北京市第十五中学2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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1．本试卷共4页，四道大题．前三道大题共25道小题，满分100分．附加题满分10分，计入总分，但卷面总分不超过100分．考试时间100分钟．
2．在试卷和答题卡上准确填写班级、姓名和考号．
3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．
4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．
第一部分 选择题
一、选择题（共16分，每题2分）
第1−8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 在平面直角坐标系中，点（-1，-2）所在的象限是（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2. 在实数，，3.1415，中，无理数是（ ）
A. B. C. 3.1415D.
3. 若是方程的一个解，则的值为（ ）
A. 1B. C. 3D. 2
4. 下列命题中，是假命题的是（ ）
A. 如果两个角相等，那么它们是对顶角B. 同旁内角互补，两直线平行
C. 如果，，那么D. 负数没有平方根
5. 如图，一条数轴被污渍覆盖了一部分，把下列各数表示在数轴上，则被覆盖的数可能为（ ）
A. B. C. D.
6. 下列式子正确的是（ ）
A B. C. D.
7. 如图，纸片的边缘，互相平行，将纸片沿折叠，使得点B，D分别落在点，处.若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为．线段以每秒旋转90°的速度，绕点沿顺时针方向连续旋转，同时，点从点出发，以每秒移动1个单位长度的速度，在线段上，按照…的路线循环运动，则第2023秒时点的坐标为（ ）

A B. C. D.
第二部分 非选择题
二、填空题（共16分，每题2分）
9. 16的算术平方根是___________．
10. 若，则_____________．
11 如图，直线与相交于点O，若，则_____________．
12. 在平面直角坐标系中，已知点P在第四象限，且点P到两坐标轴的距离相等，写出一个符合条件的点P的坐标：______．
13. 北京中轴线南起永定门，北至钟鼓楼，全长7.8千米．如图是利用平面直角坐标系画出的中轴线及其沿线部分地点分布图，若这个坐标系分别以正东、正北方向为轴、轴的正方向，表示天安门的点的坐标为，表示王府井的点的坐标为，则表示永定门的点的坐标为______．

14. 如图，一块边长为10米的正方形花园，在上面修了一条道路，路的宽都是1米，其余部分种上各种花草，则种植花草的面积是______平方米．

15. 已知点O为直线上一点，，于点O，平分，则______．
16. 小云计划户外徒步锻炼，每天有“低强度”“高强度”“休息”三种方案，下表对应了每天不同方案的徒步距离（单位：）．若选择“高强度”要求前一天必须“休息”（第一天可选择“高强度”）．则小云5天户外徒步锻炼的最远距离为_______．
三、解答题（共68分，第17题5分，第18、19题每题10分，第20题5分，第21题8分，第22、23题每题7分，第24、25题每题8分）
17. 计算：
18. 求下列各式中的x的值．
（1）；
（2）．
19. 解方程组：(1) (2)
20. 如图，已知点P在的边上．

（1）过点P作边的垂线l；
（2）过点P作边的垂线段；
（3）过点O作的平行线交l于点E，比较三条线段的大小，并用“>”连接得 ，得此结论的依据是 ．
21. 补全下列推理过程：
如图，已知，求．
解：（已知）
（_______）
又（已知）
（_______）
（_______）
（_______）
（已知）

22. 在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点坐标分别为，，．
（1）在所给的图中，画出这个平面直角坐标系；
（2）将三角形向右平移4个单位长度，然后再向上平移3个单位长度，可以得到三角形．画出平移后的三角形；
（3）计算三角形的面积是 ；
（4）已知点在y轴上，且三角形ACP的面积为3，直接写出P点的坐标为 ．
23. 如图，∠1＝∠EAB，∠E＋∠2＝180°．
（1）判断EF与AC的位置关系，并证明；
（2）若AC平分∠EAB，BF⊥EF于点F，∠EAB＝60°，求∠BCD的度数．

24. 我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子，问每头牛、每只羊分别值银子多少两？”
根据以上译文，提出以下两个问题：
（1）求每头牛、每只羊各值多少两银子？
（2）若某商人准备用19两银子买牛和羊（要求既有牛也有羊，且银两须全部用完），请问商人有几种购买方法？列出所有的可能．
25. 在数学实践课上，老师让同学们借助“两条平行线，和一副直角三角尺”开展数学活动．
（1）如图①，小明把三角尺角的顶点放在直线上，．若，则_________；
（2）如图②，小颖把等腰直角三角尺两个锐角的顶点，分别放在直线，上，请用等式表示与之间满足的数量关系______________（不用证明）；
（3）在图②的基础上，小亮把三角尺角的顶点放在点处，即．如图③，平分交直线于点，平分交直线于点．将含角的三角尺绕着点转动，且使始终在的内部，请问的值是否发生变化？若不变，求出它的值；若变化，说明理由．
附加题（共10分，第1题4分，第2题6分）
26. 对有序数对定义“运算”：，其中、为常数．运算的结果也是一个有序数对，在此基础上，可对平面直角坐标系中的任意一点规定“变换”：点在F变换下的对应点即为坐标为的点．
（1）当，时，________________；
（2）若点在“F变换”下的对应点是，求、的值．
27. 在平面直角坐标系中，对于任意三点A，B，C的“矩面积”，给出如下定义：
“水平底”a为任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h为任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”．
已知：如图，．
（1）若点C坐标为，则A，B，C三点的“水平底”，“铅垂高”，“矩面积”__________；
（2）点P在x轴上，若A，B，P三点的“矩面积”为10，则点P的坐标为_______；
（3）点，
①若A，B，M三点的“矩面积”为8，直接写出满足题意的m的最大值；
②若，直接写出A，B，M三点的“矩面积”S的取值范围．
日期
第1天
第2天
第3天
第4天
第5天
低强度
8
6
6
5
4
高强度
12
13
15
12
8
休息
0
0
0
0
0