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2022-2023学年河南省洛阳市强基联盟高二（下）联考数学试卷（7月份）（含解析）
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这是一份2022-2023学年河南省洛阳市强基联盟高二（下）联考数学试卷（7月份）（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A={x|0A. {x|32.命题“∃x0∈R，使得x0+1x0<2”的否定为( )
A. ∀x∈R,x+1x>2B. ∃x0∈R，使得x0+1x0>2
C. ∀x∈R,x+1x≥2D. ∃x0∈R，使得x0+1x0≥2
3.已知曲线f(x)=ax3在点(1,f(1))处的切线为y=3x+a−3，则实数a=( )
A. 4B. 3C. 2D. 1
4.某市组织高二学生统一体检，其中男生有10000人，已知此次体检中高二男生身高h(cm)近似服从正态分布N(175,σ2)，统计结果显示高二男生中身高高于180cm的概率为0.32，则此次体检中，高二男生身高不低于170cm的人数约为( )
A. 3200B. 6800C. 3400D. 6400
5.已知直线l1：2mx−(m+1)y+5=0，l2：(m+1)x+(m+4)y−2=0，则“l1⊥l2”是“m=4”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
6.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10S5=5，则S15S10=( )
A. 73B. 215C. 17D. 5
7.已知点F是双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点，过F作垂直于x轴的直线l，且l与双曲线C交于P，Q两点，若△POQ是直角三角形，其中O是坐标原点，则双曲线C的离心率为( )
A. 1+ 52B. 174C. 1+ 174D. 5
8.设a=ln0.40.6，b=ln0.20.8，c=2ln0.5.则( )
A. c>a>bB. b>a>cC. b>c>aD. a>b>c
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列运算正确的是( )
A. (2x)′=2xlg2eB. ( x)′= x2xC. (sin1)′=cs1D. (lg3x)′=1xln3
10.根据一组样本数据(xi,yi)，1≤i≤20，i∈N*，求得x−=10，y−=17.2，经验回归方程为y=b x−0.8.去掉两个误差较大的样本点(8,15,4)和(12,19)，去除后重新求得的经验回归方程为y=1.6x+a ，则下列说法正确的是( )
A. b =1.8
B. a =1.2
C. 去除两个误差较大的样本点后，y的估计值增加速度变快
D. 变量x与y具有正相关关系
11.已知(1 x−2 x)6，则关于其展开式的结论正确的是( )
A. 常数项是160B. 二项式系数的和为64
C. 含x2项的系数是−192D. 所有项的系数和为1
12.抛物线C：y2=4x的焦点是F，准线l与x轴相交于点K，过点F的直线与C相交于A，B两点(A点在第一象限)，AA1⊥l，A1为垂足，BB1⊥l，B1为垂足，则下列说法正确的是( )
A. 若以F为圆心，|FA|为半径的圆与l相交于A1和D，则△A1FA是等边三角形
B. 若点P的坐标是(2,2)，则|PA|+|AF|的最小值是4
C. ∠A1FB1=60°
D. 两条直线AK，BK的斜率之和为定值
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.在密室逃脱游戏中，小明闯过第一关的概率为34，连续闯过前两关的概率为12.事件A表示小明第一关闯关成功，事件B表示小明第二关闯关成功，则P(B|A)= ______．
14.一面国旗燃起青春的向往，一身戎装肩负国家的担当.6名学生(含甲、乙)决定参军报国，不负韶华，报名前6人排成一排拍照，则甲、乙两人不相邻的不同的排法有______种.
15.自动驾驶汽车又称无人驾驶汽车，依靠人工智能、视觉计算、雷达、监控装置和全球定位系统协同合作，让电脑可以在没有任何人类主动的操作下，自动安全地操作机动车辆.某自动驾驶讯车在车前O点处安装了一个雷达，此雷达的探测范围是扇形区域OAB.如图所示，在平面直角坐标系中，O(0,0)，直线OA，OB的方程分别是y=12x，y=−12x，现有一个圆形物体的圆心为C，半径为1m，圆C与OA，OB分别相切于点M，N，则|MN|= ______m
16.已知数列{an}满足an+1an=n+1n+2，且a1=12，若bn=anan+1，则数列{bn}的前100项和T100= ______
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
某市组织全市中小学生观看了“天宫课堂”第三课，并随机抽取1000名中小学生进行了一次“飞天宇航梦”的调查，得到如表2×2列联表：
(1)若将样本频率视为概率，求从全市中小学生中随机选择1名学生，此学生有“飞天宇航梦”的概率；
(2)完成上面的列联表，依据小概率值α=0.001的独立性检验，能否认为学生性别和有“飞天宇航梦”有关？
附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d．
临界值表：
18.(本小题12分)
已知等差数列{an}的首项为1，且an>0，a3，a9，9a3成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式，
(2)若bn=3an+2an，求数列{bn}的前n项和Tn．
19.(本小题12分)
牛排主要分为菲力牛排，肉眼牛排，西冷牛排，T骨牛排，某牛肉采购商从采购的一批牛排中随机抽取100盒，利用牛排的分类标准得到的数据如表：
(1)用比例分配的分层随机抽样方法从这100盒牛排中抽取10盒，再从抽取的10盒牛排中随机抽取4盒，求恰好有2盒牛排是T骨牛排的概率；
(2)若将频率视为概率，用样本估计总体，从这批牛排中随机抽取3盒，若X表示抽到的菲力牛排的数量，求X的分布列和数学期望．
20.(本小题12分)
如图，在四面体ABCD中，△ABD，△CBD都是等边三角形，O为BD的中点，且平面ABD⊥平面BCD.点P为线段BC的中点．
(1)求证：BC⊥AO；
(2)求直线AP与平面ACD所成角的正弦值．
21.(本小题12分)
已知F1，F2是椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，点P(− 2, 33)在椭圆C上，且PF1⊥F1F2．
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知A，B两点的坐标分别是(0,2)，(−1,0)，若过点A的直线l与椭圆C交于M，N两点，且以MN为直径的圆过点B，求出直线l的所有方程．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=x2−alnx(a∈R)．
(1)讨论函数f(x)的单调区间；
(2)设a>0且 a2答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A={x|0则A∩B={x|2故选：C．
根据集合的基本运算进行求解即可．
本题主要考查集合的基本运算，是基础题．
2.【答案】C
【解析】解：命题“∃x0∈R，使得x0+1x0<2”的否定为“∀x∈R,x+1x≥2”.
故选：C．
根据给定条件由含有一个量词的命题的否定方法直接写出原命题的否定作答．
本题主要考查了含有量词的命题的否定，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：由f(x)=ax3，得f′(x)=3ax2，∴f′(1)=3a，
又曲线f(x)=ax3在点(1,f(1))处的切线为y=3x+a−3，
∴f′(1)=3a=3，解得a=1．
故选：D．
求出原函数的导函数，根据切点处的导数值为切线的斜率，即可求解．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，是基础题．
4.【答案】B
【解析】解：因为高二男生身高h(cm)近似服从正态分布N(175,σ2)，且P(h>180)=0.32，
于是P(h<170)=P(h>180)=0.32，因此P(h≥170)=1−P(h<170)=0.68，
所以高二男生身高不低于170cm的人数约为0.68×10000=6800．
故选：B．
根据给定条件，利用正态分布的对称性求出高二男生身高不低于170cm的概率，即可计算作答．
本题主要考查正态分布的对称性，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：由l1⊥l2，所以2m(m+1)−(m+1)(m+4)=0，
即m2−3m−4=0，解得m=4或m=−1，
故“l1⊥l2”是“m=4”的必要不充分条件．
故选：B．
利用必要不充分条件判断．
本题主要考查直线垂直的性质，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】解：由等比数列的性质可得：S5，S10−S5，S15−S10(各项不为0)成等比数列，
不妨设S5=1，由S10S5=5，可得S10=5．
∴(5−1)2=1×(S15−5)，解得S15=21，
则S15S10=215．
故选：B．
由等比数列的性质可得：S5，S10−S5，S15−S10(各项不为0)成等比数列，即可得出．
本题考查了等比数列的前n项和的性质、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
7.【答案】A
【解析】解：因为PF⊥OF，△POQ是直角三角形，
所以由双曲线的对称性可得∠POQ=90°，|OP|=|OQ|，
即△POQ为等腰直角三角形，设P(c,y)(y>0)，
则c2a2−y2b2=1，解得y=b2a，
即|PF|=b2a，又c=|OF|=|PF|，
所以c=b2a，则c2−a2−ca=0，所以e2−e−1=0，
解得e=1+ 52或e=1− 52(舍)，
故选：A．
由△POQ为等腰直角三角形，结合双曲线方程得出|PF|=b2a，再由c=|OF|=|PF|，得出双曲线C的离心率．
本题考查双曲线的几何性质，考查方程思想和转化思想，属中档题．
8.【答案】A
【解析】解：构造函数f(x)=lnx1−x，其中0令g(x)=1x−1+lnx，g′(x)=−1x2+1x=x−1x2，
g′(x)<0⇒0在x∈(0,1)时，g(x)>g(1)=0，所以当x∈(0,1)时，f′(x)>0，
所以f(x)在(0,1)上单调递增，所以f(0.4)=>f(0.2)=，
又c=2ln0.5=(0.5)>f(0.4)=a，所以c>a>b．
故选：A．
构造函数f(x)=lnx1−x，其中0本题考查构造函数，然后利用导数研究函数的单调性，进而比较数的大小问题的解题思路，属于中档题．
9.【答案】BD
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，(2x)′=2xln2；故A错误，
对于B，( x)′=(x12)′=12x−12= x2x，故B正确，
对于C，(sin1)′=0.故C错误，
对于D，(lg3x)′=1xln3，故D正确，
故选：BD．
根据基本初等函数的求导公式即可结合选项逐一求解．
本题考查导数的计算，注意导数的计算公式，属于基础题．
10.【答案】ABD
【解析】解：将x−=10，y−=17.2代入y=b x−0.8，得17.2=10b −0.8，解得b =1.8，故A正确；
去掉两个误差较大的样本点(8,15.4)和(12,19)，此时(8+12)÷2=10，(15.4+19)÷2=17.2，
∴x′−=10，y′−=17.2，得样本的中心点不变，将x′−=10，y′−=17.2代入y=1.6x+a ，
得17.2=1.6×10+a ，解得a =1.2，故B正确；
∵1.8>1.6，∴去除两个误差较大的样本点后，y的估计值增加速度变慢，故C错误；
∵经验回归直线方程的斜率大于0，∴变量x与y具有正相关关系，故D正确．
故选：ABD．
利用样本中心点在经验回归直线方程上及平均数定义，结合经验回归直线的特点即可求解．
本题考查线性回归方程及其应用，考查运算求解能力，是基础题．
11.【答案】BCD
【解析】解：因为(1 x−2 x)6的展开式的通项为Tr+1=C6r(1 x)6−r(−2 x)r=(−2)rC6rxr−3，
对于A，令r−3=0，得r=3，所以常数项为T4=(−2)3C63=−160，故A错误；
对于B，二项式的系数和为26=64，故B正确；
对于C，令r−3=2，得r=5，所以含x2项的系数是(−2)5C65=−192，故C正确；
对于D，令x=1，得所有项的系数和为1，故D正确．
故选：BCD．
求得展开式的通项公式为Tr+1=(−2)rC6rxr−3，令r−3=0，可求得常数项，即可判断A选项；
利用二项式系数和公式即可判断B选项；
令r−3=2，可求得含x2项，即可判断C选项；
令x=1，得所有项的系数和为1，即可判断D选项．
本题主要考查二项式定理，属于基础题．
12.【答案】AD
【解析】解：因为以F为圆心，|FA|为半径的圆与l相交于A1和D两点，所以|FA|=|FA1|，又|FA|=|AA1|所以△A1FA为等边三角形，故A正确；
因为|PA|+|AF|=|PA|+|AA1|≥|PA1|等号当且仅当P，A，A1三点共线时成立，所以当三点P，A，A1共线时，|PA|+|AF|=|PA1|取最小值3，故B错误；
设直线AB：x=my+1，代入y2=4x并消去x得y2−4my−4=0，
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则y1+y2=4m，y1y2=−4．
由A1(−1,y1)，B1(−1,y2)，得kA1F⋅kB1F=y1−1−1⋅y2−1−1=y1y24=−1，所以A1F⊥B1F，即∠A1FB1=90°，故C错误；
kAK=y1x1+1，kBK=y2x2+1，所以
kAK+kBK=y1x1+1+y2x2+1=y1my1+2+y2my2+2=y1(my2+2)+y2(my1+2)(my1+2)(my2+2)=2my1y2+2(y1+y2)(my1+2)(my2+2)=−8m+8m(my1+2)(my2+2)=0，故D正确．
故选：AD．
根据抛物线的焦半径即可判断A，又三点共线即可判断B，利用联立方程和韦达定理，结合斜率公式即可求解CD．
本题考查抛物线的定义及几何性质，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，正确转化及利用韦达定理是关键．
13.【答案】23
【解析】解：由题意，得P(A)=34，P(AB)=12，所以P(B|A)=P(AB)P(A)=1234=23．
故答案为：23．
根据条件概率的计算公式即可求解．
本题主要考查条件概率公式，属于基础题．
14.【答案】480
【解析】解：先将不含甲、乙的4人排列，有A44种，
再在这4人所形成的5个空挡中任选2个空挡安排甲、乙，有A52种，
则由乘法原理可知，甲、乙两人不相邻的不同的排法有A44A52=24×20=480(种)．
故答案为：480．
先将不含甲、乙的4人排列，再在这4人所形成的5个空挡中任选2个空挡安排甲、乙，最后由分步计数原理得解．
本题考查排列组合的运用，考查运算求解能力，属于基础题．
15.【答案】4 55
【解析】解：连接MC，NC，由题意可设C(a,0)(a>0)，又圆C与OA相切，
则d=|12a| 14+1=r=1，解得a= 5，由题意可得MC⊥OM，NC⊥ON，
在Rt△MOC中，|OM|= |OC|2−|MC|2=2，所以S△MOC=12|OM|×|MC|=1，
同理S△NOC=1，SMONC=2，又MN⊥OC，
所以SMONC=12|MN|×|OC|= 52|MN|，即|MN|=4 55．
故答案为：4 55．
应用直线和圆相切求参，再结合图形特征求面积即可．
本题考查直线与圆的位置关系，属于中档题．
16.【答案】2551
【解析】解：由an+1an=n+1n+2，得a2a1=23,a3a2=34,⋯,anan−1=nn+1(n≥2)，
以上各式相乘，得ana1=2n+1(n≥2)，因为a1=12，则an=1n+1(n≥2)，
当n=1时，a1=11+1=12，满足上式，所以an=1n+1(n∈N*)，
因为bn=anan+1=1(n+1)(n+2)=1n+1−1n+2，
则Tn=12−13+13−14+⋯+1n+1−1n+2=12−1n+2=n2n+4，
所以T100=2551．
故答案为：2551．
利用累乘法求出数列{an}的通项公式，再利用裂项相消法即可求得T100的值．
本题考查累乘法求数列通项，考查数列裂项相消法求和，属中档题．
17.【答案】解：(1)由题可知被调查的男、女学生都是500人，其中有“飞天宇航梦”的男生有400人，女生有350人，一共750人，所以学生有“飞天宇航梦”的频率为7501000=34，
因此从全市中小学生中随机选择1名学生，此学生有“飞天宇航梦”的概率为34．
(2)2×2列联表如下：
零假设为H0：学生性别和有“飞天宇航梦”无关联，
根据列联表中的数据，经计算得到χ2=1000×(400×150−100×350)2500×500×750×250≈13.333>10.828=x0.001，
根据小概率值α=0.001的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为学生性别和有“飞天宇航梦”有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001．
【解析】(1)由古典概型的计算公式求解即可；
(2)完成列联表，根据卡方公式求解，对比临界值表即可．
本题主要考查条件概率公式，属于基础题．
18.【答案】解：(1)因为a3，a9，9a3成等比数列，
所以a92=9a32，
又an>0，所以a9=3a3，
又a1=1，设{an}的公差为d(d>0)，
所以1+8d=3(1+2d)，解得d=1，
所以an=a1+(n−1)d=n．
(2)由题知，bn=3an+2an=3n+2n，
因为数列{3n}是首项为3，公比为3的等比数列，
且数列{2n}是首项为2，公差为2的等差数列，
所以Tn=3(1−3n)1−3+(2+2n)n2=3n+1+2n2+2n−32．
【解析】(1)根据等比中项以及等差数列基本量的计算即可求解公差，即可由等差数列的通项求解，
(2)根据分组求和，结合等差等比数列的求和公式即可求解．
本题主要考查了等比数列的性质，等差数列的通项公式的应用，还考查了等差与等比数列的求和公式的应用，属于中档题．
19.【答案】解：(1)用比例分配的分层随机抽样方法从这100盒牛排中抽取10盒，
其中T骨牛排有3盒，非T骨牛排有7盒，
再从中随机抽取4盒，设恰好有2盒牛排是T骨牛排为事件A，
则P(A)=C32C72C104=3×21210=310；
(2)这100盒牛排中菲力牛排有20盒，所以菲力牛排的频率为20100=15，
设从这批牛排中随机抽取1盒，抽到菲力牛排的事件为B，
将频率视为概率，用样本估计总体可得P(B)=15，
从这批牛排中随机抽取3盒，抽到的菲力牛排的数量X满足X～B(3,15)，
又P(X=0)=C30(15)0(45)3=64125,P(X=1)=C31(15)(45)2=48125，
P(X=2)=C32(15)2(45)=12125,P(X=3)=C33(15)3(45)0=1125．
所以X的分布列为：
所以E(X)=3×15=35．
【解析】(1)先根据分层抽样分别求出T骨牛排和非T骨牛排的和数，再利用古典概型求解即可；
(2)先求出从这批牛排中随机抽取1盒，抽到菲力牛排的概率，由题意可得X服从二项分布，再根据二项分布的分布列及期望公式求解即可．
本题考查古典概型的概率公式的应用，二项分布的期望的求解，属中档题．
20.【答案】证明：(1)因为△ABD是等边三角形，O为BD的中点，
所以AO⊥BD，
又平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，AO⊂平面ABD，
所以AO⊥平面BCD，
又BC⊂平面BCD，
所以BC⊥AO．
(2)连接OC，
因为△CBD是等边三角形，O为BD的中点，
所以CO⊥BD，
因为AO⊥平面BCD，CO⊂平面BCD，
所以AO⊥CO，
又AO⊥BD，所以分别以OA，OD，OC为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，
设BD=2，则A( 3,0,0)，B(0,−1,0)，D(0,1,0)，C(0,0, 3)，
所以P(0,−12, 32)，AP=(− 3,−12, 32)，AD=(− 3,1,0)，AC=(− 3,0, 3)，
设平面ACD的一个法向量m=(x,y,z)，
m⋅AD=0,m⋅AC=0,即− 3x+y=0,− 3x+ 3z=0,
令x=1，则y= 3,z=1，
所以m=(1, 3,1)，
设直线AP与平面ACD所成角为θ，
则sinθ=|cs|=|AP⋅m||AP|⋅|m|= 1510，
所以直线AP与平面ACD所成角的正弦值为 1510．
【解析】(1)利用等腰三角形的三线合一定理及面面垂直的性质定理，结合线面垂直的性质定理即可求解；
(2)利用等腰三角形的三线合一定理及线面垂直的性质定理，建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，分别求出直线AP的方向向量和平面ACD的法向量，再利用向量的夹角公式，结合线面角与向量的夹角的关系即可求解．
本题考查了空间中线面位置关系，考查了推理能力，属于中档题．
21.【答案】解：(1)∵点P(− 2, 33)在椭圆C上，且PF1⊥F1F2．
∴−c=− 2，即c= 2，则F1F2=2c=2 2，
PF1= 33，则PF2= PF12+F1F22= ( 33)2+(2 2)2= 39+8= 759=5 33，
则2a=PF1+PF2= 33+5 33=2 3，即a= 3，
则b2=a2−c2=3−2=1，
即椭圆方程为x23+y2=1．
(2)A(0,2)，B(−1,0)，
①若直线l的斜率k不存在，此时l：x=0，M(0,1)，N(0,−1)，则以MN为直径的圆过点B，满足条件，此时x=0，
②若k存在，则直线方程为y=kx+2，代入x23+y2=1得(1+3k2)x2+12kx+9=0，
设M(x1,y1)，N(x2,y2)，
则Δ=(12k)2−36(1+3k2)=36k2−36>0，
x1+x2=−12k1+3k2，x1x2=91+3k2，
若MN为直径的圆过点B，则MB⊥NB，
即MB⋅NB=0，即(−1−x1,−y1)⋅(−1−x2,−y2)=0，
即(1+x1)(1+x2)+y1y2=0，
即1+(x1+x2)+x1x2+y1y2=0，
y1y2=(kx1+2)(kx2+2)=k2x1x2+2k(x1+x2)+4，
∴1+(x1+x2)+x1x2+k2x1x2+2k(x1+x2)+4=0，即5+(1+2k)(x1+x2)+(1+k2)x1x2=0，
即5+(1+2k)⋅−12k1+3k2+(1+k2)⋅91+3k2=0
即5+15k2−12k(1+2k)+9+9k2=0，
即12k=14，得k=76.满足判别式Δ>0，此时l：y=76x+2，
综上直线l的方程为y=76x+2或x=0．
【解析】(1)利用点在椭圆上，且PF1⊥F1F2.求出c和2a，即可．
(2)设出直线方程，联立方程根据圆直径性质得到MB⊥NB，利用设而不求思想进行转化求解即可．
本题主要考查椭圆方程的求解以及直线和椭圆位置关系的应用，联立方程组，利用韦达定理以及设而不求思想进行求解是解决本题的关键，是中档题．
22.【答案】解：(1)由题意得f(x)的定义域为(0,+∞)，且f′(x)=2x−ax=2x2−ax．
若a≤0，f′(x)>0在(0,+∞)上恒成立，故f(x)在(0,+∞)上单调递增；
若a>0，因为x>0，当f′(x)>0时，x> 2a2，当f′(x)<0时，0所以f(x)在(0, 2a2)上单调递减，在( 2a2,+∞)上单调递增，
综上，当a≤0时，f(x)的单调递增区间为(0,+∞)，无单调递减区间；
当a>0时，f(x)的单调递减区间为(0, 2a2)，单调递增区间为( 2a2,+∞)．
(2)由题意得f′(x0)=f(x2)−f(x1)x2−x1=x1+x2−a(lnx2−lnx1)x2−x1，
f′(x1+x22)=x1+x2−2ax1+x2，
f′(x0)−f′(x1+x22)=−a(lnx2−lnx1)x2−x1+2ax1+x2=−ax2−x1[lnx2x1−2(x2−x1)x2+x1]
=−ax2−x1[lnx2x1−2(x2x1−1)x2x1+1]，
设t=x2x1(t>1)，设g(t)=lnt−2(t−1)t+1，则g′(t)=1t−4(t+1)2=(t−1)2t(t+1)2>0，
所以g(t)在(1,+∞)上单调递增，所以当t>1时，g(t)>g(1)=0，即lnx2x1−2(x2−x1)x2+x1>0，
又x2>x1，且a>0，所以−ax2−x1<0，所以f′(x0)−f′(x1+x22)<0，即f′(x0)又f′(x)=2x−ax在( 2a2,+∞)上单调递增，所以x02x0．
【解析】(1)先求导函数，再分a≤0和a>0两种情况讨论判断正负确定单调区间；
(2)根据已知设t=x2x1(t>1)，把二元问题转化为关于t的函数，结合单调性得证．
本题主要考查了导数与单调性关系的应用，还考查了利用函数性质在不等式大小比较中的应用，属于中档题．性别
有“飞天宇航梦”
无“飞天宇航梦”
合计
男生
_____
100
_____
女生
350
_____
500
合计
_____
_____
_____
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
牛排种类
菲力牛排
肉眼牛排
西冷牛排
T骨牛排
数量/盒
20
30
20
30
性别
有“飞天宇航梦”
无“飞天宇航梦”
合计
男生
400
100
500
女生
350
150
500
合计
750
250
1000
X
0
1
2
3
P
64125
48125
12125
1125
1.已知集合A={x|0
A. ∀x∈R,x+1x>2B. ∃x0∈R，使得x0+1x0>2
C. ∀x∈R,x+1x≥2D. ∃x0∈R，使得x0+1x0≥2
3.已知曲线f(x)=ax3在点(1,f(1))处的切线为y=3x+a−3，则实数a=( )
A. 4B. 3C. 2D. 1
4.某市组织高二学生统一体检，其中男生有10000人，已知此次体检中高二男生身高h(cm)近似服从正态分布N(175,σ2)，统计结果显示高二男生中身高高于180cm的概率为0.32，则此次体检中，高二男生身高不低于170cm的人数约为( )
A. 3200B. 6800C. 3400D. 6400
5.已知直线l1：2mx−(m+1)y+5=0，l2：(m+1)x+(m+4)y−2=0，则“l1⊥l2”是“m=4”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
6.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10S5=5，则S15S10=( )
A. 73B. 215C. 17D. 5
7.已知点F是双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点，过F作垂直于x轴的直线l，且l与双曲线C交于P，Q两点，若△POQ是直角三角形，其中O是坐标原点，则双曲线C的离心率为( )
A. 1+ 52B. 174C. 1+ 174D. 5
8.设a=ln0.40.6，b=ln0.20.8，c=2ln0.5.则( )
A. c>a>bB. b>a>cC. b>c>aD. a>b>c
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列运算正确的是( )
A. (2x)′=2xlg2eB. ( x)′= x2xC. (sin1)′=cs1D. (lg3x)′=1xln3
10.根据一组样本数据(xi,yi)，1≤i≤20，i∈N*，求得x−=10，y−=17.2，经验回归方程为y=b x−0.8.去掉两个误差较大的样本点(8,15,4)和(12,19)，去除后重新求得的经验回归方程为y=1.6x+a ，则下列说法正确的是( )
A. b =1.8
B. a =1.2
C. 去除两个误差较大的样本点后，y的估计值增加速度变快
D. 变量x与y具有正相关关系
11.已知(1 x−2 x)6，则关于其展开式的结论正确的是( )
A. 常数项是160B. 二项式系数的和为64
C. 含x2项的系数是−192D. 所有项的系数和为1
12.抛物线C：y2=4x的焦点是F，准线l与x轴相交于点K，过点F的直线与C相交于A，B两点(A点在第一象限)，AA1⊥l，A1为垂足，BB1⊥l，B1为垂足，则下列说法正确的是( )
A. 若以F为圆心，|FA|为半径的圆与l相交于A1和D，则△A1FA是等边三角形
B. 若点P的坐标是(2,2)，则|PA|+|AF|的最小值是4
C. ∠A1FB1=60°
D. 两条直线AK，BK的斜率之和为定值
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.在密室逃脱游戏中，小明闯过第一关的概率为34，连续闯过前两关的概率为12.事件A表示小明第一关闯关成功，事件B表示小明第二关闯关成功，则P(B|A)= ______．
14.一面国旗燃起青春的向往，一身戎装肩负国家的担当.6名学生(含甲、乙)决定参军报国，不负韶华，报名前6人排成一排拍照，则甲、乙两人不相邻的不同的排法有______种.
15.自动驾驶汽车又称无人驾驶汽车，依靠人工智能、视觉计算、雷达、监控装置和全球定位系统协同合作，让电脑可以在没有任何人类主动的操作下，自动安全地操作机动车辆.某自动驾驶讯车在车前O点处安装了一个雷达，此雷达的探测范围是扇形区域OAB.如图所示，在平面直角坐标系中，O(0,0)，直线OA，OB的方程分别是y=12x，y=−12x，现有一个圆形物体的圆心为C，半径为1m，圆C与OA，OB分别相切于点M，N，则|MN|= ______m
16.已知数列{an}满足an+1an=n+1n+2，且a1=12，若bn=anan+1，则数列{bn}的前100项和T100= ______
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
某市组织全市中小学生观看了“天宫课堂”第三课，并随机抽取1000名中小学生进行了一次“飞天宇航梦”的调查，得到如表2×2列联表：
(1)若将样本频率视为概率，求从全市中小学生中随机选择1名学生，此学生有“飞天宇航梦”的概率；
(2)完成上面的列联表，依据小概率值α=0.001的独立性检验，能否认为学生性别和有“飞天宇航梦”有关？
附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d．
临界值表：
18.(本小题12分)
已知等差数列{an}的首项为1，且an>0，a3，a9，9a3成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式，
(2)若bn=3an+2an，求数列{bn}的前n项和Tn．
19.(本小题12分)
牛排主要分为菲力牛排，肉眼牛排，西冷牛排，T骨牛排，某牛肉采购商从采购的一批牛排中随机抽取100盒，利用牛排的分类标准得到的数据如表：
(1)用比例分配的分层随机抽样方法从这100盒牛排中抽取10盒，再从抽取的10盒牛排中随机抽取4盒，求恰好有2盒牛排是T骨牛排的概率；
(2)若将频率视为概率，用样本估计总体，从这批牛排中随机抽取3盒，若X表示抽到的菲力牛排的数量，求X的分布列和数学期望．
20.(本小题12分)
如图，在四面体ABCD中，△ABD，△CBD都是等边三角形，O为BD的中点，且平面ABD⊥平面BCD.点P为线段BC的中点．
(1)求证：BC⊥AO；
(2)求直线AP与平面ACD所成角的正弦值．
21.(本小题12分)
已知F1，F2是椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，点P(− 2, 33)在椭圆C上，且PF1⊥F1F2．
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知A，B两点的坐标分别是(0,2)，(−1,0)，若过点A的直线l与椭圆C交于M，N两点，且以MN为直径的圆过点B，求出直线l的所有方程．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=x2−alnx(a∈R)．
(1)讨论函数f(x)的单调区间；
(2)设a>0且 a2
1.【答案】C
【解析】解：A={x|0
根据集合的基本运算进行求解即可．
本题主要考查集合的基本运算，是基础题．
2.【答案】C
【解析】解：命题“∃x0∈R，使得x0+1x0<2”的否定为“∀x∈R,x+1x≥2”.
故选：C．
根据给定条件由含有一个量词的命题的否定方法直接写出原命题的否定作答．
本题主要考查了含有量词的命题的否定，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：由f(x)=ax3，得f′(x)=3ax2，∴f′(1)=3a，
又曲线f(x)=ax3在点(1,f(1))处的切线为y=3x+a−3，
∴f′(1)=3a=3，解得a=1．
故选：D．
求出原函数的导函数，根据切点处的导数值为切线的斜率，即可求解．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，是基础题．
4.【答案】B
【解析】解：因为高二男生身高h(cm)近似服从正态分布N(175,σ2)，且P(h>180)=0.32，
于是P(h<170)=P(h>180)=0.32，因此P(h≥170)=1−P(h<170)=0.68，
所以高二男生身高不低于170cm的人数约为0.68×10000=6800．
故选：B．
根据给定条件，利用正态分布的对称性求出高二男生身高不低于170cm的概率，即可计算作答．
本题主要考查正态分布的对称性，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：由l1⊥l2，所以2m(m+1)−(m+1)(m+4)=0，
即m2−3m−4=0，解得m=4或m=−1，
故“l1⊥l2”是“m=4”的必要不充分条件．
故选：B．
利用必要不充分条件判断．
本题主要考查直线垂直的性质，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】解：由等比数列的性质可得：S5，S10−S5，S15−S10(各项不为0)成等比数列，
不妨设S5=1，由S10S5=5，可得S10=5．
∴(5−1)2=1×(S15−5)，解得S15=21，
则S15S10=215．
故选：B．
由等比数列的性质可得：S5，S10−S5，S15−S10(各项不为0)成等比数列，即可得出．
本题考查了等比数列的前n项和的性质、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
7.【答案】A
【解析】解：因为PF⊥OF，△POQ是直角三角形，
所以由双曲线的对称性可得∠POQ=90°，|OP|=|OQ|，
即△POQ为等腰直角三角形，设P(c,y)(y>0)，
则c2a2−y2b2=1，解得y=b2a，
即|PF|=b2a，又c=|OF|=|PF|，
所以c=b2a，则c2−a2−ca=0，所以e2−e−1=0，
解得e=1+ 52或e=1− 52(舍)，
故选：A．
由△POQ为等腰直角三角形，结合双曲线方程得出|PF|=b2a，再由c=|OF|=|PF|，得出双曲线C的离心率．
本题考查双曲线的几何性质，考查方程思想和转化思想，属中档题．
8.【答案】A
【解析】解：构造函数f(x)=lnx1−x，其中0
g′(x)<0⇒0
所以f(x)在(0,1)上单调递增，所以f(0.4)=>f(0.2)=，
又c=2ln0.5=(0.5)>f(0.4)=a，所以c>a>b．
故选：A．
构造函数f(x)=lnx1−x，其中0
9.【答案】BD
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，(2x)′=2xln2；故A错误，
对于B，( x)′=(x12)′=12x−12= x2x，故B正确，
对于C，(sin1)′=0.故C错误，
对于D，(lg3x)′=1xln3，故D正确，
故选：BD．
根据基本初等函数的求导公式即可结合选项逐一求解．
本题考查导数的计算，注意导数的计算公式，属于基础题．
10.【答案】ABD
【解析】解：将x−=10，y−=17.2代入y=b x−0.8，得17.2=10b −0.8，解得b =1.8，故A正确；
去掉两个误差较大的样本点(8,15.4)和(12,19)，此时(8+12)÷2=10，(15.4+19)÷2=17.2，
∴x′−=10，y′−=17.2，得样本的中心点不变，将x′−=10，y′−=17.2代入y=1.6x+a ，
得17.2=1.6×10+a ，解得a =1.2，故B正确；
∵1.8>1.6，∴去除两个误差较大的样本点后，y的估计值增加速度变慢，故C错误；
∵经验回归直线方程的斜率大于0，∴变量x与y具有正相关关系，故D正确．
故选：ABD．
利用样本中心点在经验回归直线方程上及平均数定义，结合经验回归直线的特点即可求解．
本题考查线性回归方程及其应用，考查运算求解能力，是基础题．
11.【答案】BCD
【解析】解：因为(1 x−2 x)6的展开式的通项为Tr+1=C6r(1 x)6−r(−2 x)r=(−2)rC6rxr−3，
对于A，令r−3=0，得r=3，所以常数项为T4=(−2)3C63=−160，故A错误；
对于B，二项式的系数和为26=64，故B正确；
对于C，令r−3=2，得r=5，所以含x2项的系数是(−2)5C65=−192，故C正确；
对于D，令x=1，得所有项的系数和为1，故D正确．
故选：BCD．
求得展开式的通项公式为Tr+1=(−2)rC6rxr−3，令r−3=0，可求得常数项，即可判断A选项；
利用二项式系数和公式即可判断B选项；
令r−3=2，可求得含x2项，即可判断C选项；
令x=1，得所有项的系数和为1，即可判断D选项．
本题主要考查二项式定理，属于基础题．
12.【答案】AD
【解析】解：因为以F为圆心，|FA|为半径的圆与l相交于A1和D两点，所以|FA|=|FA1|，又|FA|=|AA1|所以△A1FA为等边三角形，故A正确；
因为|PA|+|AF|=|PA|+|AA1|≥|PA1|等号当且仅当P，A，A1三点共线时成立，所以当三点P，A，A1共线时，|PA|+|AF|=|PA1|取最小值3，故B错误；
设直线AB：x=my+1，代入y2=4x并消去x得y2−4my−4=0，
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则y1+y2=4m，y1y2=−4．
由A1(−1,y1)，B1(−1,y2)，得kA1F⋅kB1F=y1−1−1⋅y2−1−1=y1y24=−1，所以A1F⊥B1F，即∠A1FB1=90°，故C错误；
kAK=y1x1+1，kBK=y2x2+1，所以
kAK+kBK=y1x1+1+y2x2+1=y1my1+2+y2my2+2=y1(my2+2)+y2(my1+2)(my1+2)(my2+2)=2my1y2+2(y1+y2)(my1+2)(my2+2)=−8m+8m(my1+2)(my2+2)=0，故D正确．
故选：AD．
根据抛物线的焦半径即可判断A，又三点共线即可判断B，利用联立方程和韦达定理，结合斜率公式即可求解CD．
本题考查抛物线的定义及几何性质，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，正确转化及利用韦达定理是关键．
13.【答案】23
【解析】解：由题意，得P(A)=34，P(AB)=12，所以P(B|A)=P(AB)P(A)=1234=23．
故答案为：23．
根据条件概率的计算公式即可求解．
本题主要考查条件概率公式，属于基础题．
14.【答案】480
【解析】解：先将不含甲、乙的4人排列，有A44种，
再在这4人所形成的5个空挡中任选2个空挡安排甲、乙，有A52种，
则由乘法原理可知，甲、乙两人不相邻的不同的排法有A44A52=24×20=480(种)．
故答案为：480．
先将不含甲、乙的4人排列，再在这4人所形成的5个空挡中任选2个空挡安排甲、乙，最后由分步计数原理得解．
本题考查排列组合的运用，考查运算求解能力，属于基础题．
15.【答案】4 55
【解析】解：连接MC，NC，由题意可设C(a,0)(a>0)，又圆C与OA相切，
则d=|12a| 14+1=r=1，解得a= 5，由题意可得MC⊥OM，NC⊥ON，
在Rt△MOC中，|OM|= |OC|2−|MC|2=2，所以S△MOC=12|OM|×|MC|=1，
同理S△NOC=1，SMONC=2，又MN⊥OC，
所以SMONC=12|MN|×|OC|= 52|MN|，即|MN|=4 55．
故答案为：4 55．
应用直线和圆相切求参，再结合图形特征求面积即可．
本题考查直线与圆的位置关系，属于中档题．
16.【答案】2551
【解析】解：由an+1an=n+1n+2，得a2a1=23,a3a2=34,⋯,anan−1=nn+1(n≥2)，
以上各式相乘，得ana1=2n+1(n≥2)，因为a1=12，则an=1n+1(n≥2)，
当n=1时，a1=11+1=12，满足上式，所以an=1n+1(n∈N*)，
因为bn=anan+1=1(n+1)(n+2)=1n+1−1n+2，
则Tn=12−13+13−14+⋯+1n+1−1n+2=12−1n+2=n2n+4，
所以T100=2551．
故答案为：2551．
利用累乘法求出数列{an}的通项公式，再利用裂项相消法即可求得T100的值．
本题考查累乘法求数列通项，考查数列裂项相消法求和，属中档题．
17.【答案】解：(1)由题可知被调查的男、女学生都是500人，其中有“飞天宇航梦”的男生有400人，女生有350人，一共750人，所以学生有“飞天宇航梦”的频率为7501000=34，
因此从全市中小学生中随机选择1名学生，此学生有“飞天宇航梦”的概率为34．
(2)2×2列联表如下：
零假设为H0：学生性别和有“飞天宇航梦”无关联，
根据列联表中的数据，经计算得到χ2=1000×(400×150−100×350)2500×500×750×250≈13.333>10.828=x0.001，
根据小概率值α=0.001的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为学生性别和有“飞天宇航梦”有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001．
【解析】(1)由古典概型的计算公式求解即可；
(2)完成列联表，根据卡方公式求解，对比临界值表即可．
本题主要考查条件概率公式，属于基础题．
18.【答案】解：(1)因为a3，a9，9a3成等比数列，
所以a92=9a32，
又an>0，所以a9=3a3，
又a1=1，设{an}的公差为d(d>0)，
所以1+8d=3(1+2d)，解得d=1，
所以an=a1+(n−1)d=n．
(2)由题知，bn=3an+2an=3n+2n，
因为数列{3n}是首项为3，公比为3的等比数列，
且数列{2n}是首项为2，公差为2的等差数列，
所以Tn=3(1−3n)1−3+(2+2n)n2=3n+1+2n2+2n−32．
【解析】(1)根据等比中项以及等差数列基本量的计算即可求解公差，即可由等差数列的通项求解，
(2)根据分组求和，结合等差等比数列的求和公式即可求解．
本题主要考查了等比数列的性质，等差数列的通项公式的应用，还考查了等差与等比数列的求和公式的应用，属于中档题．
19.【答案】解：(1)用比例分配的分层随机抽样方法从这100盒牛排中抽取10盒，
其中T骨牛排有3盒，非T骨牛排有7盒，
再从中随机抽取4盒，设恰好有2盒牛排是T骨牛排为事件A，
则P(A)=C32C72C104=3×21210=310；
(2)这100盒牛排中菲力牛排有20盒，所以菲力牛排的频率为20100=15，
设从这批牛排中随机抽取1盒，抽到菲力牛排的事件为B，
将频率视为概率，用样本估计总体可得P(B)=15，
从这批牛排中随机抽取3盒，抽到的菲力牛排的数量X满足X～B(3,15)，
又P(X=0)=C30(15)0(45)3=64125,P(X=1)=C31(15)(45)2=48125，
P(X=2)=C32(15)2(45)=12125,P(X=3)=C33(15)3(45)0=1125．
所以X的分布列为：
所以E(X)=3×15=35．
【解析】(1)先根据分层抽样分别求出T骨牛排和非T骨牛排的和数，再利用古典概型求解即可；
(2)先求出从这批牛排中随机抽取1盒，抽到菲力牛排的概率，由题意可得X服从二项分布，再根据二项分布的分布列及期望公式求解即可．
本题考查古典概型的概率公式的应用，二项分布的期望的求解，属中档题．
20.【答案】证明：(1)因为△ABD是等边三角形，O为BD的中点，
所以AO⊥BD，
又平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，AO⊂平面ABD，
所以AO⊥平面BCD，
又BC⊂平面BCD，
所以BC⊥AO．
(2)连接OC，
因为△CBD是等边三角形，O为BD的中点，
所以CO⊥BD，
因为AO⊥平面BCD，CO⊂平面BCD，
所以AO⊥CO，
又AO⊥BD，所以分别以OA，OD，OC为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，
设BD=2，则A( 3,0,0)，B(0,−1,0)，D(0,1,0)，C(0,0, 3)，
所以P(0,−12, 32)，AP=(− 3,−12, 32)，AD=(− 3,1,0)，AC=(− 3,0, 3)，
设平面ACD的一个法向量m=(x,y,z)，
m⋅AD=0,m⋅AC=0,即− 3x+y=0,− 3x+ 3z=0,
令x=1，则y= 3,z=1，
所以m=(1, 3,1)，
设直线AP与平面ACD所成角为θ，
则sinθ=|cs
所以直线AP与平面ACD所成角的正弦值为 1510．
【解析】(1)利用等腰三角形的三线合一定理及面面垂直的性质定理，结合线面垂直的性质定理即可求解；
(2)利用等腰三角形的三线合一定理及线面垂直的性质定理，建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，分别求出直线AP的方向向量和平面ACD的法向量，再利用向量的夹角公式，结合线面角与向量的夹角的关系即可求解．
本题考查了空间中线面位置关系，考查了推理能力，属于中档题．
21.【答案】解：(1)∵点P(− 2, 33)在椭圆C上，且PF1⊥F1F2．
∴−c=− 2，即c= 2，则F1F2=2c=2 2，
PF1= 33，则PF2= PF12+F1F22= ( 33)2+(2 2)2= 39+8= 759=5 33，
则2a=PF1+PF2= 33+5 33=2 3，即a= 3，
则b2=a2−c2=3−2=1，
即椭圆方程为x23+y2=1．
(2)A(0,2)，B(−1,0)，
①若直线l的斜率k不存在，此时l：x=0，M(0,1)，N(0,−1)，则以MN为直径的圆过点B，满足条件，此时x=0，
②若k存在，则直线方程为y=kx+2，代入x23+y2=1得(1+3k2)x2+12kx+9=0，
设M(x1,y1)，N(x2,y2)，
则Δ=(12k)2−36(1+3k2)=36k2−36>0，
x1+x2=−12k1+3k2，x1x2=91+3k2，
若MN为直径的圆过点B，则MB⊥NB，
即MB⋅NB=0，即(−1−x1,−y1)⋅(−1−x2,−y2)=0，
即(1+x1)(1+x2)+y1y2=0，
即1+(x1+x2)+x1x2+y1y2=0，
y1y2=(kx1+2)(kx2+2)=k2x1x2+2k(x1+x2)+4，
∴1+(x1+x2)+x1x2+k2x1x2+2k(x1+x2)+4=0，即5+(1+2k)(x1+x2)+(1+k2)x1x2=0，
即5+(1+2k)⋅−12k1+3k2+(1+k2)⋅91+3k2=0
即5+15k2−12k(1+2k)+9+9k2=0，
即12k=14，得k=76.满足判别式Δ>0，此时l：y=76x+2，
综上直线l的方程为y=76x+2或x=0．
【解析】(1)利用点在椭圆上，且PF1⊥F1F2.求出c和2a，即可．
(2)设出直线方程，联立方程根据圆直径性质得到MB⊥NB，利用设而不求思想进行转化求解即可．
本题主要考查椭圆方程的求解以及直线和椭圆位置关系的应用，联立方程组，利用韦达定理以及设而不求思想进行求解是解决本题的关键，是中档题．
22.【答案】解：(1)由题意得f(x)的定义域为(0,+∞)，且f′(x)=2x−ax=2x2−ax．
若a≤0，f′(x)>0在(0,+∞)上恒成立，故f(x)在(0,+∞)上单调递增；
若a>0，因为x>0，当f′(x)>0时，x> 2a2，当f′(x)<0时，0
综上，当a≤0时，f(x)的单调递增区间为(0,+∞)，无单调递减区间；
当a>0时，f(x)的单调递减区间为(0, 2a2)，单调递增区间为( 2a2,+∞)．
(2)由题意得f′(x0)=f(x2)−f(x1)x2−x1=x1+x2−a(lnx2−lnx1)x2−x1，
f′(x1+x22)=x1+x2−2ax1+x2，
f′(x0)−f′(x1+x22)=−a(lnx2−lnx1)x2−x1+2ax1+x2=−ax2−x1[lnx2x1−2(x2−x1)x2+x1]
=−ax2−x1[lnx2x1−2(x2x1−1)x2x1+1]，
设t=x2x1(t>1)，设g(t)=lnt−2(t−1)t+1，则g′(t)=1t−4(t+1)2=(t−1)2t(t+1)2>0，
所以g(t)在(1,+∞)上单调递增，所以当t>1时，g(t)>g(1)=0，即lnx2x1−2(x2−x1)x2+x1>0，
又x2>x1，且a>0，所以−ax2−x1<0，所以f′(x0)−f′(x1+x22)<0，即f′(x0)
【解析】(1)先求导函数，再分a≤0和a>0两种情况讨论判断正负确定单调区间；
(2)根据已知设t=x2x1(t>1)，把二元问题转化为关于t的函数，结合单调性得证．
本题主要考查了导数与单调性关系的应用，还考查了利用函数性质在不等式大小比较中的应用，属于中档题．性别
有“飞天宇航梦”
无“飞天宇航梦”
合计
男生
_____
100
_____
女生
350
_____
500
合计
_____
_____
_____
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
牛排种类
菲力牛排
肉眼牛排
西冷牛排
T骨牛排
数量/盒
20
30
20
30
性别
有“飞天宇航梦”
无“飞天宇航梦”
合计
男生
400
100
500
女生
350
150
500
合计
750
250
1000
X
0
1
2
3
P
64125
48125
12125
1125
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