安徽省合肥市重点中学2023_2024学年高二数学上学期期中联考试题含解析

这是一份安徽省合肥市重点中学2023_2024学年高二数学上学期期中联考试题含解析，共20页。试卷主要包含了 在平行六面体中，向量是， 已知⊙M， 下列说法正确的是， 已知，，，则下列结论正确的是等内容，欢迎下载使用。

A. B.
C. 或D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】根据倾斜角和斜率关系可求斜率的范围.
【详解】斜率，因为，且，
故或，即或，
故选：C.
【点睛】本题考查倾斜角与斜率的关系，一般地，如果直线的倾斜角为，则当时，直线的斜率不存在，当时，斜率.
2. 直线过点且与直线垂直，则的方程为（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
求出直线的斜率，然后利用点斜式可写出直线的方程，化为一般式可得出答案.
【详解】直线的斜率为，则直线的斜率为，
因此，直线的方程为，即.
故选：A.
【点睛】本题考查垂线方程的求解，一般要求出直线的斜率，也可以利用垂直直线系方程来求解，考查计算能力，属于基础题.
3. 已知，，是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（ ）
A. ，，B. ，，
C. ，，D. ，，
【答案】C
【解析】
【分析】利用空间向量的基底的定义，逐项判断作答.
【详解】向量是不共面的三个向量，
对于A，，则向量共面，A不能构成空间基底；
对于B，，则向量共面，B不能构成空间基底；
对于D，，则向量共面，D不能构成空间基底；
对于C，假定向量共面，则存在不全为0的实数，使得，
整理得，而向量不共面，则有，显然不成立，
所以向量不共面，能构成空间的一个基底，C能构成空间基底.
故选：C
4. 在平行六面体中，向量是（）
A. 有相同起点的向量B. 等长的向量
C. 共面向量D. 不共面向量
【答案】C
【解析】
【分析】
根据空间向量的概念和共面定理判断.
详解】如图所示：
向量显然不是有相同起点的向量，A不正确；
由该平行六面体不是正方体可知，这三个向量不是等长的向量，B不正确.
又因为，所以共面，C正确，D不正确.
故选：C
5. 如图，一座圆弧形拱桥，当水面在如图所示的位置时，拱顶离水面2米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽度为
A14米B. 15米C. 米D. 米
【答案】D
【解析】
【详解】以圆拱拱顶为坐标原点，以过拱顶顶点的竖直直线为y轴，建立直角坐标系，
设圆心为C，水面所在弦的端点为A，B，则由已知可得：A（6，﹣2），
设圆的半径为r，则C（0，﹣r），即圆的方程为x2+（y+r）2＝r2，
将A的坐标代入圆的方程可得r＝10，
所以圆的方程是：x2+（y+10）2＝100
则当水面下降1米后可设A′的坐标为（x0，﹣3）（x0＞0）
代入圆的方程可得x0，
所以当水面下降1米后，水面宽为2米．
故选：D．
6. 已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，若点F是侧面CD1的中心，且则m，n的值分别为( )
A. ，－B. －，－C. －，D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】直接利用向量的线性运算化简得,比较系数得.
【详解】由于，
所以.
故选：A
【点睛】本题主要考查向量的线性运算和空间向量的基本定理，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
7. 四棱锥中，，则这个四棱锥的高为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出平面的法向量，计算法向量与的夹角得出与平面的夹角，从而可求出到平面的距离．
【详解】解：设平面的法向量为，，，则，
，令可得，，即，2，，
，
设与平面所成角为，则，
于是到平面的距离为，即四棱锥的高为．
故选：．
【点睛】本题考查了空间向量在立体几何中的应用，属于基础题．
8. 已知⊙M：，直线：，为上的动点，过点作⊙M的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点共圆，且，根据 可知，当直线时，最小，求出以 为直径的圆的方程，根据圆系的知识即可求出直线的方程．
【详解】圆的方程可化为，点 到直线的距离为，所以直线 与圆相离．
依圆的知识可知，四点四点共圆，且，所以，而 ，
当直线时，， ，此时最小．
∴即 ，由解得， ．
所以以为直径的圆的方程为，即 ，
两圆的方程相减可得：，即为直线的方程．
故选：D.
【点睛】本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，以及圆的几何性质的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 下列说法正确的是（）
A. 直线必过定点
B. 直线在y轴上的截距为
C. 直线的倾斜角为
D. 若直线l沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移1个单位长度后，回到原来的位置，则该直线l的斜率为
【答案】AC
【解析】
【分析】直接利用直线的方程，直线的倾斜角和斜率之间的关系逐项判断即可得结论．
【详解】对于A：直线，整理得，所以该直线经过点，故A正确；
对于B：直线，令，解得，故直线在y轴上的截距为2，故B错误；
对于C：直线，所以直线的斜率，所以，由于故，故C正确；
对于D：直线l沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移1个单位长度后，回到原来的位置，则，所以直线的斜率为，故D不正确．
故选：AC.
10. 已知，，，则下列结论正确的是（）
A. B.
C. 为钝角D. 在方向上投影向量为
【答案】BD
【解析】
【分析】利用向量垂直，平行的坐标关系判断A，B，根据向量夹角公式判断C，根据投影向量和投影数量的关系计算求解判断D.
【详解】因为，所以，不垂直，A错，
因为，所以，B对，
因为，所以，所以不是钝角，C错，
因为在方向上的投影向量，D对，
故选：BD.
11. 圆C：，直线，点P在圆C上，点Q在直线l上，则下列结论正确的是（）
A. 直线l与圆C相交
B. 的最小值是1
C. 若P到直线l的距离为2，则点P有2个
D. 从Q点向圆C引切线，则切线段的最小值是3
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于A:求出圆心到直线的距离，即可判断直线与圆相离；
对于B:利用几何法求出的最小值，即可判断；
对于C:设直线m与l平行，且m到l的距离为2.求出m的方程，判断出直线m与圆C相交，有两个交点，即可判断；
对于D:根据图形知,过Q作QR与圆C相切于R，连结CR.要使切线长最小，只需最小.利用几何法求出切线段的最小值，即可判断.
【详解】对于A:由圆C：，得圆C的标准方程为，圆心到直线的距离，所以直线与圆相离.
故A错误；
对于B:圆心到直线的距离,所以的最小值为.
故B正确;
对于C:设直线m与l平行，且m到l的距离为2.则可设.由，解得：或.
当时，直线，圆心到直线的距离,所以直线m与圆C相交，有两个交点，且这两个点到直线l的距离为1.
当时，直线，圆心到直线的距离,所以直线m与圆C相离，不合题意.
综上所述，圆上到直线l的距离为1的点有且只有2个.故C正确.
对于D:根据图形知,过Q作QR与圆C相切于R，连结CR.则切线长.要使切线长最小，只需最小.
点Q到圆心C的最小值为圆心到直线的距离d=5,由勾股定理得切线长的最小值为,故D正确.
故选：BCD
12. 如图，在棱长为1的正方体中（）
A. AC与的夹角为
B. 三棱锥外接球的体积为
C. 与平面所成角的正切值
D. 点D到平面的距离为
【答案】BCD
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，利用坐标法逐项判断即得．
【详解】如图建立空间直角坐标系，
则，
对于A，，
则，即，所以AC与的夹角为，故A错误；
对于B，三棱锥外接球与正方体的外接球相同，
又正方体的外接球的直径等于体对角线的长，
所以三棱锥外接球的半径为，
所以三棱锥外接球的体积为，故B正确；
对于C，设平面的法向量为，，
所以，令，得到，，则，
因为，设与平面所成角为，
则，
则，故C正确；
因为，设点D到平面的距离为d，
则，故D正确．
故选：
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 若实数x、y满足x2＋y2＋4x－2y－4＝0，则的最大值是____.
【答案】＋3
【解析】
【详解】将方程x2＋y2＋4x－2y－4＝0化为，表示以为圆心，半径为3的圆，表示圆上的点与原点之间的距离，容易判断原点（0,0）在圆内，且原点与圆心之间的距离为，所以的最大值为．
点睛：本题主要考查圆内的点与圆上的点之间的距离最大值问题，属于中档题．本题注意数形结合，将代数问题转化为几何问题求解．
14. 如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，若，且，则的长为_________．
【答案】
【解析】
【详解】试题分析：因为，
所以，
即， 故．
15. 已知矩形，，，沿对角线将折起，若二面角的大小为，则，两点之间的距离为______.
【答案】
【解析】
【分析】过分别作由题意可求得
由二面角的大小为，得到再利用可求得结果.
【详解】过分别作
则
二面角的大小为,
,
则,即两点间的距离为.
故答案为：.
16. 瑞士数学家欧拉（LenhardEuler）1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知的顶点，，其欧拉线方程为，则顶点的坐标可以是_________
【答案】或
【解析】
【分析】设，依题意可确定的外心为，可得出一个关系式，求出重心坐标，代入欧拉直线方程，又可得出另一个关系式，解方程组，即可得出结论.
【详解】设的垂直平分线为，的外心为欧拉线方程为
与直线的交点为，
∴①
由，，重心为，
代入欧拉线方程，得②
由①②可得或.
故答案：或.
【点睛】本题以数学文化为背景，考查圆的性质和三角形的外心与重心，考查逻辑思维能力和计算能力，属于较难题.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知空间向量，，．
（1）若，求；
（2）若，求的值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】（1）利用空间向量共线定理，列式求解x的值，由向量模的坐标运算求解即可；
（2）利用向量垂直的坐标表示，求出x的值，从而得到，由空间向量的夹角公式求解即可．
【详解】解：（1）空间向量，，，
因为，所以存在实数k，使得，
所以，解得，
则．
（2）因为，则，解得，
所以，
故．
18. 已知ABC的顶点，AB边上的中线CM所在直线方程为，AC的边上的高BH所在直线方程为．
（1）求顶点C的坐标；
（2）求直线BC的方程．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设，利用点C在AB边上的中线CM上和直线AC与高线BH垂直求解；
（2）设，利用点B在BH上和AB的中点M在直线CM上求解；
【小问1详解】
解：设，
∵AB边上的中线CM所在直线方程为，
AC边上的高BH所在直线方程为．
∴，解得．
∴．
【小问2详解】
设，则，
解得．
∴．
∴．
∴直线BC的方程为，即为．
19. 已知以点为圆心的圆与直线相切．
（1）求圆C的方程；
（2）过点的作圆C的切线，求切线方程．
【答案】（1）；
（2）和．
【解析】
【分析】（1）由点到直线距离公式得圆半径后可得圆方程；
（2）分类讨论，检验斜率不存在的直线是否为切线，斜率存在时设出切线方程，由圆心到切线的距离等于半径得结论．
【小问1详解】
由题意，圆半径不，
所以圆方程为；
【小问2详解】
易知过点斜率不存在的直线是圆的切线，
再设斜率存在的切线方程为，即，
，解得，直线方程为，即．
所以切线方程是和．
20. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，E为棱PD的中点．
（1）证明：；
（2）求直线AE与平面PBD所成角的正弦值
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据线面垂直的性质与判定，证明平面即可；
（2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求解线面夹角即可.
【小问1详解】
因为底面，平面，故.
又为正方形，故.又，平面，故平面.又平面，故.
【小问2详解】
以为坐标原点，，，分别为，，轴建立如图空间直角坐标系.
设，则，，，，.
，，.
设平面的法向量，则，即，设则.
设直线AE与平面PBD所成角为，则.
21. 如图，在直四棱柱中，底面为菱形，，，，为棱上一点，，过，，三点作平面交于点.
（1）求点到平面的距离；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）如图所示建立空间直角坐标系，确定各点坐标，根据得到，确定平面的法向量，再利用点到平面的距离公式计算得到答案.
（2）确定平面与平面的法向量，再根据向量的夹角公式计算即可.
【小问1详解】
如图所示：取为中点，为菱形，，
则，故，
，，
以，，为轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，
设，则，
即，
故，解得，故，
设平面的法向量为，则，
取，得到，
点到平面的距离为.
【小问2详解】
设平面的法向量为，则，
取，得到；
设平面的法向量为，则，
取，得到；
平面与平面夹角为锐角，余弦值为.
22. 在平面直角坐标系xOy中，圆C的圆心在直线x＋y－3＝0上，圆C经过点A(0，4)，且与直线3x－4y＋16＝0相切．
（1）求圆C的方程；
（2）设直线l交圆C于P，Q两点，若直线AP，AQ的斜率之积为2，求证：直线l过一个定点，并求出该定点坐标．
【答案】（1）(x－3)2＋y2＝25；（2）证明见解析，定点为.
【解析】
【分析】（1）由圆心在直线上，可设圆心坐标C(a，3－a)，由圆心到切线的距离等于半径列方程解得后可得圆方程；
（2）分类讨论，直线斜率不存在时，设，，x0≠0，由已知求出x0，但此直线与圆无交点，不合题意；直线l的斜率存在．设直线l的方程y＝kx＋t(t≠4)，，，把已知用坐标表示出来，记为①式，由直线与圆相交，直线方程与圆方程联立，消元后应用韦达定理得，代入①式，得出的关系式，代入直线方程整理可得直线过定点的坐标．
【详解】（1）因为圆心C在直线x＋y－3＝0上，所以设C(a，3－a)，
因为圆C经过点A(0，4)，所以圆C的半径r＝AC＝，
因为圆C和直线3x－4y＋16＝0相切，所以圆C的半径r＝，
所以＝．
化简，得a2－6a＋9＝0，解得a＝3．
所以C(3，0)，半径r＝5．
所以圆C的方程为(x－3)2＋y2＝25．
（2）若直线l的斜率不存在，则可设，，x0≠0，
所以(x0－3)2＋y02＝25，，
消去y0得x0＝－6，再代入(x0－3)2＋y02＝25，y0不存在，
所以直线l的斜率存在．
设直线l的方程y＝kx＋t(t≠4)，，，
所以，
整理得，①
直线方程与圆C方程联立，
消去y得，
所以，代入①
得，
由于t≠4，整理得，即，
所以直线l的方程为，即，
令解得
所以直线l过一个定点，该定点坐标为．