高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册7.5 正态分布教学演示ppt课件

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一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品. 从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为
若随机变量X服从超几何分布，则有
超几何分布与二项分布的联系与区别：
高斯是一个伟大的数学家，一生中的重要贡献不胜枚举．德国的10马克纸币上印有高斯的头像和正态分布的曲线，这就传达了一个信息：在高斯的科学贡献中，对人类文明影响最大的是正态分布．
问题 自动流水线包装的食盐，每袋标准质量为400g. 由于各种不可控制的因素，任意抽取一袋食盐，它的质量与标准质量之间或多或少会存在一定的误差(实际质量减去标准质量). 用X表示这种误差，则X是一个连续型随机变量. 检测人员在一次产品检验中，随机抽取了100袋食盐，获得误差X (单位: g) 的观测值如下:
(1) 如何描述这100个样本误差数据的分布?(2) 如何构建适当的概率模型刻画误差X的分布?
根据已学的统计知识，可用频率分布直方图描述这组误差数据的分布，如图(1)所示. 频率分布直方图中每个小矩形的面积表示误差落在相应区间内的频率，所有小矩形的面积之和为1.观察图形可知: 误差观测值有正有负，并大致对称地分布在X=0的两侧，而且小误差比大误差出现得更频繁.
随着样本数据量越来越大，让分组越来越多，组距越来越小，由频率的稳定性可知，频率分布直方图的轮廓就越来越稳定，接近一条光滑的钟形曲线，如图(2)所示.
根据频率与概率的关系，可用图(3)中的钟形曲线(曲线与水平轴之间的区域的面积为1)来描述袋装食盐质量误差的概率分布. 例如，任意抽取一袋食盐，误差落在[-2, -1]内的概率，可用图中黄色阴影部分的面积表示.
思考1 由函数知识可知，图(3)中的钟形曲线是一个函数. 那么，这个函数是否存在解析式呢?
答案是肯定的. 在数学家的不懈努力下，找到了以下刻画随机误差分布的解析式:
其中μ∈R，σ>0为参数.显然，对任意的x∈R，f(x)>0，它的图象在x轴的上方，可以证明x轴和曲线之间的区域的面积为1. 我们称f(x)为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线，若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为X~N(μ, σ2). 特别地，当μ=0, σ=1时，称随机变量X服从标准正态分布.
若X~N(μ，σ2)，则如图(4)所示，X取值不超过x的概率P(X≤x)为图中区域A的面积，而P(a≤X≤b)为区域B的面积.
思考2 观察正态曲线及相应的密度函数，你能发现正态曲线的哪些特点?
由X的密度函数及图象可以发现，正态曲线还有以下特点:(1) 曲线是单峰的，它关于直线x=μ对称；(2) 曲线在x=μ处达到峰值 (3) 当|x| 无限增大时，曲线无限接近x轴.
思考3 一个正态分布由参数μ和σ完全确定，这两个参数对正态曲线的形状有何影响? 它们反映正态分布的哪些特征?
由于正态曲线关于x=μ对称，因此，当参数σ固定时，正态曲线的位置由μ确定，且随着μ的变化而沿x轴平移，所以参数μ反映了正态分布的集中位置，可以用均值来估计，故有
当μ固定时，因为正态曲线的峰值与σ成反比，而且对任意的σ>0，正态曲线与x轴之间的区域的面积总为1. 因此，当σ较小时，峰值高，曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；当σ较大时，峰值低，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，所以σ反映了随机变量的分布相对于均值μ的离散程度，可以用标准差来估计，故有
(1) 曲线在x轴的上方，与x轴不相交；
(3) 曲线与x轴之间的面积为1；
(4) 当μ一定时，σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.
(2) 曲线是单峰的，它关于直线x=μ对称，且曲线在x=μ处取得最大值；
正态曲线下的面积规律：
正态曲线下对称区域的面积相等
利用“对称法”求正态分布下随机变量在某个区间的概率
假设X~N(μ, σ2)，可以证明: 对给定的k∈N*，P(μ-kσ≤X≤μ+kσ)是一个只与k有关的定值. 特别地，
上述结果可用右图表示.
由此看到，尽管正态变量的取值范围是(-∞, +∞)，但在一次试验中，X的取值几乎总是落在区间[μ-3σ, μ+3σ]内，而在此区间以外取值的概率大约只有0.0027，通常认为这种情况几乎不可能发生.在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ, σ2)的随机变量X只取[μ-3σ, μ+3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则.
1. 设随机变量X~N(0, 1)，则X的密度函数为_____________________，P(X≤0)=_____ ，P( |X|≤1)=_______， P(X≤1)=________， P(X>1)=________ (精确到0.0001.)
2. 设随机变量X~N(0, 22)，随机变量Y~N(0, 32)，画出分布密度曲线草图，并指出P(X≤-2)与P(X≤2)的关系，以及P( |X|≤1)与P( |Y|≤1)之间的大小关系.
作出分布密度曲线如图示，由图可知，
例2 设ξ～N(1，22)，试求：(1)P(－1≤ξ≤3)；
题型二　利用正态分布的对称性求概率
解　∵ξ～N(1，22)，∴μ＝1，σ＝2，P(－1≤ξ≤3)＝P(1－2≤ξ≤1＋2)＝P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)≈0.682 7.
(2)P(311)＝0.5－0.2＝0.3.
——分层精练
2.已知随机变量X服从正态分布N(1，σ2)，若P(X>2)＝0.15，则P(0≤X≤1)等于(　　)
解析　P(0≤X≤1)＝P(1≤X≤2)＝0.5－P(X>2)＝0.35.
3.某厂生产的零件外径X～N(10，0.04)，今从该厂上午、下午生产的零件中各取一件，测得其外径分别为9.9 cm，9.3 cm，则可认为(　　)A.上午生产情况正常，下午生产情况异常B.上午生产情况异常，下午生产情况正常C.上午、下午生产情况均正常D.上午、下午生产情况均异常
解析　因测量值X为随机变量，又X～N(10，0.04)，所以μ＝10，σ＝0.2，记I＝[μ－3σ，μ＋3σ]＝[9.4，10.6]，则9.9∈I，9.3∉I.因此上午生产情况正常，下午生产情况异常.
8.已知随机变量X～N(2，σ2)，如图所示，若P(X4－a)＝P(XP(Y≤t)D.对任意正数t，P(X≥t)>P(Y≥t)
解析　由题图可知μ1