知识归纳
1．把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含__另一个未知数__的式子表示出来，再代入__另一个__方程，实现__消元__，进而求得这个二元一次方程组的解．这种方法叫做代入消元法，简称__代入法__．这种将未知数的个数__由多化少__、逐一解决的思想，叫做__消元__思想．
2．用代入消元法解二元一次方程组的步骤：
(1)从方程组中选取一个系数比较简单的方程，把其中的一个未知数用__含另一个未知数的式子__表示出来；
(2)把(1)中所得的式子代入__另一个方程__，消去一个__未知数__；
(3)解所得到的__方程__，求得一个__未知数__的值；
(4)把所求得的未知数的值代入(1)中的式子，求出__另一个未知数__的值，从而确定方程组的__解__．
◆活动4 例题与练习
例1 用代入法解下列方程组：
(1) eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝x－1 ①，,2x－y＝3 ②；))
解：将①代入②，得
2x－x＋1＝3.
解得x＝2.
将x＝2代入①，得y＝1.
∴这个方程组的解是 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝1；))
(2) eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－2y＝2 ①，,3x＋5y＝28 ②.))
解：将①移项，得x＝2y＋2.③
将③代入②，得
3(2y＋2)＋5y＝28.
解得y＝2.
将y＝2代入③，得x＝6.
∴这个方程组的解是 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝6，,y＝2.))
例2 教材P92 例2.
例3 将一批重490 t的货物分配给甲、乙两船运输，现甲船已运走其任务的 eq \f(5,7)，乙船已运走其任务的 eq \f(3,7).在已运走的货物中，甲船比乙船多运30 t，则分配给甲、乙两船的任务各为多少吨？
解：设分配给甲船的任务为x t，分配给乙船的任务为y t.
依题意，得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝490，,\f(5,7)x－\f(3,7)y＝30，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝210，,y＝280.))
答：分配给甲船的任务为210 t，分配给乙船的任务为280 t．
练习
1．教材P93 练习第1，2，3，4题．
2．用代入法解方程组 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝1－x，,x－2y＝4))时，代入正确的是( D )
A．x－2－x＝4 B．x－2－2x＝4
C．x－2＋x＝4 D．x－2＋2x＝4
3．将2x＋3y＝5化成用含x的代数式表示y的形式，则y＝__ eq \f(5－2x,3)__；用含y的代数式表示x，则x＝__ eq \f(5－3y,2)__．
4．用代入法解下列方程组：
(1) eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x－5z＝6 ①，,x＋4z＝－15 ②；))
解： eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－3，,z＝－3；))
(2) eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x,2)－\f(y＋1,3)＝1 ①，,2x＋y＝10 ②.))
解： eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝4，,y＝2.))
◆活动5 完成附赠手册
◆活动6 课堂小结
1．代入消元法的概念和步骤．
2．用代入消元法解二元一次方程组和相关的应用题．
1．作业布置
(1)教材P97～98 习题8.2第1，2，6题；
(2)对应课时练习．
2．教学反思
第2课时 加减消元法
教师备课 素材示例
●情景导入 我国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成的．如图，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项，把图①所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组的形式表述出来，就是 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋4y＝10，,6x＋11y＝34.))请你根据图②所示的算筹图，列出方程组，并求解．
eq \(\s\up7(),\s\d5(①)) eq \(\s\up7(),\s\d5(②))
【教学与建议】教学：从我国古代数学趣题直接导入，激发学生探究的欲望与激情．建议：提出问题后，让学生先思考，后讨论，然后找学生说出他的解题思路，写出解题过程．
●归纳导入 怎样解下面的二元一次方程组呢？
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋3y＝－1 ①，,2x－3y＝5 ②.))
小明说：把②变形得x＝ eq \f(3y＋5,2)，代入①，不就消去x了！
小亮说：把②变形得3y＝2x－5，可以直接代入①呀！
小丽说：3y和－3y互为相反数，只要把这两个方程相加，就能消去y.
针对以上几种方法，你有什么体会？
【归纳】当二元一次方程组的两个方程同一未知数的系数__相反__或__相等__时，把这个方程的两边分别__相加__或__相减__，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程．
【教学与建议】教学：本题既是对上节课用代入法解二元一次方程组的复习，也是本节新课的引例，起着承上启下的作用．建议：体会转化思想，把未知的知识转化成已知的知识．
命题角度1 利用加减法解二元一次方程组
用加减法解二元一次方程组，要注意观察未知数的系数，选取系数较简单的未知数进行操作，使其系数相等或互为相反数，然后通过加减消元法求解．
【例1】解二元一次方程组：
(1) eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝5，,x－y＝3；)) (2) eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋y＝4，,x－y＝－1.))
解：(1) eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝4，,y＝1；)) (2) eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝2.))
命题角度2 利用加减法整体求值
用“整体求值”加减消元，只需将两个方程(或其适当的倍数)相加或相减，即得答案(或为进一步求解打下基础)．
【例2】已知 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝－1))是方程组 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ax＋by＝－3，,bx＋ay＝－2))的解，则a＋b的值是(C)
A．－1 B．1 C．－5 D．5
【例3】已知二元一次方程组 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋2y＝3，,2x＋y＝4，))则x－y的值为__1__.
命题角度3 同类项中涉及的解二元一次方程组
利用同类项所含字母相同，相同字母的指数也分别相同，结合二元一次方程组，求出涉及字母的值．
【例4】3x2a＋by2与－4x3y3a－b是同类项，则a－b的值是(A)
A．0 B．1 C．2 D．3
【例5】已知单项式2a4b-2m+7与3a2mbn+2是同类项，则m＋n＝__3__．
命题角度4 两个二元一次方程组的同解问题
当几个二元一次方程组同解时，可将两个不含未知系数的二元一次方程组成方程组，并求出方程组的解，利用这个解得到未知系数的方程(组)，求得未知系数的值．
【例6】已知关于x，y的二元一次方程组 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋y＝7，,x＋2y＝m－3))的解也是方程x－2y＝6的解，则m的值是__5__．
【例7】已知关于x，y的方程组 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(mx＋y＝n，,2x－y＝7))与 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋ny＝m，,3x＋y＝8))有相同的解，求m，n的值．
解：由题意，得方程组① eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－y＝7，,3x＋y＝8，))方程组② eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(mx＋y＝n，,x＋ny＝m.))
解方程组①，得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝－1.))
把 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝－1))代入方程组②得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3m－1＝n，,3－n＝m，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝1，,n＝2.))
当m＝1，n＝2时，方程组 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(mx＋y＝n，,2x－y＝7))与 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋ny＝m，,3x＋y＝8))有相同的解．
命题角度5 二元一次方程组的错解问题
看错某一个方程的系数得到方程组的解，将没看错的解代入恰当的方程，构造关于字母系数的方程(组)，通过解方程(组)可解决问题．
【例8】甲、乙二人解方程组 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋ay＝1 ①，,bx－y＝2 ②，))由于甲看错了方程①中a的值，得到方程组的解为 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝4，))而乙看错了方程②中b的值，得到方程组的解为 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝－3.))则x＋y的值为__ eq \f(1,4)__．
高效课堂 教学设计
1．会阐述用加减消元法解二元一次方程组的基本思路：通过“加减”达到“消元”的目的，从而把二元一次方程组转化为一元一次方程来求解．
2．会用加减消元法解简单的二元一次方程组．
▲重点
用加减消元法解二元一次方程组．
▲难点
灵活地用消元法解二元一次方程组．
◆活动1 新课导入
上节课我们学习了用代入消元法解二元一次方程组，那么如何解方程组 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋3y＝－1，①,2x－3y＝5 ②))呢？
(1)用代入消元法(消x)解方程组；
(2)解完后思考：用“整体代换”的思想把2x作为一个整体代入消元求解；
(3)还有没有更简单的解法？
方法一：由x的系数相等，是否可以考虑①－②，从而消去x求解？
方法二：由y的系数相反，是否可以考虑①＋②，从而消去y求解？
今天我们来学习解二元一次方程组的另外一种方法——加减消元法．
◆活动2 探究新知
1．教材P94 内容．
提出问题：
(1)在方程组 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝10，,2x＋y＝16))中，y的系数有什么关系？
(2)利用(1)中的关系，你能发现新的消元方法吗？
(3)若想先消去方程组中的x，应先怎么办？
(4)什么叫做加减消元法？加减消元法的步骤是什么？
(5)两个方程相减的依据是什么？目的是什么？
(6)相减时要注意什么？
学生完成并交流展示．
2．教材P95 例3.
提出问题：
(1)在例3解题过程中，①×3，②×2的目的是什么？
(2)如果用加减消元法消去x，应如何解？请写出解题过程，解得的结果一样吗？
学生完成并交流展示．
◆活动3 知识归纳
1．当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程．这种方法叫做__加减消元法__，简称__加减法__．
2．用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤：
(1)利用等式的性质把方程组中同一个未知数的系数化为__互为相反数__或__相等__；
(2)把两个方程的两边分别相加或相减，得到一个__一元一次__方程；
(3)解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；
(4)将求出的未知数的值代入__方程组__中的任何一个方程，求出另外一个未知数的值，就能得到方程组的解．
注意：用代入法和加减法解二元一次方程组时，它们都是通过__消元__使方程组转化为__一元一次方程__，只是__消元__的方法不同．我们应该根据方程组的具体情况选择合适的解法．
◆活动4 例题与练习
例1 用加减法解下列方程组：
(1) eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4x＋3y＝6 ①，,4x－2y＝16 ②；))
解：①－②，得5y＝－10.
解得y＝－2.
将y＝－2代入①，得x＝3.
∴这个方程组的解是 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝－2；))
(2) eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋y＝5 ①，,x＋2y＝4 ②.))
解：①×2，得4x＋2y＝10.③
③－②，得3x＝6.
解得x＝2.
将x＝2代入①，得y＝1.
∴这个方程组的解是 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝1.))
例2 教材P95 例4.
例3 已知方程组 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－y＝7，,ax＋y＝b))和 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋by＝a，,3x＋y＝8))有相同的解，求3a－2b的值．
解：由题意，联立 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－y＝7，,3x＋y＝8，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝－1.))将 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝－1))代入 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋by＝a，,ax＋y＝b，))得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3－b＝a，,3a－1＝b，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝2.))∴3a－2b＝3×1－2×2＝－1.
练习
1．教材P96～97 练习第1，2，3题．
2．用加减法解方程组 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－3y＝5 ①，,3x－2y＝7 ②.))下列解法不正确的是( D )
A．①×3－②×2，消去x B．①×2－②×3，消去y
C．①×(－3)＋②×2，消去x D．①×2－②×(－3)，消去y
3．在二元一次方程4x－3y＝14中，若x，y互为相反数，则x＝__2__，y＝__－2__.
4．用加减法解下列方程组：
(1) eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝1 ①，,2x－y＝5 ②；))
解：①＋②，得3x＝6.
解得x＝2.
将x＝2代入①，得y＝－1.
∴这个方程组的解是 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝－1；))
(2) eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－3y＝3 ①，,x＋2y＝－2 ②.))
解：②×2，得2x＋4y＝－4.③
③－①，得7y＝－7，
解得y＝－1.
将y＝－1代入②，得x＝0.
∴这个方程组的解是 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝0，,y＝－1.))
◆活动5 完成附赠手册
◆活动6 课堂小结
1．加减消元法的概念和解题步骤．
2．用加减法解二元一次方程组和相关的应用题．
1．作业布置
(1)教材P98 习题8.2第3，4，5，7，8题；
(2)对应课时练习．
2．教学反思
8.3 实际问题与二元一次方程组
第1课时 利用二元一次方程组解决简单的实际问题
教师备课 素材示例
●情景导入
养牛场原有30头大牛和15头小牛，1天约用饲料675 kg；一周后又购进12头大牛和5头小牛，这时1天约用饲料940 kg.饲养员李大叔估计每头大牛1天约需饲料18～20 kg，每头小牛1天约需饲料7～8 kg.请你通过计算检验李大叔的估计是否正确．
1．怎样检验他的估计是否正确呢？
2．列方程解决问题的步骤是什么？
3．题目中包含怎样的相等关系？
【教学与建议】教学：让学生欣赏辽阔的草原风光，同时引出列二元一次方程解决问题，使导入环节自然流畅．建议：学生自主探究，思考后设出相应未知数，并独立做出判断．
●复习导入 你能解决下面的问题吗？(课件展示)
问题1：解二元一次方程组的基本思想是__消元__，解法有__代入消元法和加减消元法__.
问题2：我们学习了列一元一次方程解应用题，它的一般步骤是什么？审题、设未知数、列方程、解方程检验并作答．
【教学与建议】教学：通过复习旧知，为本节课的学习做好铺垫．建议：让学生回答问题，小组内进行交流体会．
命题角度1 和差倍分问题
此类问题审清题意，找相等关系，一般求什么设什么，所列方程个数与未知数个数相同．
【例1】有A，B两种货车，3辆A型车与2辆B型车一次可以运货19 t，2辆A型车与3辆B型车一次可以运货21 t，则1辆A型车与1辆B型车一次可以运货__8__t.
【例2】儿童节期间，文具商店搞促销活动，同时购买一个书包和一个文具盒可以打八折优惠，能比标价省13.2元．已知书包标价比文具盒标价的3倍少6元，那么一个书包比一个文具盒的标价多__30__元．
命题角度2 盈亏问题
盈亏问题中有的量固定不变，根据这个“不变量”可作相等关系，即用两种不同的式子表示同一个量，这两个式子相等．
【例3】七年级学生在会议室开会，每排座位坐12人，则有11人没有座位；每排座位坐14人，则余1人独坐一排，则这间会议室的座位排数是(C)
A．14排 B．13排 C．12排 D．15排
【例4】几个人一起去购买某物品，如果每人出8元，那么多了3元；如果每人出7元，那么少了4元，则有__7__人，物品的价格是__53__元．
命题角度3 数字问题
解决数字问题的关键是能够根据数字所处的位置用适当的形式将数表示出来．
【例5】有一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大2，且十位上数字与个位上数字之和为12，则这个两位数为__75__．
【例6】一个两位数，个位数字与十位数字之和是9，如果把两个数字对调后所得的新数比原数大9，则原来的两位数为__45__．
高效课堂 教学设计
1．会借助二元一次方程组解决简单的实际问题，体会二元一次方程组与现实生活的联系．
2．体会列方程组比列一元一次方程容易，培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问题、解决问题的能力．
▲重点
列二元一次方程组解决实际问题．
▲难点
各类应用题中有关两个相等关系的探求．
◆活动1 新课导入
1．用适当的方法解下列方程组：
(1) eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3m－2n＝5 ①，,4m＋2n＝9 ②；)) (2) eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,5)x＋\f(1,3)y＝\f(2,5) ①，,0.5x－0.3y＝0.2 ②.))
2．用9元钱购买11枚面值分别为1元和0.5元的邮票，则可购买1元和0.5元的邮票各多少枚？
(1)在这个问题中有两个相等关系：①1元邮票枚数＋__0.5元邮票枚数__＝11枚；②__1元邮票总金额__＋0.5元邮票总金额＝__9__元；
(2)若设购得1元邮票x枚，0.5元邮票y枚，则可列方程组__ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝11，,x＋0.5y＝9))__，解这个方程组得__ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝7，,y＝4))__．
◆活动2 探究新知
教材P99 探究1.
提出问题：
(1)题目中哪些是已知量，哪些是未知量？
(2)你准备设哪几个未知数？
(3)你能找出问题中的等量关系，并用等式表示吗？
(4)你能根据上面的等量关系列出方程或方程组吗？
学生完成并交流展示．
◆活动3 知识归纳
用二元一次方程组解决实际问题的一般步骤是：
(1)审题：弄清题意和题目中的__等量__关系；
(2)设元：用字母表示题目中的未知数，可直接设未知数，也可__间接__设未知数；
(3)列方程组：挖掘题中的所有条件，找出两个与未知数相关的__等量关系__，并依此列出__方程组__；
(4)解方程组：利用__代入__法或__消元__法解所列方程组，求出未知数的值；
(5)检验及作答：检验所求的解是否符合__题意__，然后作答．
◆活动4 例题与练习
例1 有大、小两种货车，2辆大车与3辆小车一次可以运货15.5 t，5辆大车与6辆小车一次可以运货35 t，则3辆大车与5辆小车一次可以运货多少吨？
解：设每辆大车和每辆小车一次运货量分别为x t和y t．根据题意，得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋3y＝15.5，,5x＋6y＝35.))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝4，,y＝2.5.))则3x＋5y＝3×4＋5×2.5＝24.5.
答：3辆大车与5辆小车一次可以运货24.5 t．
例2 A，B两码头相距140 km，一艘轮船在其间航行，顺水航行用了7 h，逆水航行用了10 h，求这艘轮船在静水中的速度和水流速度．
解：设这艘轮船在静水中的速度为x km/h，水流速度为y km/h.
由题意，得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(7(x＋y)＝140，,10(x－y)＝140.))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝17，,y＝3.))
答：这艘轮船在静水中的速度为17 km/h，水流速度为3 km/h.
例3 甲、乙两个施工队在六安(六盘水—安顺)城际高铁施工中，每天甲队比乙队多铺设100 m钢轨，甲队铺设5天的距离刚好等于乙队铺设6天的距离，若设甲队每天铺设x m，乙队每天铺设y m.
(1)依题意列出二元一次方程组；
(2)甲、乙两施工队每天各铺设多少米？
解：(1) eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y＝100，,5x＝6y；))(2)解方程组 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y＝100，,5x＝6y，))得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝600，,y＝500.))
答：甲施工队每天铺设600 m，乙施工队每天铺设500 m．
练习
1．学校买篮球、足球共25个，共用732元，篮球每个36元，足球每个24元，那么买足球( D )
A．11个 B．12个 C．13个 D．14个
2．一个两位数的数字之和为10，十位数字与个位数字互换后，所得新数比原数小36，则原来的两位数是__73__．
3．小明想从“天猫”某网店购买计算器，经查询，某品牌A型号计算器的单价比B型号计算器的单价多10元，5台A型号的计算器与7台B型号的计算器的价钱相同，问A，B两种型号计算器的单价分别是多少？
解：设A型号计算器的单价为x元，B型号计算器的单价为y元．
根据题意，得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y＝10，,5x＝7y，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝35，,y＝25.))
答：A型号计算器的单价为35元，B型号计算器的单价为25元．
◆活动5 完成附赠手册
◆活动6 课堂小结
1．初步掌握列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤．
2．会利用二元一次方程组解决实际问题．
1．作业布置
(1)教材P101～102 习题8.3第1，2，3，4题；
(2)对应课时练习．
2．教学反思
第2课时 利用二元一次方程组解决较复杂的实际问题
教师备课 素材示例
●情景导入 两个车间，按计划每月共产生微型电机680台，由于改进技术，上个月第一车间完成计划的120%，第二车间完成计划的115%，结果两个车间一共生产微型电机798台，则上个月两个车间各生产微型电机多少台？
问题1：这题包含几个相等的关系式？
问题2：如果设两车间上个月各生产微型电机x台和y台，则可列方程组为__ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝798，,x÷120%＋y÷115%＝680))__.
【教学与建议】教学：从数学问题直接导入，激发学生探究的欲望与激情．建议：提出问题后，让学生先思考，后讨论；然后找学生说出他的解题思路，写出解题过程．
●置疑导入
如图，8块相同的长方形地砖拼成一个大的长方形，小明很快说出每块地砖的长和宽分别是45 cm和15 cm，你认为他的说法正确吗？为什么？
【教学与建议】教学：观察图形解决几何问题，为本节课列方程组解应用题奠定基础．建议：指导学生观察几何图形，理解题意．
命题角度1 配套问题
配套问题的特点和数量关系如下表：
【例1】用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身16个，或制盒底48个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒．现有15张白铁皮，用来制盒身和盒底，可以刚好制__144__套．
【例2】某生产车间有60名工人生产太阳镜，1名工人每天可生产镜片200片或镜架50个．应如何分配工人生产镜片和镜架，才能使生产的产品正好配套？
解：设x名工人生产镜片，y名工人生产镜架．
由题意，得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝60，,200x＝2×50y，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝20，,y＝40.))
答：20名工人生产镜片，40名工人生产镜架，才能使生产的产品正好配套．
命题角度2 古代问题
古代问题都有特殊的问题情境，分析问题情境，确定其中的数量关系及相等关系，根据数量关系及相等关系列出方程组解决问题．
【例3】我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗？”如果设清酒x斗，醑酒y斗，那么可列方程组为(A)
A． eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝5，,10x＋3y＝30)) B． eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝5，,3x＋10y＝30))
C． eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝30，,\f(x,10)＋\f(y,3)＝5)) D． eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝30，,\f(x,3)＋\f(y,10)＝5))
命题角度3 几何图形问题
解决此类问题的关键在于认真分析图形，根据图形中各部分间的关系确定相等关系，从而得到方程组，通过解方程组解决问题．
【例4】如图，在长为15，宽为12的长方形中，有形状、大小完全相同的5个小长方形，则图中阴影部分的面积为(B)
A．35 B．45 C．55 D．65
【例5】餐馆里把塑料凳整齐地叠放在一起(如图)，根据图中的信息计算有20张同样塑料凳整齐地叠放在一起时的高度是__80__cm.
命题角度4 行程问题
行程问题要抓住时间、路程、速度之间的关系．对于上、下坡问题，要使学生弄清楚来回坡路的变化，从而找出相等关系，正确列出方程组．
【例6】一条船顺水航行，每小时行驶22 km；逆水航行，每小时行驶18 km，设船在静水中速度为x km/h，水流速度为y km/h，则下列方程组符合题意的是(B)
A． eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝18，,x－y＝22)) B． eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝22，,x－y＝18)) C． eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＋x＝18，,y－x＝22)) D． eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＋x＝22，,y－x＝18))
【例7】从甲地到乙地的路有一段平路与一段上坡路，如果骑自行车保持平路每小时行15 km，上坡路每小时行10 km，下玻路每小时行18 km，那么从甲地到乙地需29 min，从乙地到甲地需25 min，从甲地到乙地全程是__6.5__km.
命题角度5 销售问题
销售问题中常见的数量关系：利润＝售价－进价；售价＝标价× eq \f(打折数,10)；利润率＝ eq \f(利润,进价)×100%.
【例8】小林在某商店购买商品A，B共三次，只有一次购买时，商品同时打折，其余两次均按标价购买，三次购买商品A，B的数量和费用如下表：
(1)小明以折扣价购买商品是第__三__次购物；
(2)求商品A，B的标价；
(3)若商品A，B的折扣相同，问商店是打几折出售这两种商品的？
解：(2)设商品A的标价为x元，商品B的标价为y元．根据题意，得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(6x＋5y＝1 140，,3x＋7y＝1 110，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝90，,y＝120.))
答：商品A的标价为90元，商品B的标价为120元；
(3)设商店是打m折出售这两种商品．根据题意，得(9×90＋8×120)× eq \f(m,10)＝1 062，解得m＝6.
答：商店是打六折出售这两种商品的．
高效课堂 教学设计
1．进一步经历用二元一次方程组解决实际问题的过程，体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型．
2．会用列表的方式分析问题中所蕴涵的数量关系，列出二元一次方程组．
▲重点
列二元一次方程组解应用题．
▲难点
正确地找出等量关系．
◆活动1 新课导入
1．原材料费与原材料数量的关系：原材料费＝原材料数量×__单价__．
2．运费与产品重量和路程的关系：运费＝产品重量×1吨/千米的运费×__路程__．
3．对于较复杂的数量关系：可以通过__列表__来理顺关系．
4．根据图中提供的信息，可知一个杯子的价格是__8__元．
◆活动2 探究新知
1．教材P99 探究2.
提出问题：
(1)“甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1∶2”是什么意思？
(2)“甲、乙两种作物的总产量的比是3∶4”是什么意思？
(3)本题中有哪些等量关系？你能根据这些关系列出方程或方程组吗？
(4)如何表述你的种植方案？
学生完成并交流展示．
2．教材P100 探究3.
提出问题：
(1)对于此题应如何设未知数？
(2)请完成P101表格；
(3)此题中的等量关系是什么？请完成P101填空．
学生完成并交流展示．
◆活动3 知识归纳
方程组是解决含有多个__未知数__问题的重要工具，用方程组解决问题时，要根据问题中的__数量__关系列出方程组，求出方程组的解后，应进一步考虑它是否符合问题的__实际__意义．
◆活动4 例题与练习
例1 小王购买了一套经济适用房，他准备将地面上铺上地砖，地面结构如图所示．根据图中的数据(单位：m)，解答下列问题：
(1)用含x，y的式子表示地面总面积；
(2)已知客厅面积比卫生间面积多21 m2，且地砖总面积是卫生间面积的15倍，铺1 m2地砖的平均费用为80元，铺地砖的总费用是多少元？
解：(1)地面总面积为(6x＋2y＋18)m2；
(2)由题意，得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(6x－2y＝21，,6x＋2y＋18＝15×2y，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝4，,y＝\f(3,2)．))
∴地面总面积为6×4＋2× eq \f(3,2)＋18＝45(m2).
∴铺地砖的总费用为45×80＝3 600(元).
例2 某农场300名职工耕种51公顷土地，计划种植水稻、棉花和蔬菜，已知种植作物每公顷所需的劳动力人数及投入的设备资金如下表：
已知该农场计划投入的设备资金是67万元，应该怎样安排这三种作物的种植面积，才能使所有职工都有工作，而且投入的设备资金正好够用？
解：设安排x公顷种植水稻，y公顷种植棉花，则(51－x－y)公顷种植蔬菜．根据题意，得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4x＋8y＋5(51－x－y)＝300，,x＋y＋2(51－x－y)＝67.))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝15，,y＝20.))
那么种植蔬菜的面积为51－15－20＝16(公顷).
答：安排15公顷种植水稻，20公顷种植棉花，16公顷种植蔬菜，才能使所有职工都有工作，而且投入的设备资金正好够用．
练习
1．陈老师打算购买气球装扮学校“六一”儿童节活动会场，气球的种类有笑脸和爱心两种，两种气球的价格不同，但同一种气球的价格相同．由于会场布置需要，购买时以一束(4个气球)为单位，已知第一、二束气球的价格如图所示，则第三束气球的价格为( C )
A．19 B．18 C．16 D．15
2．某校九年级(1)班40名同学为灾区捐款，共捐款1 000元，捐款情况如下表，则捐款20元的有__15__人．
3.如图，用8块相同的小长方形拼成一个宽为48 cm的大长方形，每块小长方形的长和宽分别是多少？
解：设每块小长方形的长是x cm，宽是y cm.
依题意，得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3y，,x＋y＝48.))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝36，,y＝12.))
答：每块小长方形的长是36 cm，宽是12 cm.
◆活动5 完成附赠手册
◆活动6 课堂小结
1．进一步掌握列二元一次方程组解决实际问题的方法和步骤．
2．学会利用列表格分析复杂数量之间的关系，从而列出方程组解决实际问题．
1．作业布置
(1)教材P102 习题8.3第6，7，8，9题；
(2)对应课时练习．
2．教学反思
*8.4 三元一次方程组的解法
教师备课 素材示例
●归纳导入 今年元旦晚会七、八、九三个年级一共选送了72个节目，八年级比七年级多选送了4个节目，七年级选送节目个数的2倍与八年级的和比九年级多26个．七、八、九三个年级各选送了多少个节目？
设七、八、九三个年级分别选送了x，y，z个节目，可得方程组 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＋z＝72，,y－x＝4，,2x＋y－z＝26.))
这样的方程和方程组叫什么呢？
【归纳】这个方程组含有__3__个未知数，每个方程中含有未知数的项的次数都是__1__，一共有__3__个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组．
【教学与建议】教学：通过生活中的实例，引导学生列出方程组，初步体会三元一次方程组情况．建议：引导学生分析题意，理清关系，让学生自己列出方程组．
●复习导入 问题1：什么是二元一次方程和二元一次方程组？
问题2：解二元一次方程组的基本思路是什么？
问题3：求解二元一次方程组有哪些方法？主要步骤有哪些？
【教学与建议】教学：在学生已有知识背景的前提下，由情景问题引入新课，充分调动学生的学习积极性．建议：教师提示学生抓住概念中的关键点，准确理解概念．
命题角度1 解三元一次方程组
解三元一次方程组的一般思路：三元一次方程组 eq \(―――→,\s\up7(消元))二元一次方程组 eq \(―――→,\s\up7(消元))一元一次方程组．
【例1】解方程组
(1) eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋2y－z＝6，,x＋y＋2z＝17，,3x－y＋z＝10；)) (2) eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－b＋c＝0，,4a＋2b＋c＝3，,25a＋5b＋c＝60.))
解：(1) eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝4，,z＝5；)) (2) eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝3，,b＝－2，,c＝－5.))
命题角度2 利用三元一次方程组解决简单的实际问题
找出题目当中的数量关系及相等关系，根据相等关系列出方程组，通过解方程组解决问题．
【例2】一个三位数，个位、百位上的数字的和等于十位上的数字，百位上的数字的7倍比个位、十位上的数字的和大2，个位、十位、百位上的数字的和是14，则这个三位数是__275__．
【例3】张大伯养了鸡、鸭、鹅三种家禽，所养鸡和鸭的只数之和比鹅的只数多19只，养鸭和鹅共20只，养鸡和鹅共23只，请你算一算张大伯养鸡、鸭、鹅各多少只？
解：设张大伯养鸡x只，鸭y只、鹅z只．
根据题意，得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝z＋19，,y＋z＝20，,x＋z＝23.))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝15，,y＝12，,z＝8.))
答：张大伯养鸡15只，鸭12只，鹅8只．
高效课堂 教学设计
1．理解三元一次方程组的定义．
2．掌握三元一次方程组的解法．
3．会解简单的三元一次方程组应用题．
▲重点
1．三元一次方程组的解法．
2．三元一次方程组的应用．
▲难点
三元一次方程组的应用．
◆活动1 新课导入
1．回顾二元一次方程组的概念及解法．
2．解下列二元一次方程组：
(1) eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋y＝3 ①，,3x－5y＝11 ②；)) (2) eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(y－5,2) ①，,4x＋3y＝65 ②.))
◆活动2 探究新知
小明有12张面额分别为1元、2元、5元的纸币，共计22元，其中1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍．求1元、2元、5元纸币各多少张．
提出问题：
(1)该题中有几个等量关系？分别是什么？
(2)如果设1元、2元、5元的纸币分别为x张、y张、z张，那么可列出怎样的方程组？
(3)所列出的方程组和二元一次方程组有什么区别？
(4)什么样的方程组叫做三元一次方程组？
(5)如何解方程组 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＋z＝12，,x＋2y＋5z＝22，,x＝4y))呢？是用代入法解简便，还是用加减法解简便呢？请解出该方程组．
学生完成并交流展示．
◆活动3 知识归纳
1．(1)含有__三__个未知数，并且含有未知数的项的次数都是__1__，这样的__整式方程__叫做__三元一次方程__；
(2)方程组中含有__三__个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是__1__，并且一共有__三__个方程，这样的方程组叫做三元一次方程组．
2．解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“__加减__”进行消元，把“三元”化为“__二元__”，使解三元一次方程组转化为解__二元一次方程组__，进而再转化为解__一元一次方程__．
◆活动4 例题与练习
例1 下列方程组中，是三元一次方程组的是( C )
A． eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋y＝7，,5x－2y＝3，,2x－y＝5)) B． eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y＝2，,y－z＝3，,z－m＝4)) C． eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝3，,b－c＝4)) D． eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(xy＋z＝2，,x＋yz＝4，,xz＋y＝6))
例2 教材P104 例1.
例3 教材P105 例2.
例4 “五一”前夕，上海某些中学举办了足球联赛活动，这次足球联赛共赛了11轮，胜一场记3分，平一场记1分，负一场记0分，某校队所负场数是胜场数的 eq \f(1,2)，结果共得20分，问该校队胜、平、负各多少场？
解：设该校队胜x场、平y场、负z场．
根据题意，得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＋z＝11，,3x＋y＝20，,x＝2z，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝6，,y＝2，,z＝3.))
答：该校队胜6场，平2场，负3场．
练习
1．教材P106 练习第1，2题．
2．解方程组 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(5x－y＋3z＝6，,4x＋y＋2z＝8，,2x＋y－7z＝4.))若要使运算简便，消元的方法应该选取( B )
A．先消去x B．先消去y
C．先消去z D．以上说法皆可行
3．解下列方程组：
(1) eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x＋2y＋z＝14，①,x＋y＋z＝10，②,2x＋3y－z＝1；③))
解：①－②，得2x＋y＝4.④
①＋③，得x＋y＝3.⑤
④与⑤组成方程组，
得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋y＝4，,x＋y＝3.))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝2.))
将x＝1，y＝2代入②，
得1＋2＋z＝10，解得z＝7.
∴这个方程组的解为 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝2，,z＝7；))
(2) eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝3，①,x＋z＝－1，②,y＋z＝0.③))
解：②－①，得z－y＝－4.④
③＋④，得2z＝－4.
解得z＝－2.
将z＝－2分别代入②和③，得
x＝1，y＝2，
∴这个方程组的解为 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝2，,z＝－2.))
◆活动5 完成附赠手册
◆活动6 课堂小结
1．三元一次方程组的概念及解法．
2．三元一次方程组的应用．
1．作业布置
(1)教材P106 习题8.4第1，2，3，4，5题；
(2)对应课时练习．
2．教学反思
类型
1∶n型
m∶n型
含义
1个甲种物件和n个乙种物件配成一套
m个甲种物件和n个乙种物件配成一套
数量关系
甲∶乙＝1∶n⇒1×乙＝n×甲
甲∶乙＝m∶n⇒m×乙＝n×甲
购买商品A的数量(个)
购买商品B的数量(个)
购买总费用(元)
第一次购物
6
5
1 140
第二次购物
3
7
1 110
第三次购物
9
8
1 062
农作物品种
每公顷需劳动力
每公顷需投入的设备资金
水稻
4人
1万元
棉花
8人
1万元
蔬菜
5人
2万元
捐款(元)
10
20
30
40
人数
6
？
？
7
8.1 二元一次方程组
教师备课 素材示例
●类比导入 如图．
问题1：假设老牛驮了x个包裹，则小马驮了(x－2)个包裹，可得到方程为__x＋1＝(x－2－1)×2__，则老牛驮了__7个__包裹，小马驮了__5个__包裹．
问题2：如果假设老牛驮了x个包裹，小马驮了y个包裹，你能得到怎样的方程？能列几个？
【教学与建议】教学：通过现实情景再现，类比一元一次方程到列二元一次方程，培养学生良好的数学应用意识．建议：指出二元一次方程与一元一次方程的联系与区别.
●归纳导入 播放多媒体：姚明和刘翔的合影照片．姚明说：“我比刘翔高37 cm.”刘翔说：“我身高的2倍比姚明高152 cm.”他们两人的身高分别是多少？
如果假设姚明的身高为x cm，刘翔的身高为y cm，你能得到怎样的方程？能列几个？
可得方程为： eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y＝37，,2y－x＝152.))
含有__两个__未知数并且含有未知数的项数都是__1__，像这样的方程叫做二元一次方程．
【教学与建议】教学：利用姚明和刘翔的身高，为新课的引入做准备，引出方程问题，让学生再次经历建模的体验．建议：引导学生回答问题，小组合作完成题目．
命题角度1 识别二元一次方程
判断一个方程是不是二元一次方程．首先要看元，即未知数是否有两个；其次要看次，即未知数的次数，含有未知数的项的次数必须都是1.
【例1】下列方程中，是二元一次方程的是(D)
A．x－2y＝4z B．3xy＋5＝0 C． eq \f(1,x)＋5y＝10 D．3x＝ eq \f(y－2,5)
【例2】若方程3xm+1－2yn+2＝4是二元一次方程，则m＝__0__，n＝__－1__．
命题角度2 识别二元一次方程组
判断一个方程是不是二元一次方程组，首先要看方程中是不是共含有两个未知数；其次要看含有未知数的项的次数是否都为1.
【例3】下列方程组中，是二元一次方程组的是(D)
A． eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(xy＝－1，,x＋y＝0)) B． eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x－y＝4，,\f(1,x)＋y＝4)) C． eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋z＝2，,2x－y＝\f(1,2))) D． eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＝4，,\f(x,3)＋\f(y,4)＝7))
【例4】下列是二元一次方程组的是__(1)、(3)__．
(1) eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x－2y＝9，,y＋5x＝0)) (2) eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－3y＋9z＝8，,y＋3z＝5)) (3) eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,x＋y＝1)) (4) eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(xy＋y＝5，,x－y＝4))
命题角度3 判断二元一次方程的解
要判断一对未知数的值是不是二元一次方程的解，应根据二元一次方程的解的概念进行判断，能使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值是二元一次方程的解．
【例5】二元一次方程5x－y＝2的一个解为(C)
A． eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝1)) B． eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝0)) C． eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝3)) D． eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝0，,y＝2))
【例6】解为 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝2))的方程组是(D)
A． eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y＝1，,3x＋y＝5)) B． eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y＝－1，,3x＋y＝－5)) C． eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y＝3，,3x－y＝1)) D． eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－2y＝－3，,3x＋y＝5))
命题角度4 由二元一次方程(组)的解确定字母系数或式子的值
根据方程(组)的解求方程(组)中字母系数或相关式子的值的方法：将方程组的解代入方程(组)，得到关于字母系数的新方程(组)，从而求解．
【例7】已知 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝2))是方程ax＋y＝3的解，则式子a2＋5的值为__6__.
【例8】若关于x，y的二元一次方程组 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(mx－2y＝n，,nx＋4y＝1))的解是 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝－1，))则m＋n的值为(D)
A．2 B．4 C．6 D．8
命题角度5 求二元一次方程的特殊解
在二元一次方程的所有解中找出具有特殊意义的解，如正整数解、自然数解等．
【例9】端午节前夕，某食品加工厂准备将生产的粽子装入A，B两种食品盒中，A种食品盒每盒装8个粽子，B种食品盒每盒装10个粽子，若现将200个粽子分别装入A，B两种食品盒中(两种食品盒均要使用并且装满)，则不同的分装方式有(C)
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
命题角度6 建立二元一次方程组模型
由实际问题抽象出二元一次方程组的步骤：(1)审清题意；(2)找出题目中的两个相等关系；(3)设出合适的未知数；(4)根据相等关系列出两个方程，组成方程组．
【例10】我国古代数学著作《孙子算经》有“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？”其大意如下：有若干人要坐车，如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人坐一辆车，那么有9人需要步行，问人与车各多少？设共有x人，y辆车，则可列方程组(C)
A． eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3(y－2)＝x，,2y－9＝x)) B． eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3(y＋2)＝x，,2y＋9＝x))
C． eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3(y－2)＝x，,2y＋9＝x)) D． eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3(y＋2)＝x，,2y－9＝x))
高效课堂 教学设计
1．理解二元一次方程、二元一次方程组和它的解的含义．
2．会检验一组数是不是某个二元一次方程组的解．
3．能根据问题情境列二元一次方程组．
▲重点
二元一次方程、二元一次方程组及其解的概念．
▲难点
会列二元一次方程组，并判断一组数是不是某个二元一次方程组的解．
◆活动1 新课导入
1．下列方程中，是一元一次方程的是( B )
A．x＋y＝2 B．x＋2＝3 C．x＋2y＋z＝0 D．4x2＝0
2．若x＝1是方程ax＋2x＝3的解，则a＝__1__．
3．篮球比赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分，某队在14场比赛中得到26分，那么这个队胜、负场数分别是多少？
学生回答或展示．
◆活动2 探究新知
1．教材P88 思考．
提出问题：
(1)引言中的问题包含了哪些必须同时满足的条件？设胜的场数是x，负的场数是y，你能用方程把这些条件表示出来吗？
(2)列出的方程有什么特点？与一元一次方程有什么不同？
(3)什么样的方程叫做二元一次方程？
(4)什么叫做二元一次方程组？
学生完成并交流展示．
2．教材P89 探究及其以下内容．
提出问题：
(1)请完成探究中的填空；
(2)什么叫二元一次方程的解？怎样检验一组数是否为某个二元一次方程的解？
(3)什么叫二元一次方程组的解？怎样检验一组数是否为某个二元一次方程组的解？
学生完成并交流展示．
◆活动3 知识归纳
1．含有__两__个未知数(x和y)，并且含有未知数的项的次数都是__1__，像这样的方程叫做二元一次方程．
2．方程组中有__两__个未知数，且含有每个未知数的项的次数都是__1__，并且一共有__两__个方程，这样的方程组叫做二元一次方程组．
3．一般地，使二元一次方程两边的值__相等__的两个未知数的值，叫做二元一次方程的__解__．
4．一般地，二元一次方程组的两个方程的__公共解__，叫做二元一次方程组的解．
◆活动4 例题与练习
例1 已知|m－1|x|m|＋y2n-1＝3是二元一次方程，则m＋n的值是多少？
解：由题意，得|m|＝1且|m－1|≠0，2n－1＝1，解得m＝－1，n＝1，∴m＋n＝－1＋1＝0.
例2 若 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3m＋1，,y＝2m－2))是二元一次方程4x－3y＝10的一个解，求m的值．
解：将 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3m＋1，,y＝2m－2))代入方程4x－3y＝10，得4(3m＋1)－3(2m－2)＝10，解得m＝0.
例3 甲、乙两人共同解方程组 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ax＋5y＝15，①,4x－by＝－2，②))由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－3，,y＝－1，))乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝5，,y＝4.))试计算a2 019＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,10)b)) eq \s\up12(2 020)的值．
解：将 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－3，,y＝－1))代入方程②，得－12＋b＝－2，解得b＝10.将 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝5，,y＝4))代入方程①，得5a＋20＝15，解得a＝－1.∴a2 019＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,10)b)) eq \s\up12(2 020)＝(－1)2 019＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,10)×10)) eq \s\up12(2 020)＝－1＋1＝0.
练习
1．教材P89 练习．
2．下列方程组中，是二元一次方程组的是( A )
A． eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝4，,2x＋3y＝7)) B． eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(7a－8b＝11，,5b－4c＝6))
C． eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＝25，,y＝4x)) D． eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝12，,x2－y＝4))
3．已知关于x，y的方程(m2－4)x2＋(m＋2)x＋(m＋1)y＝m＋5.
(1)当m为何值时，它是一元一次方程？
(2)当m为何值时，它是二元一次方程？
解：由题意，得m2－4＝0，解得m＝2或m＝－2.
(1)当m＝－2时，m＋2＝0，此时方程为一元一次方程；
(2)当m＝2时，原方程可化为4x＋3y＝7，此时方程为二元一次方程．
◆活动5 完成附赠手册
◆活动6 课堂小结
1．二元一次方程(组)的概念．
2．二元一次方程(组)的解的概念．
1．作业布置
(1)教材P90 习题8.1第1，2，3，4题；
(2)对应课时练习．
2．教学反思
8.2 消元——解二元一次方程组
第1课时 代入消元法
教师备课 素材示例
●情景导入 情境：某商场有如图所示的一则广告．
问题：你知道一个茶杯和一瓶可乐各多少钱吗？
【教学与建议】教学：现实而直观的情境是使学生主动参与的最佳途径，初步体验代入消元法．建议：以此例引出课题，找出解题突破点，两式相减可得到一个茶杯价格.
●置疑导入 情境再现：“各驮了多少包裹”
上节课我们学习了老牛和小马各驮了多少包裹的问题，得出了二元一次方程组 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y＝2 ①，,x＋1＝2(y－1) ②，))那么老牛和小马各驮了多少包裹呢？这就需要解这个二元一次方程组．一元一次方程我们会解，那么二元一次方程组如何解呢？
【教学与建议】教学：在解决实际问题的过程中，得出解方程组的必要性．建议：可把上节课的开课问题投影在黑板上，便于思考新问题．
●复习导入 1.下列方程是二元一次方程吗？
(1)x＋2y＝5；(2)2y＋4＝0；(3) eq \f(2,x)－y＝5；(4)3x＋y＝10.
2．你能把上面的二元一次方程改写成用x表示y(或用y表示x)的形式吗？
3．二元一次方程组 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝8，,x＋2y＝10))的解是__ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝6，,y＝2))__.
【教学与建议】教学：复习问题由易到难，引出课题，在回顾的过程中学会思考和质疑．建议：培养学生独立完成回顾和探究的好习惯．
命题角度1 字母间的关系
此类题目往往涉及3个字母，通常把其中一个方程代入另一个方程消去多余的字母即可．
【例1】已知关于x，y的方程组 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋m＝4，,y－5＝m，))则x＋y＝__9__.
【例2】方程组 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4x－3y＝k，,2x＋3y＝5))的解x与y的值相等，则k的值为__1__．
命题角度2 整体代入法解二元一次方程组
当所给的方程组比较复杂时，应先化简，若两方程中含有未知数的部分相等时，可把这一部分看作一个整体求解．
【例3】解方程组 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x＋1,3)＝2y ①，,2(x＋1)－y＝11 ②.))
解：由①，得x＋1＝6y ③，把③代入②，得2×6y－y＝11，解得y＝1，把y＝1代入①，得x＝5，所以原方程组的解为 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝5，,y＝1.))
命题角度3 非负数的性质涉及的解二元一次方程组问题
解决此类问题只需抓住两点：(1)认准常见的非负数；(2)若几个非负数的和为零，则每一个非负数都为零．
【例4】若 eq \r(x－y＋3)与|2x＋y|互为相反数，则x＋y的值为__1__．
【例5】若 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝－3))是方程(mx＋ny－9)2＋|nx－my＋6|＝0的解，则－3m2＋2n－2的值是__－8__．
命题角度4 二元一次方程组的解与解二元一次方程组的综合问题
二元一次方程组的解一定适合二元一次方程组，只需把解代入原方程组，再解新方程组即可．
【例6】已知 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝2))是关于x，y的二元一次方程组 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ax＋by＝5，,ax－by＝－1))的解，则a＋b＝__3.5__.
高效课堂 教学设计
1．了解消元法的思想．
2．理解什么是代入消元法，能用代入消元法解二元一次方程组．
▲重点
代入消元法．
▲难点
探索如何用代入法将“二元”转化为“一元”的消元过程．
◆活动1 新课导入
1．回顾二元一次方程组的相关概念．
2．在篮球联赛中，某校七(1)班为了取得好名次，他们想在全部22场比赛中得到40分，已知每场比赛都要分出胜负，胜队得2分，负队得1分，那么七(1)班应该胜、负各几场？如果设该班胜x场，负y场，可列出什么样的方程组？
学生回答或展示： eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝22 ①，,2x＋y＝40 ②.))
那么这个方程组该怎么解呢？今天我们来学习如何解方程组．
◆活动2 探究新知
1．教材P91 内容．
提出问题：
(1)若引言中只设一个未知数，你能列出相应的方程吗？
(2)二元一次方程组 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝10，,2x＋y＝16))与一元一次方程2x＋(10－x)＝16有什么关系？
(3)如何求(2)中方程组的解？
(4)什么叫做消元思想？
(5)什么叫做代入消元法？
(6)用代入消元法解二元一次方程组的步骤是什么？
学生完成并交流展示．
2．教材P91 例1.
提出问题：
(1)例1的解题过程中的把③代入②，改成把③代入①可以吗？试试看；
(2)把y＝－1代入①或②可以吗？解题过程中为什么要把y＝－1代入③，有什么优点？
(3)把第一步由①得x＝y＋3换成由①得y＝x－3，记为③，然后代入求解，结果一样吗？试试看．
学生完成并交流展示．
◆活动3 知识归纳
1．把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含__另一个未知数__的式子表示出来，再代入__另一个__方程，实现__消元__，进而求得这个二元一次方程组的解．这种方法叫做代入消元法，简称__代入法__．这种将未知数的个数__由多化少__、逐一解决的思想，叫做__消元__思想．
2．用代入消元法解二元一次方程组的步骤：
(1)从方程组中选取一个系数比较简单的方程，把其中的一个未知数用__含另一个未知数的式子__表示出来；
(2)把(1)中所得的式子代入__另一个方程__，消去一个__未知数__；
(3)解所得到的__方程__，求得一个__未知数__的值；
(4)把所求得的未知数的值代入(1)中的式子，求出__另一个未知数__的值，从而确定方程组的__解__．
◆活动4 例题与练习
例1 用代入法解下列方程组：
(1) eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝x－1 ①，,2x－y＝3 ②；))
解：将①代入②，得
2x－x＋1＝3.
解得x＝2.
将x＝2代入①，得y＝1.
∴这个方程组的解是 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝1；))
(2) eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－2y＝2 ①，,3x＋5y＝28 ②.))
解：将①移项，得x＝2y＋2.③
将③代入②，得
3(2y＋2)＋5y＝28.
解得y＝2.
将y＝2代入③，得x＝6.
∴这个方程组的解是 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝6，,y＝2.))
例2 教材P92 例2.
例3 将一批重490 t的货物分配给甲、乙两船运输，现甲船已运走其任务的 eq \f(5,7)，乙船已运走其任务的 eq \f(3,7).在已运走的货物中，甲船比乙船多运30 t，则分配给甲、乙两船的任务各为多少吨？
解：设分配给甲船的任务为x t，分配给乙船的任务为y t.
依题意，得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝490，,\f(5,7)x－\f(3,7)y＝30，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝210，,y＝280.))
答：分配给甲船的任务为210 t，分配给乙船的任务为280 t．
练习
1．教材P93 练习第1，2，3，4题．
2．用代入法解方程组 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝1－x，,x－2y＝4))时，代入正确的是( D )
A．x－2－x＝4 B．x－2－2x＝4
C．x－2＋x＝4 D．x－2＋2x＝4
3．将2x＋3y＝5化成用含x的代数式表示y的形式，则y＝__ eq \f(5－2x,3)__；用含y的代数式表示x，则x＝__ eq \f(5－3y,2)__．
4．用代入法解下列方程组：
(1) eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x－5z＝6 ①，,x＋4z＝－15 ②；))
解： eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－3，,z＝－3；))
(2) eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x,2)－\f(y＋1,3)＝1 ①，,2x＋y＝10 ②.))
解： eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝4，,y＝2.))
◆活动5 完成附赠手册
◆活动6 课堂小结
1．代入消元法的概念和步骤．
2．用代入消元法解二元一次方程组和相关的应用题．
1．作业布置
(1)教材P97～98 习题8.2第1，2，6题；
(2)对应课时练习．
2．教学反思
第2课时 加减消元法
教师备课 素材示例
●情景导入 我国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成的．如图，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项，把图①所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组的形式表述出来，就是 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋4y＝10，,6x＋11y＝34.))请你根据图②所示的算筹图，列出方程组，并求解．
eq \(\s\up7(),\s\d5(①)) eq \(\s\up7(),\s\d5(②))
【教学与建议】教学：从我国古代数学趣题直接导入，激发学生探究的欲望与激情．建议：提出问题后，让学生先思考，后讨论，然后找学生说出他的解题思路，写出解题过程．
●归纳导入 怎样解下面的二元一次方程组呢？
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋3y＝－1 ①，,2x－3y＝5 ②.))
小明说：把②变形得x＝ eq \f(3y＋5,2)，代入①，不就消去x了！
小亮说：把②变形得3y＝2x－5，可以直接代入①呀！
小丽说：3y和－3y互为相反数，只要把这两个方程相加，就能消去y.
针对以上几种方法，你有什么体会？
【归纳】当二元一次方程组的两个方程同一未知数的系数__相反__或__相等__时，把这个方程的两边分别__相加__或__相减__，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程．
【教学与建议】教学：本题既是对上节课用代入法解二元一次方程组的复习，也是本节新课的引例，起着承上启下的作用．建议：体会转化思想，把未知的知识转化成已知的知识．
命题角度1 利用加减法解二元一次方程组
用加减法解二元一次方程组，要注意观察未知数的系数，选取系数较简单的未知数进行操作，使其系数相等或互为相反数，然后通过加减消元法求解．
【例1】解二元一次方程组：
(1) eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝5，,x－y＝3；)) (2) eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋y＝4，,x－y＝－1.))
解：(1) eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝4，,y＝1；)) (2) eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝2.))
命题角度2 利用加减法整体求值
用“整体求值”加减消元，只需将两个方程(或其适当的倍数)相加或相减，即得答案(或为进一步求解打下基础)．
【例2】已知 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝－1))是方程组 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ax＋by＝－3，,bx＋ay＝－2))的解，则a＋b的值是(C)
A．－1 B．1 C．－5 D．5
【例3】已知二元一次方程组 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋2y＝3，,2x＋y＝4，))则x－y的值为__1__.
命题角度3 同类项中涉及的解二元一次方程组
利用同类项所含字母相同，相同字母的指数也分别相同，结合二元一次方程组，求出涉及字母的值．
【例4】3x2a＋by2与－4x3y3a－b是同类项，则a－b的值是(A)
A．0 B．1 C．2 D．3
【例5】已知单项式2a4b-2m+7与3a2mbn+2是同类项，则m＋n＝__3__．
命题角度4 两个二元一次方程组的同解问题
当几个二元一次方程组同解时，可将两个不含未知系数的二元一次方程组成方程组，并求出方程组的解，利用这个解得到未知系数的方程(组)，求得未知系数的值．
【例6】已知关于x，y的二元一次方程组 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋y＝7，,x＋2y＝m－3))的解也是方程x－2y＝6的解，则m的值是__5__．
【例7】已知关于x，y的方程组 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(mx＋y＝n，,2x－y＝7))与 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋ny＝m，,3x＋y＝8))有相同的解，求m，n的值．
解：由题意，得方程组① eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－y＝7，,3x＋y＝8，))方程组② eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(mx＋y＝n，,x＋ny＝m.))
解方程组①，得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝－1.))
把 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝－1))代入方程组②得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3m－1＝n，,3－n＝m，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝1，,n＝2.))
当m＝1，n＝2时，方程组 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(mx＋y＝n，,2x－y＝7))与 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋ny＝m，,3x＋y＝8))有相同的解．
命题角度5 二元一次方程组的错解问题
看错某一个方程的系数得到方程组的解，将没看错的解代入恰当的方程，构造关于字母系数的方程(组)，通过解方程(组)可解决问题．
【例8】甲、乙二人解方程组 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋ay＝1 ①，,bx－y＝2 ②，))由于甲看错了方程①中a的值，得到方程组的解为 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝4，))而乙看错了方程②中b的值，得到方程组的解为 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝－3.))则x＋y的值为__ eq \f(1,4)__．
高效课堂 教学设计
1．会阐述用加减消元法解二元一次方程组的基本思路：通过“加减”达到“消元”的目的，从而把二元一次方程组转化为一元一次方程来求解．
2．会用加减消元法解简单的二元一次方程组．
▲重点
用加减消元法解二元一次方程组．
▲难点
灵活地用消元法解二元一次方程组．
◆活动1 新课导入
上节课我们学习了用代入消元法解二元一次方程组，那么如何解方程组 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋3y＝－1，①,2x－3y＝5 ②))呢？
(1)用代入消元法(消x)解方程组；
(2)解完后思考：用“整体代换”的思想把2x作为一个整体代入消元求解；
(3)还有没有更简单的解法？
方法一：由x的系数相等，是否可以考虑①－②，从而消去x求解？
方法二：由y的系数相反，是否可以考虑①＋②，从而消去y求解？
今天我们来学习解二元一次方程组的另外一种方法——加减消元法．
◆活动2 探究新知
1．教材P94 内容．
提出问题：
(1)在方程组 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝10，,2x＋y＝16))中，y的系数有什么关系？
(2)利用(1)中的关系，你能发现新的消元方法吗？
(3)若想先消去方程组中的x，应先怎么办？
(4)什么叫做加减消元法？加减消元法的步骤是什么？
(5)两个方程相减的依据是什么？目的是什么？
(6)相减时要注意什么？
学生完成并交流展示．
2．教材P95 例3.
提出问题：
(1)在例3解题过程中，①×3，②×2的目的是什么？
(2)如果用加减消元法消去x，应如何解？请写出解题过程，解得的结果一样吗？
学生完成并交流展示．
◆活动3 知识归纳
1．当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程．这种方法叫做__加减消元法__，简称__加减法__．
2．用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤：
(1)利用等式的性质把方程组中同一个未知数的系数化为__互为相反数__或__相等__；
(2)把两个方程的两边分别相加或相减，得到一个__一元一次__方程；
(3)解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；
(4)将求出的未知数的值代入__方程组__中的任何一个方程，求出另外一个未知数的值，就能得到方程组的解．
注意：用代入法和加减法解二元一次方程组时，它们都是通过__消元__使方程组转化为__一元一次方程__，只是__消元__的方法不同．我们应该根据方程组的具体情况选择合适的解法．
◆活动4 例题与练习
例1 用加减法解下列方程组：
(1) eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4x＋3y＝6 ①，,4x－2y＝16 ②；))
解：①－②，得5y＝－10.
解得y＝－2.
将y＝－2代入①，得x＝3.
∴这个方程组的解是 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝－2；))
(2) eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋y＝5 ①，,x＋2y＝4 ②.))
解：①×2，得4x＋2y＝10.③
③－②，得3x＝6.
解得x＝2.
将x＝2代入①，得y＝1.
∴这个方程组的解是 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝1.))
例2 教材P95 例4.
例3 已知方程组 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－y＝7，,ax＋y＝b))和 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋by＝a，,3x＋y＝8))有相同的解，求3a－2b的值．
解：由题意，联立 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－y＝7，,3x＋y＝8，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝－1.))将 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝－1))代入 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋by＝a，,ax＋y＝b，))得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3－b＝a，,3a－1＝b，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝2.))∴3a－2b＝3×1－2×2＝－1.
练习
1．教材P96～97 练习第1，2，3题．
2．用加减法解方程组 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－3y＝5 ①，,3x－2y＝7 ②.))下列解法不正确的是( D )
A．①×3－②×2，消去x B．①×2－②×3，消去y
C．①×(－3)＋②×2，消去x D．①×2－②×(－3)，消去y
3．在二元一次方程4x－3y＝14中，若x，y互为相反数，则x＝__2__，y＝__－2__.
4．用加减法解下列方程组：
(1) eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝1 ①，,2x－y＝5 ②；))
解：①＋②，得3x＝6.
解得x＝2.
将x＝2代入①，得y＝－1.
∴这个方程组的解是 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝－1；))
(2) eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－3y＝3 ①，,x＋2y＝－2 ②.))
解：②×2，得2x＋4y＝－4.③
③－①，得7y＝－7，
解得y＝－1.
将y＝－1代入②，得x＝0.
∴这个方程组的解是 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝0，,y＝－1.))
◆活动5 完成附赠手册
◆活动6 课堂小结
1．加减消元法的概念和解题步骤．
2．用加减法解二元一次方程组和相关的应用题．
1．作业布置
(1)教材P98 习题8.2第3，4，5，7，8题；
(2)对应课时练习．
2．教学反思
8.3 实际问题与二元一次方程组
第1课时 利用二元一次方程组解决简单的实际问题
教师备课 素材示例
●情景导入
养牛场原有30头大牛和15头小牛，1天约用饲料675 kg；一周后又购进12头大牛和5头小牛，这时1天约用饲料940 kg.饲养员李大叔估计每头大牛1天约需饲料18～20 kg，每头小牛1天约需饲料7～8 kg.请你通过计算检验李大叔的估计是否正确．
1．怎样检验他的估计是否正确呢？
2．列方程解决问题的步骤是什么？
3．题目中包含怎样的相等关系？
【教学与建议】教学：让学生欣赏辽阔的草原风光，同时引出列二元一次方程解决问题，使导入环节自然流畅．建议：学生自主探究，思考后设出相应未知数，并独立做出判断．
●复习导入 你能解决下面的问题吗？(课件展示)
问题1：解二元一次方程组的基本思想是__消元__，解法有__代入消元法和加减消元法__.
问题2：我们学习了列一元一次方程解应用题，它的一般步骤是什么？审题、设未知数、列方程、解方程检验并作答．
【教学与建议】教学：通过复习旧知，为本节课的学习做好铺垫．建议：让学生回答问题，小组内进行交流体会．
命题角度1 和差倍分问题
此类问题审清题意，找相等关系，一般求什么设什么，所列方程个数与未知数个数相同．
【例1】有A，B两种货车，3辆A型车与2辆B型车一次可以运货19 t，2辆A型车与3辆B型车一次可以运货21 t，则1辆A型车与1辆B型车一次可以运货__8__t.
【例2】儿童节期间，文具商店搞促销活动，同时购买一个书包和一个文具盒可以打八折优惠，能比标价省13.2元．已知书包标价比文具盒标价的3倍少6元，那么一个书包比一个文具盒的标价多__30__元．
命题角度2 盈亏问题
盈亏问题中有的量固定不变，根据这个“不变量”可作相等关系，即用两种不同的式子表示同一个量，这两个式子相等．
【例3】七年级学生在会议室开会，每排座位坐12人，则有11人没有座位；每排座位坐14人，则余1人独坐一排，则这间会议室的座位排数是(C)
A．14排 B．13排 C．12排 D．15排
【例4】几个人一起去购买某物品，如果每人出8元，那么多了3元；如果每人出7元，那么少了4元，则有__7__人，物品的价格是__53__元．
命题角度3 数字问题
解决数字问题的关键是能够根据数字所处的位置用适当的形式将数表示出来．
【例5】有一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大2，且十位上数字与个位上数字之和为12，则这个两位数为__75__．
【例6】一个两位数，个位数字与十位数字之和是9，如果把两个数字对调后所得的新数比原数大9，则原来的两位数为__45__．
高效课堂 教学设计
1．会借助二元一次方程组解决简单的实际问题，体会二元一次方程组与现实生活的联系．
2．体会列方程组比列一元一次方程容易，培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问题、解决问题的能力．
▲重点
列二元一次方程组解决实际问题．
▲难点
各类应用题中有关两个相等关系的探求．
◆活动1 新课导入
1．用适当的方法解下列方程组：
(1) eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3m－2n＝5 ①，,4m＋2n＝9 ②；)) (2) eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,5)x＋\f(1,3)y＝\f(2,5) ①，,0.5x－0.3y＝0.2 ②.))
2．用9元钱购买11枚面值分别为1元和0.5元的邮票，则可购买1元和0.5元的邮票各多少枚？
(1)在这个问题中有两个相等关系：①1元邮票枚数＋__0.5元邮票枚数__＝11枚；②__1元邮票总金额__＋0.5元邮票总金额＝__9__元；
(2)若设购得1元邮票x枚，0.5元邮票y枚，则可列方程组__ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝11，,x＋0.5y＝9))__，解这个方程组得__ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝7，,y＝4))__．
◆活动2 探究新知
教材P99 探究1.
提出问题：
(1)题目中哪些是已知量，哪些是未知量？
(2)你准备设哪几个未知数？
(3)你能找出问题中的等量关系，并用等式表示吗？
(4)你能根据上面的等量关系列出方程或方程组吗？
学生完成并交流展示．
◆活动3 知识归纳
用二元一次方程组解决实际问题的一般步骤是：
(1)审题：弄清题意和题目中的__等量__关系；
(2)设元：用字母表示题目中的未知数，可直接设未知数，也可__间接__设未知数；
(3)列方程组：挖掘题中的所有条件，找出两个与未知数相关的__等量关系__，并依此列出__方程组__；
(4)解方程组：利用__代入__法或__消元__法解所列方程组，求出未知数的值；
(5)检验及作答：检验所求的解是否符合__题意__，然后作答．
◆活动4 例题与练习
例1 有大、小两种货车，2辆大车与3辆小车一次可以运货15.5 t，5辆大车与6辆小车一次可以运货35 t，则3辆大车与5辆小车一次可以运货多少吨？
解：设每辆大车和每辆小车一次运货量分别为x t和y t．根据题意，得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋3y＝15.5，,5x＋6y＝35.))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝4，,y＝2.5.))则3x＋5y＝3×4＋5×2.5＝24.5.
答：3辆大车与5辆小车一次可以运货24.5 t．
例2 A，B两码头相距140 km，一艘轮船在其间航行，顺水航行用了7 h，逆水航行用了10 h，求这艘轮船在静水中的速度和水流速度．
解：设这艘轮船在静水中的速度为x km/h，水流速度为y km/h.
由题意，得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(7(x＋y)＝140，,10(x－y)＝140.))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝17，,y＝3.))
答：这艘轮船在静水中的速度为17 km/h，水流速度为3 km/h.
例3 甲、乙两个施工队在六安(六盘水—安顺)城际高铁施工中，每天甲队比乙队多铺设100 m钢轨，甲队铺设5天的距离刚好等于乙队铺设6天的距离，若设甲队每天铺设x m，乙队每天铺设y m.
(1)依题意列出二元一次方程组；
(2)甲、乙两施工队每天各铺设多少米？
解：(1) eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y＝100，,5x＝6y；))(2)解方程组 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y＝100，,5x＝6y，))得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝600，,y＝500.))
答：甲施工队每天铺设600 m，乙施工队每天铺设500 m．
练习
1．学校买篮球、足球共25个，共用732元，篮球每个36元，足球每个24元，那么买足球( D )
A．11个 B．12个 C．13个 D．14个
2．一个两位数的数字之和为10，十位数字与个位数字互换后，所得新数比原数小36，则原来的两位数是__73__．
3．小明想从“天猫”某网店购买计算器，经查询，某品牌A型号计算器的单价比B型号计算器的单价多10元，5台A型号的计算器与7台B型号的计算器的价钱相同，问A，B两种型号计算器的单价分别是多少？
解：设A型号计算器的单价为x元，B型号计算器的单价为y元．
根据题意，得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y＝10，,5x＝7y，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝35，,y＝25.))
答：A型号计算器的单价为35元，B型号计算器的单价为25元．
◆活动5 完成附赠手册
◆活动6 课堂小结
1．初步掌握列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤．
2．会利用二元一次方程组解决实际问题．
1．作业布置
(1)教材P101～102 习题8.3第1，2，3，4题；
(2)对应课时练习．
2．教学反思
第2课时 利用二元一次方程组解决较复杂的实际问题
教师备课 素材示例
●情景导入 两个车间，按计划每月共产生微型电机680台，由于改进技术，上个月第一车间完成计划的120%，第二车间完成计划的115%，结果两个车间一共生产微型电机798台，则上个月两个车间各生产微型电机多少台？
问题1：这题包含几个相等的关系式？
问题2：如果设两车间上个月各生产微型电机x台和y台，则可列方程组为__ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝798，,x÷120%＋y÷115%＝680))__.
【教学与建议】教学：从数学问题直接导入，激发学生探究的欲望与激情．建议：提出问题后，让学生先思考，后讨论；然后找学生说出他的解题思路，写出解题过程．
●置疑导入
如图，8块相同的长方形地砖拼成一个大的长方形，小明很快说出每块地砖的长和宽分别是45 cm和15 cm，你认为他的说法正确吗？为什么？
【教学与建议】教学：观察图形解决几何问题，为本节课列方程组解应用题奠定基础．建议：指导学生观察几何图形，理解题意．
命题角度1 配套问题
配套问题的特点和数量关系如下表：
【例1】用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身16个，或制盒底48个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒．现有15张白铁皮，用来制盒身和盒底，可以刚好制__144__套．
【例2】某生产车间有60名工人生产太阳镜，1名工人每天可生产镜片200片或镜架50个．应如何分配工人生产镜片和镜架，才能使生产的产品正好配套？
解：设x名工人生产镜片，y名工人生产镜架．
由题意，得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝60，,200x＝2×50y，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝20，,y＝40.))
答：20名工人生产镜片，40名工人生产镜架，才能使生产的产品正好配套．
命题角度2 古代问题
古代问题都有特殊的问题情境，分析问题情境，确定其中的数量关系及相等关系，根据数量关系及相等关系列出方程组解决问题．
【例3】我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗？”如果设清酒x斗，醑酒y斗，那么可列方程组为(A)
A． eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝5，,10x＋3y＝30)) B． eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝5，,3x＋10y＝30))
C． eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝30，,\f(x,10)＋\f(y,3)＝5)) D． eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝30，,\f(x,3)＋\f(y,10)＝5))
命题角度3 几何图形问题
解决此类问题的关键在于认真分析图形，根据图形中各部分间的关系确定相等关系，从而得到方程组，通过解方程组解决问题．
【例4】如图，在长为15，宽为12的长方形中，有形状、大小完全相同的5个小长方形，则图中阴影部分的面积为(B)
A．35 B．45 C．55 D．65
【例5】餐馆里把塑料凳整齐地叠放在一起(如图)，根据图中的信息计算有20张同样塑料凳整齐地叠放在一起时的高度是__80__cm.
命题角度4 行程问题
行程问题要抓住时间、路程、速度之间的关系．对于上、下坡问题，要使学生弄清楚来回坡路的变化，从而找出相等关系，正确列出方程组．
【例6】一条船顺水航行，每小时行驶22 km；逆水航行，每小时行驶18 km，设船在静水中速度为x km/h，水流速度为y km/h，则下列方程组符合题意的是(B)
A． eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝18，,x－y＝22)) B． eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝22，,x－y＝18)) C． eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＋x＝18，,y－x＝22)) D． eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＋x＝22，,y－x＝18))
【例7】从甲地到乙地的路有一段平路与一段上坡路，如果骑自行车保持平路每小时行15 km，上坡路每小时行10 km，下玻路每小时行18 km，那么从甲地到乙地需29 min，从乙地到甲地需25 min，从甲地到乙地全程是__6.5__km.
命题角度5 销售问题
销售问题中常见的数量关系：利润＝售价－进价；售价＝标价× eq \f(打折数,10)；利润率＝ eq \f(利润,进价)×100%.
【例8】小林在某商店购买商品A，B共三次，只有一次购买时，商品同时打折，其余两次均按标价购买，三次购买商品A，B的数量和费用如下表：
(1)小明以折扣价购买商品是第__三__次购物；
(2)求商品A，B的标价；
(3)若商品A，B的折扣相同，问商店是打几折出售这两种商品的？
解：(2)设商品A的标价为x元，商品B的标价为y元．根据题意，得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(6x＋5y＝1 140，,3x＋7y＝1 110，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝90，,y＝120.))
答：商品A的标价为90元，商品B的标价为120元；
(3)设商店是打m折出售这两种商品．根据题意，得(9×90＋8×120)× eq \f(m,10)＝1 062，解得m＝6.
答：商店是打六折出售这两种商品的．
高效课堂 教学设计
1．进一步经历用二元一次方程组解决实际问题的过程，体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型．
2．会用列表的方式分析问题中所蕴涵的数量关系，列出二元一次方程组．
▲重点
列二元一次方程组解应用题．
▲难点
正确地找出等量关系．
◆活动1 新课导入
1．原材料费与原材料数量的关系：原材料费＝原材料数量×__单价__．
2．运费与产品重量和路程的关系：运费＝产品重量×1吨/千米的运费×__路程__．
3．对于较复杂的数量关系：可以通过__列表__来理顺关系．
4．根据图中提供的信息，可知一个杯子的价格是__8__元．
◆活动2 探究新知
1．教材P99 探究2.
提出问题：
(1)“甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1∶2”是什么意思？
(2)“甲、乙两种作物的总产量的比是3∶4”是什么意思？
(3)本题中有哪些等量关系？你能根据这些关系列出方程或方程组吗？
(4)如何表述你的种植方案？
学生完成并交流展示．
2．教材P100 探究3.
提出问题：
(1)对于此题应如何设未知数？
(2)请完成P101表格；
(3)此题中的等量关系是什么？请完成P101填空．
学生完成并交流展示．
◆活动3 知识归纳
方程组是解决含有多个__未知数__问题的重要工具，用方程组解决问题时，要根据问题中的__数量__关系列出方程组，求出方程组的解后，应进一步考虑它是否符合问题的__实际__意义．
◆活动4 例题与练习
例1 小王购买了一套经济适用房，他准备将地面上铺上地砖，地面结构如图所示．根据图中的数据(单位：m)，解答下列问题：
(1)用含x，y的式子表示地面总面积；
(2)已知客厅面积比卫生间面积多21 m2，且地砖总面积是卫生间面积的15倍，铺1 m2地砖的平均费用为80元，铺地砖的总费用是多少元？
解：(1)地面总面积为(6x＋2y＋18)m2；
(2)由题意，得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(6x－2y＝21，,6x＋2y＋18＝15×2y，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝4，,y＝\f(3,2)．))
∴地面总面积为6×4＋2× eq \f(3,2)＋18＝45(m2).
∴铺地砖的总费用为45×80＝3 600(元).
例2 某农场300名职工耕种51公顷土地，计划种植水稻、棉花和蔬菜，已知种植作物每公顷所需的劳动力人数及投入的设备资金如下表：
已知该农场计划投入的设备资金是67万元，应该怎样安排这三种作物的种植面积，才能使所有职工都有工作，而且投入的设备资金正好够用？
解：设安排x公顷种植水稻，y公顷种植棉花，则(51－x－y)公顷种植蔬菜．根据题意，得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4x＋8y＋5(51－x－y)＝300，,x＋y＋2(51－x－y)＝67.))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝15，,y＝20.))
那么种植蔬菜的面积为51－15－20＝16(公顷).
答：安排15公顷种植水稻，20公顷种植棉花，16公顷种植蔬菜，才能使所有职工都有工作，而且投入的设备资金正好够用．
练习
1．陈老师打算购买气球装扮学校“六一”儿童节活动会场，气球的种类有笑脸和爱心两种，两种气球的价格不同，但同一种气球的价格相同．由于会场布置需要，购买时以一束(4个气球)为单位，已知第一、二束气球的价格如图所示，则第三束气球的价格为( C )
A．19 B．18 C．16 D．15
2．某校九年级(1)班40名同学为灾区捐款，共捐款1 000元，捐款情况如下表，则捐款20元的有__15__人．
3.如图，用8块相同的小长方形拼成一个宽为48 cm的大长方形，每块小长方形的长和宽分别是多少？
解：设每块小长方形的长是x cm，宽是y cm.
依题意，得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3y，,x＋y＝48.))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝36，,y＝12.))
答：每块小长方形的长是36 cm，宽是12 cm.
◆活动5 完成附赠手册
◆活动6 课堂小结
1．进一步掌握列二元一次方程组解决实际问题的方法和步骤．
2．学会利用列表格分析复杂数量之间的关系，从而列出方程组解决实际问题．
1．作业布置
(1)教材P102 习题8.3第6，7，8，9题；
(2)对应课时练习．
2．教学反思
*8.4 三元一次方程组的解法
教师备课 素材示例
●归纳导入 今年元旦晚会七、八、九三个年级一共选送了72个节目，八年级比七年级多选送了4个节目，七年级选送节目个数的2倍与八年级的和比九年级多26个．七、八、九三个年级各选送了多少个节目？
设七、八、九三个年级分别选送了x，y，z个节目，可得方程组 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＋z＝72，,y－x＝4，,2x＋y－z＝26.))
这样的方程和方程组叫什么呢？
【归纳】这个方程组含有__3__个未知数，每个方程中含有未知数的项的次数都是__1__，一共有__3__个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组．
【教学与建议】教学：通过生活中的实例，引导学生列出方程组，初步体会三元一次方程组情况．建议：引导学生分析题意，理清关系，让学生自己列出方程组．
●复习导入 问题1：什么是二元一次方程和二元一次方程组？
问题2：解二元一次方程组的基本思路是什么？
问题3：求解二元一次方程组有哪些方法？主要步骤有哪些？
【教学与建议】教学：在学生已有知识背景的前提下，由情景问题引入新课，充分调动学生的学习积极性．建议：教师提示学生抓住概念中的关键点，准确理解概念．
命题角度1 解三元一次方程组
解三元一次方程组的一般思路：三元一次方程组 eq \(―――→,\s\up7(消元))二元一次方程组 eq \(―――→,\s\up7(消元))一元一次方程组．
【例1】解方程组
(1) eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋2y－z＝6，,x＋y＋2z＝17，,3x－y＋z＝10；)) (2) eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－b＋c＝0，,4a＋2b＋c＝3，,25a＋5b＋c＝60.))
解：(1) eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝4，,z＝5；)) (2) eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝3，,b＝－2，,c＝－5.))
命题角度2 利用三元一次方程组解决简单的实际问题
找出题目当中的数量关系及相等关系，根据相等关系列出方程组，通过解方程组解决问题．
【例2】一个三位数，个位、百位上的数字的和等于十位上的数字，百位上的数字的7倍比个位、十位上的数字的和大2，个位、十位、百位上的数字的和是14，则这个三位数是__275__．
【例3】张大伯养了鸡、鸭、鹅三种家禽，所养鸡和鸭的只数之和比鹅的只数多19只，养鸭和鹅共20只，养鸡和鹅共23只，请你算一算张大伯养鸡、鸭、鹅各多少只？
解：设张大伯养鸡x只，鸭y只、鹅z只．
根据题意，得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝z＋19，,y＋z＝20，,x＋z＝23.))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝15，,y＝12，,z＝8.))
答：张大伯养鸡15只，鸭12只，鹅8只．
高效课堂 教学设计
1．理解三元一次方程组的定义．
2．掌握三元一次方程组的解法．
3．会解简单的三元一次方程组应用题．
▲重点
1．三元一次方程组的解法．
2．三元一次方程组的应用．
▲难点
三元一次方程组的应用．
◆活动1 新课导入
1．回顾二元一次方程组的概念及解法．
2．解下列二元一次方程组：
(1) eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋y＝3 ①，,3x－5y＝11 ②；)) (2) eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(y－5,2) ①，,4x＋3y＝65 ②.))
◆活动2 探究新知
小明有12张面额分别为1元、2元、5元的纸币，共计22元，其中1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍．求1元、2元、5元纸币各多少张．
提出问题：
(1)该题中有几个等量关系？分别是什么？
(2)如果设1元、2元、5元的纸币分别为x张、y张、z张，那么可列出怎样的方程组？
(3)所列出的方程组和二元一次方程组有什么区别？
(4)什么样的方程组叫做三元一次方程组？
(5)如何解方程组 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＋z＝12，,x＋2y＋5z＝22，,x＝4y))呢？是用代入法解简便，还是用加减法解简便呢？请解出该方程组．
学生完成并交流展示．
◆活动3 知识归纳
1．(1)含有__三__个未知数，并且含有未知数的项的次数都是__1__，这样的__整式方程__叫做__三元一次方程__；
(2)方程组中含有__三__个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是__1__，并且一共有__三__个方程，这样的方程组叫做三元一次方程组．
2．解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“__加减__”进行消元，把“三元”化为“__二元__”，使解三元一次方程组转化为解__二元一次方程组__，进而再转化为解__一元一次方程__．
◆活动4 例题与练习
例1 下列方程组中，是三元一次方程组的是( C )
A． eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋y＝7，,5x－2y＝3，,2x－y＝5)) B． eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y＝2，,y－z＝3，,z－m＝4)) C． eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝3，,b－c＝4)) D． eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(xy＋z＝2，,x＋yz＝4，,xz＋y＝6))
例2 教材P104 例1.
例3 教材P105 例2.
例4 “五一”前夕，上海某些中学举办了足球联赛活动，这次足球联赛共赛了11轮，胜一场记3分，平一场记1分，负一场记0分，某校队所负场数是胜场数的 eq \f(1,2)，结果共得20分，问该校队胜、平、负各多少场？
解：设该校队胜x场、平y场、负z场．
根据题意，得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＋z＝11，,3x＋y＝20，,x＝2z，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝6，,y＝2，,z＝3.))
答：该校队胜6场，平2场，负3场．
练习
1．教材P106 练习第1，2题．
2．解方程组 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(5x－y＋3z＝6，,4x＋y＋2z＝8，,2x＋y－7z＝4.))若要使运算简便，消元的方法应该选取( B )
A．先消去x B．先消去y
C．先消去z D．以上说法皆可行
3．解下列方程组：
(1) eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x＋2y＋z＝14，①,x＋y＋z＝10，②,2x＋3y－z＝1；③))
解：①－②，得2x＋y＝4.④
①＋③，得x＋y＝3.⑤
④与⑤组成方程组，
得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋y＝4，,x＋y＝3.))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝2.))
将x＝1，y＝2代入②，
得1＋2＋z＝10，解得z＝7.
∴这个方程组的解为 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝2，,z＝7；))
(2) eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝3，①,x＋z＝－1，②,y＋z＝0.③))
解：②－①，得z－y＝－4.④
③＋④，得2z＝－4.
解得z＝－2.
将z＝－2分别代入②和③，得
x＝1，y＝2，
∴这个方程组的解为 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝2，,z＝－2.))
◆活动5 完成附赠手册
◆活动6 课堂小结
1．三元一次方程组的概念及解法．
2．三元一次方程组的应用．
1．作业布置
(1)教材P106 习题8.4第1，2，3，4，5题；
(2)对应课时练习．
2．教学反思
类型
1∶n型
m∶n型
含义
1个甲种物件和n个乙种物件配成一套
m个甲种物件和n个乙种物件配成一套
数量关系
甲∶乙＝1∶n⇒1×乙＝n×甲
甲∶乙＝m∶n⇒m×乙＝n×甲
购买商品A的数量(个)
购买商品B的数量(个)
购买总费用(元)
第一次购物
6
5
1 140
第二次购物
3
7
1 110
第三次购物
9
8
1 062
农作物品种
每公顷需劳动力
每公顷需投入的设备资金
水稻
4人
1万元
棉花
8人
1万元
蔬菜
5人
2万元
捐款(元)
10
20
30
40
人数
6
？
？
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