2024年四川省宜宾市叙州区行知中学校九年级数学中考二诊试题

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一、选择题：(本大题共12小题，每小题4分，共48分)
1．﹣2024的倒数是（ C ）
A．﹣2024B．2024C．D．
2．2024年春节假期，宜宾市民纷纷走出家门，到公园逛庙会、赏民俗、看花灯，感受新春的喜庆氛围．据宜宾市园林绿化局的数据信息，春节假期首日，全市共接待游客711000人次．将711000用科学记数法表示应为（ B ）
A．71.1×104B．7.11×105C．7.11×104D．711×103
3．下列运算正确的是（ B ）
A．x8÷x2＝x4 B．2a2b•4ab3＝8a3b4 C．（﹣x5）4＝﹣x20 D．（a+b）2＝a2+b2
4.如图，l1∥l2，∠1＝35°，∠2＝50°，则∠3的度数为（ B ）
A．85°B．95°C．105°D．115°
10题图
9题图
3题图
5．费尔兹奖是国际上享有崇高声誉的一个数学奖项，每四年评选一次，主要授予年轻的数学家，下面数据是部分获奖者获奖时的年龄（单位：岁）：29，32，33，35，35，40．则这组数据的众数和中位数分别是（ B ）
A．35，35B．35，34C．34，35D．34，33
6．如图所示的几何体的左视图是（ A ）
A． B．C．D．
7．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，是《算经十书》之一，书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短，引绳度之，余绳五尺：屈绳量之，不足一尺，木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余5尺：将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺？设木长x尺，则可列方程为（D ）
A． B．C． D．
8．如果圆锥侧面展开图的面积是15π，母线长是5，则这个圆锥的底面半径是（ A ）
A．3B．4C．5D．6
9．如图，在直角坐标系中，Rt△AOB的边OB在y轴上，∠ABO＝90°，OB，点C在AB上，，且∠BOC＝∠A，若双曲线y经过点C，则k的值为（ B ）
A．B．C．1D．2
10.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠CAB＝30°，BC＝3，按以下步骤作图：①分别以点A和点B为圆心，大于AB长为半径作弧，两弧相交于E，F两点；②作直线EF交AB于点M，交AC于点N，连接BN，则AN的长为（C ）
A．2B．C．D．3
11.二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x＝1，下列结论：①abc＜0；②方程：ax2+bx+c＝0（3≠0）必有一个根大于2且小于3；③若，是抛物线上的两点，那么y1＜y2；④11a+2c＞0；⑤对于任意实数m，都有m（am+b）≥a+b，其中正确结论的是（C ）
A．②④B．①②④C．②④⑤D．②③④
12.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝6，点D、E分别是AB、AC的中点．将△ADE绕点A顺时针旋转60°，射线BD与射线CE交于点P，在这个旋转过程中有下列结论：①△AEC≌△ADB；②CP存在最大值为3+3；③BP存在最小值为33；④点P运动的路径长为π．其中，正确的是（B ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
11题图
12题图
二、填空题（：(本大题共6小题，每小题4分，共24分)
13.分解因式：a2﹣2ab﹣1+b2＝ （a﹣b+1）（a﹣b﹣1） ．
14.若关于x的分式方程（m为常数）有增根，则增根是 x＝4 ．
15.若关于x的不等式组有且只有两个整数解，关于m的一次函数y＝m+a﹣18的图象不经过第二象限，则所有满足条件的整数a的值之和为 51 ．
16.若α、β为x2﹣5x﹣1＝0方程的两个实数根，则的α2﹣5α+3αβ值为 ﹣2 ．
17.如图，圆O经过平行四边形的三个顶点A、B、D，且圆心O在平行四边形的外部，，D为弧AB的中点，若圆O的半径为5，则平行四边形的面积为16
18.如图，已知正方形ABCD的边长为6，点F是正方形内一点，连接EF，DF，且∠ADF＝∠DCF，点E是AD边上一动点，连接EB，EF，则EB+EF长度的最小值为 3-3 ．
18题图
17题图
解答题（本题共7个小题78分）
（本题10分）
（1）计算：（）﹣1+|1|tan30°； （2）化简：（a）．
解：（1）原式= （2）原式=1﹣a．
(本题10分）
如图，点C，E，F，B在同一直线上，点A，D在BC异侧，AB∥CD，AE＝DF，∠A＝∠D．
（1）请判断AB和CD的数量关系，并说明理由；
（2）若AB＝CF，∠B＝40°，求∠D的度数．
解：（1）AB＝CD，证明如下：
∵AB∥CD，
∴∠B＝∠C，
在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（AAS），
∴AB＝CD；
（2）∵△ABE≌△DCF，
∴AB＝CD，BE＝CF，∠B＝∠C，
∵∠B＝40°，
∴∠C＝40°
∵AB＝CF，
∴CF＝CD，
∴∠D＝∠CFD（180°﹣40°）＝70°．
（本题10分）
“基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”，是国家为回应“钱学森之问”而推出的一项人才培养计划，旨在培养中国自己的杰出人才．已知A，B，C，D，E五所大学设有数学学科拔尖学生培养基地，并开设了暑期夏令营活动，参加活动的每名中学生只能选择其中一所大学．某市为了解中学生的参与情况，随机抽取部分学生进行调查，并将统计数据整理后，绘制了不完整的条形统计图和扇形统计图．
（1）请将条形统计图补充完整；
（2）在扇形统计图中，D所在的扇形的圆心角的度数为 14.4° ；若该市有1000名中学生参加本次活动，则选择A大学的大约有 200 人；
（3）甲、乙两位同学计划从A，B，C三所大学中任选一所学校参加夏令营活动，请利用树状图或表格求两人恰好选取同一所大学的概率．
（3）树状图如下所示：
由上可得，一共有9种等可能性，其中两人恰好选取同一所大学的可能性有3种，
∴两人恰好选取同一所大学的概率为．
（本题12分）
为了丰富学生的文化生活，学校利用假期组织学生到红色文化基地A和人工智能科技馆C参观学习．如图，学校在点B处，A位于学校的东北方向，C位于学校南偏东30°方向，C在A的南偏西15°方向（30+30）km处．学生分成两组，第一组前往A地，第二组前往C地，两组同学同时从学校出发，第一组乘客车，速度是40km/h，第二组乘公交车，速度是35km/h．
（1）求学校到红色文化基地A的距离？
（2）哪组同学先到达目的地？请说明理由（结果保留根号）．
解：（1）作BD⊥AC于D．
依题意得，
∠BAE＝45°，∠ABC＝105°，∠CAE＝15°，
∴∠BAC＝30°，
∴∠ACB＝45°．
在Rt△BCD中，∠BDC＝90°，∠ACB＝45°，
∴∠CBD＝45°，
∴∠CBD＝∠DCB，
∴BD＝CD，
设BD＝x km，则CD＝x km，
在Rt△ABD中，∠BAC＝30°，
∴AB＝2BD＝2x km，tan30°，
∴，
∴ADx，
在Rt△BDC中，∠BDC＝90°，∠DCB＝45°，
∴sin∠DCB，
∴BCx，
∵CD+AD＝30+30，
∴xx＝30+30，
∴x＝30，
∴AB＝2x＝60（km）；
（2）第二组先到达目的地，
理由：∵BD＝30km，
∴BC=x＝30km，
第一组用时：60÷40＝1.5（h）；第二组用时：3035（h），
∵1.5，
∴第二组先到达目的地，
答：第二组先到达目的地．
(本题12分）
已知一次函数y1＝ax﹣1（a为常数）与x轴交于点A，与反比例函数y2交于B、C两点，B点的横坐标为﹣2．
（1）求出一次函数的解析式并在图中画出它的图象；
（2）求出点C的坐标，并根据图象写出当y1＜y2时对应自变量x的取值范围；
（3）若点B与点D关于原点成中心对称，求出△ACD的面积．
解：（1）∵B点的横坐标为﹣2且在反比例函数y2的图象上，
∴y23，
∴点B的坐标为（﹣2，﹣3），
∵点B（﹣2，﹣3）在一次函数y1＝ax﹣1的图象上，
∴﹣3＝a×（﹣2）﹣1，
解得a＝1，
∴一次函数的解析式为y＝x﹣1，
∵y＝x﹣1，
∴x＝0时，y＝﹣1；x＝1时，y＝0；
∴图象过点（0，﹣1），（1，0），
函数图象如图所示；
（2），
解得或，
∵一次函数y1＝ax﹣1（a为常数）与反比例函数y2交于B、C两点，B点的横坐标为﹣2，
∴点C的坐标为（3，2），
由图象可得，当y1＜y2时对应自变量x的取值范围是x＜﹣2或0＜x＜3；
（3）∵点B（﹣2，﹣3）与点D关于原点成中心对称，
∴点D（2，3），
作DE⊥x轴交AC于点E，
将x＝2代入y＝x﹣1，得y＝1，
∴S△ACD＝S△ADE+S△DEC2，
即△ACD的面积是2．
（本题12分）
．如图，在圆内接四边形ABCD中，BD为⊙O的直径，点D关于AC的对称点E在边BC上，连接AE并延长AE交⊙O于点G，圆心O在AG上，过点D作DF∥AG．
（1）求证DF为⊙O的切线；
（2）若OA＝5，tan∠ABC＝2，求CD的长．
证明：（1）如图，连接DE，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BCD＝90°，
∵点D、点E关于AC对称，即AC是DE的中垂线，
∴∠ACE＝∠ACD＝45°，
∴AB＝AD，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BAD＝90°，
又∵OB＝OD，
∴AG⊥BD，
∵DF∥AG，
∴DF⊥BD，
∵OD是⊙O的半径，
∴DF是⊙O的切线；
解：（2）连接GC，则∠G＝∠ABC，
∵点D、点E关于AC对称，即AC是DE的中垂线，
∴∠GAC＝∠DAC，
∴CG＝CD，
∵AG是是⊙O的直径，
∴∠ACG＝90°，
在Rt△ACG中，AG＝2OA＝10，tan∠G＝tan∠ABC＝2，
设CG＝x，则AC＝2x，由 勾股定理得，
AC2+CG2＝AG2，
即（2x）2+x2＝102，
解得x＝2或x＝﹣20（舍去），
即CD＝2．
（本题12分）
已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为直线BC上方抛物线上一点，连接AP，与BC交于点D，与y轴交于点E，过点P作PF⊥x轴于点F，连接AC．
①当∠APF＝2∠ACO时，求点P的坐标；
②试探究：是否有最大值？若有，求出该最大值；若没有，请说明理由．
解：（1）由题意得：y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3；
（2）①由抛物线的表达式知，点C（0，3），
在x轴正半轴上取点N使OA＝ON＝1，
则CN＝AC，
则∠APF＝2∠ACO＝∠ACN，
过点A作AT⊥CN于点T，
∵S△ACNAN×COCN×AT，
即2×3AT，
则AT，
则sin∠ACN，
则tan∠ACNtan∠APF，
则tan∠PAF，
则直线AP的表达式为：y（x+1），
联立上式和二次函数的表达式得：﹣x2+2x+3（x+1），
解得：x＝﹣1（舍去）或，
则点P（，）；
②有最大值，理由：
过点A作AN∥y轴交BC于点N，
由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，
设点P（x，﹣x2+2x+3），则点G（x，﹣x+3），则PG＝﹣x2+2x+3+x﹣3＝﹣x2+3x，
当x＝﹣1时，y＝4，即点N（﹣1，4），则AN＝4，
∵AN∥y轴，则△ADN∽△PDG，
∴PG（﹣x2+3x）（x）2，
即的最大值为．