江苏省宿迁市2022-2023学年第二学期高一数学期中试题

这是一份江苏省宿迁市2022-2023学年第二学期高一数学期中试题，共21页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知向量，，若，则实数的值为（）
A. B. C. D.
2. 若复数，则（）
A. B. C. 1D. 3
3. 在中，已知，，，则等于（）
A. B. C. D. 或
4. 等于（）．
A. B. C. D.
5. 如图所示，在中，，P是上的一点，若，则实数m的值为（）．
A. B. C. D.
6. 一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，2小时后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是（）
A. 海里B. 海里C. 海里D. 海里
7已知，则（）．
A. B. C. D.
8. 在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，且，则的取值范围是（）．
A. B. C. D.
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9. 已知复数，则下列说法正确的是（）
A. 的共轭复数是
B. 的虚部是
C.
D. 若复数满足，则的最大值是
10. 已知在同一平面内的向量均为非零向量，则下列说法中正确的有（）
A. 若，则
B若，则
C.
D. 若且，则
11. 设…是半径为1的圆O内接正n边形，则由圆的旋转不变性知：．据此可推断下列结论正确的有（）．
A.
B
C.
D.
12. （多选）分别为内角的对边，已知，且，则（ ）
A. B.
C. 的周长为D. 的面积为
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13__________．
14. 李政道与杨振宁在1952年发表了两篇统计力学方面的论文中，证明了著名的李-杨单位圆定理：设n为自然数且，给定，，，．则多项式的零点（多项式值为零的复数z的值）全部分布在单位圆上．其中，而，并约定．其特例：当时，设，．若取，则的一个零点为__________．
15. 已知单位向量与，向量在方向上的投影向量为，且，若的取值范围是，则的取值范围是_________．
16. 兰州黄河楼，位于黄河兰州段大拐弯处，是一座讲述黄河故事的人文地标，是传承和记录兰州文化的精神产物，展现了甘肃浓厚的历史文化底蕴及黄河文化的独特魅力．某同学为了估算该楼的高度，采用了如图所示的方式来进行测量：在地面选取相距90米的C、D两观测点，且C、D与黄河楼底部B在同一水平面上，在C、D两观测点处测得黄河楼顶部A的仰角分别为，并测得，则黄河楼的估计高度为_____________米．
四、解答题（本题共6大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. 若复数，复数．
（1）若，求实数的值；
（2）若，求．
18. 已知向量与夹角，且，．
（1）求；
（2）与的夹角的余弦值．
19. 已知，且．
（1）求的值；
（2）求的值．
20. 如图所示，是半径为的半圆的圆心，为右端点，点是半圆上一个动点，以向外做一个等边三角形，点与点在的异侧，设.
（1）若，求的长；
（2）求四边形面积的最大值.
21. 在校园美化、改造活动中，要在半径为、圆心角为的扇形空地的内部修建一矩形观赛场地，如图所示．取的中点M，记．
（1）写出矩形的面积S与角的函数关系式；
（2）求当角为何值时，矩形的面积最大？并求出最大面积．
22. 在中，
（1）|，于D，，，求，.
（2）如果（1）的条件下，中，PQ是以A为圆心，为半径的圆的直径，求的最大值，最小值，并指出取最大值，最小值时向量与的夹角
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知向量，，若，则实数的值为（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由向量线性运算坐标表示求坐标，根据平行关系列方程求参数即可.
【详解】由题设，又，
所以，可得.
故选：C
2. 若复数，则（）
A. B. C. 1D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】根据复数的四则运算和复数相等的概念分别求出的值即可求解.
【详解】因为，所以，
则有，解得，所以，
故选：D.
3. 在中，已知，，，则等于（）
A. B. C. D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】利用正弦定理和三角形大边对大角原则可求得结果.
【详解】由正弦定理得：，
，，则，.
故选：A.
4. 等于（）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用诱导公式和和差角公式可得.
【详解】原式
.
故选：B
5. 如图所示，在中，，P是上的一点，若，则实数m的值为（）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用共线定理的推论可得.
【详解】因为，所以，
所以，
因为P，B，N三点共线，所以，解得.
故选：D
6. 一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，2小时后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是（）
A. 海里B. 海里C. 海里D. 海里
【答案】A
【解析】
【分析】由题设作示意图，应用正弦定理求B，C两点间的距离即可.
【详解】由题设可得如下示意图，且，即，
由图知：，则，又，
所以，则海里.
故选：A
7. 已知，则（）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用诱导公式和余弦的二倍角公式直接计算可得.
【详解】因为，
所以.
故选：B
8. 在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，且，则的取值范围是（）．
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用正弦定理边化角可得，然后代入消去角A，利用正弦函数的性质可得.
【详解】因为，，
所以
由正弦定理可得：，即，
因为为锐角三角形，所以，
所以，即，
，
因为，所以，，
所以，所以，
即.
故选：B
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9. 已知复数，则下列说法正确的是（）
A. 的共轭复数是
B. 的虚部是
C.
D. 若复数满足，则的最大值是
【答案】AD
【解析】
【分析】利用共轭复数的定义可判断A选项；利用复数的概念可判断B选项；利用复数的除法可判断C选项；利用复数模几何意义可判断D选项.
【详解】对于A选项，因为，则，A对；
对于B选项，复数的虚部为，B错；
对于C选项，，C错；
对于D选项，令，则，
即在圆心为半径为1的圆上，而表示圆上点到原点的距离，
由圆心到原点的距离为，结合圆上点到定点距离范围易知：的最大值为，D对.
故选：AD.
10. 已知在同一平面内的向量均为非零向量，则下列说法中正确的有（）
A. 若，则
B. 若，则
C.
D. 若且，则
【答案】AD
【解析】
【分析】平面向量共线的传递性判断A，由向量数量积的定义可判断B，根据数量积及共线向量的概念可判断C，根据向量垂直及向量数量积的概念可判断D.
【详解】对A，在同一平面内向量均为非零向量，若且，则，即A正确；
对B，若，则，又，所以，
因为与的夹角不一定相等，所以不一定成立，即B错误；
对C，因为与共线，与共线，所以不一定成立，即C错误；
对D，若且，则，，即D正确.
故选：AD．
11. 设…是半径为1的圆O内接正n边形，则由圆的旋转不变性知：．据此可推断下列结论正确的有（）．
A.
B.
C.
D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】A选项，由题意得到，结合求出答案；B选项，方法与A选项相同；C选项，设，，两式相加，相减得到两个关系式，从而求出答案；D选项，方法与C选项相同.
【详解】A选项，设，
，
由题意得，
其中，
所以，A正确；
B选项，设，
由题意得，
其中，
，B正确；
C选项，设，，
则①，
②，
则①+②得，C正确；
D选项，设，，
则③，
④，
③-④得，故不是定值，D错误.
故选：ABC
12. （多选）分别为内角的对边，已知，且，则（ ）
A. B.
C. 的周长为D. 的面积为
【答案】ABD
【解析】
【分析】由正弦定理得，即可判断A选项；由平方关系及商数关系即可判断B选项；先由余弦定理得，再求出周长即可判断C选项；先求得，再求面积即可判断D选项.
【详解】由正弦定理得，整理得，即，A正确；
由可得，则，B正确；
由余弦定理得，又，可得，
整理得，的周长为，C错误；
由上知：，，可得，
则的面积为，D正确.
故选：ABD.
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13. __________．
【答案】
【解析】
【分析】利用正切两角和公式变形可得.
【详解】因为，
所以，
即.
故答案为：
14. 李政道与杨振宁在1952年发表了两篇统计力学方面的论文中，证明了著名的李-杨单位圆定理：设n为自然数且，给定，，，．则多项式的零点（多项式值为零的复数z的值）全部分布在单位圆上．其中，而，并约定．其特例：当时，设，．若取，则的一个零点为__________．
【答案】（或）
【解析】
【分析】利用求根公式直接求解可得.
【详解】当时，，
令，由求根公式可得.
故答案为：（或）
15. 已知单位向量与，向量在方向上的投影向量为，且，若的取值范围是，则的取值范围是_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据投影向量可得，根据余弦函数的值域即可得的取值范围.
【详解】单位向量与，则，
向量在方向上的投影向量为，
所以,由于的取值范围是，所以.
故答案为：.
16. 兰州黄河楼，位于黄河兰州段大拐弯处，是一座讲述黄河故事的人文地标，是传承和记录兰州文化的精神产物，展现了甘肃浓厚的历史文化底蕴及黄河文化的独特魅力．某同学为了估算该楼的高度，采用了如图所示的方式来进行测量：在地面选取相距90米的C、D两观测点，且C、D与黄河楼底部B在同一水平面上，在C、D两观测点处测得黄河楼顶部A的仰角分别为，并测得，则黄河楼的估计高度为_____________米．
【答案】90
【解析】
【分析】根据仰角分别得出,，在中由余弦定理求解即可.
【详解】在中，，所以，
在，，所以，即，
在中，，，
由余弦定理，，
即，解得或（舍去），
即黄河楼的估计高度为米.
故答案为：
四、解答题（本题共6大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. 若复数，复数．
（1）若，求实数的值；
（2）若，求．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用复数的加法化简复数，根据复数的概念可得出关于实数的等式，即可求得实数的值；
（2）当时，利用复数的除法可求得复数.
【小问1详解】
解：由已知，则，解得.
【小问2详解】
解：当时，.
18. 已知向量与的夹角，且，．
（1）求；
（2）与的夹角的余弦值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由向量数量积定义及运算律求结果；
（2）由向量夹角公式、数量积的运算律求夹角余弦值.
【小问1详解】
已知向量与的夹角，且，，
则，
所以；
【小问2详解】
由（1）知：，
所以，
所以与的夹角的余弦值为.
19已知，且．
（1）求的值；
（2）求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用运算求解；
（2）先求出，再分析得到，即得解.
【小问1详解】
由题意可得：.
【小问2详解】
由（1）可知：，
则，
∵，，则，，
可得，
故
20. 如图所示，是半径为的半圆的圆心，为右端点，点是半圆上一个动点，以向外做一个等边三角形，点与点在的异侧，设.
（1）若，求的长；
（2）求四边形面积的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）直接利用余弦定理计算求解即可；
（2）四边形面积分成两个三角形，利用三角形面积公式表示出它们的面积，然后利用辅助角公式和正弦函数性质进行求解.
【小问1详解】
在中，，由余弦定理得，解得.
【小问2详解】
中，，由余弦定理得.
因为，.
所以四边形的面积.
因为，故，根据正弦函数的最值可知，所以，即当时，四边形面积取到最大值.
21. 在校园美化、改造活动中，要在半径为、圆心角为的扇形空地的内部修建一矩形观赛场地，如图所示．取的中点M，记．
（1）写出矩形的面积S与角的函数关系式；
（2）求当角为何值时，矩形的面积最大？并求出最大面积．
【答案】（1），
（2）当时，矩形的面积最大，最大值为
【解析】
【分析】（1）首先得出，再用的三角函数分别表示出和，则，再根据二倍角公式，降幂公式和辅助角公式化简即可；
（2）由，得出，根据正弦函数的图像，得出时，面积最大，即可得出最大面积．
【小问1详解】
由题可知，，
在中，
，
，
，
在中，
，
，
，．
小问2详解】
，
，
当，即时，
，
故当时，矩形的面积最大，最大值为．
22. 在中，
（1）|，于D，，，求，.
（2）如果（1）的条件下，中，PQ是以A为圆心，为半径的圆的直径，求的最大值，最小值，并指出取最大值，最小值时向量与的夹角
【答案】（1），（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）建立直角坐标，利用点的坐标表示向量，然后求数量积的值；
（2）利用向量的转化为已知向量的关系，通过向量的数量积推出数量积的表达式，然后求解最值．
【详解】（1）以BC，DA分别为轴建立直角坐标系如图，
，于D，，，
可得，，
可得，，，，，
，，，
，
.
（2）设与轴正方向成角，即向量与的夹角为，
因为，
，
所以
，
当与方向相同时，即，时，取得最大值0，此时与的方向相同；
当与方向相反时，即，时，取得最小值，此时与的方向相反.