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新教材高考物理二轮复习专题2能量与动量第1讲动能定理、机械能守恒定律、功能关系的应用课件
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这是一份新教材高考物理二轮复习专题2能量与动量第1讲动能定理、机械能守恒定律、功能关系的应用课件，共60页。PPT课件主要包含了体系构建•真题感悟，答案AD，答案B，答案C，答案BD，高频考点•能力突破，命题点点拨，答案AB，答案AC，答案BC等内容，欢迎下载使用。
【知识回顾•构建网络】
【感悟高考•真题再练】
1.(多选)(2023湖南卷)如图所示,固定在竖直面内的光滑轨道ABC由直线段AB和圆弧段BC组成,两段相切于B点,AB段与水平面间的夹角为θ,BC段圆心为O,最高点为C,A与C的高度差等于圆弧轨道的直径2R。小球从A点以初速度v0冲上轨道,能沿轨道运动恰好到达C点,下列说法正确的是( ) A.小球从B到C的过程中,对轨道的压力逐渐增大B.小球从A到C的过程中,重力的功率始终保持不变C.小球的初速度D.若小球初速度v0增大,小球有可能从B点脱离轨道
2.(2021山东卷)如图所示,粗糙程度处处相同的水平桌面上有一长为l的轻质细杆,一端可绕竖直光滑轴O转动,另一端与质量为m的小木块相连。木块以水平初速度v0出发,恰好能完成一个完整的圆周运动。在运动过程中,木块所受摩擦力的大小为( )
3.(2022全国乙卷)固定于竖直平面内的光滑大圆环上套有一个小环。小环从大圆环顶端P点由静止开始自由下滑,在下滑过程中,小环的速率正比于( )A.它滑过的弧长B.它下降的高度C.它到P点的距离D.它与P点的连线扫过的面积
4.(多选)(2022全国乙卷)一种可用于卫星上的带电粒子探测装置,由两个同轴的半圆柱形带电导体极板(半径分别为R和R+d)和探测器组成,其横截面如图甲所示,点O为圆心。在截面内,极板间各点的电场强度大小与其到O点的距离成反比,方向指向O点。4个带正电的同种粒子从极板间通过,到达探测器。不计粒子重力。粒子1、2做圆周运动,圆的圆心为O、半径分别为r1、r2(R
解析 在截面内,极板间各点的电场强度大小与其到O点的距离成反比,可设为Er=k,带正电的同种粒子1、2在均匀辐向电场中做匀速圆周运动,则有的动能等于粒子2入射时的动能,故C错误;粒子3从距O点r2的位置入射并从距O点r1的位置出射,做向心运动,静电力做正功,则粒子动能增大,粒子3入射时的动能比它出射时的小,故A错误;粒子4从距O点r1的位置入射并从距O点r2的位置出射,做离心运动,静电力做负功,则粒子动能减小,粒子4入射时的动能比它出射时的大,故B正确;粒子3做向心运动,有qE2> 可得 ,粒子1入射时的动能大于粒子3入射时的动能,故D正确。
5.(2021山东卷)如图所示,三个质量均为m的小物块A、B、C,放置在水平地面上,A紧靠竖直墙壁,一劲度系数为k的轻弹簧将A、B连接,C紧靠B,开始时弹簧处于原长,A、B、C均静止。现给C施加一水平向左、大小为F的恒力,使B、C一起向左运动,当速度为0时,立即撤去恒力,一段时间后A离开墙壁,最终三物块都停止运动。已知A、B、C与地面间的滑动摩擦力大小均为Ff,最大静摩擦力等于滑动摩擦力,弹簧始终在弹性限度内。弹簧的弹性势能可表示为Ep= kx2,k为弹簧的劲度系数,x为弹簧的形变量。
(1)求B、C向左移动的最大距离x0和B、C分离时B的动能Ek。(2)为保证A能离开墙壁,求恒力的最小值Fmin。(3)若当三物块都停止时B、C间的距离为xBC,从B、C分离到B停止运动的整个过程,B克服弹簧弹力做的功为W,通过推导比较W与FfxBC的大小。(4)若F=5Ff,请在所给坐标系中,画出C向右运动过程中加速度a随位移x变化的图像,并在坐标轴上标出开始运动和停止运动时的a、x值(用Ff、k、m表示),不要求推导过程。以撤去F时C的位置为坐标原点,水平向右为正方向。
(2)当A刚要离开墙时,设弹簧的伸长量为x,以A为研究对象,由平衡条件得kx=Ff若A刚要离开墙壁时B的速度恰好等于0,这种情况下恒力为最小值Fmin,从弹簧恢复原长到A刚要离开墙的过程中,以B和弹簧为研究对象,由能量守恒得
(3)从B、C分离到B停止运动,设B的路程为xB,C的位移为xC,以B为研究对象,由动能定理得-W-FfxB=0-Ek以C为研究对象,由动能定理得-FfxC=0-Ek由B、C的运动关系得xB>xC-xBC联立可知W
2.功率的计算(1)明确是求瞬时功率还是平均功率。(2) 侧重于平均功率的计算,P=Fvcs α(α为F和v的夹角)侧重于瞬时功率的计算。要注意P=Fvcs α可理解成力F的瞬时功率等于该力乘以该力方向上的瞬时速度。注:对于机车,通常输出功率P=Fv,其中F为机车牵引力。
解决机车启动问题时的四点注意1.分清是匀加速启动还是恒定功率启动。 两过程2.匀加速启动过程中,机车功率不断增大,最大功率是额定功率。3.以额定功率启动的过程中,牵引力不断减小,机车做加速度减小的加速运动,牵引力的最小值等于阻力。4.无论哪种启动方式,最后达到最大速度时,均满足P=F阻vm,P为机车的额定功率。
【对点训练】1.(多选) (命题点1、3)一个质量为5 kg静止在水平地面上的物体,某时刻受到一个水平方向的恒力F作用,3 s末撤去恒力F,物体继续滑行一段时间停下,物体的运动图像如图所示。重力加速度g取10 m/s2,关于物体的运动,下列说法正确的是( )A.物体与地面间的动摩擦因数为0.5B.整个过程恒力F做功625 JC.整个过程恒力F做功的功率为250 WD.恒力F的最大功率为250 W
易错防范计算功率时,一定要弄清求的是平均功率还是瞬时功率。
2.(多选)地下矿井中的矿石装在矿车中,用电机通过竖井运送至地面。某竖井中矿车被提升的速度大小v随时间t的变化关系如图所示,其中图线①②分别描述两次不同的提升过程,它们变速阶段加速度的大小都相同;两次提升的高度相同,提升的质量相等。不考虑摩擦阻力和空气阻力。对于第①次和第②次提升过程,( )A.矿车上升所用的时间之比为4∶5B.电机的最大牵引力之比为2∶1C.电机输出的最大功率之比为2∶1D.电机所做的功之比为4∶5
由于两次提升的变速阶段的加速度大小相同,在匀加速阶段,由牛顿第二定律,F-mg=ma,可得提升的最大牵引力之比为1∶1,选项B错误;由功率公式P=Fv可知,电机输出的最大功率之比等于最大速度之比,为2∶1,选项C正确;
3.(多选) (命题点4)某装甲车的质量为m,若在平直的公路上从静止开始加速,前进较短的距离s速度便可达到最大值vmax。设在加速过程中发动机的功率恒定为P,装甲车所受阻力恒为Ff,当速度为v(v
[典例1](命题点4)某遥控赛车轨道如图所示,赛车从起点A出发,沿摆放在水平地面上的直轨道AB运动l0=10 m后,从B点进入半径R=0.1 m的光滑竖直圆轨道,经过一个完整的圆周后进入粗糙的、长度可调的、倾角θ=30°的斜直轨道CD,最后在D点速度方向变为水平后飞出(不考虑经过轨道中C、D两点的机械能损失)。已知赛车质量m=0.1 kg,通电后赛车以额定功率P=1.5 W工作,赛车与AB轨道、CD轨道间的动摩擦因数分别为μ1=0.3和μ2= ,重力加速度g取10 m/s2。
(1)求赛车恰好能过圆轨道最高点P时的速度vP的大小。(2)若要求赛车能沿圆轨道做完整的圆周运动,求赛车通电的最短时间。(3)已知赛车在水平直轨道AB上运动时一直处于通电状态且最后阶段以恒定速率运动,进入圆轨道后关闭电源,选择CD轨道合适的长度,可使赛车从D点飞出后落地的水平位移最大,求此最大水平位移,并求出此时CD轨道的长度。
破题:1.确定赛车为研究对象,明确几个运动过程:从“恰好能过圆轨道最高点P时的速度”入手,求出临界速度。
3.赛车在最后过程做匀速运动,牵引力与滑动摩擦力平衡,设CD轨道的长度为l,平抛水平位移为x,应用平抛规律和动能定理列方程,写出函数关系求解。
易错防范(1)本题属于多过程问题,求解时要选择合适的过程,可选全过程应用动能定理,这样可以避开每个运动过程的具体细节,过程简明、运算量小。但要注意写出各力做功的代数和时,不要漏掉某个力做的功,同时要注意各力做功的正负。(2)如果全过程中,某个点的状态是已知的,应将全过程从已知点分开应用动能定理来研究。
【对点训练】4.(命题点1)如图甲所示,静止于光滑水平面上坐标原点处的小物块,在水平拉力F作用下,沿x轴方向运动,拉力F随物块所在位置坐标x的变化关系如图乙所示,图线为半圆,则小物块运动到x0处时的动能为( )
思维点拨 应用动能定理结合图像求动能。
5. (命题点3)如图所示,在竖直面内,一半径为R的光滑半圆轨道和水平轨道在B点相切,PB为圆弧轨道的直径。一小滑块从A点沿水平轨道向右运动经B点沿圆弧轨道恰好通过P点,最后落在A点。小滑块与水平轨道间的动摩擦因数为0.5,重力加速度为g,不计空气阻力。则小滑块从A点运动时的初速度为( )
易错防范 (1)公式 中W应是总功,方程为标量方程,不能在某方向上应用。(2)功的计算过程中,易出现正、负功判断错误及遗漏某些力做功的情况。
6. (命题点2)从地面竖直向上抛出一物体,物体在运动过程中除受到重力外,还受到一大小不变、方向始终与运动方向相反的外力作用。距地面高度h在3 m以内时,物体上升、下落过程中动能Ek随h的变化如图所示。重力加速度取10 m/s2。该物体的质量为( )A.2 kgB.1.5 kgC.1 kgD.0.5 kg
答案 C解析 根据动能定理,物体在上升过程中有-mgh-Fh=Ek2-Ek1,其中Ek2=36 J,Ek1=72 J,h=3 m在下落过程中有mgh-Fh=Ek4-Ek3,其中Ek3=24 J,Ek4=48 J,h=3 m联立求得m=1 kg故选C。
7. (命题点4)如图所示,竖直固定放置的斜面DE与一光滑的圆弧轨道ABC相切,C为切点,圆弧轨道的半径为R,斜面的倾角为θ。现有一质量为m的滑块从D点无初速下滑,滑块可在斜面和圆弧轨道之间做往复运动。已知圆弧轨道的圆心O与A、D在同一水平面上,滑块与斜面间的动摩擦因数为μ。求:(1)滑块第一次滑至左侧圆弧上时距A点的最小高度差h;(2)滑块在斜面上能通过的最大路程s。
思维点拨 当选择全部子过程作为研究过程,涉及重力、大小恒定的阻力或摩擦力做功,要注意运用它们的功能特点:①重力做的功取决于物体的初末位置,与路径无关;②大小恒定的阻力或摩擦力做的功等于力的大小与路程的乘积。本题就是应用了摩擦力做功与路径有关这一结论。
【方法规律归纳】机械能守恒定律应用中的三个选取(1)研究对象的选取研究对象的选取是解题的首要环节,有的问题选单个物体(实际为一个物体与地球组成的系统)为研究对象,有的选几个物体组成的系统为研究对象,如图所示单选物体A机械能减少不守恒,但由物体A、B二者组成的系统机械能守恒。
(2)研究过程的选取研究对象的运动过程分几个阶段,有的阶段机械能守恒,而有的阶段机械能不守恒,因此在应用机械能守恒定律解题时要注意过程的选取。(3)机械能守恒表达式的选取
[典例2] (命题点2)如图所示,鼓形轮的半径为R,可绕固定的光滑水平轴O转动。在轮上沿相互垂直的直径方向固定四根直杆,杆上分别固定有质量为m的小球,球与O的距离均为2R。在轮上绕有长绳,绳上悬挂着质量为m'的重物。重物由静止下落,带动鼓形轮转动。重物落地后鼓形轮匀速转动,转动的角速度为ω。绳与轮之间无相对滑动,忽略鼓形轮、直杆和长绳的质量,不计空气阻力,重力加速度为g。(1)求重物落地后,小球线速度的大小v。(2)重物落地后一小球转到水平位置A,求此时该球受到杆的作用力的大小F。(3)求重物下落的高度h。
解析 (1)由题意可知当重物落地后鼓形轮转动的角速度为ω,则根据线速度与角速度的关系可知小球的线速度为v=2Rω。(2)小球匀速转动,当在水平位置时设杆对球的作用力为F,合力提供向心力,则有
(3)设重物落地时的速度为v1,重物下落过程中对重物、鼓形轮和小球组成的系统,根据系统机械能守恒可知
破题:1.已知“重物落地后鼓形轮匀速转动,转动的角速度为ω”,根据线速度与角速度的关系直接求小球线速度。2.因为小球做匀速圆周运动,可分析小球在A处的受力,合力提供向心力,由此求作用力F。
素养提升 (1)对于杆和球组成的系统,忽略空气阻力和各种摩擦且没有其他力对系统做功,则系统机械能守恒;平动时两物体线速度相等,转动时两物体角速度相等。(2)杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向,杆能对物体做功,单个物体机械能不守恒。
【对点训练】8.(多选) (命题点2)如图甲所示,光滑细杆竖直固定,套在杆上的轻弹簧下端固定在地面上,套在杆上的小滑块向下压缩弹簧至离地高度h=0.05 m处,滑块与弹簧不拴接。由静止释放滑块,取地面为参考平面,滑块上升过程中的机械能E和离地面的高度h之间的关系如图乙所示,重力加速度g取10 m/s2,不计空气阻力。由图像可知( )
A.小滑块的质量为0.2 kgB.轻弹簧原长为0.1 mC.弹簧的最大弹性势能为0.5 JD.滑块距地面的最大高度为0.3 m
答案 ACD解析 初始位置时,小滑块静止,动能为零,由Ep=mgh解得m=0.2 kg,A正确。由题图乙可知,当h=0.15 m时,小滑块的机械能最大,则弹簧的弹性势能全部转化为小滑块的机械能,可得此时弹簧处于原长,故弹簧的原长为0.15 m,B错误。由题图乙可知,小滑块本身的机械能为0.1 J,最大机械能为0.6 J,由系统机械能守恒得弹簧的最大弹性势能为0.5 J,C正确。当小滑块的动能为零时,小滑块的机械能则为它的重力势能,由机械能守恒得mgh=0.6 J、h=0.3 m,所以小滑块的最大高度为0.3 m,D正确。
9.(命题点1)如图所示,在竖直平面内固定一倾斜轨道和半径为R=0.5 m的光滑半圆轨道BCD,倾斜轨道与水平面间的夹角为θ=37°,下端在B点与半圆轨道相切,O为半圆轨道的圆心,BD为直径。一质量为m=0.4 kg的小物块从倾斜轨道上的A点由静止开始下滑,小物块从D点飞出后刚好能垂直击中倾斜轨道。已知小物块与倾斜轨道间的动摩擦因数为μ=0.25,重力加速度g取10 m/s2,sin 37°=0.6,cs 37°=0.8。(1)求小物块运动到D点时的速度大小。(2)求小物块从A点运动到B点所用的时间。(3)若小物块通过B点后立即受到一个水平向左、大小为F=3 N的外力,要使小物块仍能通过D点,试求A、B两点间的距离应满足的条件(结果保留三位有效数字)。
答案 (1)3 m/s (2)1.25 s (3)x≥3.91 m解析 (1)设小物块在D点时的速度大小为vD,从D点飞出到击中倾斜轨道所用的时间为t,则在与倾斜轨道平行的方向上有0=vD-gtsin θ在垂直于倾斜轨道的方向上有2R= gt2cs θ两式联立并代入数据解得vD=3 m/s。(2)设小物块运动到B点时的速度大小为vB,由机械能守恒定律可得设小物块在倾斜轨道上下滑时的加速度大小为a,则有mgsin θ-μmgcs θ=ma设小物块从A点运动到B点所用的时间为t1,则有vB=at1联立代入数据解得a=4 m/s2,t1=1.25 s。
【方法规律归纳】理解常见的七种功能关系
【对点训练】10. (命题点1)如图所示,质量为m的物体静止在水平地面上,物体上面连接一轻弹簧,用手拉着弹簧上端将物体缓慢提高h,若不计物体动能的改变,则物体重力势能的变化ΔEp和手对弹簧的拉力做的功W分别是( )A.ΔEp=mgh、W=mghB.ΔEp>mgh、W=mghC.ΔEp=mgh、W>mghD.ΔEp>mgh、W>mgh
答案 C解析 重力势能的变化量等于克服重力所做的功,即ΔEp=-WG=-(-mgh)=mgh物体缓慢提高说明速度不变,所以物体动能不发生变化,ΔE弹=WF+WG=WF-mgh>0此手的拉力做的功W>mgh,故选C。
11.(多选)(命题点2、3)如图所示,轻弹簧一端固定在倾角为θ的斜面底端。一质量为m的物体从距弹簧上端d处由静止释放,向下运动位移l后停在最低点。已知弹簧始终在弹性限度内,物体与斜面间的动摩擦因数为μ,重力加速度为g。则物体向下运动过程( )A.摩擦产生的热量为μmglcs θB.物体机械能的减少量为mglsin θC.物体的最大动能为mgdsin θ-μmgdcs θD.弹簧弹性势能的最大值为mglsin θ-μmglcs θ
答案 ABD解析 根据功能关系得摩擦产生的热量为Q=μmglcs θ,A正确。从最高点到最低点,动能不变,则机械能的减少量即为重力势能的减少量,所以物体机械能的减少量为mglsin θ,B正确。物体速度最大时,动能最大,而速度最大时,合力为零,所以在弹簧发生一定形变时,弹簧弹力、重力、摩擦力及支持力四力平衡时,物体动能最大,C错误。物体运动过程中,重力势能转化为内能和弹簧的弹性势能,即mglsin θ=Q+Ep,解得Ep=mglsin θ-μmglcs θ,D正确。
解题技巧(1)弹簧的弹性势能与弹簧的规格和形变程度有关,对同一根弹簧而言,无论是处于伸长状态还是压缩状态,只要形变量相同,则其具有的弹性势能就相同。(2)弹性势能公式Ep = kx2在高考中不作要求,可记住该式做定性分析;与弹簧相关的功能问题一般利用动能定理或能量守恒定律求解。
12.(命题点3)A、B两个木块叠放在竖直轻弹簧上,如图所示,已知mA=mB=1.5 kg,轻弹簧的劲度系数k=100 N/m。若在木块A上作用一个竖直向上的力F使木块A由静止开始以2 m/s2的加速度竖直向上做匀加速运动,且已知轻弹簧弹性势能的表达式为Ep= kx2(k为弹簧的劲度系数,x为弹簧的形变量),g取10 m/s2。
(1)刚开始运动时弹簧的弹性势能是多少?(2)使木块A竖直向上做匀加速运动的过程中力F的最小值是多少?(3)从木块A竖直向上做匀加速运动直到A、B分离的过程中,力F对木块做的功是多少?
答案 (1)4.5 J (2)6 N (3)1.44 J解析 (1)对A、B组成的整体,受到重力与弹簧的弹力处于平衡状态,则Fx=(mA+mB)g=(1.5+1.5)×10 N=30 N
(2)A与B开始运动时加速度是相等的,A、B组成的系统受到重力、弹簧的弹力与拉力;由于开始时弹簧对A、B系统的弹力最大,所以拉力F最小,由牛顿第二定律可得Fmin+Fx-(mA+mB)g=(mA+mB)a代入数据可得Fmin=6 N。
(3)A、B分离时,设弹簧压缩了x2,二者分离时A与B之间的作用力为0,由牛顿第二定律,对B有kx2-mBg=mBa,得x2=0.18 m此过程A、B上升高度h=x1-x2=0.30 m-0.18 m=0.12 m此时A、B速度设为v,则v2=2ah
一、游乐场里的物理知识——竖直圆轨道模型中功能关系的应用
【主题概述】过山车是一种富有刺激性的娱乐项目,那种风驰电掣、有惊无险的感受令不少人着迷。过山车的运动包含了许多物理学原理,人们在设计过山车时巧妙地运用了这些原理。
【考向预测】高考试题中,常以“过山车”——竖直平面的圆周运动为背景,考查动能定理、机械能守恒定律等。
【典例分析】[典例]图甲所示是游乐园的过山车,其局部可简化为如图乙所示的示意图,倾角θ=37°的两平行倾斜轨道BC、DE的下端与水平半圆形轨道CD顺滑连接,倾斜轨道BC的B端高度h=24 m,倾斜轨道DE与圆弧EF相切于E点,圆弧EF的圆心O1、水平半圆轨道CD的圆心O2与A点在同一水平面上,DO1的距离l=20 m,质量m=1 000 kg的过山车(包括乘客,可视为质点)从B点自静止滑下,经过水平半圆轨道后,滑上另一倾斜轨道,到达圆弧顶端F时,乘客对座椅的压力为自身重力的 。已知过山车与DE段轨道的动摩擦因数为μ= ,EF段摩擦不计,整个运动过程空气阻力不计,sin 37°=0.6,cs 37° =0.8。
(1)求过山车过F点时的速度大小。(2)求从B到F整个运动过程中摩擦力对过山车做的功。(3)若过D点时发现圆轨道EF段有故障,为保证乘客安全,立即触发制动装置,使过山车不能到达EF段并保证不下滑,则过山车受到的摩擦力至少多大?
情境分析本题属于综合性、应用性题目,以游乐场中“过山车”为素材创设生活实践类问题情境。考查关键能力中的理解能力、模型建构能力、推理论证能力。需要建构直线运动、竖直平面内的圆周运动模型,应用动能定理和牛顿运动定律解决实际问题。
破题:1.根据“乘客对座椅的压力为自身重力的 ”,应用向心力公式列方程。2.选B到F整个运动过程为研究过程,根据动能定理,列方程。3.分析“过山车不能到达EF段并保证不下滑”的隐含条件或临界条件列方程求解。
素养提升 竖直平面内的圆周运动的“两点一过程”研究方法解某一状态(点)的问题要用牛顿第二定律或向心力公式(如下图中的A点、B点、C点、D点、P点等);涉及过程时一般选用动能定理、机械能守恒定律或能量守恒定律(如下图中的PA、PC、BD、AC等),题目中出现相对位移时,应优先选择能量守恒定律。
【类题演练】如图甲所示,游乐场的过山车可以底朝上在竖直圆轨道上运行,可抽象为如图乙所示的模型。倾角为45°的直轨道AB、半径R=10 m的光滑竖直圆轨道和倾角为37°的直轨道EF,分别通过水平光滑衔接轨道平滑连接,另有水平减速直轨道FG与EF平滑连接,EG间的水平距离l=40 m。现有质量m=500 kg的过山车,从高h=40 m的A点静止下滑,经BCDC'EF最终停在G点,过山车与轨道AB、EF的动摩擦因数均为μ1=0.2,与减速直轨道FG的动摩擦因数为μ2=0.75,过山车可视为质点,运动中不脱离轨道。已知sin 37°=0.6,cs 37°=0.8,求:
(1)过山车运动至圆轨道最低点C时的速度大小;(2)过山车运动至圆轨道最高点D时对轨道的作用力大小;(3)减速直轨道FG的长度x。
(2)设过山车到达D点的速度为vD,由机械能守恒定律联立代入数据可得FD=7 000 N由牛顿第三定律可知过山车对轨道的作用力FD'=7 000 N。(3)过山车从A到达G点,由动能定理可得mgh-mg(l-x)tan 37°-μ1mgh-μ1mg(l-x)-μ2mgx=0代入数据可得x=30 m。
二、连接体的系统模型中功能关系的应用
【主题概述】高考试题中,常常出现两个由轻绳或轻杆连接在一起的物体所组成的连接体系统,用以考查机械能守恒定律应用或功能关系应用,如下图所示。
求解的关键是找出两物体的速度关系,按两物体连接方式和速度关系一般可分为如下三种:(1)速率相等的连接体模型;(2)角速度相等的模型;(3)某一方向上速度大小相等的连接体模型。
【典例分析】[典例](多选)如图所示,滑块A、B的质量均为m,A套在固定竖直杆上,与光滑水平地面相距h,B放在地面上。A、B通过铰链用刚性轻杆连接,由静止开始运动。不计摩擦,A、B可视为质点,重力加速度大小为g。则( )A.A落地前,轻杆对B一直做正功B.A落地时速度大小为C.A下落过程中,其加速度大小始终不大于gD.A落地前,当A的机械能最小时,B对地面的压力大小为mg
答案 BD解析 由题意知,系统机械能守恒。设某时刻A、B的速度分别为vA、vB,此时刚性轻杆与竖直杆的夹角为θ,分别将vA、vB分解,如图所示。因为刚性轻杆不可伸长,所以沿杆的分速度v∥与v∥'是相等的,即vAcs θ=vBsin θ。当A滑至地面时θ=90°,此时vB=0,由系统机械能守恒得 ,解得vA= ,选项B正确。同时由于B初、末速度均为零,运动过程中其动能先增大后减小,即杆对B先做正功后做负功,选项A错误。杆对B的作用先是推力后是拉力,对A则先是阻力后是动力,即A的加速度在受到杆的向下的拉力作用时大于g,选项C错误。B的动能最大时,杆对A、B的作用力为零,此时A的机械能最小,B只受重力和支持力,所以B对地面的压力大小为mg,选项D正确。
情境分析本题属于综合性选择题,以铰链和刚性轻杆为素材创设问题情境。考查关键能力中的理解能力、模型建构能力、推理论证能力。需要建构某一方向上速度大小相等的连接体模型。
破题:1. A、B通过铰链用刚性轻杆连接,构成连接体,根据沿杆方向速度相等,建立二者速度关系。2.由静止开始运动,不计摩擦,系统机械能守恒。3.根据二者的速度变化情况和功能关系可确定做功情况。特别提醒多物体机械能守恒或功能关系问题求解的三点注意1.按两物体连接方式,通过审题,明确速度关系属于哪种情况。2.注意判定所选系统机械能是否守恒。3.涉及弹簧时要注意研究对象的选择。
【类题演练】如图所示,质量均为m的A、B两个小球通过绕在理想定滑轮上的轻绳相连,A球套在光滑的固定的竖直杆上。把A球从与定滑轮等高的P1处由静止释放,运动到P处时,轻绳与竖直杆之间的夹角为37°,此时A球的速度是v,B球没有与定滑轮相碰。在此过程中,下列说法正确的是( )
【知识回顾•构建网络】
【感悟高考•真题再练】
1.(多选)(2023湖南卷)如图所示,固定在竖直面内的光滑轨道ABC由直线段AB和圆弧段BC组成,两段相切于B点,AB段与水平面间的夹角为θ,BC段圆心为O,最高点为C,A与C的高度差等于圆弧轨道的直径2R。小球从A点以初速度v0冲上轨道,能沿轨道运动恰好到达C点,下列说法正确的是( ) A.小球从B到C的过程中,对轨道的压力逐渐增大B.小球从A到C的过程中,重力的功率始终保持不变C.小球的初速度D.若小球初速度v0增大,小球有可能从B点脱离轨道
2.(2021山东卷)如图所示,粗糙程度处处相同的水平桌面上有一长为l的轻质细杆,一端可绕竖直光滑轴O转动,另一端与质量为m的小木块相连。木块以水平初速度v0出发,恰好能完成一个完整的圆周运动。在运动过程中,木块所受摩擦力的大小为( )
3.(2022全国乙卷)固定于竖直平面内的光滑大圆环上套有一个小环。小环从大圆环顶端P点由静止开始自由下滑,在下滑过程中,小环的速率正比于( )A.它滑过的弧长B.它下降的高度C.它到P点的距离D.它与P点的连线扫过的面积
4.(多选)(2022全国乙卷)一种可用于卫星上的带电粒子探测装置,由两个同轴的半圆柱形带电导体极板(半径分别为R和R+d)和探测器组成,其横截面如图甲所示,点O为圆心。在截面内,极板间各点的电场强度大小与其到O点的距离成反比,方向指向O点。4个带正电的同种粒子从极板间通过,到达探测器。不计粒子重力。粒子1、2做圆周运动,圆的圆心为O、半径分别为r1、r2(R
解析 在截面内,极板间各点的电场强度大小与其到O点的距离成反比,可设为Er=k,带正电的同种粒子1、2在均匀辐向电场中做匀速圆周运动,则有的动能等于粒子2入射时的动能,故C错误;粒子3从距O点r2的位置入射并从距O点r1的位置出射,做向心运动,静电力做正功,则粒子动能增大,粒子3入射时的动能比它出射时的小,故A错误;粒子4从距O点r1的位置入射并从距O点r2的位置出射,做离心运动,静电力做负功,则粒子动能减小,粒子4入射时的动能比它出射时的大,故B正确;粒子3做向心运动,有qE2> 可得 ,粒子1入射时的动能大于粒子3入射时的动能,故D正确。
5.(2021山东卷)如图所示,三个质量均为m的小物块A、B、C,放置在水平地面上,A紧靠竖直墙壁,一劲度系数为k的轻弹簧将A、B连接,C紧靠B,开始时弹簧处于原长,A、B、C均静止。现给C施加一水平向左、大小为F的恒力,使B、C一起向左运动,当速度为0时,立即撤去恒力,一段时间后A离开墙壁,最终三物块都停止运动。已知A、B、C与地面间的滑动摩擦力大小均为Ff,最大静摩擦力等于滑动摩擦力,弹簧始终在弹性限度内。弹簧的弹性势能可表示为Ep= kx2,k为弹簧的劲度系数,x为弹簧的形变量。
(1)求B、C向左移动的最大距离x0和B、C分离时B的动能Ek。(2)为保证A能离开墙壁,求恒力的最小值Fmin。(3)若当三物块都停止时B、C间的距离为xBC,从B、C分离到B停止运动的整个过程,B克服弹簧弹力做的功为W,通过推导比较W与FfxBC的大小。(4)若F=5Ff,请在所给坐标系中,画出C向右运动过程中加速度a随位移x变化的图像,并在坐标轴上标出开始运动和停止运动时的a、x值(用Ff、k、m表示),不要求推导过程。以撤去F时C的位置为坐标原点,水平向右为正方向。
(2)当A刚要离开墙时,设弹簧的伸长量为x,以A为研究对象,由平衡条件得kx=Ff若A刚要离开墙壁时B的速度恰好等于0,这种情况下恒力为最小值Fmin,从弹簧恢复原长到A刚要离开墙的过程中,以B和弹簧为研究对象,由能量守恒得
(3)从B、C分离到B停止运动,设B的路程为xB,C的位移为xC,以B为研究对象,由动能定理得-W-FfxB=0-Ek以C为研究对象,由动能定理得-FfxC=0-Ek由B、C的运动关系得xB>xC-xBC联立可知W
2.功率的计算(1)明确是求瞬时功率还是平均功率。(2) 侧重于平均功率的计算,P=Fvcs α(α为F和v的夹角)侧重于瞬时功率的计算。要注意P=Fvcs α可理解成力F的瞬时功率等于该力乘以该力方向上的瞬时速度。注:对于机车,通常输出功率P=Fv,其中F为机车牵引力。
解决机车启动问题时的四点注意1.分清是匀加速启动还是恒定功率启动。 两过程2.匀加速启动过程中,机车功率不断增大,最大功率是额定功率。3.以额定功率启动的过程中,牵引力不断减小,机车做加速度减小的加速运动,牵引力的最小值等于阻力。4.无论哪种启动方式,最后达到最大速度时,均满足P=F阻vm,P为机车的额定功率。
【对点训练】1.(多选) (命题点1、3)一个质量为5 kg静止在水平地面上的物体,某时刻受到一个水平方向的恒力F作用,3 s末撤去恒力F,物体继续滑行一段时间停下,物体的运动图像如图所示。重力加速度g取10 m/s2,关于物体的运动,下列说法正确的是( )A.物体与地面间的动摩擦因数为0.5B.整个过程恒力F做功625 JC.整个过程恒力F做功的功率为250 WD.恒力F的最大功率为250 W
易错防范计算功率时,一定要弄清求的是平均功率还是瞬时功率。
2.(多选)地下矿井中的矿石装在矿车中,用电机通过竖井运送至地面。某竖井中矿车被提升的速度大小v随时间t的变化关系如图所示,其中图线①②分别描述两次不同的提升过程,它们变速阶段加速度的大小都相同;两次提升的高度相同,提升的质量相等。不考虑摩擦阻力和空气阻力。对于第①次和第②次提升过程,( )A.矿车上升所用的时间之比为4∶5B.电机的最大牵引力之比为2∶1C.电机输出的最大功率之比为2∶1D.电机所做的功之比为4∶5
由于两次提升的变速阶段的加速度大小相同,在匀加速阶段,由牛顿第二定律,F-mg=ma,可得提升的最大牵引力之比为1∶1,选项B错误;由功率公式P=Fv可知,电机输出的最大功率之比等于最大速度之比,为2∶1,选项C正确;
3.(多选) (命题点4)某装甲车的质量为m,若在平直的公路上从静止开始加速,前进较短的距离s速度便可达到最大值vmax。设在加速过程中发动机的功率恒定为P,装甲车所受阻力恒为Ff,当速度为v(v
[典例1](命题点4)某遥控赛车轨道如图所示,赛车从起点A出发,沿摆放在水平地面上的直轨道AB运动l0=10 m后,从B点进入半径R=0.1 m的光滑竖直圆轨道,经过一个完整的圆周后进入粗糙的、长度可调的、倾角θ=30°的斜直轨道CD,最后在D点速度方向变为水平后飞出(不考虑经过轨道中C、D两点的机械能损失)。已知赛车质量m=0.1 kg,通电后赛车以额定功率P=1.5 W工作,赛车与AB轨道、CD轨道间的动摩擦因数分别为μ1=0.3和μ2= ,重力加速度g取10 m/s2。
(1)求赛车恰好能过圆轨道最高点P时的速度vP的大小。(2)若要求赛车能沿圆轨道做完整的圆周运动,求赛车通电的最短时间。(3)已知赛车在水平直轨道AB上运动时一直处于通电状态且最后阶段以恒定速率运动,进入圆轨道后关闭电源,选择CD轨道合适的长度,可使赛车从D点飞出后落地的水平位移最大,求此最大水平位移,并求出此时CD轨道的长度。
破题:1.确定赛车为研究对象,明确几个运动过程:从“恰好能过圆轨道最高点P时的速度”入手,求出临界速度。
3.赛车在最后过程做匀速运动,牵引力与滑动摩擦力平衡,设CD轨道的长度为l,平抛水平位移为x,应用平抛规律和动能定理列方程,写出函数关系求解。
易错防范(1)本题属于多过程问题,求解时要选择合适的过程,可选全过程应用动能定理,这样可以避开每个运动过程的具体细节,过程简明、运算量小。但要注意写出各力做功的代数和时,不要漏掉某个力做的功,同时要注意各力做功的正负。(2)如果全过程中,某个点的状态是已知的,应将全过程从已知点分开应用动能定理来研究。
【对点训练】4.(命题点1)如图甲所示,静止于光滑水平面上坐标原点处的小物块,在水平拉力F作用下,沿x轴方向运动,拉力F随物块所在位置坐标x的变化关系如图乙所示,图线为半圆,则小物块运动到x0处时的动能为( )
思维点拨 应用动能定理结合图像求动能。
5. (命题点3)如图所示,在竖直面内,一半径为R的光滑半圆轨道和水平轨道在B点相切,PB为圆弧轨道的直径。一小滑块从A点沿水平轨道向右运动经B点沿圆弧轨道恰好通过P点,最后落在A点。小滑块与水平轨道间的动摩擦因数为0.5,重力加速度为g,不计空气阻力。则小滑块从A点运动时的初速度为( )
易错防范 (1)公式 中W应是总功,方程为标量方程,不能在某方向上应用。(2)功的计算过程中,易出现正、负功判断错误及遗漏某些力做功的情况。
6. (命题点2)从地面竖直向上抛出一物体,物体在运动过程中除受到重力外,还受到一大小不变、方向始终与运动方向相反的外力作用。距地面高度h在3 m以内时,物体上升、下落过程中动能Ek随h的变化如图所示。重力加速度取10 m/s2。该物体的质量为( )A.2 kgB.1.5 kgC.1 kgD.0.5 kg
答案 C解析 根据动能定理,物体在上升过程中有-mgh-Fh=Ek2-Ek1,其中Ek2=36 J,Ek1=72 J,h=3 m在下落过程中有mgh-Fh=Ek4-Ek3,其中Ek3=24 J,Ek4=48 J,h=3 m联立求得m=1 kg故选C。
7. (命题点4)如图所示,竖直固定放置的斜面DE与一光滑的圆弧轨道ABC相切,C为切点,圆弧轨道的半径为R,斜面的倾角为θ。现有一质量为m的滑块从D点无初速下滑,滑块可在斜面和圆弧轨道之间做往复运动。已知圆弧轨道的圆心O与A、D在同一水平面上,滑块与斜面间的动摩擦因数为μ。求:(1)滑块第一次滑至左侧圆弧上时距A点的最小高度差h;(2)滑块在斜面上能通过的最大路程s。
思维点拨 当选择全部子过程作为研究过程,涉及重力、大小恒定的阻力或摩擦力做功,要注意运用它们的功能特点:①重力做的功取决于物体的初末位置,与路径无关;②大小恒定的阻力或摩擦力做的功等于力的大小与路程的乘积。本题就是应用了摩擦力做功与路径有关这一结论。
【方法规律归纳】机械能守恒定律应用中的三个选取(1)研究对象的选取研究对象的选取是解题的首要环节,有的问题选单个物体(实际为一个物体与地球组成的系统)为研究对象,有的选几个物体组成的系统为研究对象,如图所示单选物体A机械能减少不守恒,但由物体A、B二者组成的系统机械能守恒。
(2)研究过程的选取研究对象的运动过程分几个阶段,有的阶段机械能守恒,而有的阶段机械能不守恒,因此在应用机械能守恒定律解题时要注意过程的选取。(3)机械能守恒表达式的选取
[典例2] (命题点2)如图所示,鼓形轮的半径为R,可绕固定的光滑水平轴O转动。在轮上沿相互垂直的直径方向固定四根直杆,杆上分别固定有质量为m的小球,球与O的距离均为2R。在轮上绕有长绳,绳上悬挂着质量为m'的重物。重物由静止下落,带动鼓形轮转动。重物落地后鼓形轮匀速转动,转动的角速度为ω。绳与轮之间无相对滑动,忽略鼓形轮、直杆和长绳的质量,不计空气阻力,重力加速度为g。(1)求重物落地后,小球线速度的大小v。(2)重物落地后一小球转到水平位置A,求此时该球受到杆的作用力的大小F。(3)求重物下落的高度h。
解析 (1)由题意可知当重物落地后鼓形轮转动的角速度为ω,则根据线速度与角速度的关系可知小球的线速度为v=2Rω。(2)小球匀速转动,当在水平位置时设杆对球的作用力为F,合力提供向心力,则有
(3)设重物落地时的速度为v1,重物下落过程中对重物、鼓形轮和小球组成的系统,根据系统机械能守恒可知
破题:1.已知“重物落地后鼓形轮匀速转动,转动的角速度为ω”,根据线速度与角速度的关系直接求小球线速度。2.因为小球做匀速圆周运动,可分析小球在A处的受力,合力提供向心力,由此求作用力F。
素养提升 (1)对于杆和球组成的系统,忽略空气阻力和各种摩擦且没有其他力对系统做功,则系统机械能守恒;平动时两物体线速度相等,转动时两物体角速度相等。(2)杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向,杆能对物体做功,单个物体机械能不守恒。
【对点训练】8.(多选) (命题点2)如图甲所示,光滑细杆竖直固定,套在杆上的轻弹簧下端固定在地面上,套在杆上的小滑块向下压缩弹簧至离地高度h=0.05 m处,滑块与弹簧不拴接。由静止释放滑块,取地面为参考平面,滑块上升过程中的机械能E和离地面的高度h之间的关系如图乙所示,重力加速度g取10 m/s2,不计空气阻力。由图像可知( )
A.小滑块的质量为0.2 kgB.轻弹簧原长为0.1 mC.弹簧的最大弹性势能为0.5 JD.滑块距地面的最大高度为0.3 m
答案 ACD解析 初始位置时,小滑块静止,动能为零,由Ep=mgh解得m=0.2 kg,A正确。由题图乙可知,当h=0.15 m时,小滑块的机械能最大,则弹簧的弹性势能全部转化为小滑块的机械能,可得此时弹簧处于原长,故弹簧的原长为0.15 m,B错误。由题图乙可知,小滑块本身的机械能为0.1 J,最大机械能为0.6 J,由系统机械能守恒得弹簧的最大弹性势能为0.5 J,C正确。当小滑块的动能为零时,小滑块的机械能则为它的重力势能,由机械能守恒得mgh=0.6 J、h=0.3 m,所以小滑块的最大高度为0.3 m,D正确。
9.(命题点1)如图所示,在竖直平面内固定一倾斜轨道和半径为R=0.5 m的光滑半圆轨道BCD,倾斜轨道与水平面间的夹角为θ=37°,下端在B点与半圆轨道相切,O为半圆轨道的圆心,BD为直径。一质量为m=0.4 kg的小物块从倾斜轨道上的A点由静止开始下滑,小物块从D点飞出后刚好能垂直击中倾斜轨道。已知小物块与倾斜轨道间的动摩擦因数为μ=0.25,重力加速度g取10 m/s2,sin 37°=0.6,cs 37°=0.8。(1)求小物块运动到D点时的速度大小。(2)求小物块从A点运动到B点所用的时间。(3)若小物块通过B点后立即受到一个水平向左、大小为F=3 N的外力,要使小物块仍能通过D点,试求A、B两点间的距离应满足的条件(结果保留三位有效数字)。
答案 (1)3 m/s (2)1.25 s (3)x≥3.91 m解析 (1)设小物块在D点时的速度大小为vD,从D点飞出到击中倾斜轨道所用的时间为t,则在与倾斜轨道平行的方向上有0=vD-gtsin θ在垂直于倾斜轨道的方向上有2R= gt2cs θ两式联立并代入数据解得vD=3 m/s。(2)设小物块运动到B点时的速度大小为vB,由机械能守恒定律可得设小物块在倾斜轨道上下滑时的加速度大小为a,则有mgsin θ-μmgcs θ=ma设小物块从A点运动到B点所用的时间为t1,则有vB=at1联立代入数据解得a=4 m/s2,t1=1.25 s。
【方法规律归纳】理解常见的七种功能关系
【对点训练】10. (命题点1)如图所示,质量为m的物体静止在水平地面上,物体上面连接一轻弹簧,用手拉着弹簧上端将物体缓慢提高h,若不计物体动能的改变,则物体重力势能的变化ΔEp和手对弹簧的拉力做的功W分别是( )A.ΔEp=mgh、W=mghB.ΔEp>mgh、W=mghC.ΔEp=mgh、W>mghD.ΔEp>mgh、W>mgh
答案 C解析 重力势能的变化量等于克服重力所做的功,即ΔEp=-WG=-(-mgh)=mgh物体缓慢提高说明速度不变,所以物体动能不发生变化,ΔE弹=WF+WG=WF-mgh>0此手的拉力做的功W>mgh,故选C。
11.(多选)(命题点2、3)如图所示,轻弹簧一端固定在倾角为θ的斜面底端。一质量为m的物体从距弹簧上端d处由静止释放,向下运动位移l后停在最低点。已知弹簧始终在弹性限度内,物体与斜面间的动摩擦因数为μ,重力加速度为g。则物体向下运动过程( )A.摩擦产生的热量为μmglcs θB.物体机械能的减少量为mglsin θC.物体的最大动能为mgdsin θ-μmgdcs θD.弹簧弹性势能的最大值为mglsin θ-μmglcs θ
答案 ABD解析 根据功能关系得摩擦产生的热量为Q=μmglcs θ,A正确。从最高点到最低点,动能不变,则机械能的减少量即为重力势能的减少量,所以物体机械能的减少量为mglsin θ,B正确。物体速度最大时,动能最大,而速度最大时,合力为零,所以在弹簧发生一定形变时,弹簧弹力、重力、摩擦力及支持力四力平衡时,物体动能最大,C错误。物体运动过程中,重力势能转化为内能和弹簧的弹性势能,即mglsin θ=Q+Ep,解得Ep=mglsin θ-μmglcs θ,D正确。
解题技巧(1)弹簧的弹性势能与弹簧的规格和形变程度有关,对同一根弹簧而言,无论是处于伸长状态还是压缩状态,只要形变量相同,则其具有的弹性势能就相同。(2)弹性势能公式Ep = kx2在高考中不作要求,可记住该式做定性分析;与弹簧相关的功能问题一般利用动能定理或能量守恒定律求解。
12.(命题点3)A、B两个木块叠放在竖直轻弹簧上,如图所示,已知mA=mB=1.5 kg,轻弹簧的劲度系数k=100 N/m。若在木块A上作用一个竖直向上的力F使木块A由静止开始以2 m/s2的加速度竖直向上做匀加速运动,且已知轻弹簧弹性势能的表达式为Ep= kx2(k为弹簧的劲度系数,x为弹簧的形变量),g取10 m/s2。
(1)刚开始运动时弹簧的弹性势能是多少?(2)使木块A竖直向上做匀加速运动的过程中力F的最小值是多少?(3)从木块A竖直向上做匀加速运动直到A、B分离的过程中,力F对木块做的功是多少?
答案 (1)4.5 J (2)6 N (3)1.44 J解析 (1)对A、B组成的整体,受到重力与弹簧的弹力处于平衡状态,则Fx=(mA+mB)g=(1.5+1.5)×10 N=30 N
(2)A与B开始运动时加速度是相等的,A、B组成的系统受到重力、弹簧的弹力与拉力;由于开始时弹簧对A、B系统的弹力最大,所以拉力F最小,由牛顿第二定律可得Fmin+Fx-(mA+mB)g=(mA+mB)a代入数据可得Fmin=6 N。
(3)A、B分离时,设弹簧压缩了x2,二者分离时A与B之间的作用力为0,由牛顿第二定律,对B有kx2-mBg=mBa,得x2=0.18 m此过程A、B上升高度h=x1-x2=0.30 m-0.18 m=0.12 m此时A、B速度设为v,则v2=2ah
一、游乐场里的物理知识——竖直圆轨道模型中功能关系的应用
【主题概述】过山车是一种富有刺激性的娱乐项目,那种风驰电掣、有惊无险的感受令不少人着迷。过山车的运动包含了许多物理学原理,人们在设计过山车时巧妙地运用了这些原理。
【考向预测】高考试题中,常以“过山车”——竖直平面的圆周运动为背景,考查动能定理、机械能守恒定律等。
【典例分析】[典例]图甲所示是游乐园的过山车,其局部可简化为如图乙所示的示意图,倾角θ=37°的两平行倾斜轨道BC、DE的下端与水平半圆形轨道CD顺滑连接,倾斜轨道BC的B端高度h=24 m,倾斜轨道DE与圆弧EF相切于E点,圆弧EF的圆心O1、水平半圆轨道CD的圆心O2与A点在同一水平面上,DO1的距离l=20 m,质量m=1 000 kg的过山车(包括乘客,可视为质点)从B点自静止滑下,经过水平半圆轨道后,滑上另一倾斜轨道,到达圆弧顶端F时,乘客对座椅的压力为自身重力的 。已知过山车与DE段轨道的动摩擦因数为μ= ,EF段摩擦不计,整个运动过程空气阻力不计,sin 37°=0.6,cs 37° =0.8。
(1)求过山车过F点时的速度大小。(2)求从B到F整个运动过程中摩擦力对过山车做的功。(3)若过D点时发现圆轨道EF段有故障,为保证乘客安全,立即触发制动装置,使过山车不能到达EF段并保证不下滑,则过山车受到的摩擦力至少多大?
情境分析本题属于综合性、应用性题目,以游乐场中“过山车”为素材创设生活实践类问题情境。考查关键能力中的理解能力、模型建构能力、推理论证能力。需要建构直线运动、竖直平面内的圆周运动模型,应用动能定理和牛顿运动定律解决实际问题。
破题:1.根据“乘客对座椅的压力为自身重力的 ”,应用向心力公式列方程。2.选B到F整个运动过程为研究过程,根据动能定理,列方程。3.分析“过山车不能到达EF段并保证不下滑”的隐含条件或临界条件列方程求解。
素养提升 竖直平面内的圆周运动的“两点一过程”研究方法解某一状态(点)的问题要用牛顿第二定律或向心力公式(如下图中的A点、B点、C点、D点、P点等);涉及过程时一般选用动能定理、机械能守恒定律或能量守恒定律(如下图中的PA、PC、BD、AC等),题目中出现相对位移时,应优先选择能量守恒定律。
【类题演练】如图甲所示,游乐场的过山车可以底朝上在竖直圆轨道上运行,可抽象为如图乙所示的模型。倾角为45°的直轨道AB、半径R=10 m的光滑竖直圆轨道和倾角为37°的直轨道EF,分别通过水平光滑衔接轨道平滑连接,另有水平减速直轨道FG与EF平滑连接,EG间的水平距离l=40 m。现有质量m=500 kg的过山车,从高h=40 m的A点静止下滑,经BCDC'EF最终停在G点,过山车与轨道AB、EF的动摩擦因数均为μ1=0.2,与减速直轨道FG的动摩擦因数为μ2=0.75,过山车可视为质点,运动中不脱离轨道。已知sin 37°=0.6,cs 37°=0.8,求:
(1)过山车运动至圆轨道最低点C时的速度大小;(2)过山车运动至圆轨道最高点D时对轨道的作用力大小;(3)减速直轨道FG的长度x。
(2)设过山车到达D点的速度为vD,由机械能守恒定律联立代入数据可得FD=7 000 N由牛顿第三定律可知过山车对轨道的作用力FD'=7 000 N。(3)过山车从A到达G点,由动能定理可得mgh-mg(l-x)tan 37°-μ1mgh-μ1mg(l-x)-μ2mgx=0代入数据可得x=30 m。
二、连接体的系统模型中功能关系的应用
【主题概述】高考试题中,常常出现两个由轻绳或轻杆连接在一起的物体所组成的连接体系统,用以考查机械能守恒定律应用或功能关系应用,如下图所示。
求解的关键是找出两物体的速度关系,按两物体连接方式和速度关系一般可分为如下三种:(1)速率相等的连接体模型;(2)角速度相等的模型;(3)某一方向上速度大小相等的连接体模型。
【典例分析】[典例](多选)如图所示,滑块A、B的质量均为m,A套在固定竖直杆上,与光滑水平地面相距h,B放在地面上。A、B通过铰链用刚性轻杆连接,由静止开始运动。不计摩擦,A、B可视为质点,重力加速度大小为g。则( )A.A落地前,轻杆对B一直做正功B.A落地时速度大小为C.A下落过程中,其加速度大小始终不大于gD.A落地前,当A的机械能最小时,B对地面的压力大小为mg
答案 BD解析 由题意知,系统机械能守恒。设某时刻A、B的速度分别为vA、vB,此时刚性轻杆与竖直杆的夹角为θ,分别将vA、vB分解,如图所示。因为刚性轻杆不可伸长,所以沿杆的分速度v∥与v∥'是相等的,即vAcs θ=vBsin θ。当A滑至地面时θ=90°,此时vB=0,由系统机械能守恒得 ,解得vA= ,选项B正确。同时由于B初、末速度均为零,运动过程中其动能先增大后减小,即杆对B先做正功后做负功,选项A错误。杆对B的作用先是推力后是拉力,对A则先是阻力后是动力,即A的加速度在受到杆的向下的拉力作用时大于g,选项C错误。B的动能最大时,杆对A、B的作用力为零,此时A的机械能最小,B只受重力和支持力,所以B对地面的压力大小为mg,选项D正确。
情境分析本题属于综合性选择题,以铰链和刚性轻杆为素材创设问题情境。考查关键能力中的理解能力、模型建构能力、推理论证能力。需要建构某一方向上速度大小相等的连接体模型。
破题:1. A、B通过铰链用刚性轻杆连接,构成连接体,根据沿杆方向速度相等,建立二者速度关系。2.由静止开始运动,不计摩擦,系统机械能守恒。3.根据二者的速度变化情况和功能关系可确定做功情况。特别提醒多物体机械能守恒或功能关系问题求解的三点注意1.按两物体连接方式,通过审题,明确速度关系属于哪种情况。2.注意判定所选系统机械能是否守恒。3.涉及弹簧时要注意研究对象的选择。
【类题演练】如图所示,质量均为m的A、B两个小球通过绕在理想定滑轮上的轻绳相连,A球套在光滑的固定的竖直杆上。把A球从与定滑轮等高的P1处由静止释放,运动到P处时,轻绳与竖直杆之间的夹角为37°,此时A球的速度是v,B球没有与定滑轮相碰。在此过程中,下列说法正确的是( )
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